Re(x 2 y 2 ) Im(x 2 + y 2 ) 2Re(xy) Im(x 2 y 2 ) Re(x 2 + y 2 ) 2Im(xy)
|
|
|
- Kamila Wróblewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania domowe z Metod Matematycznych Fizyki (2012/2013 Zad. 1 Wypisa tabel dziaªania grupy obrotów czworo±cianu A 4. Zad. 2 Znale¹ podgrupy grupy kwaternionów Q. Z jakimi grupami s izomorczne? Sprawdzi,»e Q/Z 2 jest grup ilorazow. Z jak grup jest izomorczna? Zad. 3 Scharakteryzowa elementy grupy trójwymiarowych obrotów SO(3, wychodz c z denicji i doprowadzaj c do reprezentacji przez k ty Eulera. Zad. 4 Sprawdzi,»e macierze a d h 0 b f 0 0 c dla abc 0 tworz grup (z mno»eniem macierzowym Zad. 5 Wykaza,»e wszystkie grupy rz du 8 (elementów s izomorczne z Z2, 3 Z 2 Z 4, Z 8, D 4 lub Q. Zad. 6 Ile k tów Eulera potrzeba, aby sparametryzowa elementy grupy SO(4? Poda przykªad parametryzacji. Zad. 7 Sprawdzi do ko«ca izomorzm SU(2 SO(3 ( x y U = ȳ x, R = Re(x 2 y 2 Im(x 2 + y 2 2Re(xy Im(x 2 y 2 Re(x 2 + y 2 2Im(xy 2Re(xȳ 2Im(xȳ x 2 y 2 Zad. 8 Jakie macierze U odpowiadaj obrotom wokóª osi x, y, z? Zad. 9 Sprawdzi,»e izomorzm z Zad. 7 mo»na zapisa a b c = R a b c ( c a + ib a ib c ( c a + ib = U a ib c U Zad. 10 Znale¹ reprezentacje grupy obrotów sze±cianu i ( dwunasto±cianu foremnego przez permutacje ±cian. Porówna z reprezentacj "automatyczn " z tw. Cayleya. Zad. 11 Pokaza,»e grupy kwaternionów Q nie da si repsezentowa permutacjami na < 8 elementach. Wskazówka: zauwa»y,»e i, j, k musz by reprezentowane przez cykle 4-elementowe i opcjonalnie transpozycje (tj. 4-cykl lub 4-cykl i transpozycja.
2 Zad. 12 Pokaza,»e tensorow reprezentacj R SO(2 w R 2 R 2 mo»na zapisa ( RBR T bxx b = R xy R T Zad. 13 Pokaza,»e tensorow reprezentacj R SO(3 w R 3 R 3 mo»na zapisa b xx b xy b xz RBR T = R b yx b yy b yz R T b zx b zy b zz Zad. 14 Pokaza,»e reprezentacja z poprzedniego zadania zachowuje niezale»nie skªadowe macierzy B: macierz jednostow ze wspóªczynnikiem TrB/3, cz ± antysymetryczn, cz ± symetryczn bez±ladow. Zad. 15 Jak dziaªa element SO(2 ( cos φ sin φ R = sin φ cos φ na tensory R 2 R 2 R 2? Zad. 16 Znale¹ klasy sprz»ono±ci A 4. Zad. 17 Znale¹ orbity grupy obrotów sze±cianu. Zad. 18 Znale¹ orbity grupy macierzy trójk tnych b yx 1 a b 0 1 c Zad. 19 Rozªo»y na skªadowe nieprzywiedlne reprezentacj tensorow SU(2 na C 2 C 2. Wskazówka: mo»na skorzysta z postaci macierzowej UBU T (jak zad. 13, szuka skªadowych jednowymiarowych (co zostanie?. Zad. 20 Pokaza proste fakty (a Grupa permutacji 3-elementowych S 3 jest generowana przez a o rz dzie 3 i b o rz dzie 2, speªniaj ce ab = ba 2 (b Grupa kwaternionów Q jest generowana przez a i b o rz dzie 4, takie»e ab = ba 3 oraz a 2 = b 2 Zad. 21 Zapisa za pomoc generatorów grupy diedralne (symetrii wielokatów foremnych b yy
3 Zad. 22 Wypisa wszystkie macierze 2-wymiarowej reprezentacji nieprzywiedlnej grupy S 3, oraz macierze reprezentacji regularnej. Jak to zrobi, aby macierze byªy rzeczywiste? Zad. 23 Znale¹ wszystkie reprezentacje nieprzywiedlne grupy symetrii kwadratu (D 4 i pi ciok ta foremnego (D 5. Napisa tablice charakterów. Które reprezentacje mo»na zapisa w postaci rzeczywistej? Zad. 24 ρ jest dwuwymiarow nieredukowalna reprezentacj S 3. Rozªo»y ρ ρ na skªadowe nieredukowalne. Wskazówka: a 3 = b 2 = e, ab = ba 2 oraz ρ(a = A = ( e 2πi/3 0 0 e 2πi/3 ( 0 1, ρ(b = B = 1 0 Zwróci uwag na warto±ci wªasne A A i na tej podstawie typowa skªadowe nieredukowalne. Zad. 25 Pokaza,»e grupa obrotów dwudziesto±cianu jest izomorczna z A 5. Zad. 26 Znale¹ macierz A tak,»e ( 1 x e A = 0 1 Uwaga: Macierz nie jest diagonalizowalna! Zad. 27 Sprawdzi bezpo±rednim rachunkiem poprawno± reprezentacji jednowymiarowych A 4. Zad. 28 Niech q = a G χ(a2 / G. Reprezentacja jest typu rzeczywistego je±li q = 1 zespolonego je±li q = 0 kwaternionowego je±li q = 1 Sprawdzi typ ka»dej reprezentacji omawianej na wiczeniach i z poprzednich zada«domowych. Zad. 29 Obliczy exp , exp , exp Zad. 30 Znale¹ staªe struktury i form Cartana-Killinga dla algebry macierzy
