65120/ / / /200

Transkrypt

1 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę A 45 Wolę B 6 5 Ne wdzę różncy 4 Na pozome stotnośc. zweryfkować hpotezę mówącą, że preferencje klentów ne zależą od płc. Wyznaczamy tabelę kontyngencj: Odpowedź Kobety Mężczyźn rozkład Wolę A Wolę B Ne wdzę różncy rozkład ) Statystyka testowa suma = r s Nj N N j / n) 65/ ) /) 6 75 /) /) = j= N N j / n 65/ 65 8/ 75/ 75 8/ χ = = / ) 6 8/ ) + 6/ + 6 8/ = 36, 75 ) Wartość krytyczna: χ,99;3 ) ) = χ,99; = 9, Obszar krytyczny: W = [9,; ) 3) W odrzucamy hpotezę zerową czyl preferencje zależą od płc respondenta). Na przebadanych szczurów u 6 stwerdzono objawy obnżonego refleksu. Wśród chorych szczurów tylko dostawało pewen preparat P, a wszystkch szczurów karmonych tym preparatem było 8. Czy można uznać, że karmene preparatem P ne wpływa na obnżene refleksu u szczurów? Przyjąć pozom stotnośc.5. Wyznaczamy tabelę kontyngencj: nekarmony preparatem karmony preparatem rozkład ) Statystyka testowa obnżony refleks neobnżony refleks rozkład suma = r s Nj N N j / n) 4 6 /) 8 4/) 8 6/ ) 6 8 4/ ) = j= N N j / n 6 / 4/ 8 6/ 8 4/ χ = = + + +,59 ) Wartość krytyczna: χ Obszar krytyczny: W = [3,84; ),95; ) ) = χ,95; = 3,84

2 3) χ W brak podstaw do odrzucena hpotezy zerowej czyl karmene preparatem ne wpływa na pozom refleksu).3 W czterech mastach badano znajomość angelskego wśród lcealstów. W dwóch perwszych mastach wylosowano po 3 lcealstów, a w dwóch pozostałych po. Ucznów deklarujących znajomość angelskego było odpowedno: K = 5, K =, K3 = 5, K4 = 9. Na pozome stotnośc.5 zweryfkować hpotezę mówącą, że odsetek lcealstów znających angelsk jest tak sam we wszystkch czterech mastach pˆ = =,6 ) Statystyka testowa r K ˆ ) 5 3,6) 3,6) 5,6) 9,6) n p χ = n pˆ pˆ ) 3,6,4 3,6,4,6,4 3,6,4 ) Wartość krytyczna: χ =,95;4 χ =,95;3 7,85 = = = 6,5 Obszar krytyczny: W = [7,85; ) 3) χ W brak podstaw do odrzucena hpotezy zerowej czyl odsetek lcealstów znających angelsk jest tak sam we wszystkch czterech mastach).4 Producent rękawczek podejrzewa, że bałe rękawczk są kupowane dwa razy rzadzej nż brązowe trzy razy rzadzej nż czarne. Czy można uznać, że producent ma rację, jeśl na 3 sprzedawanych par rękawczek 65 było czarnych, a 95 brązowych? Przyjmj pozom stotnośc.. p prawdopodobeństwo kupena bałych rękawczek; p prawdopodobeństwo kupena brązowych rękawczek; 3p prawdopodobeństwo kupena czarnych rękawczek; p + p + 3p = p = / 6 Testujemy węc hpotezę zerową, że częstotlwość zakupów rękawczek o określonych kolorach opsane jest następującym rozkładem: Bałe brązowe czarne /6 /3 / ) Statystyka testowa k n np ) 4 3 6) ) 65 3 ) χ = = + + 3,75 = np ) Wartość krytyczna: χ,99; = 9, Obszar krytyczny: W = [9,; ) 6 3 3) χ W brak podstaw do odrzucena hpotezy zerowej czyl częstotlwość kupowana rękawczek można opsać za pomocą podanego rozkładu).5 Przez 3 dn obserwowano pracę pewnej maszyny, rejestrując lczbę uszkodzeń w cągu dna. Otrzymano ponższy empryczny rozkład lczby uszkodzeń tej maszyny w cągu dna. Lczba uszkodzeń Lczba dn Na pozome stotnośc.5 zweryfkować hpotezę, że lczba uszkodzeń ma rozkład Possona.

3 ) Estymujemy neznany parametr w rozkładze Possona za pomocą Metody Najwększej Warogodnośc. Było pokazane na ćwczenach, że tym estymatorem jest średna z próby: ˆ λ = = ) / 3 =,8 ) Wyznaczamy prawdopodobeństwa dla rozkładu Possona ˆ,8,8 p = p λ) = e, 449! ˆ,8,8 p = p λ ) = e,359! ˆ,8,8 p = p λ ) = e,44! 3 ˆ,8,8 p3 = p3 λ ) = e, 38 3! 4 ˆ,8,8 p4 = p4 λ ) = e, 4! 3) Statystyka testowa k n np ) 4 3, 449) 3,359) 3 3,44) 3, 38) χ = = = np 3, 449 3,359 3,44 3,38 3, ) 3,, 796 4) Wartość krytyczna Statystyka testowa ma asymptotyczny rozkład ch-kwadrat o k d stopnach swobody, gdze k oznacza lczbę pozomów dyskretnej zmennej losowej, a d to lość estymowanych parametrów za pomocą MNW, czyl: k d = 5 = 3 χ =,95;3 7,85 Obszar krytyczny: W = [7,85; ) 5) W odrzucamy hpotezę zerową czyl rozkładu uszkodzeń ne można opsać za pomocą rozkładu Possona).6 Panuje przekonane, że lczba T całych) lat bezawaryjnej pracy sprzedanej pralk ma rozkład t geometryczny: P T = t) = θ θ ), gdze t =,,... Obserwowano przez dwa lata próbkę 4 pralek wynk były następujące: Czas bezawaryjnej pracy Lczba pralek lat 3 rok 4 lub węcej 4 Przeprowadzć test hpotezy mówącej, że czas bezawaryjnej pracy pralk ma rozkład geometryczny, przecw alternatywe, że ma nny rozkład przyjmując pozom stotnośc równy.5. ) Estymacja neznanego parametru w rozkładze geometrycznym za pomocą MNW P T = ) = θ θ ) = θ P T = ) = ) = ) θ θ θ θ [ ] P T ) = θ + θ θ) = θ 4 4 ) ) [ ] ) ) L θ ) = P T = t,..., T = t = θ θ θ ) θ = θ θ 3

4 ) ) l θ ) = 36ln θ + ln θ 36 ˆ l θ) = θ θ + θ = = 4 ) Wyznaczamy prawdopodobeństwa dla rozkładu geometrycznego p = p ˆ θ = ˆ θ = / 4 = 3 / 4 ) ˆ) ˆ ˆ) ) 3 ˆ) ˆ p = p θ = θ θ = = p = p θ = θ = 6 3) Statystyka testowa 3 3 k n np ) 3 4 4) 4 4 6) 4 4 6) χ = = + + 6,66 = 3 3 np ) Wartość krytyczna Statystyka testowa ma asymptotyczny rozkład ch-kwadrat o k d stopnach swobody, gdze k oznacza lczbę pozomów dyskretnej zmennej losowej, a d to lość estymowanych parametrów za pomocą MNW, czyl: k d = 3 = χ =,95; 3,84 Obszar krytyczny: W = [3,84; ) 5) W odrzucamy hpotezę zerową czyl rozkładu bezawaryjnej pracy pralk ne można opsać za pomocą rozkładu geometrycznego).7 Przypuszczano, że sposób zapewnena sobe posłków w pracy przez pracownków zależy od płc. W tym celu wylosowano grupę 4 pracownków uzyskano wynk: Śnadane z domu Obad na meśce Zamówene do pracy Kobeta 6 7 Mężczyzna Podać wartość statystyk testowej wartość krytyczną testu dla weryfkacj hpotezy o nezależnośc obu cech przyjąć pozom stotnośc,5). Czy sposób zapewnena sobe posłków w pracy przez pracownków zależy od płc? Śnadane z domu Obad na meśce Zamówene do pracy Rozkład Kobeta Mężczyzna Rozkład ) Statystyka testowa r s Nj N N j / n) 4 / 4) 6 4 / 4) 7 4 / 4) 9 6 / 4) = j= N N j / n 4 /4 4 / 4 4 / 4 6 /4 χ = = / 4) 3 6 / 4) 6/ 4 = + + ) Wartość krytyczna: χ 6 /4 6, 5 Obszar krytyczny: W = [5,99; ) χ,95;3 ) ) =,95; = 5,99 4

5 3) W odrzucamy hpotezę zerową czyl sposób zapewnena sobe posłków w pracy przez pracownków zależy od płc).8 Zakładamy, że lczby wypadków w kolejnych tygodnach są nezależnym zmennym losowym o jednakowym rozkładze o możlwych wartoścach,, ). Chcemy zweryfkować hpotezę H, mówącą, że te zmenne losowe mają rozkład postac: P = ) =,8 P = ) =,5 P = ) =, 5. Dane dotyczące tygodn opsuje następująca tabelka: lczba wypadków w tygodnu lczba tygodn 7 Wartość statystyk testowej testu zgodnośc χ dla weryfkacj hpotezy H jest równa... Poneważ obszar krytyczny tego testu na pozome stotnośc,5 jest równy..., zatem hpotezę H ODRZUCAM / NIE ODRZUCAM. ) Statystyka testowa k n np ) 7,8),5), 5) χ = = + + = 7 = np,8,5,5 ) Wartość krytyczna: χ =,95; 5,99 Obszar krytyczny: W = [5,99; ) 3) W odrzucamy hpotezę zerową.9 Badano zwązek pomędzy wykształcenem a tolerancją. Przeprowadzono badane na 3 osobach otrzymano wynk: tolerancja brak tolerancj razem wykształcene wyższe 7 3 wykształcene średne 5 5 brak wykształcena średnego 3 7 Razem Podać wartość statystyk testowej χ dla weryfkacj hpotezy o nezależnośc obu cech. χ =... Poneważ wartość krytyczna testu na pozome stotnośc,5 jest równa..., węc ODRZUCAM / NIE ODRZUCAM H. ) Statystyka testowa r s Nj N N j / n) 7 5/3) 5 5/3) 3 5/3) 3 5/3) = j= N N j / n 5/3 5/3 5/3 5/3 χ = = /3) 7 5/3) 5/3 + 5/3 = 3 ) Wartość krytyczna: χ =,95; 5,99 Obszar krytyczny: W = [5,99; ) 3) W odrzucamy hpotezę zerową czyl tolerancja zależy od pozomu wykształcena) 5

6 Zadane Zanotowano czasy wykonana detalu przez 5 nezależne wybranych pracownków przed szkolenem po szkolenu. Otrzymano następujące wynk: pracownk A B C D E czas przed szkolenem 9,6 8, 9 8 czas po szkolenu 8, 7, 7 9 Zakładamy, że obserwowane zmenne losowe mają rozkład normalny. Należy zweryfkować hpotezę H, że przecętny czas wykonywana detalu ne ulega zmane po przeprowadzenu szkolena, przy alternatywe, że po szkolenu jest on krótszy, testem na pozome stotnośc,5. Przyjmujemy oznaczena: czas wykonywana detalu przed szkolenem Y czas wykonywana detalu po szkolenu Z Y N µ σ = ~, ) Trzeba zweryfkować hpotezę H : µ = wobec H : µ >. Wyznaczamy wartośc zmennej Z: pracownk A B C D E czas przed szkolenem 9,6 8, 9 8 czas po szkolenu 8, 7, 7 9 Z= - Y,5 - ) Oblczamy średną warancję z próby: = =,7 S, ,5,7) +,5 ) +,5 ) +,5 ) +,5+ ) = =,4 ) Statystyka testowa: T = n = 5, µ,7 S,4 3) Obszar krytyczny t α 4 [ ) W = [, ) =,3; 4) T W brak podstaw do odrzucena H Test lorazu warogodnośc 6

7 Nech populacja ma rozkład cągły określony funkcją gęstośc f x, θ ) lub rozkład skokowy określony funkcją prawdopodobeństwa p x, θ ). Z populacj tej wylosowano n-elementową próbę prostą celem weryfkacj hpotezy H : θ = θ wobec hpotezy alternatywnej H : θ θ. Nech L x, θ ) będze warygodnoścą próby nech ˆ θ będze estymatorem najwększej warygodnośc parametru θ. Warygodność próby wyznaczona przy założenu prawdzwośc hpotezy H oznaczamy przez L x, θ ). Jeżel populacja ma rozkład zależny od r-wymarowego wektora parametrów θ oraz H : θ = θ jeżel to statystyka L x θ γ = L x, ˆ θ ), ), χ = lnγ ma przy n asymptotyczny rozkład χ o r stopnach swobody. Obszar krytyczny testu lorazu warygodnośc: W = { χ = γ χ α ; r} ln. Zadane Nech,,..., będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze Possona z neznanym parametrem θ >. Wemy, że średna w analzowanej próbe wynos 5. Zweryfkować na pozome stotnośc,5 hpotezę H : θ = 4 przecw alternatywe H : 4 θ wykorzystując test asymptotyczny oparty na loraze warygodnośc. ) Funkcja warygodnośc: θ n θ θ = e θ e L, θ) = =!! ) ) = = ) Estymator MNW parametru θ : ˆ θ = 3) Iloraz warygodnośc: θ L x, θ) θ e e γ = = / = θ ˆ L x, θ )!! 4) Statystyka testowa: ) ) = = e θ ) χ = ln γ = 4 lnθ + 4 ln 4 θ) = 4 5 ln4) ln5) 45 4) 46, 9 5) Obszar krytyczny: ) χ ) [ ) W = χ α ; r ; =,95;; = 3,84; 6) Decyzja: W odrzucamy hpotezę zerową Zadane 3 7

8 k Zmenna losowa ma rozkład geometryczny o funkcj prawdopodobeństwa P = k) = θ θ), dla k =,,,..., gdze θ,) jest neznanym parametrem. Z rozkładu wylosowano próbę o lczebnośc 5 otrzymano średną równą 3. Przyjmując pozom stotnośc, zweryfkować hpotezę H : θ =, 4 przecw alternatywe H :, 4 θ stosując asymptotyczny test oparty na loraze warogodnośc. ) Funkcja warygodnośc: 5 5, ) = ) L θ θ θ = ) Estymator MNW parametru θ : ˆ θ = = 4 + 3) Iloraz warygodnośc: L x, θ ) θ θ ) θ θ γ = = = L x, ˆ) ˆ ˆ θ θ θ ) ˆ θ ˆ θ 4) Statystyka testowa: θ θ,4,4 χ = ln γ = ln ln ln,5 ) 3 ln,5 ) 9,94 ˆ = θ ˆ θ 5) Obszar krytyczny: ) χ ) [ ) W = χ α ; r; =,9;; =,76; 6) Decyzja: W odrzucamy hpotezę zerową 8