) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

Transkrypt

1 Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY = współczynnkem 4 korelacj Corr( X, Y ) =. Osobno na podstawe prób losowych X, X, K, X n Y, Y, K,Y n zbudowano dwa przedzały ufnośc dla wartośc oczekwanej m, każdy na pozome ufnośc 0,8. Oblcz prawdopodobeństwo, że tak zbudowane przedzały okażą sę rozłączne. (A) 0,5 (B) 0,05 (C) 0,03 (D) 0, (E) 0,08

2 Zadane. Zakładamy, że zależność czynnka Y od czynnka x (nelosowego) opsuje model regresj lnowej Y = β 0 + βx + ε. Obserwujemy 0 elementową próbkę, w której x = x = K = x0 = x = x = K = x0 = 3. Zmenne losowe Y, Y, K,Y n są nezależne błędy mają rozkłady normalne o wartośc oczekwanej 0, przy czym Varε = σ, gdy =,, K,0, Var ε = 4σ, gdy =,, K, 0. Wyznaczono estymatory ˆ ˆ β parametrów β 0 β wykorzystując metodę najmnejszych β0 0 kwadratów, czyl mnmalzując welkość β ) β x. Wyznacz stałe z ( Y 0 0 = z tak, aby P ( ˆ β0 β0 < z0σ ) = 0, 95 P ( ˆ β β < z σ ) = 0, 95. Spośród podanych odpowedz wyberz odpowedź będącą najlepszym przyblżenem. (A) (B) (C) (D) (E) z0 = 0,98 69 z0 = 0,93 69 z0 = 0,93 54 z0 =,8 69 z0 =,8 54

3 Zadane 3. Nech Nech (A) (B) (C) (D) (E) ( X, Y ) będze dwuwymarową zmenną losową o funkcj gęstośc 6x gdy x > 0 y > 0 x + y < f ( x, y) = 0 w przecwnym przypadku. S = X + Y V = Y X. Wyznacz Var V S =

4 Zadane 4. Nech A, B, C będą zdarzenam losowym spełnającym warunk P ( C B) > 0 P( B C) > 0 P ( B C) > 0 P ( A C B) > P( A B). Wtedy (A) P ( A B C) < P( A C) (B) P ( A B C) < P( A B) (C) P( A B C) > P( A C B) (D) P ( A B C) > P( A B) (E) żadna z podanych wyżej nerównośc ne jest prawdzwa 4

5 Zadane 5. Obserwujemy n nezależnych zmennych losowych X, X,, X o tym samym K x gdy x (0; θ ) rozkładze o gęstośc f ( ) = θ x θ 0 w przecwnym przypadku, gdze θ > 0 jest neznanym parametrem. Rozważmy test jednostajne najmocnejszy dla weryfkacj hpotezy H 0 : θ = przy alternatywe H : θ > na pozome stotnośc 0,. Jak najmnej lczną próbą należy dysponować, aby moc otrzymanego testu przy 3 alternatywe θ = była ne mnejsza nż 0,9. n (A) n 0 (B) n = 8 (C) n = 6 (D) n = 4 (E) n = 3 5

6 Zadane 6. Nech X X będą nezależnym zmennym losowym o rozkładze jednostajnym na przedzale [ 0, ]. Rozważmy zmenną losową równą bezwzględnej wartośc różncy perwotnych zmennych X X. Wartość oczekwana µ oraz warancja σ zmennej X X wynoszą: (A) µ = 3 (B) µ = (C) µ = (D) µ = 3 σ = 36 σ = σ = 4 σ = 8 (E) µ = σ = 3 6 6

7 Zadane 7. Nech X, X, K, X n,k będą nezależnym zmennym losowym o jednakowym rozkładze wykładnczym z wartoścą oczekwaną równą 3. Nech N będze zmenną losową nezależna od zmennych X, X, K, X n,k, o rozkładze Possona z wartoścą oczekwaną. Nech N > = X gdy N 0 Z N N + = 0 gdy N = 0. Oblcz VarZ. N (A) 9 (B) (C) (D) (E) 9,75 0,75e 6,75 + 0,75e 4,5 0,75e 5,5 +,5e Wskazówka: + + K + n n( n + )(n + ) = 6 7

8 Zadane 8. Nech X, X, K, X 0 będą nezależnym zmennym losowym o rozkładze prawdopodobeństwa o gęstośc θ θx gdy x (0,) pθ ( x) = 0 w przecwnym przypadku, a Y, Y, K, Y0 nezależnym zmennym losowym o rozkładze prawdopodobeństwa o gęstośc θ θx gdy x (0,) fθ ( x) = 0 w przecwnym przypadku, gdze θ > 0 jest neznanym parametrem. Wszystke zmenne losowe są nezależne. Doberz stałą a tak, aby T Pθ > a = 0,9 θ wedząc, że T jest estymatorem najwększej warogodnośc parametru θ otrzymanym na podstawe zmennych losowych X, X, K, X 0,Y, Y, K, Y0. (A),377 (B) 0,77 (C),408 (D) 0,704 (E) 0,66 8

9 Zadane 9. Wykonujemy n nezależnych dośwadczeń, z których każde może sę zakończyć jednym z czterech wynków: A, A, A 3, A 4. Nech oznacza lczbę dośwadczeń, w których uzyskano wynk A, a p prawdopodobeństwo uzyskana wynku A w 4 pojedynczym dośwadczenu, gdze =,,3,4. Wadomo, że p = p =. Jaka 5 5 jest wartość p3, jeżel zmenne losowe N + N N + N 3 N 4 są neskorelowane. N (A) (B) (C) (D) (E) ne stneje p 3 spełnające warunk zadana 9

10 Zadane 0. Nech N(m, σ hpotezy X, X,, ) K X n będą nezależnym zmennym losowym z rozkładu normalnego, z neznanym parametram m σ. Rozważamy problem testowana H : m = 0 przy alternatywe H : m 0 za pomocą testu, który odrzuca 0 n X H 0 jeśl > t, gdze Z = X. Doberz stałą t tak, aby prawdopodobeństwo Z n = błędu perwszego rodzaju testu było równe 0,05, jeśl wadomo, że n = 9. (A) 0,769 (B) 0,569 (C) 0,754 (D) 0,399 (E) 0,63 0

11 Egzamn dla Aktuaruszy z 6 maja 005 r. Prawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę nazwsko :... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadane nr Odpowedź Punktacja C D 3 A 4 D 5 E 6 D 7 B 8 B 9 A 0 E * Ocenane są wyłączne odpowedz umeszczone w Arkuszu odpowedz. Wypełna Komsja Egzamnacyjna.