Monika Kośko Wyższa Szkoła Informatyki i Ekonomii TWP w Olsztynie Michał Pietrzak Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolske Semnarum Naukowe, 4 6 wrześna 007 w Torunu Kaedra Ekonomer Saysyk, Unwersye Mkołaja Kopernka w Torunu Monka Kośko Wyższa Szkoła Informayk Ekonom TWP w Olszyne Mchał Perzak Unwersye Mkołaja Kopernka w Torunu Wykorzysane przełącznkowych model ypu Markowa w modelowanu zmennośc fnansowych szeregów czasowych *. Wprowadzene Zmenność fnansowych szeregów sóp zwrou jes ważnym aspekem welu ekonomcznych decyzj. W szeregach o dużej częsolwośc zmenność różncuje sę w czase, a okresy o różnej zmennośc mają endencję do grupowana. Aby wychwycć ego rodzaju zjawsko welu auorów wykorzysuje srukurę GARCH, wprowadzoną w pracy Bollerslev (986). Modele ypu GARCH uwzględnają efek grupowana warancj warunkowej, ale prognozy uzyskane na ch podsawe są zwykle przeszacowane. Sposobem na polepszene własnośc prognosycznych model GARCH może być wprowadzene specyfkacj modelu przełącznkowego Markowa (Markov swchng). Po raz perwszy model z przełączenem ypu Markowa wprowadzony zosał w pracy Hamlon (989) do opsu cyklu konunkuralnego. Nasępne rozważono możlwość wykorzysana łańcuchów Markowa do modelowana zmennośc. Jako perwszy wprowadzony zosał model SWARCH, gdze połączono model ARCH z modelem przełącznkowym Markowa (parz Hamlon Susmel, 994). Kolejnym krokem było rozszerzene modelu SWARCH o proces GARCH, w wynku czego orzymano model MS-GARCH. Model en opsany zosał w pracach Davdson (994), Klassen (00), Gray (996), w kórych każdy z auorów w * W przypadku Mchała Perzaka druk publkacj zosał sfnansowany przez Unwersye Mkołaja Kopernka w Torunu w ramach granu UMK nr 333 E.

2 74 Monka Kośko, Mchał Perzak różny sposób zdefnował równane warunkowej warancj, wykorzysywane podczas esymacj paramerów modelu. Celem arykułu jes prezenacja modelu MS-AR-GARCH oraz wykorzysane ego modelu do opsu zmennośc wyznaczena prognoz emprycznych fnansowych szeregów czasowych.. Budowa modelu MS-AR-GARCH Modele AR-GARCH MS-AR-GARCH różną sę mędzy sobą, przede wszyskm koncepcją, co do sposobu wyjaśnena różncującej sę w czase zmennośc. W modelu AR-GARCH zmenność opsywana jes poprzez uwzględnene pozomu zmennośc z okresów wcześnejszych. Dlaego model en dobrze opsuje własność skupana zmennośc, gdze przez dłuższy czas urzymuje sę wysoka warancja, a nasępne obserwuje sę okres nskej warancj. W przypadku modelu MS-AR-GARCH skupane sę zmennośc jes rakowane jako wynk przebywana procesu przez pewen czas w jednym ze sanów, a nasępne przeskoku przebywana w nnym sane. Wysępowane r sanów w badanym procese skukuje zw. meszanką równań opsujących warunkową warancję, co podobne, jak w przypadku modelu AR-GARCH pozwala na dobry ops własnośc skupana zmennośc w szeregu. Srukura przełącznkowa modelu ma jednak zapewnć jego lepsze własnośc prognosyczne w porównanu z modelem AR-GARCH. Przełącznkowy model MS-AR-GARCH przyjmuje posać: y Y y ε gdze: = μ = u, s, θ + ε ( ) h, u y ~ r y ~ IID dla M dla ( 0,) s s = = r y - jes waroścą procesu w chwl, Y - sanow zakres nformacj doyczącej badanego procesu z przeszłośc, () () () () ( ) θ = [ p, β0, β, γ, df ]- wekor paramerów z -ego sanu, s = - san {,,..., r}, w kórym znajduje sę proces w chwl. () Modele GARCH MS-GARCH zosały rozszerzone do model AR-GARCH MS-AR-GARCH poprzez dodane procesu auoregresyjnego AR(p), w celu uzyskana możlwośc opsu auorelacj w szeregu czasowym.

