Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy x i p i 0 1-p 1 p suma 1

Transkrypt

1 Rozkład dwupunktowy Zmenna losowa przyjmuje tylko dwe wartośc: wartość 1 z prawdopodobeństwem p wartość 0 z prawdopodobeństwem 1- p x p 0 1-p 1 p suma 1 Rozkład dwupunktowy Funkcja rozkładu prawdopodobeństwa 1 p x 0 f ( x) oraz 0 p 1 p x 1 Rozkład dwupunktowy Dystrybuanta 0 F( x) 1 p 1 x 0 0 x 1 x 1 1

2 Parametry EX = p Rozkład dwupunktowy D X = p(1-p) Rozkład dwupunktowy em cechy opsywanej przy pomocy rozkładu dwupunktowego może być: stan zdrowa (zdrowy chory), płeć (samec czy samca), przeżywalność (żyje lub ne żyje), rogatość (rogaty czy bezrożny), wele nnych. em może być równeż para allel w locus, przy założenu stnena tylko dwóch allel Rozkład zmennej losowej przedstawono w tabel. Oblczyć parametry zmennej. x p 0 0,4 1 0,6 suma 1 EX = 0,6 D X = 0,4

3 Rozkład dwumanowy (Bernoull ego) Wykonujemy n nezależnych dośwadczeń w ne zmenonym schemace. W każdym z dośwadczeń może pojawć sę sukces ( 1 ) z prawdopodobeństwem p albo porażka ( 0 ) z prawdopodobeństwem 1-p. Wartoścam zmennej losowej jest lczba sukcesów k = 0,1,...,n uzyskanych w takej ser dośwadczeń. Rozkład dwumanowy jest zatem sumą n zmennych zerojedynkowych. Rozkład dwumanowy (Bernoull ego) Prawdopodobeństwo każdej wartośc zmennej losowej oblczamy posługując sę wzorem: n k n k Pn p( X k), p (1 p) gdy0 p 1 oraz k 0,1... n k Trójkąt Pascala n k

4 Rozkład dwumanowy (Bernoull ego) Parametry zmennej o tym rozkładze EX n p D X n p (1 p) Wadomo, że wśród celąt 70% jest odpornych na dany rodzaj nfekcj. Nech zmenną losową będze lczba odpornych spośród czterech celąt X 0) (0,7) (0,) 110,0081 0, X 1) (0,7) (0,) 4 0,7 0,07 0, X ) (0,7) (0,) 60,490,09 0, X ) (0,7) (0,) 4 0,4 0, 0, X 4) (0,7) (0,) 1 0,4011 0,401 4 cd. 0,45 0,4 0,5 0, 0,5 0, 0,15 0,1 0,

5 cd. 0 0,0081 0,087 F( x) 0,48 0, x 0 0 x 1 1 x x x 4 x 4 cd. Parametry zmennej EX n p D X n p (1 p) EX 40,7,8 D X 40,7 (1 0,7) 0,84 p=0,5 n=7 0, 0,5 x p 0 0, , , , , , , , , 0,15 0,1 0, Rozkład jest symetryczny 5

6 Rozkład geometryczny Rozkład geometryczny wynk cągu nezależnych dośwadczeń, które powtarzane są tak długo, aż pojaw sę sukces z prawdopodobeństwem p. Sera składa sę zatem z (k + 1) dośwadczeń, w tym k - porażek jednego sukcesu. Wartoścą zmennej losowej jest lczba dośwadczeń poprzedzających sukces, (tzn. czas oczekwana na sukces). Zmenna losowa ma neskończene wele wartośc. k P ( k) (1 p) p oraz 0 p 1 k 0,1,... p Rozkład geometryczny Parametry zmennej losowej są równe: EX 1 p p D X 1 p p Załóżmy, że każdorazowe szczepene powoduje odporność u 60% zwerząt, a efekty kolejnych szczepeń są nezależne. Ile razy pownno sę szczepć celęta, aby uzyskać co najmnej 95% odpornych zwerząt? x F(x) (-; 0) 0 0 ; 1) 0,6 1 ; ) 0,84 ; ) 0,96 ; 4) 0, ; 5) 0, ; 6) 0, x X=x ) 0 0,6 1 0,4 0,096 0, , ,

