Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Transkrypt

1 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3

2 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 3. Lnowość w modelu 4. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających ją cągłych Interpretacja współczynnków regresj w modelu lnowym względem zmennych objaśnających ś j Elastyczność Semelastyczność

3

4 Dobroć dopasowana równana regresj (do danych emprycznych) wyrażona jest przez tak zwany współczynnk determnacj lnowej oznaczany przez R. Współczynnk ten określa jaka część zmennośc zmennej objaśnanej y jest wyjaśnona łączne przez zmenność wszystkch zmennych objaśnających, L K. Jedną z mar zmennośc zmennej jest WARIANCJA.

5 Warancje zmennej zależnej y można przedstawć jako dekompozycje (podzał) na część wyjaśnoną przez model na część newyjaśnoną przez model. TSS ESS RSS Dekompozycja warancj jest możlwa JEDYNIE dla modelu ze stałą

6 Całkowta suma kwadratów: Zmenność całkowtą zmennej objaśnanej y, oznaczaną w lteraturze angelskm skrótem TSS (Total Sum of Squares), merzymy za pomocą sumy kwadratów odchyleń obserwacj zmennej objaśnanej od średnej: n TSS = ( y y ) = 1

7 Wyjaśnona suma kwadratów: Jeśl model zawera stałą, to całkowtą sumę kwadratów możemy zdekomponować na dwa składnk, na wyjaśnoną (równanem regresj) sumę kwadratów, oznaczaną przez ESS (Explaned Sum of Squares) n ESS = ( y$ y ) = 1

8 Resztowa suma kwadratów: resztową (newyjaśnoną) sumę kwadratów, oznaczaną przez RSS (Resdual Sum of Squares). RSS n = = 1 e

9 R wyjasnona suma kwadratów ESS = = = calkowta suma kwadratów TSS = 1 n n y y ( $ ) ( y y) = 1 = 1 RSS TSS Dla modelu ze stałą 0 R 1

10 y y y TSS TSS TSS R =0 RSS R =0,50 ESS RSS R =0,90 ESS R S S Współczynnk determnacj jest jedną z podstawowych mar jakośc dopasowana modelu. Informuje o tym, jaka część zmennośc zmennej objaśnanej została wyjaśnona przez model. Współczynnk determnacj przyjmuje wartośc z przedzału [0;1] w modelu ze stałą. Jego wartośc najczęścej są wyrażane w procentach. Dopasowane modelu jest tym lepsze, m jego wartość jest blższa jednośc.

11 R przyjmuje wartośc z przedzału mędzy 0 1. Jeśl R =1, to model regresj w 100% wyjaśna zmenność y, a jeśl R = 0, to model regresj w ogóle ne wyjaśna zmennośc y. Jeśl na przykład wynos R = 0,7 to możemy powedzeć, że 70% zmennośc zmennej objaśnanej j y jest wyjaśnone przez łączną ą zmenność wszystkch zmennych objaśnających, a 30% zmennośc jest newyjaśnone (jest zmennoścą resztową).

12 R jest WYŁĄCZNIE statystyką opsową ne należy jej stosować do porównywana model. Przy szacowanu klku model dla danej zmennej zależnej z różną lczbą zmennych objaśnających na podstawe dentycznego zboru danych, korzystane ze współczynnka determnacj R dla wyboru modelu lepej dopasowanego do danych emprycznych staje sę problematyczne. Gdy bowem dodajemy do równana dalsze zmenne objaśnające to zawsze wzrasta R nezależne od prawdzwej ważnośc tych nowododanych zmennych. placa = β β wek ε R 5% 1 = placa = β R 1 β wek β3 plec ε = 7%

13 Z tego powodu za marę dobroc dopasowana zaproponowano ne R, a tak zwany skorygowany współczynnk determnacj. R

14 R R jest skorygowany ze względu na tak zwaną lczbę stopn swobody, to znaczy ze względu na różncę mędzy lczbą obserwacj N a lczbą zmennych objaśnających K. R = 1 N 1 N K (1 R )

15

16

17 Zmenne Zmenne cągłe Zmenne dyskretne

18 Zmenną cągłą nazywamy zmenną, która przyjmuje wartośc ze zboru lczb rzeczywstych. zmennym posadającym charakter loścowy Np. dochody, wydatk, cena neruchomośc td.

19 Zmenną dyskretną nazywamy zmenną, która przyjmuje wartośc ze skończonego podzboru lczb naturalnych. Zazwyczaj podzbór ten jest stosunkowo mało lczny obejmuje klka czy klkanaśce elementów. zmennym posadającym charakter jakoścowy np. płeć, wykształcene, mejsce zameszkana, stan cywlny td.

20

21 Lnowość w modelu względem: Po perwsze zmennych objaśnających K, które są w perwszej potędze, y = β 1 β... β ε 1 a po druge względem parametrów, które są równe w perwszej potędze. β k K 1 K y = β 1 β... β K K ε

22 Interpretacja współczynnków regresj w modelu lnowym względem zmennych objaśnających

23 Model regresj lnowej dla tej obserwacj: y = β β... β ε 1 Wartość oczekwana zmennej objaśnanej przy danych wartoścach zmennych objaśnających wynos: E( y ) = β β L β L β 1 Pochodną cząstkową warunkowej wartośc oczekwanej po E ( y ) k = k β k k K K K K x K β k merzy oczekwaną zmanę y jk jako efekt fktzmany K o jedną jd jednostkę, gdy wartośc nnych zmennych objaśnających modelu pozostają nezmenone (ceters parbus).

24 y = β β... β 1 K K ε ˆ b1 b y =... b K K β współczynnk INTERPRETACJA: jeżel wartość zmennej nezależnej wzrośne o jednostkę, to wartość zmennej zależnej y : - wzrośne (jeżel b >0) o b jednostek lub - spadne (jeżel b <0) o b jednostek ceters parbus. β 1 wyraz wolny Uwaga! Wyraz wolny ne nterpretujemy.

25 placa = β 1 β nauka β 3wek ε placa = 993,6 73,59 nauka 35, 09 wek Zmenna nauka lata nauk tej osoby Interpretacja: Mesęczne wynagrodzene wzrasta przecętne o 73,59 zł przy wzrośce lczby lat nauk o jeden rok, przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome.

26 Elastyczność

27 Elastycznośc mogą być wyznaczane z modelu LOGLINIOWYM, w którym zarówno zmenna objaśnana jak zmenne objaśnające są logarytmam zmennych perwotnych. ln y 1 β ln = β... β ln ε K K ln Ε ( y ) = β 1 β ln... βk ln K ln E ( ln y k ) = β k β k merzy o le procent zmen sę zmenna objaśnana, gdy zmenna objaśnająca zmen sę o jeden procent, gdy wartośc nnych zmennych objaśnających modelu pozostają nezmenone (ceters parbus).

28 ln y 1 β ln = β... β ln K K ε ˆ ln y = b1 b ln... b K ln K β współczynnk INTERPRETACJA: jeżel wartość zmennej nezależnej wzrośne o 1%, to wartość zmennej zależnej y : - wzrośne (jeżel b >0) o b % lub - spadne (jeżel b <0) o b %. ceters parbus. β 1 wyraz wolny Uwaga! Wyraz wolny ne nterpretujemy.

29 ln( wydatk ) = β 1 β ln( dochód ) ε ln( wydatk ) = 0,5 ln( dochód ) Interpretacja: Mesęczne wydatk wzrastają przecętne o 0,5% przy wzrośce mesęcznego ę wynagrodzena o 1%, przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome.

30 Semelastyczność

31 Semelastycznośc mogą być wyznaczane z modelu, w którym zmenna objaśnana jest zlogarytmowana a zmenne objaśnające ne są logarytmam zmennych perwotnych. ln y 1 β = β... β ε ln Ε ( y ) = β 1 β... βk ln E ( k y ) = β k K K K β k *100% merzy o le procent zmen sę zmenna objaśnana, gdy zmenna objaśnająca zmen sę o jedną jednostkę, gdy wartośc nnych zmennych objaśnających modelu pozostają nezmenone (ceters parbus).

32 ln y 1 β = β... β K K ε y ˆ =... ln b1 b b K K β współczynnk INTERPRETACJA: jeżel wartość zmennej nezależnej wzrośne o 1 jednostkę, to wartość zmennej zależnej y : - wzrośne (jeżel b >0) o b *100% lub - spadne (jeżel b <0) o b *100%. ceters parbus. β 1 wyraz wolny Uwaga! Wyraz wolny ne nterpretujemy.

33 ln( placa ) = β 1 β wek ε ln( placa ) =,34 0, 04 wek Interpretacja: Mesęczne wydatk wzrastają przecętne o 4% przy wzrośce weku o 1 rok, przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome.

34 ln( wydatk ) = 3,6 0,35 ln( dochód ) 0, 11 dzec Interpretacja: Elastyczność, wzrost dochodu o 1% powoduje wzrost wydatków o 0,35% przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome. Semelastyczność, wzrost lczby dzec o 1 powoduje wzrost wydatków o 11%=0,11*100% przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome.

35

36 1. Proszę opsać wzór dekompozycj zmennośc całkowtej zmennej objaśnanej y na zmenność wyjaśnoną newyjaśnoną. ą. Podać nterpretacje R. 3. Wyjaśnć, dlaczego R ne można używać do porównana model. 4. Jaką nterpretację mają współczynnk regresj przy zmennych objaśnających cągłych w modelu lnowym względem zmennych objaśnających? 5. Jk Jaką nterpretację t mają współczynnk regresj przy zmennych objaśnających cągłych w modelu loglnowym względem zmennych objaśnających?

37 Dzękuję za uwagę