4 Zad. 31 Znale¹ staªe struktury i form Cartana-Killinga dla algebry su(2, generowanej przez iσ k gdzie σ 1,2,3 to macierze Pauliego: ( ( ( i 1 0 σ 1 =, σ =, σ i 0 3 = 0 1 Zad. 32 Pokaza,»e dowolna kombinacja liniowa macierzy , jest nilpotentna, ale nie maj wspólnej bazy górnotrójk tej (bo maj ró»ne wektory wªasne. Zad 33 Pokaza»e w ciele o charakterystyce p (liczba pierwsza, np. reszty z dzielenia przez p, macierz p p A = (tj. a ij = δ i,j+1 gdzie k +p k ma wªasno± A p = 1 (nie jest niplotentna, podczas gdy Ǎp = 0 (ǍX = [A, X]. Zad. 34 Obliczy element SU(2: U = exp(ixσ 1 + iyσ 2 + izσ 3 gdzie σ k to macierze Pauliego (zad. 31, a x, y, Z s paramterami rzeczywistymi. Zad. 35 Pokaza»e 3-wymiarowa nieredukowalna reprezentacja SU(2 (zad. 19 jest równowa»na reprezentacji SO(3, dziaªaj cej na wektorze (x, y, z, je±li dziaªanie SU(2 zapiszemy jako ( z iy x U U T x z iy Zad. 36 Pokaza,»e e A Be A = B + [A, B] + [A, [A, B]]/2 + [A, [A, [A, B]]]/3! + = B + ǍB + Ǎ2 B/2 + Ǎ3 /3! + = exp Ǎ B gdzie ǍB = [A, B]. Wskazówka: Zapisa e A = e ta dla t = 1 i ró»niczkowa iteracyjnie t. Inny sposób wymaga pokazania np. indukcj,»e n ( n Ǎ n B = ( 1 k A n k BA k k k=0
5 Zad. 37 Znale¹ e t(a+b e ta e tb z dokªadno±ci do t 2. Zad. 38 Dla macierzy Pauliego (zad. 31 obliczy (σ 1 σ Zad. 39 Znale¹ wyra»enie wprost elementów SO(1, 2 przez SL(2, R jak w zad. 7,8,9. Zad. 40 Znale¹ staªe struktury i form Killinga dla algebry sl(2, C. Przyj baz algebry: σ 1,2,3 (boosty w kierunkach x, y, z oraz iσ 1,2,3 (obroty wokóª x, y, z, gdzie σ k to odpowiednie macierze Pauliego (zad. 31. Porówna z so(1, 3. Zad. 41 Jakim elementom SO(1, 3 odpowiadaj elementy SL(2, C: I cosh α + σ k sinh α oraz I cos φ + iσ k sin φ? Zad. 42 Znale¹ wyra»enie wprost elementów SO(1, 3 przez SL(2, C. Zad. 43 Pokaza homomorzm SL(2, R SL(2, R SO(2, 2 zadany przez Z GZH T, gdzie G, H SL(2, R oraz ( x + y z + t Z = z t x y wykorzystuj c wyznacznik. Zad. 44 Pokaza homomorzm SU(2 SU(2 SO(4 zadany przez Z U 1 ZU 2, gdzie U 1, U 2, Z SU(2 oraz ( x + iy z + it Z = it z x iy Sprawdzi,»e homomorzm zachowuje unitarno± Z. Zauwa»y,»e mo»na to tak»e pokaza wykorzystuj c kwaterniony, bo SU(2 = Sp(1. Zad. 45 Pokaza izomorzm SL(2, R = SU(1, 1. Macierze U SU(1, 1 speªniaj Uσ z U = σ z (patrz zad. 31 oraz det U = 1. Wskazówka: przyj U = SGS dla G SL(2, R oraz S = (I + iσ x / 2. Zad. 46 Relacje komutacyjne dla so(3 i su(2 mo»na zapisa [J j, J k ] = iɛ jkl J l. Operator Casimira ma posta J 2 = J j J j. Sprawdzi,»e [J 2, J k ] = 0. Dla J ± = J 1 ± J 2 oraz stanów wªasnych J 3, J 3 e m = me m o wªasno±ci J + e j = 0 mamy J ± e m = c ± me m±1. Obliczy c ± przyjmuj c konwencj c 0 oraz c + m = c m+1. Zad. 47 Dla grupy Lorentza przyj 2L k = ɛ kjl L jl (tj. L 3 = L 12, itd. oraz K j = L j0. Znale¹ relacje komutacyjne. Pokaza,»e operator Casimira L 2 K 2 jest przemienny z L i K. Pokaza,»e 2Q ± j = il j ± K j maj relacje komutacyjne [Q ± j, Q k ] = 0 oraz [Q± j, Q± k ] = iɛ jklq ± l oraz L 2 K 2 = 2(Q +2 + Q 2.
6 Zad. 48 Jak wygl daj operatory L dla reprezentacji funkcyjnej so(3 i so(1, 3? Wskazówka f(v = f(λ 1 v f(v v T A T f(v, je±li Λ = exp A I + A. Przydatne oznaczenie: µ f = f/ x µ Zad. 49 Jak wygl da operator Casimira dla reprezentacji funkcyjnej SO(3 i SO(1, 3? Znale¹ podziaª na laplasjan i cz ± radialn (czynniki r r = x j j dla r 2 = x 2 + y 2 + z 2 dla so(3 oraz dalambercjan = µ µ = g µ ν µ ν = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 oraz cz ± interwaªow (czynniki 2x µ µ = u / u dla u = s 2 = x µ x µ = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2.
Algebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Macierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Przeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Teoria grup I. Wykªad 8. 1 Elementarna teoria reprezentacji, cz. III. 2. Reprezentacje o tych samych charakterach s równowa»ne.
Teoria grup I Wykªad 8 1 Elementarna teoria reprezentacji, cz. III Literatura dodatkowa: [Ser88] Zaªo»enia: Jak i w poprzednim, w tym rozdziale rozpatrujemy tylko sko«czone grupy G i ich sko«czeniewymiarowe
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT May 8, 2019 8 Struktury algebraiczne ZASTOSOWANIE: Kryptograa. 1. Sprawdzi, czy jest dziaªaniem wewn trznym: (a) y y w zbiorze Q,
3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
![3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B](/thumbs/73/69286698.jpg "3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B")
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Przestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Liniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Matematyczne Metody Chemii I Zadania
Matematyczne Metody Chemii I Zadania Mariusz Radoń, Marcin Makowski, Grzegorz Mazur Zestaw Zadanie. Pokazać, że wyznacznik dowolnej macierzy unitarnej jest liczbą o module. Zadanie. Pokazać, że elementy
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Zadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
a) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Algebra z Geometrią Analityczną Informatyka WPPT Lista zadań
Algebra z Geometrią Analityczną Informatyka WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, Wrocław 2015/16 1 Struktury algebraiczne Zadanie 1 Które z następujących struktur algebraicznych są grupami: (Z, +), (Z, ), (Q,
Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Numeryczne zadanie wªasne
Rozdziaª 11 Numeryczne zadanie wªasne W tym rozdziale zajmiemy si symetrycznym zadaniem wªasnym, tzn. zadaniem znajdowania warto±ci i/lub wektorów wªasnych dla macierzy symetrycznej A = A T. W zadaniach
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Geometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Analiza i aproksymacja nieliniowego modelu elastycznego ograniczaj cego odksztaªcenie
Analiza i aproksymacja nieliniowego modelu elastycznego ograniczaj cego odksztaªcenie Wojciech O»a«ski 9 Kwi 2015 Przykªad ukªadu mechanicznych o ograniczaj cym odksztaªceniu: nierozciagliwa struna σ spreżyna
Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny
Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Instytut Informatyki i Automatyki Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Informatyki i Przedsi biorczo±ci w Šom»y 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Przeksztaªcenia pªaszczyzny
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Algebroidy i grupoidy Liego i wspóªczesna teoria Liego
Algebroidy i grupoidy Liego i wspóªczesna teoria Liego Wykªad habilitacyjny Andriy Panasyuk Katedra Metod Matematycznych Fizyki, Uniwersytet Warszawski oraz Instytut Matematyczny PAN Wst p: Grupy symetrii
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Informacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek
Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy
Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
![2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I](/thumbs/88/115575416.jpg "2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I")
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Algebra z Geometrią Analityczną Informatyka WPPT Lista zadań
Algebra z Geometrią Analityczną Informatyka WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, Wrocław 2016/17 1 Podstawowe struktury algebraiczne Zadanie 1 Na zbiorze liczb rzeczywistych R określamy działanie x y = x+y 2.
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Wstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Rozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Dynamika Bryªy Sztywnej
Dynamika Bryªy Sztywnej Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 27.10.2016 Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Adam Szmagli«ski
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.