Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

Transkrypt

1 Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE 2018 Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

2 Warunkowa heteroskedastyczność O warunkowej autoregresyjnej heteroskedastyczności mówimy, gdy σ 2 t = E ( ε 2 ) t ε t 1,..., ε t s = const. ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity). W tym przypadku wariancja ε t zależy liniowo od kwadratów ε t z poprzednich okresów: σ 2 t = E ( ε 2 ) t ε t 1,..., ε t s = α0 + α 1 ε 2 t α s ε 2 t s Test ARCH. Testujemy łączną istotność α 1,..., α s w regresji e 2 t = α 0 + α 1 e 2 t α s e 2 t s, (1) Statystyka LM = TR 2, gdzie T jest liczbą obserwacji a R 2 pochodzi z regresji (1). Statystyka ta ma asymptotyczny rozkład χ 2 s Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

3 Warunkowa heteroskedastyczność - modele ARCH(q) θ i 0 dla i = 0,..., q y t = x t β + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q GARCH(p,q) - często lepiej dopasowany przy mniejszej liczbie parametrów y t = x t β + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = α 1 σ 2 t 1 + α 2 σ 2 t α p σ 2 t p + θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q, α i 0, θ i 0 Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

4 Warunkowa heteroskedastyczność - modele TARCH - uwzględniamy efekt dźwigni (silniejszą reakcję wariancji na straty niż na zyski) y t = x t β + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q + β 1 ( ε + t 1 ) + β2 ( ε + t 2 ) βs ( ε + t θ i + β i 0 ARCHM - uwzględniamy wpływ zmian wariancji na oczekiwane stopy zwrotu y t = x t β + δσ 2 t + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

5 Gęstość Gęstość Leptokurtoza rozkładu WIG (dane z okresu ) Dzienne stopy zwrotu Logarytm dziennej stopy zwrotu Rysunek: Rozkład zwrotów i logarytmów zwrotów Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

6 WIG statystyki P t P t 1 ( ln Pt P t 1 ) Skośność Kurtoza Stat. JB Pr ( JB > χ 2 2 ) Reszty z modelu AR (1) Test przeprowadzono dla ARCH dla s = 1, 2, 3, 4, 5. Uzyskano statystyk testowe: 320.9, 403.5, 451.5, 467.6, Wartości p odpowiadające tym wielkościom statystyk praktycznie równe zeru Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

7 Wyniki oszacowań ARCH(5) ARCHM(5) GARCH(p,q) TARCH r t b p b p b p b p r t stała σ 2 t ε 2 t ε 2 t ε 2 t ε 2 t ε t 5 stała σ 2 t σ t ( )2 ε t + 1 BIC Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

8 Diagnostyka modelu ARCH Zgodnie z założeniami W przybliżeniu ε t σ t = u t N (0, 1) ε t σ t = û t N (0, 1) ARCH (5) ARCHM (5) GARCH (1, 2) TARCH test ARCH p skośność kurtoza test JB p Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

9 VaR - definicja Definicja: VaR jest równe takiemu J t, że Pr (L t < J t ) = F (J t ) = 1 α a więc J t =F 1 (1 α) Intuicyjnie: z p-stwem równym α ponoszona jest strata większa lub równa VaR Policzyć VaR dla okresu t możemy jeśli mamy model dla rozkładu L t Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

10 Var a model dla stóp zwrotu VaR a logarytmiczna stopa zwrotu (A t wielkość aktywów) Pr (L t < J t ) = Pr {A t 1 [exp (r t ) 1] < J t } { [ ( )]} Jt = Pr r t < ln 1 + A t 1 [ ( Dla k t = ln 1 + Jt A t 1 )], takiego, że Pr (r t < k t ) = 1 α J t = A t 1 [exp (k t ) 1] (2) Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

11 Var a model dla stóp zwrotu Przyjmijmy, że znormalizowany rozkład jest stały w czasie ( rt µ Pr (r t < k t ) = Pr t < k ) t µ t σ t ( = Pr u t < k t µ t σ t σ t ) = F ( kt µ t σ t Przy założonym poziomie prawdopodobieństwa α: k t = µ t + F 1 (1 α) σ t ) = 1 α Przybliżmy ten rozkład rozkładem empirycznym û t (uwzględniamy w ten sposób kurtozę nie wychwyconą przez model typu ARCH) k t = µ t + F 1 (1 α) σ t (3) Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

12 Obliczenie VaR VaR szacujemy z równania (2) jako: ) ] Ĵ t = A t 1 [exp ( µ t + F 1 (1 α) σ t 1 Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

13 System światełdrogowych Banki mają obowiązek stworzenia model umożliwia wyliczenie VaR Dobrze zbudowany model zmniejsza wymagane rezerwy a zatem zmniejsza koszty banku Banki mają obowiązek kontrolowania skuteczności modelu w odniesieniu do wyznaczania właściwego poziomu rezerw. Miarą skuteczności modelu różnica między teoretyczną i zaobserwowaną częstością szkód większych niż VAR Liczbę szkód większych niż VaR w ciągu okresu składającego się z n obserwacji oznaczymy przez w. w ma rozkładu dwumianowy z p-stwem sukcesu równym α, liczbą prób równą n i liczbą sukcesów równą w. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

14 Zalecenia Komitetu Bazylejski Nadzoru Bankowego Model dla którego liczba przekroczeń VaR policzonego dla α = 0.01 i n = 250 przekroczyła 9 (światło czerwone) nie może być stosowany Przy liczbie przekroczeń większej niż 4 (światło żółte) powinno zastosować się obligatowyjne mnożniki podwyższające wysokość rezerw ostrożnościowych. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

15 Model oszacowany - wyniki liczba przekroczeń σ2 t =const ARCH(5) ARACHM(5) GARCH(1,2) TARCH Teoretyczne Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

16 Model oszacowany - wnioski Wynik w pierwszej kolumnie oznacza, że zastosowanie do liczenia VaR modelu o stałej wariancji, prowadzi do uzyskania częstości przekroczeń VaR większej niż 9 i ponad 50-krotnie większej niż teoretyczna. Modele z klasy ARCH dają częstości przekroczeń są bardziej zbliżone do wartości teoretycznych. Model TARCH generuje najmniej dużych liczb przekroczeń rozkład liczby przekroczeń najbardziej zbliżony do rozkładu teoretycznego. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16