7 Rozkład Posson a Rozkład Posson a jest rozkładem grancznym cągu zmennych losowych mających rozkład dwumanowy. Wraz ze wzrostem długośc ser (n) maleje prawdopodobeństwo sukcesu (p), tak, że np = const. np tzn. lm P ( k) P ( k) k P ( k) e k! n, p n Dla rozkładu grancznego sera nezależnych dośwadczeń mus być długa (mnmum 100), a prawdopodobeństwo sukcesu newelke. Parametrem rozkładu Posson a jest = np, loczyn długośc ser (n) prawdopodobeństwa sukcesu (p). Wartoścam zmennej, tak jak w rozkładze Bernoull ego, jest lczba sukcesów k = 0,1,,... Zbór wartośc jest neskończony przelczalny. Prawdopodobeństwo oblcza sę ze wzoru: Rozkład Posson a em zjawsk, które można opsywać rozkładem Posson a jest lczba wypadków w jednostce czasu, lczba bakter w danej objętośc, lczba zachorowań na rzadke choroby, czy lczba awar jakegoś urządzena w danym przedzale czasu. Jedynym parametrem rozkładu Posson a jest. Jest ona zarówno wartoścą oczekwaną jak warancją zmennej losowej: EX D X PRZYKŁAD Rozkład Posson a Wadomo, że prawdopodobeństwo pojawena sę genetycznej wady włosa w okrywe lsów jest równe 0,004. Właśccel fermy złożonej z 800 lsów chce uzyskać nformację jake jest prawdopodobeństwo, że na jego ferme znajdze co najmnej trzy lsy z wadą. długość ser n=800, prawdopodobeństwa pojawana sę wady p = 0,004 Zatem = 8000,004 =, X ) 1 X ) 1 ( X 0) X 1) X )) 1 (0, ,1049 0,0870) 1 0,7990 0,60097 k X 0) e k! 0, e 0!, 0,

8 Rozkład Posson a = x p 0 0, , , , , , , , , , , , , , , Rozkład Posson a 0, 0, 0, 0, 0,1 0,1 0, Rozkład Posson a 8

9 Średna lczba bakter w kropl substancj jest równa 0,5. Z lu kropl należy utworzyć próbkę substancj, aby z prawdopodobeństwem 0,95 znalazła sę w nej co najmnej jedna baktera? Rozkład lczby bakter w kropl wody jest rozkładem Posson a o = 0,5, w dwóch kroplach wody lczba bakter będze mała rozkład o = 1,0 td. Trzeba oblczyć lczbę kropl, aby X>0) było równe 95%. X>0) = 1- X=0) Skoro X>0) = 0,95 to (PX=0) = 1 X>0) = 1 0,95 = 0,05 L. kropl ,5 1,0 1,5,0,5,0,5 4,0 4,5 5,0 X=0) 0,6065 0,679 0,1 0,15 0,081 0,0498 0,00 0,018 0,0111 0,0067 Myślwy strzela dopóty, dopók ne traf w tarczę, a prawdopodobeństwo trafena pojedynczym strzałem wynos 0.5. Określć rozkład zmennej losowej opsującej lczbę strzałów. Oblczyć wartość oczekwaną, odchylene standardowe tej zmennej oraz podać le strzałów zagwarantuje 90% skuteczność trafena. 1 0,5 EX 1 0,5 1 0,5 D X 0,5 X=0)=0,5 X=1)=0,5 X=)=0,15 X=)=0,065 y Szansa wybrana samca wynos 0,5. Ile zwerząt należy wylosować, aby z prawdopodobeństwem wększym nż 98% był wśród nch samec? Prawdopodobeństwo wykluca sę kurczęca jest równe 0,9. Oblczyć prawdopodobeństwo, że z trzech jaj wylęgną sę trzy psklęta. W momence otwarca w sklepe znajdują sę 4 odkurzacze danego typu ne ma możlwośc dodatkowych dostaw z hurtown podczas dna. Nech zmenna losowa X opsująca lczbę osób, które chcą kupć dany odkurzacz ma rozkład Possona o EX =. Oblczyć prawdopodobeństwo, że w danym dnu zabrakne odkurzaczy w sklepe. Ile pownen wynosć zapas odkurzaczy aby prawdopodobeństwo, że ch zabrakne było ne wększe nż 5% 9

