( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

Transkrypt

1 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są neznane. 5 5 Nech =, =, =. = 5 = 5 = Dobrać stałe a b tak, aby statystyka ˆ σ = a 5 ( ) ( ) + b = była estymatorem neobcążonym parametru σ. a =, b = 63 a =, b = a =, b = a =, b = 89 a =, b = 5 5

2 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że zależność czynnka Y od czynnka x (nelosowego) opsuje model regresj lnowej Y = β + βx + ε. Obserwujemy elementową próbkę, w której x = x = K = x5 = x6 = x7 = K = x =. Zmenne losowe Y, Y, Y są nezależne błędy mają rozkłady normalne o wartośc oczekwanej, przy czym Varε =, gdy =,, 5, Varε = 9, gdy = 6,7,. Weryfkujemy hpotezę : β H : β = przy alternatywe H testem na pozome stotnośc,5 o obszarze krytycznym postac K ˆ β β > c, { } = ˆ gdze β jest estymatorem parametru β otrzymanym wykorzystując ważoną metodę najmnejszych kwadratów, to znaczy mnmalzując po β β sumę ( Y β βx ) = Varε Stała c jest równa. c=,55 c=,65 c=,9 c=,6 c=,63

3 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane 3. Nech (, Y ) będze dwuwymarową zmenną losową o funkcj gęstośc gdy x y [;] f ( x, y) = 3 x w przecwnym przypadku. Nech S = + Y V = Y. Wtedy P ( V < S = ) jest równe

4 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Dysponujemy 5 dentycznym urnam. Każda z nch zawera kule. Lczba kul bałych w tej urne jest równa, gdze =,,...,5, pozostałe kule są czarne. Losujemy urnę, a następne cągnemy z nej jedną kulę okazuje sę, że otrzymana kula jest bała. Oblcz prawdopodobeństwo, że cągnąc drugą kulę z tej samej urny (bez zwracana perwszej) równeż otrzymamy kulę bałą

5 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane 5. Obserwujemy nezależne zmenne losowe, 3,,,, 3,, 3, F μ Y, Y, Y3, Y, Y5 μ Zmenne losowe,, mają ten sam rozkład o dystrybuance, a zmenne losowe warunek, Y Y Y Y Y. mają ten sam rozkład o dystrybuance F. Dystrybuanta F spełna F ( x) = F( x μ) μ dla pewnej ustalonej, neznanej, cągłej, ścśle rosnącej dystrybuanty F. Weryfkujemy hpotezę H : μ = μ przy alternatywe H : μ < μ stosując test o obszarze krytycznym K = { S : S < 6}, gdze S jest sumą rang zmennych losowych,, 3, w próbce złożonej ze wszystkch obserwacj ustawonych w cąg rosnący. Wyznaczyć rozmar testu. 5 μ

6 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane 6. Załóżmy, że,, K, n,k są nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze jednostajnym na przedzale [; ], zaś N jest zmenną losową o rozkładze geometrycznym, k P ( N = k) = p( p) gdy k =,,, nezależną od zmennych losowych,, K, n,k. Lczba p (,) jest ustalona. Nech mn{,, N} gdy N > YN = gdy N =, max{,, N} gdy N > Z N = gdy N =. Oblczyć P Z N Y N >. p( p) + p p ( + p) p + p p ( + p) p ( + p) 6

7 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane 7. Załóżmy, że,, K, n,k są nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze wykładnczym o wartośc oczekwanej, zaś N jest zmenną losową o rozkładze Possona o wartośc oczekwanej 3, nezależną od zmennych losowych,, K,,K. Nech n + + K+ N gdy N > SN = gdy N =. E( SN ESN ) Współczynnk spłaszczena κ = 3 zmennej S N jest równy ( VarS ) - N 3 7

8 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane 8. Cyfry,, 3,, 9 ustawamy losowo na mejscach o numerach,, 3,, 9. Nech będze zmenną losową równą lczbe cyfr stojących na mejscach o numerach równych cyfrom. Warancja zmennej jest równa

9 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane 9. Nech,,, będą zmennym losowym o rozkładze Pareto, a ) a K n ( Y, Y, K, Y m będą zmennym losowym o rozkładze Pareto (, a ), gdze a, a > są neznanym parametram. Wszystke zmenne są nezależne. Na pozome ufnośc a α budujemy przedzał ufnośc [ dt, ct] dla parametru na podstawe estymatora a najwększej warogodnośc T tegoż parametru w ten sposób, że a a α Pa, ( ), ( ) a ct < = P dt > = a a. a a Jeśl α =, m= n=5, to przedzał ufnośc ma długość,t,77t 6,6T 5,3T 3,T Uwaga: Rozkład Pareto ( λ, θ ) jest rozkładem o gęstośc f θ λ θ ( λ + x) ( x) = θ + gdy x > gdy x 9

10 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Nech,, 3, będą nezależnym zmennym losowym o dentycznym rozkładze geometrycznym postac k P ( = k) = p( p) gdy k =,,, gdze p (,) jest neznanym parametrem. Hpotezę H : p = przy alternatywe H : p > weryfkujemy testem jednostajne najmocnejszym na pozome stotnośc,875. Moc tego testu przy alternatywe p = jest równa 5,66667,95,5,998,7378

11 Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Egzamn dla Aktuaruszy z kwetna r. Prawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę nazwsko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadane nr Odpowedź Punktacja A D 3 C D 5 A 6 B 7 D 8 B 9 E E * Ocenane są wyłączne odpowedz umeszczone w Arkuszu odpowedz. Wypełna Komsja Egzamnacyjna.