Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Transkrypt

1 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y = ). (A),86,6,50,00,50

2 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane Nech X 0, X, K, X n,k będą nezależnym zmennym losowym o rozładze jednostajnym na przedzale (0,). Nech zmenna losowa N oznacza numer perwszej ze zmennych losowych, X, K, X,K o wartośc węszej nż X, zatem Wtedy (A) X n 0 EX N jest równa { n : n {,, } X X } N = nf K >. n 0 5 4

3 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane Nech X,, X, K X n Y, Y, K, Y n będą nezależnym zmennym losowym z rozładu normalnego N ( m + θ,), a będą nezależnym zmennym losowym z rozładu normalnego N ( m θ,). Wszyste zmenne są nezależne. Parametry m θ są neznane. Weryfujemy hpotezę H 0 : θ = 0 przy alternatywe H : θ = 0, 5 za pomocą testu opartego na loraze warogodnośc na pozome stotnośc 0,05. Moc tego testu przy n = 8 jest równa (A) 0,899 0,950 0,9 0,995 0,500

4 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane 4 Zmenna losowa N ma rozład Possona z parametrem λ > 0. Rozważamy losową lczbę zmennych losowych X, X,,, przy czym zmenne losowe X, X,, X są nezależne K X N K N wzajemne nezależne od zmennej losowej N. Każda ze zmennych losowych ma rozład Pareto o gęstośc θ gdy x > p ( x) = θ + θ x, 0 gdy x gdze θ > 0 jest neznanym parametrem. Obserwujemy tylo te spośród zmennych X, X,,, tóre są węsze od znanej lczby w>. Ne wemy le jest pozostałych K X N zmennych an jae są ch wartośc. Nech y, y, K, y będą zaobserwowanym wartoścam. Na podstawe tych danych wyznaczyć estymatory najwęszej warogodnośc parametrów θ λ. X (A) ˆ θ = ˆ ˆ θ λ = ( w ) ln y ln w = ˆ θ = ln y ln w = ˆ ˆ λ = w θ ˆ θ = ln = y ˆ ˆ λ = w θ ˆ θ = ˆ ˆ θ λ = ( w ) ln y ln w = ˆ θ = ln y ln w = ˆ ˆ λ = w θ 4

5 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane 5 Łańcuch Marowa ma trzy stany: E, E E, macerz przejśca, Nech X oznacza stan, w tórym znajduje sę łańcuch po doonanu n roów, n = 0,, K. n Funcję f na zborze stanów oreślamy wzorem: Nech c = n n lmcov[ f ( X n), f ( X + )]. Granca c jest równa f ( E ) = dla =,,. (A)

6 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane 6 Rozważmy zmenne losowe N, X, Y. Wadomo, że rozład warunowy zmennej losowej N, gdy X = x Y = y jest rozładem Possona o wartośc oczewanej x. Rozład warunowy zmennej losowej X, gdy Y = y jest rozładem Gamma(, y), a rozład zmennej Y jest rozładem Gamma (4,), gdze rozład Gamma ( α, β ) ma gęstość p α, β α β x ( x) = Γ( α) 0 α e βx gdy gdy x > 0 x 0. Wtedy warancja VarN jest równa (A)

7 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane 7 Nech X, X, K, X będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozładze normalnym N(m,). Parametr m jest neznany jest realzacją zmennej losowej o rozładze normalnym N(,). Wyznaczamy estymator bayesows parametru m przy funcj straty LINEX danej wzorem m a L( m, a) = e ( m a), gdze a oznacza wartość estymatora. Załóżmy, że w wynu dośwadczena uzysano próbę losową taą, że Wtedy estymator bayesows przyjmuje wartość X = = 5. (A)

8 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane 8 W pewnej populacj prawdopodobeństwo tego, że osobn przeżyje perwszy ro jest równe ( θ ). Jeżel osobn przeżył perwszy ro, to prawdopodobeństwo warunowe tego, że θ przeżyje następny ro jest równe. + θ W próbce losowej lczącej n osobnów z tej populacj zanotowano: n 0 przypadów, edy osobn ne przeżył perwszego rou, n przypadów, edy osobn przeżył perwszy ro, ale ne przeżył drugego rou, n przypadów, edy osobn przeżył dwa lata. Błąd średnowadratowy estymatora najwęszej warogodnośc parametru θ wyraża sę wzorem: (A) θ ( θ ) n θ ( θ )( + θ ) n θ ( θ ) n θ ( θ ) n θ ( θ ) n 8

9 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane 9 Mamy próbę prostą (( X, Y ),( X, Y ), K,( X0, Y0)) z rozładu normalnego dwuwymarowego o neznanych parametrach: EX = EY = μ, VarX = VarY = σ, Cov( X, ) = σ Y ρ. Nech 0 Z = X + Y, R = X Y, S Z = ( Z Z) n, 0 S R = ( R R), = n = gdze Z oraz R to odpowedne średne z prób. Do testowana hpotezy H 0 : ρ = przecwo alternatywe H : ρ możemy użyć testu o obszarze rytycznym postac: SZ SZ < lub >, SR SR H0 przy czym lczby dobrane są ta, aby przy założenu, że jest prawdzwa Lczby są równe: S P S = 0,05 Z S z < = P >. R SR (A) = 0,57 =, 589 = 0,440 = 4, 45 = 0,5 =, 7 = 0,69 = 6, 58 = 0,67 = 5, 956 9

10 Prawdopodobeństwo statystya r. Zadane 0 Z urny, w tórej jest 6 ul czarnych 4 bałe losujemy olejno bez zwracana po jednej ul ta długo, aż wylosujemy ulę czarną. Wartość oczewana lczby wylosowanych ul bałych jest równa (A)

11 Prawdopodobeństwo statystya r. Egzamn dla Atuaruszy z maja 00 r. Prawdopodobeństwo Statystya Arusz odpowedz * T Imę nazwso :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadane nr Odpowedź Puntacja A C C 4 E 5 D 6 B 7 E 8 C 9 D 0 B * Ocenane są wyłączne odpowedz umeszczone w Aruszu odpowedz. Wypełna Komsja Egzamnacyjna.