MAP1144 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2 A Lista zadań

Transkrypt

1 MAP44 ANALIZA MATEMATYCZNA. A Lista zadań Lista.. Przjmując w definicji całki oznaczonej podział równomiern obliczć podane całki oznaczone i podać ich interpretację geometrczną: ); b) ; e. Wskazówka.Ad.b).Zastosowaćwzor++...+n= nn+), n = nn+)n+) ; 6 Ad..Zastosowaćwzórnasumęciągugeometrcznegoa+aq+...+aq n =a qn q orazwkorzstaćrówność e h lim =; h h.. Korzstając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczć całki: ) ; b) ; + +9 ; ; e) e e ln; f) π sin cos. *.3. Korzstając z definicji całki oznaczonej uzasadnić równości: [ π lim tg π )] n 4n 4n +tgπ 4n +...+tgnπ =ln ; 4n n 3 b) lim n n 4 = 4 ; lim n [ ln+n) +n)... n+n) n n n ] =ln4..4. Obliczć całki oznaczone dokonując wskazanch podstawień: ln3 4 e +e,t=e ; b) 4 ),=t ; e) π 3 sine cos,t=cos; 9,=3sint; f).5. Metodą całkowania przez części obliczć całki oznaczone: e ; b) ln; e) π 4 sin; arcsin; f) π e +cos); e ln ,+=t ; 3 3 4,= t.

2 Lista.. Narsować funkcje podcałkowe i obliczć całki oznaczone: ; b) e ; 3 sgn ) ;... Obliczć wartości średnie podanch funkcji na wskazanch przedziałach i podać ich interpretacje geometrczną: f)= +4, [,]; b)f)=sin3, [,π]; f)=arctg, [, ] 3; f)= +, [,]..3. Wkorzstując własności całek z funkcji parzstch, nieparzstch lub okresowch uzasadnić równości: e e =; b) ln +sin =; sin π π 5 sin +cos = π )=5.4. Obliczć pola obszarów ograniczonch krzwmi: sin +cos ; ). =,+=; b)= 3,=, ); =,=,=3; 4=,= 8 +4 ; e) =,=,=8; f) 4 =,=,=6..5. Obliczć długości krzwch: = 3, gdzie ; b)=ch, gdzie ; =, gdzie ; =lncos, gdzie π Obliczć objętości brł powstałch z obrotu podanch figur T wokół wskazanch osi: T:,,O; T: 5, +4,O; b)t: π 4, tg,o; T:,,O. Lista Obliczć pola powierzchni powstałch z obrotu wkresów podanch funkcji wokół wskazanch osi: f)= 4+, 4,O; b)f)=cos, π,o; f)=ln, 3,O; f)= +,,O. 3..Punktmaterialnrozpocząłruchprostoliniowzprędkościąpoczątkowąv =m/siprzspieszeniem a =m/s.poczasiet =spunktzacząłporuszaćsięzopóźnieniema = m/s.znaleźćjegopołożenie poczasiet =s. b)wiecząstkiaibpołożonewodległościd=36zacznajązbliżaćsiędosiebiezprędkościamiodpowiednio v A t)=t+t 3,v B t)=6t,gdziet.pojakimczasienastąpiichzderzenie? 3.3. Korzstając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: +) ; b) )e ; e) ; +4 ; f) π sin; 4+3.

3 3.4. Korzstając z krterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: 4 +) ; b) + ) ; e) π ; 3 +sin) 3 ; f) +) 4 ++ ; +cos ) Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: +) ; b) +) 5 3 ; +) ; 3 sin ; 5 e) 3 sin ; f) e + ) e. 3.6.Obliczćpoleobszaruograniczonegokrzwą= +4 orazosiąo. b)obliczćobjętośćbrłpowstałejzobrotuwokółosioobszaru= {,) R :, e }. zasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwkresufunkcji= dla wokółosioma skończoną wartość. Lista Wznaczć i narsować dziedzin naturalne funkcji: f,)= 3 5 ; b)f,)=sin + ) + ; f,)= + 5 ; f,)=ln ; e)f,,z)= + + z ; f)f,,z)=arcsin + +z ). 4.. Wkresrs. ) połączć z odpowiadającmi im poziomicamirs. A) C)) wkonanmi dla h =, 3,,,: z b) z z z= + z= 4 + ) z= + ) A) B) C) 4.3. Naszkicować wkres funkcji: 3

4 f,)= + ; b)f,)= 3+ ; f,)= + ++3; f,)=sin; e)f,)= ; f)f,)= zasadnić, że nie istnieją granice funkcji: lim,),) 4 +4; b) lim,),) 4.5. Obliczć granice funkcji: sin 4 +; lim,) π,) ; lim,),) cos + ) lim,),) + ) ; b) lim,),) + ; tg 3 3) lim,),) 4 +4 ; e) lim +,),) lim,),) ; ; f) lim + ) sin,),). 4.6.obraćparametra Rtak,abfunkcjebłciągłewpunkcie, )=,): sin dla R,,, f,)= b)f,)= a dla R,=; + dla,),), tg +a ) f,)= + + f,)= a dla,)=,); + dla,),), a dla,)=,); + dla,),), dla,)=,). Lista Korzstając z definicji obliczć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji we wskazanch punktach: f,)= +,,); b)f,)= +,,); dla,),) f,)= +,,); dla,)=,) f,,z)=,,,); e)f,,z)= z z,,,). 5.. Obliczć wszstkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji: f,)= + f,,z)= + z +z3 ; ; b)f,)=arctg + ; f,)=esin ; e)f,,z)= + +z ; 5.3. Sprawdzić cz podana funkcja spełnia wskazane równanie: f,)=ln ++ ), f + f =; b)f,)= sin, f + f =f. f)f,,z)=sincossinz)) Obliczć wszstkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanch funkcji i sprawdzić, cz pochodne cząstkowe mieszane są równe: f,)=sin + ) ; b)f,)=e ; f,)=+ ; f,)=ln; e)f,,z)= + +z ; f)f,,z)=ln + 4 +z 6 + ) Obliczć wskazane pochodne cząstkowe funkcji: 3 f, f,)=sin; b) 4 f, f,)=+ ; 3 f z, 3 f,,z)= ; z 5 f z, f,,z)=e+z. 4

5 5.6. Sprawdzić, że funkcje: z=arctg ; b)z=+ ; z=+ln + ) ; z=+ spełniają równanie z z z + + =, gdzie,> Napisać równania płaszczzn stcznch do wkresów podanch funkcji we wskazanch punktach wkresu: z= +,,,z )=,3,z ); b)z=e +,,,z )=,,z ); z= arcsin arccos,,,z )= ) 3,,z ; z=,,,z )=,4,z ). Lista 6 6..Nawkresiefunkcjiz=arctg wskazaćpunkt,wktórchpłaszczznastcznajestrównoległado płaszczzn+ z=5. Wznaczćrównaniepłaszczznstcznejdowkresufunkcjiz=arcctg +,którajestprostopadłado prostej= t,=t,z=t,gdziet R. 6.. Wkorzstując różniczkę funkcji obliczć przbliżone wartości wrażeń:.) 3.997) ; b) 3.93) ) ) 3 ;.97 e.5 ; cos Wsokośćipromieńpodstawstożkazmierzonozdokładnością±mm.Otrzmanoh=35mmoraz r = 45 mm. Z jaką w przbliżeniu dokładnością można obliczć objętość V tego stożka? b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=m.obliczćwprzbliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszstkich krawędzi zwiększm o cm. Oszacowaćbłądwzględnδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegoboków,,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio,, z Wkorzstując reguł różniczkowania funkcji złożonch obliczć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem i podanch funkcji: u z=fu,v)=ln v+,gdzieu=sin,v=cos; u b)z=fu,v,w)=arcsin v+w,gdzieu=e,v= +,w= Sprawdzić cz podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f + ), z z =; b)z=fsin )), z= n f ), z d*)z= g)+h z + z =z ; + z =nz,gdzien N; ), z z + + z + z = 6.6. Korzstając z definicji obliczć pochodne kierunkowe podanch funkcji we wskazanch punktach i kierunkach: ) f,)= +,, )=,), v=, ; ) b)f,)= 3 3,, )=,), v=, ; 5

6 ) 3 f,,z)= +z,,,z )=,,), v= 3,4 3, Obliczć pochodne kierunkowe podanch funkcji we wskazanch punktach i kierunkach: ) f,)= +,, )= 3,4), v= 3,5 ; 3 b)f,)= ) 3 +,, )=,), v= 5, 4 ; 5 ) f,,z)=a e z 3,,,z )=,, ), v=, 3 4, ; 4 ) f,,z)=sinz+cosz sincos),,,z )=,,), v= 3, 3,. 3 Lista 7 7..Obliczćpochodnąkierunkowąfunkcjif,)= +ln).wpunkcie ), wkierunku wersora vtworzącegokątαzdodatnimzwrotemosio.lajakiegokątaα,pochodnatamawartość,adla jakiego przjmuje wartość największą? b)wznaczćwersor v,wkierunkuktórchfunkcjaf,)= e + ) wpunkcie,)mapochodną kierunkową równą. 7.. Znaleźć ekstrema funkcji: f,)=3 ) +4+) ; b)f,)= ; f,)= ; f,)=e + +) ; e)f,)= ), gdzie,>; f)f,)= 8 + +; gdzie,> Wznaczć ekstrema podanch funkcji, którch argument spełniają wskazane warunki: f,)= +,3+=6; b)f,)= + 8+, +=; f,)= ln,8+3=; f,)=+3, + = Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanch funkcji na wskazanch zbiorach: f,)= , = {,) R : 4 } ; b)f,)= + 6+4, = {,) R :+ 4,+ 6,, } ; f,)= +, = {, R : + } ; f,)= +4 4, = {,) R : 3 3, 3 } ; e)f,)= 4 + 4, = {,) R : + 9 } ; ) ) f*)f,)= + +),= R. 7.5.WtrójkącieowierzchołkachA=,5),B=,4),C=, 3)znaleźćpunktM=, ),dla którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza. b) Jakie powinn bć długość a, szerokość b i wsokość h prostopadłościennej otwartej wann o pojemności V, ab ilość blach zużtej do jej zrobienia bła najmniejsza? Znaleźć odległość międz prostmi skośnmi: k: { + =, z+ =, l: { +3 =, z =. ProstopadłościennmagaznmamiećobjętośćV=6m 3.obudowścianmagaznuużwanesąpłt wcenie3zł/m,dobudowpodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokość b i wsokość c magaznu, którego koszt budow będzie najmniejsz. f)firmaprodukujedrzwiwewnętrzneizewnętrznewcenachzbtuodpowiednio5eiezasztukę.koszt 6

7 wprodukowania sztuk drzwi wewnętrznch i zewnetrznch wnoszą K,)= + e. Ile sztuk drzwi wewnętrznch i zewnętrznch powinna wprodukować firma ab osiągnąć jak największ zsk? Lista Obliczć całki podwójne po wskazanch prostokątach: + ) d,gdzier=[,] [,]; b) R R R R d ++) 3,gdzieR=[,] [,]; sind,gdzier=[,] [π,π]; e d,gdzier=[,] [,]. 8.. Całkę podwójną f, ) d zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczon jest krzwmi o równaniach: +=, 3 = ; b) + =4, =, =, ); =; =, + =3<) Obliczć całki iterowane: 4 d; b) 4 Narsować obszar całkowania. d; ) d; 3 d 8.4. Narsować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: f,)d; b) f,)d; 4 4 f,)d; +6. d f,); e) π sin f,)d; f) e f,)d. π cos ln 8.5. Obliczć podane całki po obszarach normalnch ograniczonch wskazanmi krzwmi: d, :=,= ; b) d, :=,=,= ; +)d, :=,=,=3 ); +4 ) d, :=+3,= +3+3; e) 3+)d, :=,=π,=,=sin; f) e d, :=,=,=; g) e d, :=,=,= ln3; h) e d, :=,=,=. * 8.6. Obliczć podane całki podwójne po wskazanch obszarach: min,)d,gdzie=[,] [,]; b) + d,gdzie=[,] [,]; 7

8 d,gdzie= {,) R :, 3 } ; sgn + ) d,gdzie= {,) R : + 4 }. waga. Smbol mina, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowitą liczb u Obliczć wartości średnie podanch funkcji na wskazanch obszarach: [ f,)=sincos,gdzie=[,π], π ] ; b)f,)=+,gdzie: π, sin. Lista Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczć podane całki podwójne po wskazanch obszarach: d,gdzie:, + ; b) e + d,gdzie:,, + ; d,gdzie: + ; d,gdzie: + ; e) + ) d,gdzie:, + ; f*) + d,gdzie:, + ) 4 ). Obszar naszkicować we współrzędnch kartezjańskich i biegunowch. 9.. Obliczć pola obszarów ograniczonch krzwmi: =4, +=3, = ); +=4, +=8, 3=, 3=5; b) + =, + 4=; + =, = Obliczć objętości brł ograniczonch powierzchniami: + =, z= +, z=; b) + +z z=; c*) ) + ) =, z=, z=; d*)z= +, +z= Obliczć pola płatów: z= +, + ; b) + +z =R, + R, z ; z= +, z Obliczć mas podanch obszarów o wskazanch gęstościach powierzchniowch: = {,) R : π, sin },gdzieσ,)=; b)= {,) R : + 4, },gdzieσ,)= Znaleźć położenia środków mas obszarów jednorodnch: trójkątrównoramiennopodstawieaiwsokościh; b)= {,) R : π, sin } ; 8

9 = {,) R : } ; = {,) R :, e } Obliczć moment bezwładności podanch obszarów względem wskazanch osi: kwadratjednorodnobokua,przekątnakwadratu,przjąćσ,)=; b)= {,) R : + R, },ośo,przjąćσ,)= + ; = {,) R : },ośsmetriiobszaru,przjąćσ,)= ; = {,) R : π, sin },ośo,przjąćσ,)=. Lista.. Znaleźć sum częściowe podanch szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: n= ) n 5 ; b) 6 n= n ; n! n waga.wprzkładzieb)przjąć,żes n= k= n )n+) ; a k,gdzien... Korzstając z krterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +n ; b) n n +4 ; n= lnn n ;.3. Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n n+. n++ n. n +n+ n 3 ; b) n+ n3 + ; n 3 n ; sin π 3 n sin π. n.4. Korzstając z krterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3 n + ; b) n+ n + ; sin π n; n= n +sinn! 3 n ; e) 3 cosn n ; f) 3 n + n3 n + n..5. Korzstając z krterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: n ; b) n sin π n! n; n! n n; n!) n)! ; Lista e) n n 3 n n! ; f) n + n Korzstając z krterium Cauch ego zbadać zbieżność szeregów: n+) n n +) n ; b) n +3 n 3 n +4 n; 3 n n n ; n+) n arccos n n... Wkazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: 7 n lim n n 5= ; n n b) lim n n!) =; n! lim n n n=; 3n)!4n)! d*) lim n 5n)!n)! =..3. Zbadać zbieżność szeregów naprzemiennch: 9

10 ) nn n +5 ; ) n+ lnn nlnlnn ; n=3 b) ) n n n+3) n; ) [e n+ + n ) n ]..4. Obliczć sum przbliżone podanch szeregów ze wskazaną dokładnością: ) n+ n n, δ= 6 ; b) ) n n+)!, δ= Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ) n+ n + ; b) ) n n n + ; ) n n ; 3n+5 ) n ) n 3 ; e) n= Lista n= n= n= ) n 3 n + ; f*).. Wznaczć przedział zbieżności szeregów potęgowch: n= n n n; b) n ) n ; n n +3 n; e) n n + +)n ; f*) n= ) n n+. +3) n n 3 ; n! n n n... Znaleźć szeregi Maclaurina podanch funkcji i określić przedział ich zbieżności: 3 ; b)cos ; e ; 9+ ; e)sh; f*)sin4..3. Korzstając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnch obliczć pochodne: f 5) ), gdzief)=sin; b)f 6) ), gdzief)= e ; f ) ), gdzief)= 3 + ; f) ), gdzief)=sin 3..4.Wznaczćszeregipotęgowefunkcjif )oraz f)= ; b)f)= +. n= ft) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:.5. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowch obliczć sum szeregów: n+) n; b) n nn+) 3 n ; 4 n. n=.6. Obliczć podane całki oznaczone ze wskazaną dokładnością: e, δ=.; sin, δ=..

11 List dodatkowe Lista A Wbrane struktur algebraiczne A.. Zbadać łączność działania określonego w zbiorze X, jeżeli: X= N, a b=a b ; X= N, a b=ab; X= Z, a b=a +b ; X= Z, a b=a b; e)x= R, a b= a+b ; f)x= R, a b=a+b+. A.. Zbadać cz podana struktura algebraiczna jest grupą: N,+); b)x,+),gdziex= { a +b 3:a,b Q } ; R, ),gdziea b=a+b+3; R, ),gdziea b=a+b+b. A.3. Sprawdzić, cz zbiór macierz stanowi grupę względem mnożenia macierz.,, A.4.Pokazać,żezbiórmacierzortogonalnch ustalonegostopniatworzgrupęwzględemmnożeniamacierz. A.5.NiechF={f,f,f 3,f 4,f 5,f 6 },gdzie f )=,f )=,f 3 )=,f 4)=,f 5=,f 6)= oraz niech oznacza składanie funkcji. Pokazać, że struktura algebraicznaf, ) jest grupą. Zbadać cz jest grupą abelową. A.6.NiechX, )będziegrupąiniechebędziewniejelementemneutralnm.pokazać,że e =e; b) a ) =a a b) =b a ; a a=a a=e; e)równaniea =bmajednorozwiązanie; f)równanie a=bmajednorozwiązanie. A.7.WgrupieZ n,+ n )rozwiązaćrównanie: 6=5, n=7; b)3+7=9,7. A.8.Pokazać,żezbiór Z n ={,,...,n }zdodawaniem+ n orazmnożeniem nmodulonjestpierścieniem przemiennm. Lista B Wbrane struktur algebraiczne cd. B.. W zbiorze dwuelementowm X ={a, b} wprowadzam działania, określone tabliczkami Cael a: a b a a b b b a a b a a a b a b. Sprawdzić, cz: działania, są przemienne, łączne, rozdzielne jedno względem drugiego; b) istnieją element neutralne względem działań, ; istnieją dla elementów zbioru X element odwrotne względem działań,. Macierzkwadratowąnazwaortogonalną,jeżelispełniawarunekAA T =I

12 B.. Zbadać cz struktura algebraicznar,, ) jest pierścieniem, jeżeli: a b=a+b 5,a b=ab+3; b)a b=a+b+ab,a b=a b+ab+b. B.3. W zbiorze liczb dodatnich z dodawaniem wprowadzić działanie tak, ab tworzł on pierścień. B.4. Niech F będzie zbiorem funkcji rzeczwistch f określonch na przedziale[, ]. Sprawdzić, cz zbiór X, +, ) jest pierścieniem, jeżeli: { ) } X= f F:f = ; b)x={f F:f)=f)}. B.5. Zbadać cz struktura algebraicznax, +, ) jest ciałem, jeżeli: X={,}; b)x={,,}; { X= a+b } { :a,b Q ; X= a+b 3 } :a,b Q ; e)x={z C: z }. B.6. W zbiorze dwuelementowm X ={a, b} wprowadzam działania, określone tabliczkami Cael a: a b a a b b b a a b a a a b a b. SprawdzićczstrukturaX,, )jestciałem.rozwiązaćrównaniea b )=a b) a. B.7. Sprawdzić cz zbiór macierz {[ ] } {[ ] },, R ; b),, R z działaniami dodawania i mnożenia macierz jest ciałem. B.8.Pokazać,żezbiórX={a,b):a,b Q}zdziałaniami i określonmiwzorami tworz ciało. Lista C Funkcje uwikłane a,b) c,=a+c,b+ i a,b) c,=ac+bd,ad+b C.. Zbadać, cz podane równania określają jednoznacznie ciągłe funkcje uwikłane = ) na pewnch otoczeniach zadanch punktów: =,i)a=,4),ii*)b=e,e),iii)c=3,3); b) =,i)a=,),ii*)b=,),iii)c=,). C.. Napisać równania stcznch do krzwch określonch podanmi równaniami we wskazanch punktach tch krzwch: =,,); b) + 3+=,,); e + =,, ). C.3. Obliczć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanch = ) określonch podanmi równaniami: e +=; b) + 3=; =sin sin. C.4. Wznaczć ekstrema lokalne funkcji uwikłanch postaci = ) określonch podanmi równaniami: + +4=; b) ) =+ 3; +3)= Lista Całki potrójne.. Obliczć podane całki potrójne po wskazanch prostopadłościanach: ddz,gdzie=[,] [,e] [,e]; z

13 b) ++z)ddz,gdzie=[,] [,3] [3,4]; sinsin+)sin++z)ddz,gdzie=[,π] [,π] [,π]; +)e +z ddz,gdzie=[,] [,] [,]... Całkę potrójną f,,z)ddzzamienićnacałkiiterowane,jeżeliobszarjestograniczonpowierzchniami o podanch równaniach: z= +, z=6; b) + +z =5,z=4,z 4); z= +, z=..3. W podanch całkach iterowanch zmienić kolejność całkowaniarozważć wszstkie przpadki): d f,,z)dz; b) 4 d 4 4 f,,z)dz; 3 dz z z z z f,,z)d; d + f,,z)dz..4. Obliczć całki potrójne z danch funkcji po wskazanch obszarach: f,,z)=e ++z, gdzie:,, z ; b)f,,z)= 3++z+) 4, gdzie:,, z ; f,,z)= +, gdzie: + 4, z ; f,,z)=, gdzie: z..5. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczć podane całki po wskazanch obszarach: + +z ) ddz, gdzie: + 4, z ; b) zddz, gdzie: + z ; + ) ddz, gdzie: + +z R, + +z Rz; ++z)ddz, gdzie: +, z..6. Wprowadzając współrzędne sferczne obliczć podane całki po wskazanch obszarach: ddz + +z, gdzie:4 + +z 9; b) + ) ddz, gdzie: + z ; z ddz, gdzie: + +z R) R R>); ddz, gdzie: + +z 4. 3

14 Lista E Całki potrójne cd. E.. Obliczć objętości obszarów ograniczonch podanmi powierzchniami: + =9, ++z=, ++z=5; b)=, =, z=4, z=+ ; z= + +, z=, + =; + +z =, = ). E.. Obliczć mas podanch obszarów o zadanch gęstościach objętościowch: =[,a] [,b] [,c],gdzieγ,,z)=++zoraza,b,c>; b): + +z 9,gdzieγ,,z)= + +z. E.3. Wznaczć położenia środków mas podanch obszarów jednorodnch: :,, z ; b)stożekopromieniupodstawriwsokościh; : + z. E.4. Obliczć moment bezwładności względem wskazanch osi podanch obszarów jednorodnch o masie M: walecopromieniupodstawriwsokościh,względemosiwalca; b) stożek o promieniu podstaw R i wsokości H, względem osi stożka; walec o promieniu podstaw R i wsokości H, względem średnic podstaw. Lista F Element analiz wektorowej F.. Obliczć całki krzwoliniowe zorientowane z podanch pól wektorowch po wskazanch łukachzorientowanch zgodnie ze swoją parametrzacją): F,)= +, ), Γ: =t,=e t,gdziet [,]; b) F,,z)=z,z,) Γ: =cost,=sint,z=t,gdziet [,π]; F,,z)=,z,), Γ odcinekab,gdziea=,,),b=,,3). F.. Obliczć całki krzwoliniowe z podanch pól wektorowch po łukach określonch wskazanmi równaniami orientacja łuku jest zgodna ze wzrostem parametru ): F,)=,+), Γ: =sin,gdzie π; b) F,)=ln,ln), Γ: =,gdzie e. F.3. Obliczć podane całki krzwoliniowe zorientowane po wskazanch łukach zamkniętch: + d,gdzieγjestbrzegiemtrójkątaowierzchołkacha=,),b=,),c=,4), Γ zorientowan dodatnio; b) ++)d,gdzieγjestokręgiem + +=,zorientowandodatnio; Γ Γ 3+5z)++4)d+6 z)dz,gdzieγjestbrzegiemtrójkątaowierzchołkacha=,,), B=,,),C=,,),obieganmwkolejnościABCA. F.4. Obliczć całki krzwoliniowe zorientowane z podanch potencjalnch pól wektorowch F po dowolnm łukuopoczątkuaikońcub: F,)=,),A=,),B=, ); π b) F,)=sincos,cossin),A= ),π,b=π,π); F,,z)= z, z,z ),A=,,),B=,,). 4

15 F.5. Sprawdzić, że podane całki krzwoliniowe nie zależą od kształtu krzwej całkowania i następnie obliczć je:, π ) e cos e sind; b),),),),3,4) d,wzdłużłukunieprzechodzącegoprzezośo; z ) + z ) d+ z ) dz.,,) F.6. Wkorzstując twierdzenie Greena obliczć podane całki krzwoliniowe zorientowane. Sprawdzić wnik obliczając te całki bezpośrednio: ) + + ) d,gdzieγjestokręgiem + =R,zorientowanmdodatnio; b) Γ Γ + ) + + ) d,gdzieγjestbrzegiemtrójkątaowierzchołkacha=,),b=3,), Γ C =, 5), zorientowanm dodatnio; e cos) e sin)d,gdzieγjestbrzegiemobszaru π, sin,zorientowanm dodatnio. Lista G Element analiz wektorowej cd. b) Σ G.. Obliczć podane całki powierzchniowe zorientowane: ddz+zdz+zd,gdzieσjestzewnętrznąstronąpowierzchniczworościanuograniczonegopłaszczznami=,=,z=,++z=; ddz+z dz+z d,gdzieσjestzewnętrznąstronąpowierzchnisześcianu, Σ, z ; ddz+ dz+z d;gdzieσjestgórnąstronąpowierzchnistożkaz= +,z ; Σ z d,gdzieσjestzewnętrznąstronąsfer + +z =4. Σ G.. zasadnić podane wzor: ) f grad = ggradf fgradg g g ; b) rotgrad)= O; div F G) = G rot F F rot G. G.3. Prz pomoc twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczć podane całki powierzchniowe. Sprawdzić otrzmane wniki obliczając te całki bezpośrednio: ddz dz+zd, b) Σ gdzieσjestzewnętrznąstronąbrzeguobszaruv: + +z 9,,,z ; +z)ddz++)dz++z)d, Σ gdzieσjestzewnętrznąstronąbrzeguobszaruv: + R,++z R,z ; 5

16 3 ddz+ 3 dz+z 3 d, Σ gdzieσjestwewnętrznąstronąpowierzchniwalcav: + R, z H. G.4. Korzstając z twierdzenia Stokesa obliczć podane całki krzwoliniowe. Sprawdzić otrzmane wniki obliczając te całki bezpośrednio: 3 +d+zdz,gdzieγjestokręgiem + =R,z=,zorientowanmdodatnio; b) Γ Γ Γ Lista H ++)d+++z)dz,gdzieγ: =sint,=cost,z=sint+costdlat [,π]; +z)+z+)d++)dz,gdzieγjestokręgiem + +z =R,=. Szeregi funkcjne i Fouriera H.. W przedziale[, a], gdzie a > wznaczć granicę punktową oraz zbadać jednostajną zbieźność do niej podanch ciągów funkcjnch: f n )= +n ; b)f n)= n+ ; f n)= n n+. H.. Wznaczć obszar zbieżności podanch szeregów funkcjnch: n n; b) n ) n; n= n ) 3 n+ n ; +) n +) n. H.3. Wznaczć obszar zbieżności i obszar zbieżności bezwzględnej podanch szeregów funkcjnch: n sin 3 n; b) ) n n ; n= ) n ; n n + n. H.4. Korzstając z krterium Weierstrassa uzasadnić jednostajną zbieżność podanch szeregów funkcjnch na wskazanch przedziałach: +n, R; b) e n,[, ); ) n + n,, ); n n + ) n! n, H.5. zasadnić, że sum podanch szeregów funkcjnch są funkcjami ciągłmi na wskazanch przedziałach: n )+)n+), [, ); b) n) n, ),. H.6. Wznaczć szeregi Fouriera na przedziale[ π, π] podanch funkcji i zbadać ich zbieżność: [ ],. f)=e ; b)f)= { dla π, dla< π; f)= sin ; f)= { dla π, dla< π. Lista I Równania różniczkowe I..Zpewnejsubstancjiradioaktwnejpoupłwie4latzostałogram,apoupłwiedalszch4lattlko 4 gram. Wznaczć masę substancji w chwili początkowej. b) Polon- ma okres połowicznego zaniku równ 4 dni. Znaleźć masę tego pierwiastka po dniach, jeżeli jego masa początkowa wnosiła g. Okres połowicznego zaniku pewnego pierwiastka promieniotwórczego jest równ lat. Ile procent mas początkowej tego pierwiastka pozostanie po i), ii) 5, iii) latach? 6

17 I.. Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: +4t=; b)d=t dt; t ) dt+ t ) d=; t = ; e) =+t++t; f) +4= e t +4 ). I.3. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowch o rozdzielonch zmiennch: π sint=ln, =e; b)t ) dt+ t d=, )=; t+) =, e)=; costdt + ) d=, )=; e) = +t ), )= ; f)e )=, )=. I.4. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: +=sint; b) +t=e t ; t =t 3 cost; t =4t 4 ; e)t+e t t =; f)t+) =4t+. I.5. Wznaczć rozwiązania podanch zagadnień początkowch dla równań liniowch niejednorodnch: =,3)=3; b) =+)sint,t )= ; π t +=t+,)=; sintcost=+sin 3 t, =. 4) *I.6. Znaleźć równanie krzwej przechodzącej przez punkt,), dla której pole trójkąta OSTrsunek) utworzonego przezośot,stcznąiwektorwodzącpunktustcznościjeststałeirównasię. S O T =t) t Lista J Równania różniczkowe cd. J.. Napisać równania charakterstczne podanch równań różniczkowch: +=; b) 3=; 4 + =; 3 +4=; e) =; f) =4 6. J..Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneostałchwspółcznnikachpostaci +p +q=, jeżeli podane są pierwiastki ich wielomianów charakterstcznch: λ =,λ =3; b)λ =,λ =; λ =λ = ; λ =i; e)λ =+ 3i; f)λ = i. J.3. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o stałch współcznnikach: 6 5 +=; b) =; 4 4+=; =; e) 4 +5=; f) +5=; g) +6 +8=; h)7 +4 3=; i) 6 +9=. J.4. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe: + 6=, )=, )=; +=, )=, )=3; π b) +9=, 3) =, π ) =; 3 7 +=, )=3, )=. 7

18 J.5. Korzstając z metod uzmienniania stałch rozwiązać podane równania różniczkowe: +4 +4=e t ; b) +4= cost ; = 4t + t ; t tgt=; e) +3 += +e t; f) +3 +=cos e t). J.6. Korzstając z metod współcznników nieoznaczonchmetoda przewidwani rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: + += ; b) 4 +4=t ; +4 +4=8e t ; +3 =3te 3t ; e) +5 +6= t)e t ; f) +4 4=8sint; g) +9=3sin3t+cos3t; h) +α =cosαt,gdzieα. J.7. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe: += t), )=, )= ; b) 6 +9=9t t+, )=, )=3; +6 +9=sint, )=, )=; + =e t, )=, )=. Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczlas Konsultacja: dr Jolanta Sulkowska 8