Fnansowe szereg czasowe wykład 7 dr Tomasz Wójowcz Wydzał Zarządzana AGH 38 33 28 23 18 13 8 1 11 21 31 41 51 61 71 Kraków 213
Noowana ndeksu WIG w okrese: 3 marca 29 31 syczna 211 55 5 45 4 35 3 25 2 1 11 21 31 41 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
wg Dzenne sopy zwrou ndeksu WIG w okrese: 3 marca 29 31 syczna 211.6.4.2 -.2 -.4 -.6 mar maj lp wrz ls 21 mar maj lp wrz ls 211 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Dzenne sopy zwrou ndeksu WIG w okrese: 3 marca 29 31 syczna 211 ACF dla zmennej wg 1 +- 1,96/T^,5.5 -.5-1 5 1 15 2 25 3 opónena PACF dla zmennej wg 1 +- 1,96/T^,5.5 -.5-1 5 1 15 2 25 3 opónena Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
ACF PACF Opóźnena ACF PACF Ljung-Box Q [warość p] 1,8 *,8 * 3,1148 [,78] 2 -,925 ** -,996 ** 7,2922 [,26] 3 -,422 -,265 8,1626 [,43] 4 -,73 -,17 8,1885 [,85] 5 -,679 -,742 1,4516 [,63] 6 -,348 -,263 11,484 [,87] 7,338,253 11,6117 [,114] 8 -,578 -,757 * 13,2631 [,13] 9 -,444 -,319 14,2396 [,114] 1,656,581 16,373 [,89] 11,76 *,53 19,2468 [,57] 12,97 **,942 ** 23,3436 [,25] 13,48,381 24,177 [,3] 14 -,41 -,35 24,9822 [,35] 15 -,65,261 25,34 [,5] 16 -,1186 *** -,1172 ** 32,753 [,1] 17,73,329 32,123 [,15] 18,52,435 33,4669 [,15] 19,9 -,15 33,578 [,21] 2 -,354 -,185 34,1424 [,25] 21,532,581 35,582 [,24] 22,72,369 38,2197 [,17] 23 -,26 -,238 38,4365 [,23] 24 -,511 -,548 39,7729 [,23] 25,372,33 4,4817 [,26] Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków sona auokorelacja model ARMA
dobór opóźneń w modelu ARMA kryerum nformacyjne Akake: AR 1 2 3 4 5 6 7-2788,12-2789,22-2792,6-279,4-2788,46-2789,16-2787,49-2785,78 1-2789,93-2789,53-2791,31-2789,61-2787,83-2787,47-2788,64-2784,4 2-2791,51-2791,65-2789,65-2787,66-2785,63-2787,5-2791,37-279,6 MA 3-2791,5-2789,65-2787,72-2789,54-2794,12-2793,5-279,75-2789,15 4-2789,5-2787,67-2785,88-2794,26-2797,6-2789,7-2796,3-2795,13 5-2788,5-2786,88-2788,35-2786,4-2796,71-2797,33-2794,81-2794 6-2787,47-2788,5-2791,67-279,48-2796,53-2796,1-2794,2-2794,13 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
dobór opóźneń w modelu ARMA kryerum nformacyjne Schwarza: AR 1 2 3 4 5 6 7-2779,76-2776,68-2775,33-2769,49-2763,37-2759,89-2754,4-2748,15 1-2777,38-2772,8-277,4-2764,52-2758,56-2754,2-2751 -2742,58 2-2774,78-277,74-2764,56-2758,38-2752,17-2749,86-2749,55-2744,6 MA 3-277,13-2764,56-2758,45-2756,8-2756,48-2751,23-2744,75-2738,96 4-2763,96-2758,39-2752,42-2756,62-2755,78-2743,7-2746,11-274,76 5-2759,23-2753,42-275,71-2744,58-275,71-2747,14-274,44-2735,46 6-2754,1-275,41-2749,84-2744,48-2746,34-2741,65-2735,48-2731,4 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
dobór opóźneń w modelu ARMA kryerum nformacyjne Hannana-Qunna: AR 1 2 3 4 5 6 7-2784,84-2784,29-2785,48-2782,19-2778,6-2777,66-2774,35-277,99 1-2785 -2782,95-2783,9-2779,75-2776,33-2774,33-2773,85-2767,96 2-2784,94-2783,43-2779,79-2776,15-2772,48-2772,71-2774,94-2772,53 MA 3-2782,83-2779,79-2776,22-2776,39-2779,33-2776,62-2772,67-2769,43 4-2779,19-2776,16-2772,73-2779,47-2781,16-2771,63-2776,58-2773,76 5-2777 -2773,73-2773,56-2769,97-2778,64-2777,61-2773,45-2771 6-2774,32-2773,26-2775,23-2772,4-2776,81-2774,65-2771,2-2769,48 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model ARMA(2,) Esymacja ARMA(2,) z wykorzysanem 484 obserwacj Zmenna zależna: wg Średna arymeyczna zmennej zależnej =,15971 Odchylene sandardowe zmennej zależnej =,13537 Średna z zaburzeń losowych = 6,7946e-6 warancja z zaburzeń losowych =,179888 Logarym warygodnośc = 14,3 Kryerum nformacyjne Akake'a = -2792,6 Kryerum bayesowske Schwarza = -2775,33 Kryerum nfor. Hannana-Qunna = -2785,48 Zmenna Współczynnk Błąd sand. Saysyka warość p cons,159226,62271 2,6438,82 *** ph_1,8758,45252 1,9374,527 * ph_2 -,168,454223-2,231,2759 ** Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model ARMA(2,) auokorelacja resz: Funkcja ACF dla resz 1 +- 1,96/T^,5.5 -.5-1 5 1 15 2 25 3 opónena Funkcja PACF dla resz 1 +- 1,96/T^,5.5 -.5-1 5 1 15 2 25 3 opónena Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model ARMA(2,) auokorelacja resz: brak sonej auokorelacj resz Opóźnena ACF PACF Ljung-Box Q [warość p] 1 -,23 -,23,26 [,959] 2,15,15,37 [,998] 3 -,327 -,327,5259 [,913] 4 -,97 -,98,5716 [,966] 5 -,67 -,67 2,7744 [,735] 6 -,394 -,41 3,5375 [,739] 7,326,319 4,613 [,773] 8 -,557 -,64 5,5925 [,693] 9 -,356 -,45 6,2215 [,718] 1,681,656 8,5246 [,578] 11,631,556 1,526 [,486] 12,849 *,857 * 14,968 [,295] 13,444,458 15,86 [,32] 14 -,476 -,535 16,2157 [,3] 15,138,34 16,3113 [,362] 16 -,1216 *** -,179 ** 23,7479 [,95] 17,143,164 23,853 [,124] 18,364,539 24,5193 [,139] 19,137,9 24,6145 [,174] 2 -,31 -,244 25,727 [,199] 21,53,495 26,366 [,193] 22,624,41 28,3439 [,165] 23 -,141 -,174 28,4458 [,199] 24 -,511 -,657 29,7836 [,192] 25,59,383 31,188 [,185] Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
prognoza model ARMA(2,) R,16,876R 1, 1R 2.25.2.15.1.5 -.5 -.1 -.15 5 1 15 2 25 3 dane poza próbką prognoza prognoza - odch. sand prognoza + odch. sand Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model ARMA(2,) cd auokorelacja kwadraów resz modelu ARMA(2,): ACF dla zmennej usq1 1 +- 1,96/T^,5.5 -.5-1 5 1 15 2 25 3 opónena PACF dla zmennej usq1 1 +- 1,96/T^,5.5 -.5-1 5 1 15 2 25 3 opónena Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model ARMA(2,) cd auokorelacja kwadraów resz modelu ARMA(2,): sona auokorelacja kwadraów resz zależność pomędzy warancjam kolejnych sóp zwrou ACF PACF Ljung-Box [warość p] 1,379,379,6996 [,43] 2,12,87,751 [,687] 3,144***,1435*** 1,8839 [,12] 4,1749***,1679*** 25,8733 [,] 5,535,454 27,2777 [,] 6,959**,771* 31,834 [,] 7,876*,41 35,585 [,] 8,2158***,1848*** 58,5897 [,] 9,434,82 59,5236 [,] 1,914**,586 63,6652 [,] 11,441 -,317 64,6316 [,] 12,1181***,497 71,5825 [,] 13,433 -,45 72,5175 [,] 14,1673***,1261*** 86,531 [,] 15,647,176 88,6288 [,] 16,1358***,79* 97,8983 [,] 17,483 -,62 99,735 [,] 18,37 -,788* 99,84 [,] 19,547,21 1,5916 [,] 2,112**,24 16,7486 [,] Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
wg Zjawsko grupowana warancj.6.4.2 -.2 -.4 -.6 mar maj lp wrz ls 21 mar maj lp wrz ls 211 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model ARCH(q) ARCH - ang. AuoRegressve Condonal Heeroscedasc Rober Engle (1982) gdze e e d(,1) (w wersj podsawowej: N(,1)) h 2 2 2 1 1 2 2... qq h h warunkowa warancja ε zn. Własnośc: E( ) D 2 ( ) 1 q 1 h 2 D ( 1,...) Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model ARCH(q) model ARCH(q) dla resz modelu ARMA(2,) kryera nformacyjne q 1 2 3 4 5 6 7 8 AIC 1372,13 1369,14 1357,31 1352,81 1349,12 1347,57 1342,86 1338,98 BIC 1376,31 1373,32 1361,48 1356,98 1353,29 1351,74 1347,3 1343,14 HQC 1373,77 137,78 1358,95 1354,45 135,76 1349,21 1344,5 134,62 koneczny model o dużej lczbe paramerów Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model ARCH(q) model ARCH(q) dla resz modelu ARMA(2,) Zmenna Współczynnk Błąd sand. Saysyka warość p μ -,182678,536289 -,346,73353 ω 8,11535e-5 2,41339e-5 3,3626,84 *** α 1 -,852946,454439 -,1877,8512 α 2 -,35996,453913 -,793,42817 α 3,11356,452693 2,4974,1285 ** α 4,13369,455613 2,9343,351 *** α 5,263587,455444,5787,5634 α 6,84932,452781 1,8573,639 * α 7,415246,452185,9183,35893 α 8,185549,452528 4,13,5 *** Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
es efeku ARCH es Engle H : 1 2... q H : dla pewnego 1 (brak efeku ARCH) Na podsawe T danych, meodą najmnejszych kwadraów szacujemy regresję: 2 1 2 1 2 2 2... q 2 q wówczas przy założenu prawdzwośc H saysyka ma rozkład χ 2 o q sopnach swobody 2 TR Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(p,q) GARCH - ang. Generalsed AuoRegressve Condonal Heeroscedasc Tm Bollerslev (1986) gdze e e d(,1) (w wersj podsawowej: N(,1)) q 1 2 h h p j1 j j h warunkowa warancja ε zn. Własnośc: E( ) D 2 ( ) q 1 1 h p j1 h j 2 D ( 1,...) j Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(1,1) gdze e h e d(,1) h 2 1 h 1 wedy: D 2 ( ) 1 Uwaga: W przypadku fnansowych szeregów czasowych częso 1 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
dobór p q w modelu GARCH(p,q) model GARCH(p,q) dla resz modelu ARMA(2,) dla sóp zwrou ndeksu WIG: q AIC p 1-93,376-1 -2794,12-2875,2 2-2792,41-2846,85 3-2819,8-2852,53 4-2835,4-2852,61 q BIC p 1-8,8243 1-2777,4-2854,1 2-2771,5-2821,76 3-2794,71-2823,26 4-286,13-2819,16 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(1,1) model GARCH(1,1) dla resz modelu ARMA(2,) dla sóp zwrou ndeksu WIG: Zmenna Współczynnk Błąd sand. Saysyka warość p μ -,372842,494491 -,754,4585 ω 8,27359e-7 9,9913e-7,993,36321 α 1,553411,175987 3,1446,166 *** β 1,93878,18875 49,7329 <,1 *** Średna arymeyczna zmennej zależnej = 6,7946e-6 Odchylene sandardowe zmennej zależnej =,134269 Bezwarunkowa warancja błędu modelu =,13922 Logarym warygodnośc = 1442,51 Kryerum nformacyjne Akake'a = -2875,2 Kryerum bayesowske Schwarza = -2854,1 Kryerum nfor. Hannana-Qunna = -2866,8 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(1,1) model GARCH(1,1) dla resz modelu ARMA(2,) dla sóp zwrou ndeksu WIG: Funkcja ACF dla resz 1 +- 1,96/T^,5.5 -.5-1 5 1 15 2 25 3 opónena Funkcja PACF dla resz 1 +- 1,96/T^,5.5 -.5-1 5 1 15 2 25 3 opónena Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(1,1) reszy modelu GARCH(1,1):.6 reszy +- h()^.5.4.2 -.2 -.4 -.6 29 29.2 29.4 29.6 29.8 21 21.2 21.4 21.6 21.8 211 211.2 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
su model GARCH(1,1) zesandaryzowane reszy modelu GARCH(1,1): 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 mar maj lp wrz ls 21 mar maj lp wrz ls 211 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Gêsoæ model GARCH(1,1) zesandaryzowane reszy modelu GARCH(1,1):.5.45 Tes na normalnoæ rozk³adu: Ch-kwadra(2) = 18,28, waroæ p =,11 su N(-,21171 1,91).4.35.3.25.2.15.1.5-4 -3-2 -1 1 2 3 su Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(1,1) prognoza na podsawe modelu ARMA(2,)-GARCH(1,1):.25.2.15.1.5 -.5 5 1 15 2 25 3 dane poza próbką prognoza prognoza +- odch. sand prognoza +- war. odch. s. -.1 -.15 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(p,q) Zaley: prosoa mała lczba paramerów Wady: jednakowo rakuje odchylena dodane ujemne (brak efeku dźwgn) Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków model EGARCH(p,q) EGARCH - ang. Exponenal GARCH h e e d(,1) (w wersj podsawowej: N(,1)) p j j q q h h h E h h 1 1 1 ln gdze 2 2 1 2 2 h E gdy e ma rozkład normalny gdy e ma rozkład -Sudena Nelson (1991)
Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków model GJR-GARCH(p,q) GJR-GARCH -Glosen, Jagannahan, Runkle (1993) h e e d(,1) (w wersj podsawowej: N(,1)) p j j q h S h 1 1 2 2 gdze 1 S
Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków nne modele klasy GARCH
ARMA(2,) - GJR-GARCH(1,1) Coeffcen Sd.Error -value -prob Cs(M),1146,49282 2,326,24 AR(1),44653,4793,9322,3517 AR(2) -,74776,45692-1,637,124 Cs(V),974,1277,7665,4438 ARCH(Alpha1),54127,25736 2,13,36 GARCH(Bea1),93161,35152 26,46 GJR(Gamma1),2991,43948,4776,6331 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
ARMA(2,) - GJR-GARCH(1,1).25.2.15.1.5 -.5 5 1 15 2 25 3 dane poza próbką prognoza prognoza +- odch. sand prognoza +- war. odch. s. -.1 -.15 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(p,q) Można rozważać modele GARCH, w kórych nnowacje mają rozkład z grubym ogonam lub skośny gdze e h e d(,1) (np. rozkład -Sudena, GED, skośny rozkład -Sudena q 1 2 h h p j1 j j j Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(p,q) model ARMA(2,)-GARCH(1,1) dla sóp zwrou ndeksu WIG; nnowacje mają rozkład -Sudena Coeffcen Sd,Error -value -prob Cs(M),115,46133 2,395,17 AR(1),5188,45589 1,121,263 AR(2) -,96264,44779-2,15,321 Cs(V),15957,13182 1,21,2267 ARCH(Alpha1),6433,26681 2,4,168 GARCH(Bea1),926232,28385 32,63 Suden(DF) 7,18937 1,8619 3,77,2 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
rozkłady.5.4.35.4.3.3.25 N(, (7) 1) normalny -Sudena 1,317311,35617 2,455,85619 3,27,19942 4 6,33E-5,519.2.2.15.1.1.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(p,q) reszy model ARMA(2,)-GARCH(1,1) dla sóp zwrou ndeksu WIG; nnowacje mają rozkład -Sudena Esymacja funkcj gêsoc dla v4.45.4 j¹dro Gaussa szerokoæ funkcj bazowej =.2285.35.3.25.2.15.1.5-3 -2-1 1 2 3 4 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(p,q) reszy model ARMA(2,)-GARCH(1,1) dla sóp zwrou ndeksu WIG; nnowacje mają rozkład -Sudena Esymacja funkcj gêsoc dla v5 1.4 j¹dro Gaussa szerokoæ funkcj bazowej =.691514 1.2 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.2 1.4 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(p,q) model ARMA(2,)-GARCH(1,1) dla sóp zwrou ndeksu WIG; nnowacje mają rozkład -Sudena.25.2.15.1.5 -.5 5 1 15 2 25 3 dane poza próbką prognoza prognoza +- war. odch. s. -.1 -.15 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(p,q) model ARMA(2,)-GARCH(1,1) dla sóp zwrou ndeksu WIG; nnowacje mają rozkład GED Coeffcen Sd.Error -value -prob Cs(M).1147.46397 2.472.138 AR(1).48898.43829 1.116.2651 AR(2) -.16488.599-2.126.341 Cs(V).1318.12769 1.19.385 ARCH(Alpha1).6831.27368 2.223.267 GARCH(Bea1).934.29812 31.21. G.E.D.(DF) 1.45683.125 11.61. Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH(p,q) model ARMA(2,)-GARCH(1,1) dla sóp zwrou ndeksu WIG; nnowacje mają rozkład skośny -Sudena Coeffcen Sd,Error -value -prob Cs(M),1185,47654 2,487,132 AR(1),54472,45786 1,19,2348 AR(2) -,96594,45491-2,123,342 Cs(V),1685,13622 1,237,2167 ARCH(Alpha1),65546,27551 2,379,177 GARCH(Bea1),924231,29417 31,42 Asymmery,4297,68349,5896,5557 Tal 7,82988 1,916 3,697,2 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
modele GARCH(p,q) warośc paramerów modelu ARMA(2,)-GARCH(1,1) dla sóp zwrou WIGu; dla różnych rozkładów nnowacj normalny -Sudena GED skośny Cs(M),121,111.1147,119 AR(1),4258,519.48898,5447 AR(2) -,7692 -,9626 -.16488 -,9659 Cs(V),996,1596.1318,1685 ARCH(Alpha1),666,643.6831,6555 GARCH(Bea1),9336,92623.934,92423 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH-M(p,q) model GARCH-M (ang. GARCH n mean) gdze e h h e d(,1) (w wersj podsawowej: N(,1)) q 1 2 h h p j1 j j h warunkowa warancja ε zn. h 2 D ( 1,...) j Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
model GARCH-M(p,q) model ARMA(2,)-GARCH-M(1,1) dla sóp zwrou ndeksu WIG; Coeffcen Sd,Error -value -prob Cs(M),384,86116,4456,6561 AR(1),3894,48772,7977,4255 AR(2) -,79348,45316-1,751,86 Cs(V),9878,12861,7681,4428 ARCH(Alpha1),5975,3129 1,91,568 GARCH(Bea1),933777,33795 27,63 ARCH-n-mean(var) 6,797254 5,821 1,168,2435 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Ryzyko możlwość wysąpena nekorzysnej zmany (zn. syuacj gorszej nż oczekwana) Ryzyko możlwość wysąpena zmany (zn. syuacj nnej nż oczekwana) Czynnk ryzyka dla paperu waroścowego: kursy walu, sopy procenowe, nflacja, płynność rynku, rendy na rynku, ryzyko sekorowe Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Zarządzane ryzykem: denyfkacja źródeł, pomar welkośc, konrola serowane. Mary ryzyka: mary zmennośc, mary wrażlwośc, mary zagrożena. Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Mary zmennośc: warancja, odchylene sandardowe, odchylene średne s 1 n n 1 ( R R) 2 współczynnk zmennośc rozsęp s 1 n n 1 V R R S R Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Noowana TPSA w okrese 1.6.21-8.6.211 19 18.5 18 17.5 17 16.5 16 15.5 15 14.5 14 1 11 21 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
1 8 15 22 29 36 43 5 57 64 71 78 85 92 99 16 113 12 127 134 141 148 155 162 169 176 183 19 197 24 211 218 225 232 239 246 253 26 267 274 Noowana TPSA w okrese 1.6.21-8.6.211.15.1.5 -.5 -.1 średna,598 odch. sand.,17159 wsp. zmennośc 28,68 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Mary wrażlwośc: współczynnk bea (model jednoczynnkowy) R R M, współczynnk bea (modele weloczynnkowe) R 1F1, 2F2,... k Fk, Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Mary zagrożena: semwarancja, semodchylene sandardowe, s _ 1 m n 2 d 1 d R R R R R R pozom bezpeczeńswa R b P( R Rb ) 1 prawdopodobeńswo neosągnęca pozomu aspracj P( R Ra ) 1 warość zagrożona (VaR) P( W W VaR) Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Mary zagrożena dla sóp zwrou TPSA: semwarancja,334 semodchylene sand.,18263 alfa pozom bezp.,1 -,2139,5 -,2763,1 -,3932 pozom aspracj alfa,1,291876,2,12992,3,43313 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Jeżel W - kwanyl rzędu α rozkładu warośc W nsrumenu, zn. o W W VaR P( W W ) VaR W W Dla prosych sóp zwrou: R W W W VaR R W Dla cągłych sóp zwrou: R lnw lnw VaR W e R ) (1 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków
Esymacja VaR: krók horyzon (dzeń, ydzeń) nsk pozom olerancj Meody esymacj VaR: meoda warancj-kowarancj meoda hsoryczna meoda Mone Carlo Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków