DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

Transkrypt

1 DYNAICZNE ODELE EKONOETRYCZNE X Ogólnopolske Semnarum Naukowe, 4 6 wrześna 7 w Torunu Kaedra Ekonomer Saysyk, Unwersye kołaja Kopernka w Torunu Jacek Kwakowsk Unwersye kołaja Kopernka w Torunu odele RCA w bayesowskm modelowanu prognozowanu ndeksu WIG. Wprowadzene odele auoregresyjne z losowym parameram (RCA, ang. Random Coeffcen Auoregressve są uogólnenem klasycznych model auoregresyjnych. Ze względu na nelnową posać warunkowej warancj, wpsują sę w popularny w ekonomer fnansowej nur model nelnowych. ożna równeż doparzyć sę zwązków mędzy modelam częścowo sacjonarnym, a modelam RCA. odele ze sochasycznym perwaskem jednoskowym (STUR, służące do opsu procesów częścowo znegrowanych, są szczególnym przypadkem model RCA. Własnośc model RCA szczegółowo omawają Ncholls Qunn (98. Ich bayesowska analza zosała wsępne przedsawona przez orren Safád (. W pracy ej auorzy omawają warunkowe gęsośc a poseror oraz przedsawają pobeżne gęsośc predykywne. Przedsawony arykuł jes sonym rozszerzenem bayesowskej analzy ej klasy model. Po perwsze uwzględnono resrykcje nałożone na paramery, ak aby zapewnć sacjonarność modelu. Po druge zaprezenowano, poprzez bayesowske esowane konkurencyjnych model, esowane sałośc paramerów auoregresyjnych. Dodakowo, w arykule omówono równeż bayesowske prognozowane model RCA. Badana doyczą dzennych logarymcznych sóp zman ndeksu WIG w okrese od syczna do 8 luego 7. Układ arykułu jes nasępujący: w częśc drugej przedsawono posać oraz warunk sacjonarnośc modelu RCA. W częśc rzecej omówono bayesowską esymację, prognozowane esowane model RCA. Część czwara zawera badana empryczne. Część pąa zawera wnosk.

2 98 Jacek Kwakowsk. Posać własnośc modelu RCA Dla procesu y, model z losowym współczynnkam auoregresyjnym rzędu p możemy przedsawć w nasępującej posac (Ncholls, Qunn, 98: p + ( φ + β + ε y = φ y. ( Przyjmjmy nasępujące założena doyczące modelu ( (por. Górka, 7: a. { ε, =,,..., N} jes cągem zmennych losowych o nezależnych denycznych rozkładach normalnych z zerową waroścą oczekwaną E( ε = warancją ( ε = σ E, b. współczynnk auoregresj φ dla c. β ( β,..., β T p =,..., p są sałe w czase, = jes losowym wekorem, kórego każda współrzędna jes zmenną losową o średnej zero ( = =,..., p =,..., N, E β warancj E( ω d. zmenne losowe β,..., β p są wzajemne nezależne, β = dla e. proces reszowy ε losowe paramery są względem sebe nezależne; ε β s, s, =,..., p. Dla modelu ( orren Safád ( wyprowadzają warunkowe gęsośc a poseror. W celu znalezena brzegowych gęsośc a poseror ch charakerysyk sosują algorym Gbbsa. Inną alernaywną posać modelu RCA przedsawł Tsay (987. a ona klka zale. Umożlwa sosunkowo prose całkowana numeryczne meodą one Carlo z funkcją ważnośc. Dodakowo posada cekawą nerpreację ze względu na posać warunkowej warancj możlwośc dokonywana porównań z powszechne sosowanym modelam GARCH. Oznaczmy przez ψ zbór nformacj dosępnych w okrese. odel RCA (p możemy przedsawć w nasępującej posac (Tsay, 987: p y = φ + φ y + ε ψ ~ N (, h p = σ + ω, ( ε, ( h y. (4 W modelu RCA dynamkę warunkowej warancj opsuje warancja procesu ε oraz loczyny warancj paramerów serwacj. h β opóźnonych kwadraów ob-

