0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4"

Bartosz Kowalewski
8 lat temu
Przeglądów:

1 Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P ( X = 1) P ( X 3) P ( X ) P ( X > ) P ( < X 3) dwoma sposobam korzystając: 1. z danej unkcj prawdopodobeństwa. z wyznaczonej dystrybuanty. Zad..Dana jest dystrybuanta zmennej losowej X : Wyznaczyć jej unkcję prawdopodobeństwa. ( ) [ 1) [ 1 3) [ 3 + ) F ( ) 8 1 Zad. 3. Zmenna losowa X ma unkcję prawdopodobeństwa postac: p 1 5 Wyznaczyć unkcję prawdopodobeństwa zmennej losowej U jeśl: 3 a. U = X + 3 b. U = X c. U = X 5. Zad. 4. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X : p Wyznaczyć dwoma sposobam wartość oczekwaną warancję zmennej losowej U = X 3 ; 1. znajdując najperw unkcję prawdopodobeństwa zmennej losowej U oraz. korzystając z odpowednch własnośc wartośc oczekwanej warancj. Zad. 5. Dane są unkcje prawdopodobeństwa zmennych X Y : 1 p y 1 3 p Zakładając brak jakejkolwek zależnośc mędzy jakoścą produkcj obu zmennych znaleźć unkcję prawdopodobeństwa zmennej losowej a. U = X + Y b. U = X Y.

2 Zad. 6. Sprawdzć że D X = E[ X ( X 1) ] EX ( EX 1) Zad. 7. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X - -1 p 3 1 c Wyznaczyć stałą c. Oblczyć dwoma sposobam wartość oczekwaną warancję zmennej losowej U = 3 X + 1; znajdując najperw unkcję prawdopodobeństwa zmennej losowej U oraz B. korzystając z odpowednch własnośc wartośc oczekwanej waracj. Zad. 8. Sprawdź czy unkcja F ( ) = 1 dla dla < 1 dla > 1 jest dystrybuantą pewnej zmennej losowej X. Czy ta zmenna jest zmenną losową P X 5. skokową? Oblcz ( ) Zad. 9. Zmenna losowa X ma rozkład dwumanowy z prawdopodobeństwem sukcesu p lczbą dośwadczeń n. Wyznaczyć wartość średną warancję odchylene standardowe współczynnk zmennośc asymetr dla: a. p = 3 n = 16 b. p = 6 n = 5 Zad. 1. Zmenna losowa X ma rozkład Possona z parametrem λ = 3. Podać wartość oczekwaną odchylene standardowe tego rozkładu oraz oblczyć prawdopodobeństwa: X X 6 P 3 X 5. P ( ) P ( ) ( ) Zad 11. Prawdopodobeństwo wygrana nagrody na loter wynos 1. Jake jest prawdopodobeństwo że wśród losujących: a. żaden ne wygra b. wygra tylko jeden c. wygra co najwyżej dwóch. Zad. 1. Lczba wyjazdów służbowych w cągu mesąca pracownków zatrudnonych w jednej z rm kształtowała sę następująco: Lczba wyjazdów Lczba osób (częstośc empryczne) Zakładając że rozkład lczby wyjazdów jest dwumanowy (przyjąć średną jako wartość oczekwaną rozkładu): a. wyznaczyć prawdopodobeństwa teoretyczne

3 b. narysować rozkład empryczny teoretyczny c. wyznaczyć dystrybuantę teoretyczną d. oblczyć prawdopodobeństwo węcej nż 4 wyjazdów służbowych w cągu mesąca. Zad. 13. PZU ocena że każdego roku 1% ubezpeczonych trac życe w określonego rodzaju wypadkach. Jake jest prawdopodobeństwo że w danym roku PZU będze musało wypłacć odszkodowana węcej nż trzy razy jeśl ubezpeczyło od wypadku 3 osób. Zad. 14. Z badań wynka że 4% nowo powstałych w Polsce przedsęborstw przeżywa 5 lat. Jake jest prawdopodobeństwo że spośród 6 nowo powstałych przedsęborstw przynajmnej 3 przeżyje okres 5 lat. Zad. 15. Pewen newelk zakład transportowy jest w stane wynająć każdego dna samochody. Przypuśćmy ze dzenna lczba zgłoszeń klentów chcących nająć samochód jest zmenną losową o rozkładze Possona z parametrem λ = 1 6. a. Jaką część w dzałalnośc rmy stanową dn kedy nkt ne zgłasza sę po samochód? b. Jaką część stanową dn kedy popyt przekracza możlwośc rmy? c. Jaka jest oczekwana dzenna lczba zgłoszeń klentów? Zad. 16. Dana jest unkcja gęstośc ( ) c dla < < 1 = dla pozostalych a. Znaleźć stałą normującą c b. Oblczyć wartość oczekwaną warancję c. Oblczyć klasyczny współczynnk zmennośc d. Znaleźć dystrybuantę Zad. 17. Dana jest unkcja gęstośc pewnej zmennej losowej X dla ( ) = B dla < 1 dla > 1 Znaleźć wartość parametru B oblczyć ( 1/ < X 3/ 4) Zad. 18. Dla jakej wartośc c następująca unkcja jest gęstoścą prawdopodobeństwa zmennej losowej X ( ) = c( 1 ) dla < dla 1 dla > 1

4 Po znalezenu c naszkcować wykres ( ). Znaleźć dystrybuantę zmennej losowej X oraz polczyć wartość oczekwaną warancję klasyczny współczynnk asymetr oraz medanę. Czy badana gęstoścą prawdopodobeństwa ma domnantę? Zad. 19. Zmenna losowa X ma gęstość; ( ) c = c dla dla dla [ 1) [ 1) [ ) a. wyznacz c b. wyznacz dystrybuantę 1 3 c. oblcz P ( ) < X d. oblczyć EX DX. Zad. Zmenna losowa X ma gęstość ( ) = π 1 ( 1+ ) Wyznacz dystrybuantę. Oblcz oraz zaznacz na wykrese ( 1 < X < 1) Zad. 1. Zmenna losowa X ma gęstość ( ) = ce Wyznacz stałą normującą c oraz zaznacz na wykrese ( 1 < X < 1) Zad.. Wyznacz tak stałą a by unkcja F ( ) = ( 1 1/ ) 1 dla 1 dla1 < a dla > a była dystrybuantą zmennej losowej X typu cągłego. Wyznaczyć jej gęstość. Zad. 3. Długość czasu pracy mędzy kolejnym awaram generatora elektrycznego ma rozkład wykładnczy z wartoścą oczekwaną równą 1 dn. Generator został właśne naprawony. a. wyznacz narysuj unkcję gęstośc prawdopodobeństwa dystrybuantę b. Jake jest prawdopodobeństwo że generator ulegne kolejnemu uszkodzenu w cągu następnych 14 dn? c. Jake jest prawdopodobeństwo że będze pracował bezawaryjne dłużej nż dn?

5 d. Jake jest prawdopodobeństwo że przepracuje on węcej nż 5 dn ale ne dłużej nż 14 dn? Szukane prawdopodobeństwa zaznaczyć na wykrese. Zad. 4. Inwestor uważa że cena nteresujących go akcj wzrośne jutro na gełdze o pewną wartość X z przedzału [ 1] zł. Przypuśćmy że X jest zmenną losową o rozkładze jednostajnym. Wyznaczyć narysować unkcję gęstośc prawdopodobeństwa oraz dystrybuantę. Oblczyć: a. P ( 5 < X < 1) b. P ( 5 X < 5) c. EX DX Szukane prawdopodobeństwa zaznaczyć na wykrese. Zad. 5. Dośwadczene pokazuje że dochody z reklamy pewnego tygodnka mają rozkład normalny z wartoścą oczekwaną 8 mln złotych tygodnowo odchylenem standardowym 5 mln złotych. Jake jest prawdopodobeństwo że dochody z reklamy w pewnym tygodnu będą: a. mnejsze nż 7 mln złotych b. wększe nż 85 mln zł c. wększe nż 65 mln złotych mnejsze nż 95 mln złotych. Szukane prawdopodobeństwa zaznaczyć na rysunku. Zad. 6. Załóżmy że czas przepsywana jednej strony pracy dyplomowej przez pewną maszynstkę ma rozkład normalny z wartoścą oczekwaną m = 15 mnut odchylenem standardowym σ = 3 mnuty. Jeśl praca zawera 1 stron to jak długo należy oczekwać na jej przepsane? Jak procent stron będze przepsywany dłużej nż mnut? Zad. 7. Z badań wynka że żywotność opony radalnej ma rozkład N ( 9 1 ) km. a. Znaleźć prawdopodobeństwo że losowo kupona opona będze mała żywotność 95 km lub węcej. b. Zakupono 4 opony. Jake jest prawdopodobeństwo że ch łączna żywotność wynese 4 km lub węcej? Zad. 8. W wndach osobowych znajduje sę nstrukcja następującej treśc: maksymalne obcążene 7 osób lub 5 kg. Zakładając że waga pasażera ma rozkład N ( 78) polczyć prawdopodobeństwo że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obcążene 5 kg. Zad. 9. Wydajność pracy pracownków ma rozkład normalny o parametrach N (7 4) (wydajność w szt./ godz.). Oblcz jake jest prawdopodobeństwo że robotnk wyprodukuje w cągu godzny od 3 do 9 sztuk.

Podobne dokumenty

Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych

Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych