Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Transkrypt

1 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane. Pewne ryzyko generuje jedną szkodę z prawdopodobeńswem q, zaś zero szkód z prawdopodobeńswem ( q). Ubezpeczycel pokrywa nadwyżkę szkody ponad udzał własny w wysokośc d, jednak ne węcej nż α % jej warośc, o znaczy że odszkodowane za szkodę o warośc y wynos: I ( y) = mn{ max{ 0, y d}, y α% }. Przyjmjmy, że: q = / 5 d = α % = 80% warość szkody (pod warunkem że do nej dojdze) ma rozkład równomerny na przedzale ( 0, 0). Składka neo (warość oczekwana wypłay z ego ryzyka) wynos: (A) 0.70 (B) 0.7 (C) 0.74 (D) 0.76 (E) 0.78

2 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane. Szkoda Y może przyjmować warośc ze skończonego zboru lczb { y, y, K, y n } akch, że mn{ y, y, K, y n }. Łączna warość szkód w porfelu W równa sę: W = n = N y, gdze N o lczba szkód o warośc y. Załóżmy, że N,, o nawzajem nezależne zmenne losowe o rozkładach K N n n Possona z waroścam oczekwanym odpowedno λ, K,λ. Wemy, że: E( W ) = 50 VAR( W ) = 660 λ = λ = 0 n = Jeżel do każdej szkody zasosujemy udzał własny ubezpeczonego w wysokośc d =, o warancja łącznej warośc szkód pozosałej na udzale ubezpeczycela wynese: (A) 460 (B) 500 (C) 540 (D) 560 (E) 600

3 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane. Mamy nepełną nformację o rozkładze zmennej losowej X. Wemy, że: X przyjmuje warośc neujemne E( X ) = 6 E X 4 = [( ) + ] Pr ( X > 4) =. Nech σ oznacza najmnejszą możlwą warość warancj zmennej X. (A) 5 σ = (B) σ = 8 (C) (D) (E) 6 σ = 70 σ = 9 64 σ = 9

4 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane 4. Zmenna losowa: X = M + M M N ma złożony rozkład ujemny dwumanowy, gdze lczba składnków sumy N ma rozkład ujemny dwumanowy o paramerach ( r, q), zn.: r + k k Pr ( N = k) = ( q) r q, k = 0,,,..., k zaś każdy ze składnków ma rozkład dwumanowy: Pr M = = Pr M = 0. ( ) ( ) Q = Rozważ, czy rozkład zmennej losowej X jes rozkładem ujemnym dwumanowym; wyberz poprawną odpowedź: (A) Rozkład zmennej X ne należy do klasy rozkładów ujemnych dwumanowych (B) X ujemny dwum. o paramerach (, q ) (C) X ujemny dwum. o paramerach (, q ) (D) X ujemny dwum. o paramerach (, q ) (E) X ujemny dwum. o paramerach (, q ) r akch, że r = r oraz r akch, że r r oraz r akch, że r r oraz r akch, że r = r oraz q = q q = q q q q q 4

5 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane 5. Zmenna losowa: W = X + X X n jes sumą n składnków o denycznym rozkładze, o warośc oczekwanej µ X. Co prawda zmenne e są zależne, ale srukura ch zależnośc jes dość prosa. W szczególnośc o momenach cenralnych rzecego rzędu ych zmennych wemy, ż dla, j, k =,,..., n warość oczekwana: E X µ X µ X µ [( )( )( )] X j X k X wynos: a, jeśl wszyske rzy lczby, j,k są różne, b, jeśl rójka lczb, j,k zawera dwe różne lczby (jedna z lczb powarza sę dwa razy) c, jeśl = j = k. Momen cenralny rzecego rzędu zmennej W, kóry generalne wyraża sę wzorem: n E [( W E( W )) ] = E ( X µ X ) = można przy powyższych założenach wyrazć jako funkcję paramerów a, b, c oraz n o posac: E W E W = f n a + f n b + f n. [( ( )) ] ( ) ( ) ( ) c Funkcja f ( n) wyraża sę wzorem: (A) n( n ) (B) 6n( n ) (C) (D) (E) n n 6n n 6n n 5

6 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane 6. W kolejnych okresach czasu ubezpeczony charakeryzujący sę waroścą λ parameru ryzyka Λ generuje szkody w lośc N : k λ λ Pr ( N = k Λ = λ) = e =, ; k! przy czym: Pr( N = k N = k Λ = λ ) = Pr( N = k Λ = λ) Pr( N = k Λ = λ). Rozkład parameru ryzyka Λ w populacj ubezpeczonych jes rozkładem logarymczno-normalnym o paramerach µ,σ, zn. zmenna O paramerach ych zakładamy, że: µ = ln 4, ( ) σ = ln ( ) ln ( Λ) ma rozkład normalny o paramerach (,σ ) µ. W efekce dośwadczena dwueapowego (wylosowane ubezpeczonego, nasępne wygenerowane przez nego szkód w lośc N poem N ), COV ( N, N ) wynos: (A) (B) (C) (D) (E)

7 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane 7. Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżk ubezpeczycela z czasem cągłym. Tak węc: szkody pojawają sę zgodne z procesem Possona o nensywnośc λ nensywność składk (napływającej w sposób cągły) wynos c = ( + θ ) λ E(Y ), gdze θ > 0 Y o warość pojedynczej szkody o akm rozkładze, że Pr ( Y > 0) =. Wadomo, ż funkcję prawdopodobeńswa runy możemy wyrazć w posac: Ψ( u) = FL ( u), gdze maksymalną łączną sraę L możemy przedsawć jako zmenną o rozkładze złożonym: L = l l N, gdze N ma rozkład geomeryczny o loraze posępu ( ) +θ, zaś l o wysokość kolejnego ąpnęca ponżej doychczas osągnęego mnmum procesu. Wemy, że dysrybuana F zmennej l dana jes wzorem: ( x) F l Oblcz E Y. 5 = 5 + x ( ) 4 l (A) E ( Y ) = 4 / (B) E( Y ) = 6 / 5 (C) E( Y ) = (D) E( Y ) = 5 / 4 (E) E( Y ) = 5 / 7

8 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane 8. Klasyczny proces nadwyżk ubezpeczycela charakeryzują paramery: λ - nensywność Possonowskego procesu pojawana sę szkód, u - nadwyżka począkowa, rozkład zmennej Y - warośc pojedynczej szkody, θ - sosunkowy narzu na składkę neo. Załóżmy, ż warość pojedynczej szkody ma rozkład równomerny na przedzale ( 0, M ), gdze M jes dodane. Załóżmy akże, ż u = 4 M. Przyjmjmy wreszce, ż nasz cel o skalkulowane składk ak, aby zachodzł warunek bezpeczeńswa: exp ( Ru ) = / 6, gdze R o zw. adjusmen coeffcen. Warość θ wynos (z dobrym przyblżenem): (A) θ 7.7% (B) θ.8% (C) θ 5.9% (D) θ 40.% (E) θ 44.% 8

9 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane 9. Zmenna losowa S o zdyskonowana warość szkód w złożonym procese Possona: S = exp( δ ) n= ( Y ) ( ) Y n T n ), gdze:,t,, Y,T,... oznaczają odpowedno warośc oraz momeny zajśca kolejnych szkód; zmenne Y n ( n =,,... ) są nawzajem nezależne mają denyczny rozkład wykładnczy o warośc oczekwanej równej β ; czasy oczekwana T, T T, T T, T4 T,... są nezależnym zmennym losowym o jednakowym rozkładze wykładnczym o warośc oczekwanej / λ, nezależnym akże od zmennych Y,, Y,...; > 0 okres o długośc. Y δ o naężene oprocenowana, a wec ( δ) [ ] Momen cenralny rzecego rzędu ( S E( S )) λ (A) δβ λ (B) δβ exp o czynnk dyskona za E zmennej S wynos: (C) (D) (E) λ ( δβ ) λ ( δβ ) 6λ ( δβ ) Wskazówka: możesz najperw wyznaczyć momen cenralny rzecego rzędu zmennej losowej S h, kóra dla dowolnego h > 0 jes posac: ( ) ( h) = W ( h) exp( h m) m= S δ, m ( ) gdze zmenne W ( h), W h,... są nezależne mają denyczny rozkład złożony Possona z paramerem częsolwośc λ h oraz rozkładem pojedynczego składnka wykładnczym o warośc oczekwanej β. Teraz możesz wykorzysać fak, że rozkład zmennej S (h) zbega przy h 0 do rozkładu zmennej S. Uwaga (dopsana po egzamne): Zmenna S ma rozkład Γ ( λ δ, β ); ławej jednak wyznaczyć kumulanę wybranego rzędu (np. rzecego, jak w zadanu) nż rozkład S. 9

10 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Zadane 0. Załóżmy, że momeny pojawana sę szkód T < T <... < Tn <... worzą proces Possona na przedzale ( 0, ), o nensywnośc λ. Innym słowy, T, T T, T T, T 4 T,... są nezależnym zmennym losowym o jednakowym rozkładze wykładnczym o warośc oczekwanej / λ. Przyjmujemy, że każda szkoda, nezależne od pozosałych, jes lkwdowana po upływe pewnego losowego okresu czasu. Mówąc dokładnej, momeny lkwdacj są zmennym losowym posac: T = T + D, T = T + D,..., Tn = Tn + Dn,... przy czym,,czasy opóźnena D są nezależne nawzajem oraz od T, T, T,... mają jednakową dysrybuanę F. Oblcz warość oczekwaną lczby szkód zaszłych przed czasem, ale do ego czasu ne zlkwdowanych, czyl: E[ N( ) N( )], gdze N() oznacza lczbę punków T w przedzale ( 0, ], zaś N ( ) oznacza lczbę punków T w przedzale (0,]. ( ) (A) λ F() (B) (C) (D) 0 λ F( x) dx λ [ F( x)] dx 0 λ [ F ( x)] dx (E) λ F() [ ] ( ) = Wskazówka: E N( ) Pr T. = Uwag (dopsane po egzamne): przechodząc do grancy przy dosajemy ważny wynk: E [ N( ) N( )] = λ E(D), co jes waroścą skończoną jeśl ylko E( D) < ; dla oblczena samej warośc oczekwanej wysarczyłaby nezależność param zmennych D, T. 0

11 Maemayka ubezpeczeń mająkowych r. Egzamn dla Akuaruszy z 7 maja 00 r. Maemayka ubezpeczeń mająkowych Arkusz odpowedz Imę nazwsko...k L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadane nr Odpowedź Punkacja D B B 4 E 5 A 6 E 7 D 8 A 9 B 0 C Ocenane są wyłączne odpowedz umeszczone w Arkuszu odpowedz. Wypełna Komsja Egzamnacyjna.