10 Standaryzacja Przekształcene zwane standaryzacją, jest lnowym przekształcenem, w wynku którego uzyskujemy zmenną losową o wartośc oczekwanej równej zero odchylenu standardowym równym jeden. U X EX DX Standaryzacja x p 1 0,5 0,5 0,5 0, 0,4 0,8 D X 9, ,5 1,5 6,5 7 0,15 1,05 7,5 DX, ,15 1, EX 4,45 9,65 u p -1,099 0,5-0,749 0,017-0,781 0, -0,1561 0,1191 D X 1 0,175 0,5 0,048 0, ,81 0,15 0,1189 0,09905 DX 1 1,769 0,15 0,659 0, EX 0 1 Dwe populacje: Porównać ze sobą dwe wartośc, jedną z I populacj równą 4,16 oraz drugą z II populacj równą 5,. Parametry zmennej w I populacj EX=4 DX=0, Parametry zmennej w II populacj EX=5 DX=0,5 U I 4,16 4 0,8 0, 5, 5 U II 0,46 0,5 10

11 Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc x R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu zdarzenu elementarnemu lczby rzeczywstej. Wtedy wartość zmennej losowej jest połączona z prawdopodobeństwem. Czyl zmenna losowa ma wartośc oraz prawdopodobeństwa Typy zmennej losowej Ze względu na rodzaj zboru zdarzeń elementarnych (skończony, neskończony, przelczalny, ne przelczalny) wyróżnamy typy zmennych losowych: zmenna losowa skokowa - gdy skończony lub neskończony ale przelczalny zmenna losowa cągła - gdy ne przelczalny jest przedzałem lub sumą przedzałów Funkcja rozkładu prawdopodobeństwa Funkcję przyporządkowującą każdej wartośc zmennej losowej odpowedne prawdopodobeństwo nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobeństwa f ( x ) X x ) p 11

12 Własnośc funkcj rozkładu prawdopodobeństwa f ( x ) X x ) p 0 f ( x ) 1 f ( x ) oraz p 1 Zm.losowa cągła funkcja gęstośc f ( x) lm f ( x) 0 x R oraz f ( x ) dx 1 x X x x x ) x 0 Zmenna losowa skokowa - przykład x f(x )=p 0 0, 1 0,46 0, suma 1 1

13 Wykres f.r.p. 0,6 0,4 0, Czy w tabel przedstawano rozkład zmennej losowej? x p 0, 5 0,1 8 0,16 9 0,6 11 0,14 Dystrybuanta zmennej losowej - F(x) Możemy utworzyć funkcję taka, która określ prawdopodobeństwo, że zmenna losowa ne przekroczy wartośc tej funkcj: F( x ) F( X x ) X x ) funkcję tę nazywamy dystrybuantą zmennej losowej F( x ) X x ) x ) p o 0 x x0 x x0 1

14 Dystrybuanta F(x) x p F(x ) 0 0, 0, kumulacja prawdopodobeństwa 1 0,46 0,68 0, 1 razem 1 Dystrybuanta 1, 0,6 0,4 0, ,9 0,6 0, Własnośc dystrybuanty o ogranczona (wynka z własnośc prawdopodobeństwa) o prawostronne cągła o nemalejąca o określona lczb rzeczywstych 14

15 x F(x ) ( ; - ) ;1) 1; 5) 5; 6) 6 ; 7) 7 ; ) 0 0,14 0, 0,65 0,81 1 Określć f.r.p. x f(x )=p - 0,14 1 0,18 5 0, 6 0,16 7 0,19 suma 1 x F(x ) 0,5 0, Które zdane jest prawdą X 4) F( X 4) F( X ) 1 0,66 0,4 X 4) F( X 4) F( X ) 1 0,66 0,4 X 4) F( X 4) F( X ) 1 0,66 0,4 X 4) F( X 4) F( X ) 1 0,66 0,4 Parametry zmennej losowej EX wartość oczekwana D X warancja DX odchylene standardowe nne, np. kwantyle, medana, wartość modalna td. 15

16 Wartość oczekwana EX x p Wartość oczekwana EX wyznacza położene najbardzej prawdopodobnej wartośc zmennej losowej Wartość oczekwana 0,6 0,4 0, EX x p 0 0,46 0,64 1,1 00, 10,46 0, Warancja D X ( x EX ) x p EX p Warancja jest marą rozrzutu wartośc zmennej losowej wokół wartośc oczekwanej 16

17 Warancja 0,6 0,4 0, D X x p EX 0 0,46 1,8 1,1 0,5 0 0, 1 0,46 0, 1,1 Odchylene standardowe DX Przedzał typowej zmennośc ( EX DX ; EX DX ) D X EX 1,1 D X 0,5 DX 0,780 VX 0,6618 Wskaźnk zmennośc VX DX EX Kwantyle Kwantylem rzędu q zmennej losowej X jest taka lczba x q, że X x ) q czyl F ( x ) q q Kwantyl rzędu 1 / nazywamy medaną (Me), lub naczej wartoścą środkową (ED 50 - doss effectva - medana dawek efektywnych, LD 50 - doss lethal - medana dawek śmertelnych - w medycyne czy przy trucznach). Kwantyle k / 4 k=1,, to kwartyle Kwantyle k / 10 k=1,...9 to decyle Kwantyle k / 100 k=1,...99 to centyle q 17

18 Wartość środkowa - medana Medana (Me) to kwantyl rzędu 0,5 X x czyl F( x 0,5 0,5 ) 0,5 ) 0,5 Jeżel EX = Me symetryczny to rozkład zmennej losowej jest Wartość modalna Wartość modalna (Mo) to taka wartość zmennej losowej X której funkcja rozkładu ma najwększą wartość. Rozkład może być jedno welomodalny Współczynnk asymetr Współczynnk asymetr (skośnośc) rozkładu zmennej losowej X : 1 Dla rozkładów jednomodalnych: ( x EX ) D X p,, EX Mo DX Gdy 1 = 0 to rozkład symetryczny 18

19 W klatce znajdują sę cztery bałe myszy dwe szare. Myszy przechodzą tunelem do nnej klatk, przy czym zakładamy, że wchodzą do tunelu nezależne. Wartoścą zmennej losowej jest numer perwszej szarej myszy przechodzącej tunelem. Wyznaczyć rozkład zmennej losowej. Oblczyć EX, DX zmennej losowej /15 4 /15 /15 /15 1/ EX D X Zmenna losowa ma trzy wartośc. Wadomo, że X=) = *X=4); X=6) = *X=) Wyznaczyć rozkład zmennej oblczyć parametry x p 0,0 4 0,10 6 0,60 1,00 EX 0, 40,1 60,6 0,6 0,4,6 4,6 D X 0, 4 0,1 6 0,6 4,6 1, 1,6 1,6 1,16,4 DX,4 1,8 1,8 VX 0,91 9,1% 4,6 ( 4,6 1,8 ; 4,6 1,8) (,8 ; 6,4) ( 4,6) 0, (4 4,6) 0,1 (6 4,6) 0,6 1,8 17,5760, 0,160,1,7440,6 5,8 5,78 0,016 1,6464,648 0,66 5,8 5,8 Me 6 Q 1 Q 6 Mo 6 0,4 0,4 0, 0,4 1,5 Zmenna losowa przedstawona jest w tabel Wyznaczyć rozkład zmennej oblczyć parametry EX 10,4 0, 0,1 40,1 50, x p 1 0,40 0,0 0,10 4 0,10 5 0,0 D X 1 0,4 0, 0,1 4 0,1 5 0,,5 0,4 0,8 0,9 1,6 5 6,5 8,7 6,5,45 DX,45 1,565 1,565 VX 0,66 6,6%,5 (,5 1,565 ;,5 1,565) (0,95 ; 4,065) ( 1,5) 0,4 ( 0,5) 0, (0,5) 0,1 (1,5) 0,1 (,5) 0, 1,565,750,4 0,150, 0,150,1,750,1 15,650,,85 1,5 0,05 0,015 0,75,15,1 0,548,85,85 Me Q 1 1 Q 4 Mo 1 19