3 Wykorzysane przełącznkowych model ypu Markowa Warunkowa średna w chwl dla -ego reżmu jes modelowana za pomocą procesu auoregresyjnego AR(r) o posac: μ = α ) y 0 ( s = ) + α ( s = ) y α p ( s = p, () naomas warunkowa warancja w chwl dla -ego reżmu określona jes poprzez proces GARCH(p,q) o posac: p l= q l + γ k ( s = k h = β ( s = ) + β ( s = ) ε ) h 0 3. Esymacja modelu MS-AR-GARCH l k. (3) Esymacja modelu MS-AR-GARCH określonego wzorem () jes w prakyce rudna. W przypadku, gdy chcemy znaleźć warość warancj warunkowej, przy założenu dwóch sanów procesu GARCH(,), należy wząć pod h uwagę dwa możlwe równana warancj warunkowej, w zależnośc od sanu h s =. Nasępne dla każdego równana warancj warunkowej należy rozważyć dwa równana dla warancj h h, ze względu na dwa możlwe sany s =. Czynność a jes powarzana do momenu, gdy =. Wdoczny saje sę fak, że lczba sanów, kórą należy rozparzyć szybko rośne wraz z lczebnoścą szeregu co powoduje, ż oszacowane paramerów modelu saje sę newykonalne. W leraurze przedmou pojawły sę rzy podejśca w rozwązanu ego problemu. Perwszym z nch jes wersja zaproponowana w pracy Davdson (004), gdze proces GARCH przekszałcany jes na proces auoregresyjny z neskończoną lczba opóźneń ARCH( ): β0 ( s = ) h = + δ k ( s = ) ε. (4) β ( s = )... β ( s = ) q Zaleą ego rozwązana jes o, że warość warancj warunkowej zależy jedyne od sanu s w chwl. Drugą propozycję sanow podejśce zaproponowane w pracy Gray (996), gdze warośc warunkowej warancj opóźnone w czase są lczone jako warość oczekwana z kolejnych warancj dla wszyskch sanów. W przypadku procesu GARCH(,) równane dla warunkowej warancj określone jes: k = h = β 0 ( s = ) + β ( s = ) ε + E( h ), (5) E h ) P( s = ) h + P( s = h, (6) ( = ) h

4 76 Monka Kośko, Mchał Perzak gdze ( s = ) P jes prawdopodobeńswem przebywana procesu w sane w momence przy znanym zakrese nformacj aż do chwl -. Trzece podejśce zosało zaproponowane w pracy Klassen a (00), w kórym rozwnęa zosała dea Grey a, gdze zgodne ze wzorem (6) wymagana jes znajomość warośc warancj warunkowych h, h. W celu wzęca pod uwagę nformacj z okresu -, Klassen oblcza warośc warancj warunkowych h h ze wzoru: h, = β0 + ( s = ) + β ( s = ) ε E( h ), (7) gdze wzór na warość oczekwaną E( h ) jes analogczny do wzoru (6). W nnejszym opracowanu zdefnowano równane dla warunkowej warancj zgodne ze sposobem zaproponowanym przez Davdsona. Przyjmując założenam meody najwększej warygodnośc, oceny paramerów uzyskane zosaną w drodze maksymalzacj warośc funkcj warygodnośc danej wzorem: l T = [ P( s = ) f ( y Y, s = ) + ( P( s = ) f ( y Y, s = ) ] = ( s = ) = P( s = ) p + P( s = ) p f ( y Y, s = ) Ps ( ) ( = ) = = f ( y Y, s = ) Ps ( = ) + f ( y Y, s = ) Ps ( = ) ln, (8) P, (9) Ps, (0) gdze: f ( y Y, s = ) - funkcja gęsośc odpowednego rozkładu, P( s = )- prawdopodobeńswo przebywana procesu w sane w momence przy znanym zakrese nformacj aż do chwl, pj - prawdopodobeńswo warunkowe przejśca ze sanu do sanu j. Przy wyznaczana prognoz zmennośc na podsawe emprycznych szeregów sóp zwrou na k okresów, należy wykorzysać nasępujące wzory P () T + k = P( st + k = T ) μt + k = P () T + k = P( st + k = T ) ht + k = y, () h, () gdze warośc prawdopodobeńsw warunkowych P( s T ) rekurencyjne na podsawe wzoru (9). T k = + wyznaczane są

5 Wykorzysane przełącznkowych model ypu Markowa Wynk badana na podsawe fnansowych sóp zwrou W analze emprycznej wykorzysano dane w posac dzennych sóp zwrou spółek noowanych na GPW w Warszawe, worzących ndeks WIG0. Poneważ głównym celem arykułu jes sprawdzene, czy na podsawe modelu MS-AR-GARCH uzyskwane są prognozy zmennośc lepszej jakośc w porównanu z modelem AR-GARCH, w perwszej kolejnośc dokonano esymacj ych ypów model dla posadanych szeregów. Nasępne posadając poprawne wyesymowane modele, wyznaczono jednodnowe prognozy na rzydześc kolejnych sesj. W kolejnym kroku badana oblczono błędy prognoz ex pos, w posac błędu RMSE, w celu porównana własnośc prognosycznych obu analzowanych ypów model. Tabela. Charakerysyk rozkładu zwroów wybranych szeregów Charakerysyk rozkładu AGORA KGHM NETIA TP Odchylene sandardowe Skośność Kuroza Tes Jarque-Bera na normalność rozkładu sóp zwrou Tes Junga-Boxa dla zwroów-q(5) Tes Junga-Boxa dla kwadraów sóp zwrou-q(5) [0.005] 9.5 W nawasach [] podano warośc p-value. Źródło: oblczena własne w programe TSM. [0.56] [0.805] 7.9 W abel przedsawono warośc podsawowych charakerysyk rozkładu oraz esy weryfkujące wybrane własnośc sóp zwrou spółek Agora S.A., KGHM Polska Medź S.A., Nea S.A., Telekomunkacja Polska S.A.3. Wszyske szereg posadają wysoke współczynnk kurozy oraz odrzucona zosaje hpoeza o rozkładze normalnym zgodne z wynkam esu Jarque- Bera. We wszyskch przypadkach wysępuje efek ARCH, na co wskazują wynk esu Ljunga-Boxa dla kwadraów sóp zwrou. Zgodne z esem Ljunga- Boxa dla sóp zwrou, w przypadku spółek KGHM Polska Medź S.A. oraz Telekomunkacja Polska S.A. wysępuje zjawsko auokorelacj. Z dwudzesu spółek ndeksu WIG0, do esymacj model AR-GARCH oraz MS- AR-GARCH wybrano walorów. Było o konsekwencją założena, że lczebność szeregu pownna wynosć co najmnej ysąc obserwacj. Analzowane szereg pochodzły z okresu od (daa wprowadzena sysemu WARSET) do Logarymczne sopy zwrou przemnożono przez lczbę Ze względu na ogranczony zakres pracy, spośród posadanych wynków dla dwunasu spółek, przedsawono jedyne rezulay dla wybranych czerech szeregów.

6 78 Monka Kośko, Mchał Perzak Tabela. Wynk esymacj model AR(r)-GARCH(p,q) Paramery AGORA KGHM NETIA TPSA α - - [0.00] [0.037] α [0.05] β GARCH ~-Sudena β γ df Skośność (reszy) Kuroza (reszy) Tes Jarque-Bera (reszy) Tes Ljunga-Boxa dla reszy Q(5) Q(5) = 4.7 [0.45] Q(5) = 4.80 [0.44] Q(5) =. Q(5) =.38 [0.96] Tes Ljunga-Boxa dla reszy^ Q(5) Q(5) = 3.77 [0.58] Q(5) = 3.83 [0.573] Q(5) =.56 [0.767] Q(5) = 6.79 [0.37] L. warygodnośc K. Schwarza RMSE W nawasach [] podano warośc p-value. Źródło: oblczena własne w programe TSM. Tabela przedsawa wynk oszacowań dla model AR(p)-GARCH(p,q)4. Oszacowane paramery, w przypadku wszyskch spółek, okazały sę saysyczne sone. Podczas analzy resz należy zwrócć uwagę na wysoką warość współczynnka kurozy w procese reszowym oraz na fak, że zgodne z esem Jarque-Bera na normalność rozkładu resz odrzucana jes hpoeza zerowa. Jes o wynkem przyjęca warunkowego rozkładu -Sudena, kóry przy nskch sopnach swobody posada wększą kurozę w porównanu z rozkładem normalnym. Efek ARCH zosał pomyślne wyelmnowany w przypadku wszyskch szeregów. W dwóch osanch werszach znajdują sę warośc kryerum nformacyjnego Schwarza oraz warośc błędu RMSE polczonego na podsawe uzyskanych prognoz. Naomas abela 3 zawera wynk esymacj model MS-AR-GARCH, gdze wszyske paramery są saysyczne sone. Uzyskano podobne własnośc resz, jak w przypadku model AR-GARCH, co śwadczy o poprawnośc esymacj. W przypadku wszyskch spółek efek ARCH zosał wyelmnowany. 4 Obydwa modele AR-GARCH oraz MS-AR-GARCH esymowane były przy założenu rozkładu normalnego lub rozkładu -Sudena. W przypadku modelu MS-AR- GARCH dopuszczono możlwość przyjęca różnych rozkładów warunkowych dla każdego reżmu.

7 Wykorzysane przełącznkowych model ypu Markowa Tabela 3. Wynk esymacj model przełącznkowych MS-AR(r)-GARCH(p,q) Paramery AGORA KGHM NETIA TPSA α [0.00] 0.05 [0.044] - - p / p p / p () β ( ) β () β [0.04] [0.046] [0.006] [0.00] ( ) β [0.005] [0.059] [0.00] 0.03 [0.00] () γ ( ) γ () df ( ) df Skośność (reszy) Kuroza (reszy) Tes Jarque-Bera 0.89 [0.865].3634 [0.506].938 [0.00] MS-GARCH ~-Sudena Tes Ljunga- Boxa dla resz- Q(5) Tes Ljunga- Boxa dla resz^- Q(5) Q(5) = 3.86 [0.656] Q(5) = [0.6] Q(5) = [0.55] Q(5) = 4.66 [0.459] Q(5) =.93 [0.03] Q(5) = [0.059] Q(5) =.405 [0.94] Q(5) = [0.358] L. warygodnośc K. Schwarza RMSE W nawasach [] podano warośc p-value. Źródło: oblczena własne w programe TSM. 5. Podsumowane Analzując5 welkośc kryerów nformacyjnych wyesymowanych model AR-GARCH oraz MS-AR-GARCH można zauważyć neznaczne korzysnejsze warośc dla model przełącznkowych. Oznacza o, że obydwa modele równe dobrze dopasowane zosały do danych emprycznych. Porównując nasępne warośc błędu RMSE dla zbadanych spółek można swerdzć, że błędy e dla obydwu ypów model są na podobnym pozome. Śwadczy o o ym, że na podsawe analzowanych dwunasu spółek wchodzących w skład ndeksu WIG0 ne można swerdzć, że model MS-AR-GARCH posada lepsze własnośc prognosyczne zmennośc nż model AR-GARCH. Można wycągnąć 5 W podsumowanu rozważono wynk uzyskane dla wszyskch dwunasu spółek wybranych spośród dwudzesu walorów worzących ndeks WIG0.

8 80 Monka Kośko, Mchał Perzak wnosek, że do opsu, jak prognoz fnansowych szeregów czasowych należałoby wybrać model mnej skomplkowany w budowe, w posac modelu AR- GARCH. Należy jednak zauważyć, że wykorzysane modelu MS-AR-GARCH pozwala na uzyskane dodakowych nformacj o mechanzme przechodzena przebywana procesu w sanach, w posac oszacowanych prawdopodobeńsw warunkowych. Informacja a posada warość ylko w przypadku, gdy prawdopodobeńswa przyjmują możlwe skrajne warośc ze zboru (0,). Na przykład dla spółek Agora S.A., KGHM S.A. prawdopodobeńswa przyjmują warośc z przedzału od 0.4 do 0.6, co ne daje żadnych korzyśc nformacyjnych, poneważ sneją podobne szanse na pozosane procesu w reżme lub przejśce procesu do nnego reżmu. W przypadku spółk Nea S.A. można usalć średn czas rwana procesu w każdym sane dzęk analze prawdopodobeńsw, gdze prawdopodobeńswo pozosawa procesu w sane perwszym wynos 0.73, a pozosana w sane drugm wynos 0.9. Naomas w przypadku sóp zwrou TP S.A. można swerdzć, że spółka a jes bardzo ryzykowna, poneważ sneje bardzo małe prawdopodobeńswo pozosana procesu w obecnym sane jednocześne bardzo duże prawdopodobeńswo zmany sanu. Leraura Bollerslev, T. (986), Generalzed Auoregressve Condonal Heeroskedascy, Journal of Economercs, vol. 3. Ca, J. (994), A Markov Model of Uncondonal Varance n ARCH, Journal of Busness and Economc Sascs, vol.. Davdson, J. (994), Forecasng Markov-Swchng Dynamc, Condonally Heeroscedasc Proceses, Sascs and Probably Leers. Dempser, A. P., Lard, N. M., Rubn, D. B. (977), Maxmum Lkelhood from Incomplee Daa va he EM Algorhm, Journal of he Royal Sascal Socey, vol. 39. Doman, R. (004), Forecasng he Polsh Fnancal Marke Volaly wh Markov Swchng Models, Macromodels 003, Wydawncwo Unwersyeu Łódzkego, Łódź 004. Doman, M., Doman, R. (004), Ekonomeryczne modelowane dynamk polskego rynku fnansowego, Wydawncwo Akadem Ekonomcznej, Poznań. Gray, S. (996), Modelng he Condonal Dsrbuon of Ineres Raes as a Regme- Swchng Process, Journal of Fnancal Economcs, vol. 4. Hamlon, J.D. (989), W New Approach o he Economc Analyss of Nonsaonary Tme Seres and he Busness Cycle, Economercs,vol. 57. Hamlon, J. D., Susmel, R. (994), A New Approach o he Economc Analyss of Nonsaonary Tme Seres and he Busness Cycle, Economercs, vol. 57. Km, C.-J. (994), Dynamc Lnear Models wh Markov-Swchng, Journal of Economercs, vol. 60. Klassen, F. (00), Improvng GARCH Volaly Forecass Emprcal, Economcs, vol. 7. Marcucc, J. (003), Forecasng Sock Marke Volaly wh Regme-Swchng GARCH models, Sudes n Nonlnear Dynamcs and Economercs, vol. 9.