3 odele RCA w bayesowskm modelowanu Warunk koneczne dosaeczne sacjonarnośc procesu RCA(p przedsawają Andel (976 oraz Ncholls Qunn (98. Oznaczmy przez macerz kwadraową sopna p : p I p p = T, (5 φ p φ p gdze p jes ( p - wymarowym wekorem zerowym, I p jes macerzą jednoskową sopna ( p oraz φ ( T p = φ p,..., φ. Proces auoregresyjny z losowym parameram jes sacjonarny w szerszym sense jeżel:. warośc własne macerzy leżą wewnąrz koła jednoskowego, T. ω a <, gdze ω = ( ω,..., ω p jes wekorem, kórego współrzędne są warancjam losowych współczynnków auoregresj β, naomas ( jes osaną kolumną macerzy I. Symbol oznacza loczyn Kroneckera. Przykładowo, proces RCA(, czyl ak w kórym wysępuje ylko jeden losowy paramer, jes sacjonarny w szerszym sense jeżel φ (, oraz ω + φ <.. Bayesowska analza model RCA odelowanem objęo szereg { y =,,..., N + k} (,, orzymany według formuły y = ln x / x, gdze N oznacza lczbę obserwacj, k jes horyzonem prognozy, naomas x oznacza dzenne noowana ndeksu WIG w chwl. Do analzy przyjmjmy najbardzej ogólną posać modelu, manowce RCA(. Pozosałe modele orzymujemy poprzez nałożene resrykcj na poszczególne paramery. Dzęk emu możemy esować rząd auoregresj oraz badać sałość paramerów. odel RCA( zakłada dla warunkowy (względem całej przeszłośc procesu rozkład normalny o średnej warancj h = σ + ω y. Przyjmjmy za ( φ, φ, φ, φ, ω, ω, ω σ, y a μ = φ + φ y θ = wekor neznanych paramerów. Dodakowo nech y ( y,..., y N regu czasowego do dna N, naomas = ( y..., y = oznacza obserwowany fragmen sze- y f N + N + k, oznacza fragmen szeregu podlegający prognozowanu. Gęsość rozkładu prawdopodobeńswa wekora obserwacj przy usalonych paramerach warunkach począkowych (kóre ne są uwzględnone w noacj ma posać:

4 Jacek Kwakowsk N + k N + k ( f ( = N ( p y, y θ = p y ψ, θ f y μ h, (6, f N ( z c, w w. Przyjmujemy, że łączny rozkład a pror ( θ gdze oznacza gęsość rozkładu normalnego o średnej c warancj p jes loczynem nezależnych rozkładów a pror jego współrzędnych. Dla warancj ω losowych paramerów β oraz dla warancj reszowej ( p Φ, σ przyjęo rozkłady wykładncze o średnej odchylenu sandardowym równym odpowedno. Dla współczynnków auoregresj założono welowymarowy rozkład normalny o zerowym wekorze średnch dagonalnej macerzy kowarancj, z elemenam na głównej przekąnej równym. Rozkład en T określony jes na zborze = φ, φ φ C, gdze oznacza obszar sacjonarnośc procesu AR(. Dla parameru φ przyjęo rozkład normalny o średnej równej zero warancj. Przesrzeń paramerów dodakowo ucęa T jes przez warunek ogranczający ω a <. Tabela. Bayesowske modele auoregresyjne ze sałym losowym parameram odel Esymowane paramery odel Esymowane paramery ( φ 5,σ ( φ, φ, σ 6 ( φ, φ, φ, σ 7 4 ( φ, φ, φ, φ, σ C p ( φ, φ, ω σ, ( φ, φ, φ, ω, ω σ, ( φ, φ, φ, φ, ω, ω, ω σ, Przyjęe rozkłady a pror są rozkładam właścwym, bardzo rozproszonym odzwercedlają neprecyzyjną wedzę badacza na ema ch prawdzwych warośc. Rozkład a poseror wekora paramerów θ ne jes żadnym znanym rozkładem. Dlaego eż jego charakerysyk, a akże momeny rozkładu predykywnego dla ( y +,..., y + N oraz hsogramy orzymane są za pomocą meody one Carlo z funkcją ważnośc. W abel przedsawono specyfkacje wszyskch model opsujących dynamkę sóp zwrou. odel opsuje brak jakejkolwek zależnośc auoregresyjnej. odele,, 4 o sandardowe modele auoregresj od rzędu perwszego, aż do rzecego. odele 5, 6, 7 o modele RCA, w kórych srukura auoregresyjna jes opsana zarówno przez paramery losowe oraz nelosowe.

5 odele RCA w bayesowskm modelowanu... W celu porównana mocy objaśnającej konkurujących model, należy określć ch prawdopodobeńswa a pror. W naszym przypadku mamy sedem konkurujących ze sobą model próbkowych. Prawdopodobeńswa a pror defnuje sę ak aby były jednakowe dla każdego modelu. Na ema możlwośc sosowalnośc bayesowskego esowana model psze m.n. Osewalsk (. 4. Wynk esymacj rozkłady predykywne odele auoregresyjne z losowym parameram zasosowano do opsu zmennośc ndeksu gełdowego najwększych spółek noowanych na warszawskej Gełdze Paperów Waroścowych (WIG. Celem badana był szereg logarymcznych sóp zman (w procenach. Badanem objęo szereg z okresu od.. do składający sę z N = 5 obserwacj. Prognozowanem objęo sopy zman oblczone na podsawe rzech kolejnych dzennych noowań w okrese od Wynk dla model 7 orzymano wykorzysując 5 ys. losowań one Carlo z funkcją ważnośc równą gęsośc (maksymalne 8-wymarowego rozkładu -Sudena o sopnach swobody. Tabela zawera warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror paramerów wszyskch model. W modelach 7, współczynnk auoregresj szacowane są ze sosunkowo małą precyzją, co wskazuje na brak sonej auokorelacj sóp zman. Wnosek en znajduje powerdzene w wynkach zameszczonych w abel, kóra zawera prawdopodobeńswa a poseror. Najbardzej prawdopodobnym modelem jes model, kóry ne uwzględna srukury auoregresyjnej. Skupa on ponad 64 procen całej masy prawdopodobeńswa. Drugm modelem, z prawdopodobeńswem równym.97, jes AR(. Trzec model o RCA(. Jego prawdopodobeńswo o.6. Czynnk Bayesa, oblczony mędzy AR( RCA( jes równy.85. Oznacza o, że przy jednakowych prawdopodobeńswach a pror obu model sandardowy model auoregresyjny rzędu perwszego jes prawe dwa razy bardzej prawdopodobny a poseror nż model RCA(. Sosunkowo dobry wynk modelu RCA( może wynkać z ego, że przy mało sonych współczynnkach auoregresj, jego posać zblżona jes do modelu ARCH(. Wynk bayesowskego porównana są mało wrażlwe na zmanę warośc paramerów w rozkładze a pror.

6 Jacek Kwakowsk Tabela. Warośc oczekwane odchylena sandardowe (podane w nawase parame-,, rów w modelach AR ( RCA (, φ φ φ.9 ( (.4 ( (.8.84 (.4.8 (.4.9 (.9. (. 4 Paramery φ ω 5 6, ω (..6 (..6 (..6 (.4.64 (. Źródło: oblczena własne (.. ( ( (. -.4 (. -.5 ( (.7.4 (.7.47 ( (..4 (.4 ω σ.76 (.7.7 (.7.7 (.68.7 ( ( (.4 (.88.9 (.96 Tabela. Prawdopodobeńswa a poseror model AR RCA oblczone dla logarymcznych sóp zman ndeksu WIG odel Prawdopodobeńswa a poseror p y ( Źródło: oblczena własne.,647,976 8,49.,67 Tabela 4 zawera warośc oczekwane błędy sandardowe rozkładów predykywnych sopy zman ndeksu WIG, uzyskane w modelu RCA(. Jak wdać rozproszene rozkładów predykywnych rośne wraz ze wzrosem horyzonu prognozy. Tabela 4. Warośc oczekwane błędy sandardowe gęsośc predykywnych w modelu RCA( dla logarymcznych sóp zman ndeksu WIG RCA( y N + y N + y N + Warość oczekwana Odchylene sandardowe Źródło: oblczena własne.

7 odele RCA w bayesowskm modelowanu... p( y N + ( y 7 p N +,,,4,4-9, - - -,, 9, -9, - - -,, 9, p( y N + ( y 7 p N +,,,4,4-9, - - -,, 9, -9, - - -,, 9, p( y N + ( y 7 p N +,,,4,4-9, - - -,, 9, -9, - - -,, 9, Wykres. Hsogramy brzegowych rozkładów predykywnych logarymcznych sóp zman ndeksu WIG oblczone w oparcu o model RCA( - 7 AR( - Źródło: opracowane własne.

8 4 Jacek Kwakowsk Na wykrese przedsawono hsogramy oraz realzacje sopy zman dla prognozy dokonanej na rzy okresy poza próbą, orzymane w oparcu o model RCA( AR(. Jak wdać, przy podobnej lokalzacj gęsośc predykywnych, rozproszene jes wększe w przypadku modelu RCA(. Wększe odchylene sandardowe rozkładów predykywnych wynka z faku przyjęca warunkowej warancj. Rzeczywse warośc sóp zman, zaznaczone są na rysunkach czarnym punkam. 5. Podsumowane Przedsawone wynk wskazują, że modele RCA ne wnoszą znaczących nformacj do opsu szeregu WIG. Sosunkowa duże prawdopodobeńswo a poseror dla modelu RCA( może wynkać z faku, że przy mało sonych współczynnkach auoregresj jego posać jes bardzo zblżona do klasycznego modelu ARCH(. Ze względu na denyczną posać warunkowej średnej w modelach RCA AR, gęsośc predykywne, uzyskane przy pomocy model auoregresyjnych z losowym parameram, charakeryzują sę w porównanu z klasycznym modelam auoregresyjnym wększym rozproszenem. Prezenowana publkacja zawera analzę ylko jednego szeregu, rudno węc określć sopeń przydanośc model RCA. Uwzględnene zależnośc pomędzy losowym procesam może jednak poprawć przydaność ego ypu model do opsu zmennośc fnansowych sóp zwrou. Leraura Andel, J. (976, Auoregressve Seres wh Random Parameers, ahemasche Operaonsforschung und Sascs, Seres Sascs, 7, Górka, J. (7, odele auoregresyjne z losowym parameram, w: Osńska. (red., Procesy STUR. odelowane zasosowane do fnansowych szeregów czasowych, Wydawncwo TNOK, Toruń. oren, P.A., Safád, T. (, A Bayesan Analyss of Auoregressve odels wh Random Normal Coeffcens, Journal of Sascal Compuaon and Smulaon, 7, 8, Ncholls, D.F., Qunn, B.G. (98, Random Coeffcen Auoregressve odels: An Inroducon, Sprnger-Verlag, New York. Osewalsk, J. (, Ekonomera bayesowska w zasosowanach, Wyd. AE w Krakowe, Kraków. Tsay, R.S. (987, Condonal Heeroscedasc Tme Seres odels, Journal of he Amercan Sascal Assocaon, 8, 98.