Mikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński"

Agnieszka Niewiadomska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Mkroekonometra 5 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk

2 Uogólnone modele lnowe Uogólnone modele lnowe (ang. Generalzed Lnear Models GLM) Różną sę od standardowego MNK na dwa sposoby: Rozkład zmennej objaśnanej pochodz z rodzny rozkładów wykładnczych co oznacza (rozkład y ne mus być normalny) Średna zmennej objaśnanej jest modelowana jako pewne przekształcene, np. λ = exp Xβ Xβ ( ) Estymowane Metodą Najwększej Warygodnośc (MNW)

3 Estymacja Metoda Najwększej Warygodnośc (MNW) W MNW defnujemy funkcję najwększej warygodnośc, która opsuje warunkowy rozkład zmennej objaśnanej Dla zmennych cągłych warunkowa gęstość Dla zmennych dyskretnych warunkowe prawdopodobeństwo danego wynku Jeżel obserwacje w próbe są warunkowo nezależne to tę funkcję można zapsać jako loczyn gęstośc/prawdopodobeństw dla poszczególnych obserwacj L ( θ) = p ( y Xθ, ) = p ( y X, θ)

4 Estymacja Metoda Najwększej Warygodnośc (MNW) W praktyce, wygodnej korzystać z logarytmu funkcj warygodnośc: LL( ) log ( L( )) log p (, ) log p, θ = θ = y X θ = y log p, X θ = y X θ Logarytm to funkcja monotonczne rosnąca, węc LL osąga maksmum w tym samym punkce (dla tego samego θ), co L Estymator MNW szukamy takch wartośc parametrów θ, które maksymalzują logarytm funkcj warygodnośc: ( ) ( ) ( ( )) ( ) θ = arg max LL( θ) Szukamy takch wartośc parametrów, które maksymalzują prawdopodobeństwo wystąpena takch wartośc zmennej objaśnanej, jake faktyczne zaobserwowalśmy (zgodne z rozkładem, który założylśmy!) θ

5 Cechy estymatora MNW Estymator zgodny: p lm θ= Asymptotyczne normalny: θ0 2 LL( 0 ) ~N θ θ θ0, E θ0 θ0 Asymptotyczne efektywny ( osąga grancę efektywnośc w sense Cramera-Rao): Def.: Estymator jest asymptotyczne efektywny, jeśl jest zgodny, ma asymptotyczny rozkład normalny jego macerz AVC jest ne wększa* nż AVC nnego zgodnego, asymptotyczne normalnego estymatora * ne wększa, czyl + jakaś neujemne określona macerz Nezmenny względem cągłej różnczkowalnej transformacj Tzn. estymatorem a= g ( θ ) jest a = θ 0 g ( ) 1

6 Cechy estymatora MNW Asymptotyczną macerz kowarancj można polczyć znając wartość oczekwaną hesjanu LL w optmum: ( ) 2 ( ) LL θ 0 AVC θ = E θ0 θ0 Poneważ θ jest w praktyce neznane podstawamy: 0 2 LL θ AVC ( θ ) = θ θ Jest to po prostu mnus odwrotność hesjanu Polczene hesjanu analtyczne może być newykonalne, węc korzysta sę z przyblżeń numerycznych ( ) 1 1 θ

7 Przykład: rozkład wykładnczy Nech Wtedy: λ = exp( Xβ) ( y X β) = λ ( λy) p, exp Funkcja warygodnośc ma postać: A jej logarytm to: L ( β) = λ exp( λ y ) log ( λ exp λ ) log ( λ ) λ exp( ) ( ) ( ) LL β = y = y = Xβ Xβ y I tę funkcję maksymalzujemy, żeby uzyskać ˆβ!

8 Uogólnone Modele Lnowe w NLOGIT NLOGIT pozwala na estymację model GLM z założenem klku rozkładów. We wszystkch z nch możemy zdefnować λ = exp( Xβ) Wykładnczy p ( y X, β) = λexp( λy) P 1 P Webulla p ( y X, β) = Pλy exp( λy ) P P 1 Gamma p ( y X, β) = λ y exp( λy) Γ( P) 2 Raylegha p ( y X, β) = λyexp( 0.5λy ) P Odwrotny Gaussowsk ( y X β) p, = exp 0,5 3 2π y ( λ y P) 2 y + nne: np. Beta, power

9 Rozkład wykładnczy Średna: Warancja: 1 2 λ 1 λ

10 Rozkład Webulla Γ ( ) ( P+ 2 ) ( P+ 1 ) Γ Γ Średna: P + 1 λ Warancja: P P 2 2 P λ

11 Rozkład Gamma Średna: Warancja: P λ 2 P λ

12 Rozkład odwrotny gaussowsk Średna: Warancja: P λ 3 P λ

13 GLM w NLOGIT 1. Wczytaj zbór danych me.nsurance.lpj zawerający nformacje o wysokośc szkód w wypadkach samochodowych 2. Przeskaluj zmenną objaśnaną do 1000 dolarów sprawdź czy mężczyźn mają stotne różne wysokośc szkód nż kobety, kontrolując wek osoby, wartość pojazdu oraz kwadrat wartośc pojazdu 3. Wypróbuj różne rozkłady LOGLINEAR ; lhs = ; rhs = ; model = exponental / webull... $

14 Przykład ubezpeczena Interpretacja wynków Wartość funkcj LL Wartość funkcj LL 0 Lczba zmennych Lczba obserwacj Oszacowana parametrów Błędy standardowe Statystyka z, p-value 95% przedzał ufnośc Asymptotyczna macerz warancj-kowarancj Logl_obs ndywdualny wkład obserwacj do funkcj LL

15 Pomar 'dopasowana' modelu Po estymacj modelu zwykle raportowane są: Wartość funkcj LL w optmum (w punkce konwergencj) Wartość funkcj LL 'w 0' (model wykorzystujący tylko stałą) Odpowada założenu, że wszystke parametry w modelu nestotne Ne ma mary R 2 z MNK Pewnym rozwązanem jest Pseudo-R 2 (klka wersj) Mary oparte na wartośc funkcj LL (wele wersj): 2 McFadden's pseudo-r = 1 LL LL0 [0,1) Im model lepej dopasowany tym R 2 blższe 1 Ale przedzał mędzy 0 a 1 ne ma nterpretacj naturalnej Ne wemy, gdze jest zero Z powodu stnena składnka losowego model ne osąga 1

16 Pomar 'dopasowana' modelu Kryterum nformacyjne Akake (AIC) AIC = 2k 2LL( β) AIC skorygowane (dla skończonej próby) 2k( k+ 1) AICc = AIC + N k 1 Bayesowske kryterum nformacyjne (BIC, Schwarza) BIC = k ln N 2LL( β) Znormalzowane podzelone przez N Jak w modelu lnowym ne jest to kryterum 'statystycznego' porównana, ale często używane Mów, który model lepej pasuje do danych Ne mów czy dobrze, o le lepej czy stotne lepej W porównanu z pseudo-r 2 przynajmnej berze pod uwagę lczbę zmennych objaśnających

17 GLM w NLOGIT 1. Sprawdź, który z rozkładów najlepej pasuje dla modelu analzowanego wcześnej 2. Czy wynk są take same dla różnych kryterów? ; output = IC wyśwetla w outpuce dodatkowe krytera nformacyjne

18 Interpretacja wynków model nelnowych efekty cząstkowe Aby znterpretować wynk w sposób loścowy, to jest móc powedzeć jeżel x wzrośne o jednostkę to średno y wzrośne o leś jednostek, korzysta sę z tzw. efektów cząstkowych (lub krańcowych) Efekt cząstkowy: Np. dla modelu wykładnczego mamy: Wynk zależy od wartośc X, czyl może być różny dla różnych obserwacj pozomu nnych zmennych ( X, β) E y X j ( X, β) E y X * Zazwyczaj lczy sę go dla ustalonego, lub lczy sę średn efekt w próbe: 1 E( y X, β) N X j X j = λβ j

19 Interpretacja wynków model nelnowych efekty cząstkowe Dla zmennych bnarnych efekty cząstkowe lczy sę w nny sposób: Δ E( y X, β) = E( y X, β, Z = 1 ) E( y X, β, Z = 0) Z gdze to zmenna bnarna. W tym przypadku analzuje sę zazwyczaj średn efekt w próbe: 1 1 Δ E y = Δ E y Z = Δ E y Z = N N ( X, β) ( X, β, 1 ) ( X, β, 0)

20 Interpretacja wynków model nelnowych efekty cząstkowe 1. Polcz efekt cząstkowy dla najlepszego modelu z poprzednego zadana. Jaka jest jego loścowa nterpretacja? 2. Wypróbuj średn efekt cząstkowy oraz efekt cząstkowy polczony dla średnch wartośc zmennych objaśnających PARTIALS ; effects: vehval / vehval2 / male / age02 / age03 / age04 / age05 / age06 ; summary $ ; means lczy efekty cząstkowe dla średnch wartośc zmennych objaśnających ; summary generuje jedną tabelkę zamast klku

21 Interpretacja wynków model nelnowych efekty cząstkowe Efekt cząstkowy dla wartośc pojazdu jest nejasny, poneważ mamy w modelu zarówno zmenną vehval jak vehval2 Aby obejść ten problem należy wyestymować model, w którym zamast zmennej vehval2 wstawmy po prostu vehval^2 LOGL ; lhs = clm ; rhs = one, vehval, vehval^2, male, age02, age03, age04, age05, age06 ; model = nverse gaussan $ 1. Przeanalzuj efekt cząstkowy dla wartośc pojazdu

22 Efekty cząstkowe scenarusze Czasem chcelbyśmy móc przewdzeć, czy np. wpływ wartośc pojazdu na welkość szkody jest różny dla różnych płc Zastosowane 'scenaruszy': PART ; effects: vehval male = 0,1 $ Operator ' ' dzała w ten sposób, że dla wszystkch obserwacj wstawa male = 0 lczy średn efekt cząstkowy, a następne wstawa male = 1 lczy średn efekt cząstkowy PART ; effects: male = 0,1 $ Operator '@' dzała w ten sposób, że lczy średne efekty cząstkowo osobno dla podprób, w których male = 0 lub = 1

23 Efekty cząstkowe scenarusze Analogczne możemy polczyć le wynos średn efekt cząstkowy płc dla różnych wartośc pojazdu: PART ; effects: male & vehval = 0(1)10 $ Operator '&' lczy kolejno średne efekty cząstkowe dla płc zakładając, że wartość pojazdu dla każdej obserwacj wynos 0,1,2 10 ; plot rysuje wykres efektów cząstkowych ; plot(c) rysuje wykres efektów cząstkowych ch przedzały ufnośc 1. Przeanalzuj wykreśl omawane powyżej efekty cząstkowe

24 Praca domowa ME.5 1. Wykorzystując zbór danych me.nsurance.lpj przeprowadź analogczną analzę (tj. wyberz najlepszy model) uwzględnając wszystke dostępne zmenne. Pomń obserwacje dla pojazdów typu 'convertble' 'roadster'. Pamętaj o rozkodowanu zmennych kategorycznych! 2. Znterpretuj wynk wykorzystując efekty cząstkowe Zbadaj wpływ poszczególnych zmennych wykorzystując średne efekty cząstkowe w próbe oraz efekty cząstkowe dla średnch wartośc zmennych objaśnających 3. Dokonaj analzy wybranego scenarusza (nnego nż na zajęcach) znterpretuj jego wynk Do przygotowana w grupach trzyosobowych :52:34

Podobne dokumenty

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mkroekonometra 6 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk 'Netypowe' zmenne objaśnane Problemy mkroekonometryczne często zmenna objaśnana ne jest cągła lub jej wartość ne ma bezpośrednej nterpretacj loścowej Zmenną