Całki oznaczone 5 ANALIZA MATEMATYCZNA MAP: 3, 4, 5, 6 Lista zadań Semestr letni 7/8 Korzstając z definicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne obliczć podane całki oznaczone: ); b) 3 ; e. Wskazówka.Ad.b).Zastosowaćwzor++...+n= nn+), + +...+n = nn+)n+) ; 6 Ad..Zastosowaćwzórnasumęciągugeometrcznegoa+aq+...+aq n =a qn q orazwkorzstaćrówność e h lim =; h h Korzstając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczć podane całki: ) + ; b) e ; e) e 9 ; + ln; f) π +9. sin cos; * 3 Korzstając z definicji całki oznaczonej uzasadnić podane równości: 3 + 3 +...+n 3 lim n n 4 = 4 ; [ π b) lim n tg π 4n +tgπ 4n +...+tgnπ 4n 4n [ lim ln+n) +n)... n+n) n n n n )] =ln ; ] =ln4. 4 Obliczć podane całki oznaczone dokonując wskazanch podstawień: 3 +,+=t; b) 4,=t ; ) 3 3 3 4,= t ; 3 9,=3sint; e) ln3 e +e,t=e ; f) π sine cos,t=cos. 5 Metodą całkowania przez części obliczć podane całki oznaczone: arcsin; b) e ; e) e ln ; e ln; f) π π 4 +cos); sin.
6 Obliczć podane całki oznaczone: ; b) 4 + 3 ; 3 sgn ) ;. 7 Obliczć wartości średnie podanch funkcji na wskazanch przedziałach: f)= +4, [,]; b)f)=sin3, [,π]; [ f)=arctg,, ] 3; f)= +, [,]. 8 Wkorzstując własności całek z funkcji parzstch, nieparzstch lub okresowch uzasadnić podane równości: e e 5 3 3 + 4 + + =; b) ln +sin =; sin π π 5 sin +cos = π )=5 sin +cos ; 9 Obliczć pola obszarów ograniczonch podanmi krzwmi: ). 4=,= 8 +4 ; b)=3,=; =,=,=3; 4 =,=,=6; e)=,+=; f)= 3,=. Obliczć długości podanch krzwch: =ln e + e, gdzie 3; b)=, gdzie ; = 3, gdzie ; =ch, gdzie ; Obliczć objętości brł powstałch z obrotu podanch figur T wokół wskazanch osi: T:,,O; b)t: 5, +4,O; T: π 4, tg,o; T:,,O. Obliczć pola powierzchni powstałch z obrotu wkresów podanch funkcji wokół wskazanch osi: f)=cos, π,o; b)f)= 4+, 4,O; f)=ln, 3,O; f)= +,,O. 3Punktmaterialnzacząłporuszaćsięprostoliniowozprędkościąpoczątkowąv =m/siprzspieszeniema =m/s.poczasiet =spunkttenzacząłporuszaćsięzopóźnieniema = m/s.znaleźć położeniepunktupoczasiet =sodchwilirozpoczęciaruchu. b)wiecząstkielementarneaibpołożonewodległościd=36zacznajązbliżaćsiędosiebiezprędkościami odpowiedniov A t)=t+t 3,v B t)=6t,gdziet.pojakimczasienastąpizderzenietchcząstek?
Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju 4 Korzstając z definicji zbadać zbieżność podanch całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: +) ; b) 3 3+5 ; e) ; +4 ; f) π sin; 4+3. 5 Korzstając z krterium porównawczego zbadać zbieżność podanch całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: π ; b) 3 +sin) 3 ; ) 4 ++ ; +cos ). 6 Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżność podanch całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: e 5 3 ; b) + ) e ; 5 sin ; 3 sin. 7Obliczćpoleobszaruograniczonegokrzwą= +4 orazosiąo. b)obliczćobjętośćbrłpowstałejzobrotuwokółosioobszaru= {,) R :, e }. zasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwkresufunkcji= dla wokółosioma skończoną wartość. Funkcje dwóch i trzech zmiennch 8 Wznaczć i narsować dziedzin naturalne podanch funkcji: f,)= 3 5 ; b)f,)=sin + ) + ; f,)= + 5 ; f,)=ln + 4 9 ; e)f,,z)= + + z ; f)f,,z)=arcsin + +z ). 9 Podane wkresrs. ) połączć z odpowiadającmi im poziomicamirs. A) C)) wkonanmi dlah=, 3,,,: z z= + b) z= 4 + ) z z= + ) z O O O 3
A) B) C) Znaleźć poziomice wkresów podanch funkcji i na tej podstawie naszkicować te wkres: f,)= + ; b)f,)= 4 ) ; f,)=sin; f,)=. zasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją: sin lim,) π,) ; lim,),) 4 + 4; + b) lim,),) + ; lim,),) 4 +. Obliczć, podane granice funkcji: 4 4 lim,),) ; lim,),) tg 3 3) b) lim,),) ; e) lim,),) + ; 3 Znaleźć zbior punktów ciągłości podanch funkcji: { f,)= dla +, dla + >; { sin dla oraz R, b)f,)= dla < oraz R; { e dla <, f,)= e dla. Rachunek różniczkow funkcji dwóch i trzech zmiennch 4 +4 cos + ) ; lim +,),) + ) ; f) lim + ) sin,),). 4 Korzstając z definicji obliczć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego podanch funkcji we wskazanch punktach: f,)= +,, )=,); b)f,)= +,, )=,); f,,z)= z z,,,z )=,,); f,,z)=,,,z )=,,). 5 Obliczć wszstkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanch funkcji: f,)= + f,,z)= + z +z3 ; ; b)f,)=arctg + ; f,)=esin ; e)f,,z)= + +z ; f)f,,z)=sincossinz)). 4
6 Obliczć wszstkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanch funkcji i sprawdzić, cz pochodne cząstkowe mieszane są równe: f,)=sin + ) ; b)f,)=e ; f,)=+ ; e)f,,z)= f,)=ln; + +z ; f)f,,z)=ln + 4 +z 6 + ). 7 Obliczć wskazane pochodne cząstkowe podanch funkcji: 3 f, f,)=sin; b) 3 f z, 3 f,,z)= ; z 4 f, f,)=+ ; 5 f z, f,,z)=e+z. 8 Napisać równania płaszczzn stcznch do wkresów podanch funkcji we wskazanch punktach wkresu: z= +,,,z )=,3,); b)z=e +,,,z )=,,); z= arcsin arccos,,,z )= ) 3,, ; z=,,,z )=,4,6). 9 Wkorzstując różniczkę funkcji obliczć przbliżone wartości podanch wrażeń:.) 3.997) ; b) 3.93) 3 +4.5) 3 +4.99) 3 ;.97 e.5 ; cos.5.96. 3Wsokośćipromieńpodstawstożkazmierzonozdokładnością±mm.Otrzmanoh=35mm orazr=45mm.zjakąwprzbliżeniudokładnościąmożnaobliczćobjętośćvtegostożka? b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=m.obliczćwprzbliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszstkich krawędzi zwiększm o cm. 3 Wkorzstując reguł różniczkowania funkcji złożonch obliczć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem i podanch funkcji: u z=fu,v)=ln v+,gdzieu=sin,v=cos; u b)z=fu,v,w)=arcsin v+w,gdzieu=e,v= +,w=. 3 Korzstając z definicji obliczć pochodne kierunkowe podanch funkcji we wskazanch punktach i kierunkach: ) f,)= +,, )=,), v=, ; ) b)f,)= 3 3,, )=,), v=, ; ) 3 f,,z)= +z,,,z )=,,), v= 3,4 3,. 3 33 Obliczć pochodne kierunkowe podanch funkcji we wskazanch punktach i kierunkach: ) f,)= +,, )= 3,4), v= 3,5 ; 3 b)f,)= ) 3 +,, )=,), v= 5, 4 ; 5 ) f,,z)=a e z 3,,,z )=,, ), v=, 3 4, ; 4 ) f,,z)=sinz+cosz sincos),,,z )=,,), v= 3, 3,. 3 5
34 Znaleźć ekstrema podanch funkcji: f,)=3 ) +4+) ; b)f,)= 3 + 3 3; f,)= 3 +3 5 4; f,)=e + +) ; e)f,)= ), gdzie,>; f)f,)= 8 + +; gdzie,>. 35 Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanch funkcji na wskazanch zbiorach: f,)= +, + ; f,)= 4 + 4, + 9; b)f,)= +4 4, 3 3, 3 ; ) ) d*)f,)= + +, R. 36WtrójkącieowierzchołkachA=,5),B=,4),C=, 3)znaleźćpunktM=, ),dla którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza. b) Jakie powinn bć długość a, szerokość b i wsokość h prostopadłościennej otwartej wann o pojemności V, ab ilość blach zużtej do jej zrobienia bła najmniejsza? Znaleźć odległość międz prostmi skośnmi: k: { + =, z+ =, l: { +3 =, z =. ProstopadłościennmagaznmamiećobjętośćV=6m 3.obudowścianmagaznuużwanesąpłt wcenie3zł/m,dobudowpodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokość b i wsokość c magaznu, którego koszt budow będzie najmniejsz. Całki podwójne 37 Obliczć dane całki podwójne po wskazanch prostokątach: d ++) 3,gdzieR=[,] [,]; R b) sind,gdzier=[,] [π,π]; R e d,gdzier=[,] [,]. R 38 Całkę podwójną o równaniach: +=, 3 = ; f, ) d zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczon jest krzwmi b) + =4, =, =, ); 4+ +6 5=; =, + =3<). 39 W podanch całkach iterowanch zmienić kolejność całkowania: f,)d; b) f,)d; 4 4 f,)d; d f,); e) π sin f,)d; f) e f,)d. π cos ln 4 Obliczć podane całki iterowane: 6
d; b) 3 4 3 + 3) d; Narsować obszar całkowania. 4 3 d d; +6. 4 Obliczć podane całki podwójne po wskazanch obszarach: min,)d,gdzie=[,] [,]; b) + d,gdzie=[,] [,]; d,gdzie= {,) R :, 3 } ; sgn + ) d,gdzie= {,) R : + 4 }. waga. Smbol mina, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowitą liczb u. 4 Obliczć wartości średnie podanch funkcji na wskazanch obszarach: [ f,)=sincos,gdzie=[,π], π ] ; b)f,)=+,gdzie: π, sin. 43 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczć podane całki podwójne po wskazanch obszarach: d,gdzie:, + ; b) e + d,gdzie:,, + ; + ) d,gdzie:, + ; d*) + d,gdzie:, + ) 4 ). 44 Obliczć pola obszarów ograniczonch podanmi krzwmi: =4, +=3, = ); +=4, +=8, 3=, 3=5; b) + =, + 4=; + =, = 3. 45 Obliczć objętości brł ograniczonch podanmi powierzchniami: + =, z= +, z=; b) + +z z=; c*) ) + ) =, z=, z=; d*)z= +, +z=4. 46 Obliczć pola podanch płatów: z= +, + ; b) + +z =R, + R, z ; z= +, z. 7
47 Obliczć mas podanch obszarów o wskazanch gęstościach powierzchniowch: = {,) R : π, sin },gdzieσ,)=; b)= {,) R : + 4, },gdzieσ,)=. 48 Znaleźć położenia środków mas podanch obszarów jednorodnch: trójkątrównoramiennopodstawieaiwsokościh; b)= {,) R : π, sin } ; = {,) R : } ; = {,) R :, e }. 49 Obliczć moment bezwładności podanch obszarów względem wskazanch osi: kwadratjednorodnobokua,przekątnakwadratu,przjąćσ,)=; b)= {,) R : + R, },ośo,przjąćσ,)= + ; = {,) R : },ośsmetriiobszaru,przjąćσ,)= ; = {,) R : π, sin },ośo,przjąćσ,)=. Całki potrójne 5 Obliczć podane całki potrójne po wskazanch prostopadłościanach: ddz,gdzie=[,] [,e] [,e]; z b) ++z)ddz,gdzie=[,] [,3] [3,4]; sinsin+)sin++z)ddz,gdzie=[,π] [,π] [,π]; +)e +z ddz,gdzie=[,] [,] [,]. 5 Całkę potrójną f,,z)ddzzamienićnacałkiiterowane,jeżeliobszarjestograniczonpowierzchniami o podanch równaniach: z= +, z=6; b) + +z =5,z=4,z 4); z= +, z=. 5 W podanch całkach iterowanch zmienić kolejność całkowaniarozważć wszstkie przpadki): d 3 3 3 f,,z)dz; b) 4 d 4 4 f,,z)dz; 3 dz z z z z f,,z)d; d + f,,z)dz. 53 Obliczć całki potrójne z danch funkcji po wskazanch obszarach: f,,z)=e ++z, gdzie:,, z ; b)f,,z)= 3++z+) 4, gdzie:,, z ; f,,z)= +, gdzie: + 4, z ; f,,z)=, gdzie: z. 8
54 Wprowadzając współrzędne walcowe obliczć podane całki po wskazanch obszarach: + +z ) ddz, gdzie: + 4, z ; b) zddz, gdzie: + z ; + ) ddz, gdzie: + +z R, + +z Rz; ++z)ddz, gdzie: +, z. 55 Wprowadzając współrzędne sferczne obliczć podane całki po wskazanch obszarach: ddz + +z, gdzie:4 + +z 9; b) + ) ddz, gdzie: + z ; z ddz, gdzie: + +z R) R R>); ddz, gdzie: + +z 4. 56 Obliczć objętości obszarów ograniczonch podanmi powierzchniami: + =9, ++z=, ++z=5; b)=, =, z=4, z=+ ; z= + +, z=, + =; + +z =, = ). 57 Obliczć mas podanch obszarów o zadanch gęstościach objętościowch: =[,a] [,b] [,c],gdzieγ,,z)=++zoraza,b,c>; b): + +z 9,gdzieγ,,z)= + +z. 58 Wznaczć położenia środków mas podanch obszarów jednorodnch: :,, z ; b)stożekopromieniupodstawriwsokościh; : + z. M: 59 Obliczć moment bezwładności względem wskazanch osi podanch obszarów jednorodnch o masie walecopromieniupodstawriwsokościh,względemosiwalca; b) stożek o promieniu podstaw R i wsokości H, względem osi stożka; walec o promieniu podstaw R i wsokości H, względem średnic podstaw. Szeregi liczbowe i potęgowe 6 Znaleźć sum częściowe podanch szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: ) n 5 n ; b) ; 6 n! n= n )n+) ; n= waga.wprzkładzieb)przjąć,żes n= n++ n. n a k,gdzien. k= 9
6 Korzstając z krterium całkowego zbadać zbieżność podanch szeregów: n +n ; b) n n +4 ; n= lnn n ; n n+. 6 Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżność podanch szeregów: n +n+ n 3 ; b) n+ n3 + ; n 3 n ; sin π 3 n sin π. n 63 Korzstając z krterium porównawczego zbadać zbieżność podanch szeregów: 3 n + ; b) n+ n + ; sin π n; n= n +sinn! 3 n ; e) 3 cosn n ; f) 3 n + n3 n + n. 64 Korzstając z krterium d Alemberta zbadać zbieżność podanch szeregów: n ; b) n sin π n! n; n! n n; n!) n)! ; e) n n 3 n n! ; f) n + n 5 +. 65 Korzstając z krterium Cauch ego zbadać zbieżność podanch szeregów: n+) n n +3 n n +) n ; b) 3 n +4 n; 3 n n n n+) n ; arccos n n. 66 Wkazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: 7 n n n lim n n 5=; b) lim n n!) =; n! lim n n n=; 3n)!4n)! d*) lim n 5n)!n)! =. 67 Zbadać zbieżność podanch szeregów naprzemiennch: ) nn n +5 ; b) ) n n n+3) n; ) n+ lnn nlnlnn ; ) [e n+ + ) n ]. n n=3 68 Obliczć sum przbliżone podanch szeregów ze wskazaną dokładnością: ) n+ n n, δ= 6 ; b) ) n n+)!, δ= 3. n=
69 Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną podanch szeregów: ) n+ n + ; b) ) n n n + ; ) n n ; 3n+5 ) n ) n 3 ; e) n= n= n= ) n 3 n + ; f*) n= ) n n+. 7 Wznaczć przedział zbieżności podanch szeregów potęgowch: n= n n n; b) n ) n ; n n +3 n; e) n n + +)n ; f*) +3) n n 3 ; n! n n n. 7 Znaleźć szeregi Maclaurina podanch funkcji i określić przedział ich zbieżności: 3 ; b)cos ; e ; 9+ ; e)sh; f*)sin4. 7 Korzstając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnch obliczć podane pochodne: f 5) ), gdzief)=sin; b)f 6) ), gdzief)= e ; f ) ), gdzief)= 3 + ; f) ), gdzief)=sin 3. Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczlas