Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006
Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy Ukªady równa«liniowych: Cramera niejednorodne i jednorodne 4 4 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni 5
Arkusz 1. Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki Zadanie 1.1. Wyznaczy macierze A + B A A B i A αb gdzie α R za±: a) A = c) A = 1 0 1 0 4 B = B = 4 5 1 5 b) A = d) A = 0 7 1 1 0 4 1 α 1 α 4 B = B = 1 0 7 4 1 α 7 + α 0 α Zadanie 1.. Obliczy (je»eli istniej ) nast puj ce iloczyny: A B A B T B A B A T gdzie: a) A = 1 0 4 B = 1 0 7 4 1 b) A = 1 0 B = 4 5 Zadanie 1.. Rozwi za równanie (ukªad równa«) macierzowe: 7 0 X + Y = 1 4 5 1 a) + X = b) 7 0 1 11 1 4 X + Y = 5 1 Zadanie 1.4. Obliczy nast puj ce wyznaczniki: 7 0 1 1 0 1 7 a) b) 4 5 c) 0 1 1 1 0 0 0 4 4 0 0 0 5 1 1 1 4 7 174 1 e) 1 5 1 f) 1 1 4 g) 1 0 1 7 8 1 1 8 7 1 0 5 4 0 1 h) d) 1 1 1 4 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Zadanie 1.5. Obliczy wyznaczniki sprowadzaj c do postaci trójk tnej: 1 4 1 0 1 a) 1 1 0 1 4 b) 1 1 4 1 5 0 1 1 0 1 1 Zadanie 1.6. Obliczy poni»sze wyznaczniki korzystaj c z rozwini cia Laplace'a ( a b c d R): 1
a) 1 0 0 0 1 5 4 1 1 0 1 b) 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 c) a 0 1 0 b 1 1 0 c 5 d 0 1
Arkusz. Macierz odwrotna. Rz d macierzy Zadanie.1. Wyznaczy (o ile istnieje) macierz odwrotn do macierzy: 0 0 4 1 1 1 0 1 a) 5 b) 1 c) 0 1 5 d) 0 0 0 1 0 0 0 (z denicji) 1 1 1 1 1 0 1 0 Zadanie.. Rozwi za równania macierzowe (X jest macierz o wierszach i kolumnach Y o wierszach i kolumnach): 1 1 1 1 5 6 a) X = b) X + = X 4 4 1 7 8 c) 1 1 1 4 5 4 Y = 1 0 1 1 Zadanie.. Obliczy rz dy macierzy za pomoc wyznaczników: a) 6 0 1 0 1 1 b) 1 5 1 0 c) 4 1 4 4 0 1 1 0 Zadanie.4. Podane macierze sprowadzi do postaci bazowej: 1 1 1 1 5 1 1 0 1 1 1 1 1 1 4 1 a) 4 10 b) 1 1 c) 6 15 1 1 1 0 1 1 1 5 1 4 1 1 1 1 1 5 1 d) 1 4 5 1 1 7 7 7 9 1
Arkusz. Ukªady równa«liniowych: Cramera niejednorodne i jednorodne Zadanie.1. Rozwi za metod wyznaczników nast puj ce ukªady równa«liniowych: x 1 x + 5x = 4 x 1 + x x = a) x 1 + 5x x = b) x 1 x + x = 1 x 1 x + x = 4 x 1 + 8x x = 1 c) e) g) 5x 1 x + 7x = 0 4x 1 + x 5x = 0 x 1 x + x = 0 x 1 x = x + x = 1 x 1 x = 1 x 1 + x + x = 0 x 1 x x = x 1 x + x = 0 d) f) h) x x + 4x 4 = 0 x 1 x = 0 x 1 + x 5x 4 = 4x 1 5x = 0 x 1 + x x = 8 x 1 + x x = x + x = 5 1 1 1 x 1 1 = 0 1 1 x x 1 Zadanie.. Rozwi za ukªady równa«x 1 x + x = a) x + x = x 1 x + x = 1 c) e) g) i) 1 5 1 x 1 x x = x 1 x = x 1 + 4x + x = x 1 + x + x = 1 x 1 x + x + x 4 = 0 x 1 + x + x = 1 x + x 4 = x 1 + x + x = 1 x 1 + x + x = 1 x 1 + x + 4x = 0 0 0 b) 5 7 8 5 1 4 d) 5 4 9 5 8 f) h) j) { x 1 x 1 x x x x = 1 = 0 9 0 x 1 x + x x 4 = 1 x 1 + x x + x 4 = 5 x 1 x = 1 x + x = 1 x 1 + x = 0 x 1 + x + x = x 1 + x + x = x 1 + x + 4x = 6 4
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = 4 1 b) b = 5 c) c = ρ cos φ ρ sin φ h ρ 0 φ h R c) d = ρ cos φ cos ψ ρ sin φ cos ψ ρ sin ψ ρ 0 φ ψ R Zadanie 4.. Obliczy iloczyny skalarne podanych par wektorów a) a = 1 5 b = 1 0 b) a = 4 1 b = 0 c) u = i k v = i + j + 7 k d) u = i j v = i + 4 k Zadanie 4.. Obliczy iloczyny wektorowe par wektorów z zadania 4.. Zadanie 4.4. Sprawdzi czy wektory u v s równolegªe czy prostopadªe je±li: a) u = 1 0 v = 0 9 b) u = 1 0 v = 6 7 Zadanie 4.5. Czy mo»na dobra parametr m tak aby wektory u i v byªy prostopadªe je±li: a) u = m 0 1 v = 1 m m b) u = m m m + 4 v = m + 1 9 c) u = m 1 v = m m d) u = m 4 v = 1 m 1? Zadanie 4.6. Czy mo»na dobra parametr k tak aby wektory u i v z zadania 4.5 byªy równolegªe? Zadanie 4.7. Znale¹ trzy wektory równolegªe do wektora u = 4 8. Zadanie 4.8. Znale¹ trzy wektory prostopadªe do wektora u = 4 8. Zadanie 4.9. Obliczy sin φ i cos φ gdzie φ jest k tem mi dzy wektorami: a) u = 1 v = 1 b) u = 0 4 v = 1 c) u = 1 1 1 v = 5 1 1 d) u = 5 0 v = 0 4 0 Zadanie 4.10. Obliczy pole równolegªoboku ABCD oraz znale¹ punkt D je±li: a) A = (1 ) B = (4 0 ) C = ( 0) b) A = (0 0 0) B = (5 0 ) C = (1 1 1) c) A = ( 1 ) B = (4 5 6) C = (0 1 ) Zadanie 4.11. Obliczy pole trójk ta ABC je±li: a) A = (1 ) B = ( 1 0 4) C = (5 6 0) b) A = (1 0) B = ( 1 0 0) C = (5 6 0) c) A = (0 0 0) B = ( 4 5) C = (0 0 6) Zadanie 4.1. Sprawdzi czy punkty P Q R le» na jednej prostej je±li: a) P = (0 0 ) Q = ( 1 4) R = ( 4 1) b) P = (1 1) Q = ( 0 ) R = ( 1 1 1) c) P = ( 1 0 0) Q = (5 6 7) R = ( 1 1 14) 5
Zadanie 4.1. Obliczy iloczyny mieszane podanych trójek wektorów: a) a = 1 b = 0 1 5 c = 4 b) u = i + j v = i j + k w = i + j 5 k. Zadanie 4.14. Sprawdzi czy punkty P Q R S le» na jednej pªaszczy¹nie je±li: a) P = (0 4) Q = ( 1 ) R = ( 0 ) S = ( 1 1 1) b) P = (1 1 1) Q = ( 1 0 14) R = (0 4 0) S = ( 0) c) P = ( ) Q = ( 1 1 ) R = ( 4 1) S = ( 1 0) Zadanie 4.15. Obliczy obj to±ci podanych wielo±cianów: a) równolegªo±cian rozpi ty na wektorach a = 0 0 1 b = 1 c = 5 1 b) czworo±cian o wierzchoªkach A = (1 1 1) B = (1 ) C = ( 1) D = ( 1 5). Zadanie 4.16. Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P 0 pªaszczyzny π 1 gdy: i równolegªej do a) P 0 = ( 1) π 1 : x y 4z 7 = 0 b) P 0 = (0 0 0) π 1 : x + z 11 = 0 c) P 0 = ( 0) π 1 jest pªaszczyzn Oxy d) P 0 = ( 0) π 1 jest pªaszczyzn Oxz Zadanie 4.17. Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkty P 1 i P i prostopadªej do pªaszczyzny π 1 gdy: a) P 1 = (6 1) P = ( 1 1) π 1 : x + y z 6 = 0 b) P 1 = ( 0 ) P = (1 1 1) π 1 : x z 8 = 0 b) P 1 = (1 4) P = ( 4 5) π 1 jest pªaszczyzn Oxy Zadanie 4.18. Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P 0 i prostopadªej do pªaszczyzn π 1 i π gdy: a) P 0 = ( 1) π 1 : x y 4z 7 = 0 π : x + y z 1 = 0 b) P 0 = (0 0 0) π 1 : x + z 11 = 0 π : x + y z = 0 b) P 0 = (1 4) π 1 : x z = 0 π jest pªaszczyzn Oxy b) P 0 = (1 4) π 1 jest pªaszczyzn Oxy π jest pªaszczyzn Oxz Zadanie 4.19. Znale¹ punkty przeci cia pªaszczyzny π z osiami ukªadu wspóªrz dnych Oxyz gdy a) π : x + y + z 6 = 0 b) π : x y z = 0 c) x + y 6 = 0 d) x + z 6 = 0 6
Zadanie 4.0. Napisa równanie pªaszczyzny przechodz cej przez punkty P 1 P P gdy: a) P 1 = (5 1) P = (0 4) P = (5 6 7) b) P 1 = (0 0 1) P = ( 5) P = (4 0 6) c) P 1 = (4 4 ) P = (0 6 0) P = (8 1 6) Zadanie 4.1. Znale¹ warto±ci parametru k dla których pªaszczyzny π 1 i π s równolegªe gdy a) π 1 : x + ky + z + 6 = 0 π : kx + y + (k 1)z + = 0 b) π 1 : x + (k + 1)y + 6z + 1 = 0 π : (k + 1)x + 4ky + (11 + k ) z = 0 Zadanie 4.. Dla jakich warto±ci parametru k pªaszczyzny π 1 i π z zadania 4.1 s prostopadªe? Zadanie 4.. Sprawdzi»e pªaszczyzny π i π s równolegªe a nast pnie obliczy odlegªo± mi dzy tymi pªaszczyznami je±li: a) π 1 : 6x y + 6z + 5 = 0 π : 4x y + 4z = 0 b) π 1 : 6x 8z 1 = 0 π : 9x 1z + 48 = 0 c) π 1 : x 4y 6z = 0 π : x 6y 9z = 0 Zadanie 4.4. Napisa równanie pªaszczyzny π zawieraj cej kraw d¹ przeci cia pªaszczyzn π 1 i π i przechodz cej przez punkt P gdy: a) π 1 : x y z 8 = 0 π : x y z 6 = 0 P = (1 0 ) b) π 1 : x z 6 = 0 π : x + y z 6 = 0 P = (1 ) c) π 1 : x + y z = 0 π : y + z 8 = 0 P = (0 1) d) π 1 : x + y + z = 0 π : x y z = 0 P = (1 1 ) Zadanie 4.5. Napisa równanie pªaszczyzny π zawieraj cej kraw d¹ przeci cia pªaszczyzn π 1 i π i prostopadªej do pªaszczyzny π gdy: a) π 1 : x y z 6 = 0 π : x y z 8 = 0 π : x + y 6z 1 = 0 b) π 1 : x y = 0 π : y + z 8 = 0 π : x + y 6z 1 = 0 c) π 1 : x + y z = 0 π : x y z 8 = 0 π : x y + z 6 = 0 d) π 1 : x + y z = 0 π : x y z 8 = 0 π : 4x y + z = 0 Zadanie 4.6. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt ( 4 ) i równolegªej do osi: a) Ox b) Oy c) Oz 7
Zadanie 4.7. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej l przez punkt ( 4 ) i równolegªej do prostej l 1 gdy: x = t a) l 1 : y = z = t t R b) l 1 : x = 4y = z 6 c) l 1 : { x y z 6 = 0 x + y + z 5 = 0 Zadanie 4.8. Napisa równania parametryczne prostej l przechodz cej przez punkty P = ( 4 ) i Q = (5 6 ) a nast pnie sprawdzi czy punkt R = (1 ) nale»y do tej prostej. Zadanie 4.9. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt ( 4 5) i przecinaj cej o± Oy w punkcie o wspóªrz dnej y = 5. Zadanie 4.0. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt P = ( 1 ) i prostopadªej do prostych l 1 i l gdy: x = + t a) l 1 : y = t z = t R l : b) l 1 : x 1 = y = z l : { { x y + z 6 = 0 x + y + z 4 = 0 x + y 6 = 0 x y z 8 = 0 Zadanie 4.1. Napisa równania parametryczne kierunkowe i kraw dziowe prostej przechodz cej przez punkty P = (1 0) Q = ( 1 4). Zadanie 4.. Sprawdzi»e proste l 1 i l s równolegªe je±li: { a) l 1 : x 1 = y = z l 4x + 1y 5z = 0 : 4x + 4y z + 1 = 0 b) l 1 : x = y = z 1 l : x+ = y + 1 = z+. Zadanie 4.. Znale¹ (je±li istniej ) punkty wspólne prostych l 1 i l je±li: a) l 1 : x = y = z 1 l : x = y = z 1. b) l 1 : x = y = z 1 l : x = y = z 4 6. 8
Odpowiedzi 1 5 6 8 + α 1 4α Zad. 1.1 a) A+B = A = A B = A αb = 0 4 9 α 5α 8 4 0 14 1 1 b) A + B = 1 7 8 A = 0 8 A B = 7 4 A αb = 1 7 5 4 1 6 5 4 α 7 α 1 α 1 1 7α 4 4α c) A + B = 4 9 6 0 A = A B = 6 8 4 α 1 α α 0 8 5 4 + 1 α α α A αb = α 4 5α + α 0 8 + α d) A + B = 4 + α α α α 5 4α α + α 1 α α (7 + α) A = A B = A αb =. 6 8 6 8 α 4 α 0 9 5 1 8 17 Zad. 1. a)= niemo»liwe niemo»liwe b) 8 5 1 8 0 11 6 10 14 6 10 8 1 6 0 4. Zad. 1. a) X = b) X = 8 10 9 7 14 10 5 5 5 1 4 Y =. Zad. 1.4 a) 7 b) 19 c) 60 d) 1 e) f) 65 g) 164 h) 1. Zad. 1.5 a) 65 b) 11. Zad. 1.6 a) 9 b) 49 c) abc + 6ad + adc + 96 d + 15c + 5bc. 1 0 0 1 1 1 5 Zad..1 a) b) 1 1 1 1 c) 0 1 5 d) 0 0 0 1 1 1 5 0 1. 1 0 1 0 0 5 7 11 Zad.. 17 9 a) X = b) X = c) Y = 11 19 4 9. 4 7 0 4 Zad.. a) b) c). 1 0 0 0 1 5 1 0 1 5 0 1 0 0 1 0 4 0 7 4 4 4 Zad..4 a) 0 0 0 b) 0 1 1 1 0 0 1 0 1 4 4 4 c) d) 0 1 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9
x 1 = 0 x 1 = 1 x 1 = 1 x 1 = 0 x Zad..1 a) x = 0 b) x = 1 = x 8 1 = 0 1 c) x = 0 d) e) x = 1 x = 0 x = 1 x = x = 0 x x 4 = = 1 1 x 1 = x 1 = 1 x 1 = 1 x 1 = x 5 x 1 = x + 18 1 f) x = g) x = 0 h) x = 1. Zad.. a) x = x b) x = x 1 1 x = 1 x = 1 x = x R x R x 1 = x x 1 = x x + 4 1 = 5 x 4 4 + 1 c) x = x d) ukªad sprzeczny e) ukªad sprzeczny f) x = 5x x x 4 + 7 = g) x 4 + 1 x = 7 4 x R x R x 4 x 4 R x 1 = x x 1 = 1x 4 + 4 x 1 = 1x 4 + 4 h) x = 1x 1 i) x = 1 5x 4 4 j) x = 9 5x 4 4. Zad. 4.1 a) 1 b) 4 c) ρ + h d) x R x R x R ρ. Zad. 4. a) 5 b) 6 c) 17 d). Zad. 4. a) 5 15 5 b) 17 c)6 19 9 d) 4 8 1. Zad. 4.4 a) równolegªe b) prostopadªe. Zad. 4.5 a) k mo»e by dowolne b) m = 4 lub m = 9 c) nie d) m = 1. Zad. 4.6 a) nie b) m = c) m = 4 d) nie. Zad. 4.7 ka»dy wektor postaci 4k k 8s gdzie k R jest równolegªy do u. Zad. 4.8 wektor v = x y z jest prostopadªy do u gdy 4x + y 8z = 0. Zad. 4.9 a) sin φ = 65 cos φ = 4 b) sin φ = 1 cos φ = 9 9 15 15 c) sin φ = 4 cos φ = 7 d) sin φ = 1 cos φ = 0. Zad. 4.10 a) 14 D = ( 5 5 0) b) 9 9 8 D = (4 1 ) c) 106 D=(-5-4-1). Zad. 4.11 a) b) 1 c) 15. Zad. 4.1 a) tak b) nie c) tak. Zad. 4.1 a) 55 b). Zad. 4.14 a) tak b) tak c) nie. Zad. 4.15 a) 9 b). Zad. 4.16 a) x y z = 0 b) x + z = 0 c) z = 0 d) y = 0. Zad. 4.17 a) x y z = 0 b) x 5y + z = 0 c) x + y 8 = 0. Zad. 4.18 a) 5x + y + z 15 = 0 b) x y z = 0 c) y = 0 d) x 1 = 0. Zad. 4.19 a) ( 0 0) (0 6 0) (0 0 ) b) (0 0 0) c) ( 0 0) (0 6 0) d) ( 0 0) (0 0 ). Zad. 4.0 a) x 15y + 10z + 5 = 0 b) x 4y z 4 = 0 c) x 4z = 0. Zad. 4.1 a) k = b) k = 1. Zad. 4. a) k = 1 b) nie ma takiego k. 5 Zad. 4. a) d = 19 b) d = c) d = 0. Zad. 4.4 a) 14x 5y + 1z 40 = 0 b) 18 10 4x + 7y + z 4 = 0 c) x + y z = 0 d) takich pªaszczyzn jest niesko«czenie wiele; ka»da pªaszczyzna postaci π : λ 1 (x + y + z ) + λ (x y z ) = 0 gdzie λ 1 λ 0. Zad. 4.5 a) 1x 49y z 114 = 0 b) 6x+z 17 = 0 c) x+y z = 0 d) takich pªaszczyzn jest niesko«czenie wiele; ka»da pªaszczyzna postaci π : λ 1 (x + y z ) + λ (x y z 8) = 0 gdzie λ 1 λ 0. x = + t x = x = x = + t Zad. 4.6 a) y = 4 b) y = 4 + t c) y = 4. Zad. 4.7 a) y = 4 b) z = z = z = + t x = + t x = t x = + t y = 4 + t c) y = 4 7t. Zad. 4.8 y = 4 + t nie. Zad. 4.9 a) 4 z = + t z = + t z = + 4t x = 1 t x = 1 + 41t x = 1 + t Zad. 4.0 a) y = + 9t b) y = + 9t. Zad. 4.1a) y = t z = + 7t z = 1t z = 4t z = t x = t y = 5 t z = 5t x 1 = y 1 = z 4 10
{ x + y 5 = 0 4y + z 8 = 0. Zad. 4. a) brak (proste sko±ne) b) (1 1 ). 11