Modelowanie rynków finansowych

Transkrypt

1 Modelowanie rynków finansowych Jerzy Mycielski WNE UW 5 października 2017 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

2 Podstawowe elementy teorii 1 racjonalne oczekiwania Oczekiwania formułowane jako warunkowe wartości oczekiwane przy danym zbiorze informacyjnym I t 1 Oczekiwane W t = E (W t I t 1 ) 2 warunek braku arbitrażu ( ) Pt P t 1 E I t 1 E ( p t I t 1 ) = r P t 1 gdzie p t = ln (P t ) a r jest oczekiwaną wartością przychodu dla aktywów o analogicznym poziomie ryzyka 3 teoria oczekiwanej użyteczności Von Neumanna - Morgensterna Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

3 Von Neumann - Morgenstern Maksymalizowana oczekiwana użyteczność uzyskiwana z portfela o losowej wartości P t a nie oczekiwana wartość tego portfela. P t P t jeśli a nie E [U (P t )] > E [U (P t )] U [E (P t )] > U [E (P t )] Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

4 Von Neumann - Morgenstern c.d. Rozwinięcie Taylora funkcji użyteczności: U (W t ) = U [E (W t )] + U [E (W t )] [W t E (W t )] U [E (W t )] [W t E (W t )] 2 Wartość oczekiwana użyteczności: U(3) [E (W t )] [W t E (W t )] 3 + R t E [U (W t )] = U [E (W t )] U [E (W t )] σ U(3) [E (W t )] µ 3 + E (R t ) Przyjmuje się zazwyczaj, że 1 6 U(3) [E (W t )] µ 3 0 i E (R t ) = 0 Z aksomatów teorii konsumenta wynika, że U [E (W t )] 0 (awersja do ryzyka) Wniosek: użyteczność inwestycji wzrasta wraz ze stopą zwrotu i maleje wraz z ryzykiem mierzonym σ 2 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

5 Podstawowe fakty stylizowane dotyczące rynku kapitałowego rynek efektywny (Fama) założenia (1,2) ale także (3) pozytywna korelacja między ryzykiem a oczekiwaną dochodowością (3) logarytmy stóp zwrotu nie mają rozkładu normalnego - są leptokurtyczne (grube ogony) grupowanie wariancji w czasie Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

6 Logarytm indeksu WIG Indeks WIG WIG (wysokość indeksu z okresu ) Data Data Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

7 G ęsto ść G ęsto ść WIG (rozkłady stóp zwrotu ) Dzienne stopy zwrotu Logarytm dziennej stopy zwrotu Rysunek: Rozkład zwrotów i logarytmów zwrotów Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

8 P t P t 1 ( ln Pt P t 1 ) Skośność Kurtoza Stat. JB Pr ( JB > χ 2 2 ) Reszty z modelu AR (1) Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

9 Biały szum Zmiana indeksu WIG Zwroty z WIG i biały szum ( ) Data Data Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

10 Srednia ruchoma MA(40) e(t)^ Srednia ruchoma MA(40) [log(r(t))]^ Kwadraty zwrotów z WIG i kwadraty białego szumu ( ) Data Data 2 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

11 Praktyczne znaczenie faktów stylizowanych średnia stopa zwrotu z zarządzanego portfela jest (w dłuższym okresie) równa stopie losowo dobranego portfela o identycznej wariancji wyższe stopy zwrotu można osiągnąć wyłącznie na drodze podejmowania wyższego ryzyka p-stwo wysokich strat jest dużo wyższe niż to sugerowane przez rozkład normalny - należy to uwzględnić przy liczeniu wartości opcji i VAR (Value at Risk) ryzyko inwestowania zmiania się w czasie Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12

12 Weryfikacja faktów stylizowanych Testy pierwiastka jednostkowego jeśli spełniona jest hipoteza o efektyności rynkowej, to a więc E ( p t I t 1 ) = r p t = p t 1 + r + ε t i E ( ε t I t 1 ) = 0. Weryfikujemy hipotezę o tym, że współczynnik przy p t 1 równa się jeden Weryfikacja braku przewidywalności oczekiwanych stóp zwrotu: brak przyczynowości w sensie Grangera E ( p t I t 1 ) = µ gdzie I t 1 jest zbiorem informacji z poprzedniego okresu I t 1 jest zawiera między innymi ceny z przeszłości, zatem E ( p t p t 1, p t 2,...) = µ Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października / 12