Statystyka Inżynierska
|
|
|
- Stanisława Markiewicz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje zmennej, Rozkłady dyskretne Rozkłady cągłe, Rozkład normalny
2 Zmenna losowa Zmenna losowa, to taka zmenna, która w wynku dośwadczena przyjmuje wartość lczbową zależną od przypadku. Uwaga: powyższe ne stanow defncj, ale oddaje stotę welkośc jaką jest zmenna losowa. Zmennym losowym są np. : wzrost przypadkowo spotkanej na ulcy osoby, lczba osób zapadających każdego dna na grypę, lczba meteorytów spadających na klometr kwadratowy roczne, masa każdego spadającego na Zemę meteorytu, zmana cen neruchomośc w cągu roku, WYKŁAD 1.Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe czas oczekwana na przystanku autobusowym, lczba zgonów w maju, wytrzymałość lny wspnaczkowej, notowana gełdowe, lość opadów jutro w Krakowe, dowolny wynk pomaru, czegokolwek. Poprawna defncja zmennej - dla zanteresowanych - znajduje sę w [1] na strone 48. Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
3 Zmenna losowa Dla oznaczena zmennych losowych stosujemy duże ltery, najczęścej z końca alfabetu. Wartośc przyjmowane przez zmenne oznaczamy małym lteram. Zaps: =x oznacza, zdarzene polegające na tym, że zmenna losowa przyjęła wartość x, w skróce mówmy, że zmenna losowa przyjmuje (czasem mówmy realzuje) wartość x. =x 3 : zmenna losowa przyjmuje wartość x 3 U=5.4 : zmenna losowa U przyjmuje wartość 5.4 Z<3 : zdarzene polegające na tym, że zmenna losowa Z przyjmuje wartość mnejszą nż 3 WYKŁAD 1.Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe -<T<8 : zdarzene polegające na tym, że zmenna losowa T przyjmuje wartość z obustronne otwartego przedzału (-,8) Zaps P(=.3) oznacza prawdopodobeństwo zajśca zdarzena, w którym zmenna losowa przyjme wartość.3. 3 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
4 Zmenna losowa Zmenne losowe możemy podzelć na dyskretne cągłe. Zmenną losową nazywamy dyskretną, jeżel zbór wartośc, które może ona przyjmować jest skończony lub przelczalny. Zmenną losową nazywamy cągłą, jeżel może ona przyjmować dowolne wartośc z pewnego przedzału. W szczególnośc może to być przedzał neskończony. Uwaga: powyższe ne stanową defncj, są jedyne ntucyjnym określenam zaczerpnętym z ksążk []. WYKŁAD 1.Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe Poprawne defncje zmennej cągłej dyskretnej znajduje sę w [1] na stronach Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
5 Funkcja rozkładu W przypadku zmennej dyskretnej, możemy zdefnować funkcję p, która każdemu zdarzenu =x przypsze prawdopodobeństwo p : p x P x p 0, N Poneważ prawdopodobeństwo sumy wszystkch możlwych zdarzeń mus być równe 1, węc w przypadku skończonej lczby zdarzeń mus zachodzć: a w przypadku przelczalnej lczby zdarzeń: n 1 p 1 WYKŁAD 1. Zmenna losowa.funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 1 p 1 Taką funkcję p nazywamy funkcją rozkładu albo krócej funkcją. 5 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
6 Funkcja gęstośc Podobną rolę jak funkcja rozkładu w przypadku zmennej dyskretnej pełn funkcja gęstośc dla zmennej cągłej. Funkcja gęstośc f(x) mus spełnać klka warunków: jest neujemna, całka po całym przedzale, w którym jest określona mus sę równać 1 (bo tyle wynos prawdopodobeństwo tego, że zmenna losowa przyjme dowolną wartość z całego przedzału, na którym jest określona) WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3.Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe prawdopodobeństwo tego, że zmenna losowa przyjme dowolną wartość z przedzału od x 1 do x (x 1 <x ) wynos: P x x f xdx 1 x x 1 6 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
7 Dystrybuanta Dystrybuantą zmennej nazywamy taką funkcję F (x), że: F Proszę zwrócć uwagę, że funkcja ta jest określona dla wszystkch x należących do R nezależne od tego jake wartośc x może przyjmować zmenna losowa. x P x xr dyskretna cągła Fx p Fx f xdx x x x WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 4.Dystrybuanta 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe Zwróćmy równeż uwagę, że dystrybuanta jest funkcją cągłą (dokładnej lewostronne cągłą) nezależne od tego czy dotyczy zmennej cągłej czy dyskretnej. 7 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
8 Charakterystyk zmennej Zamast podawać pełne rozkłady lub funkcje gęstośc, czasem wygodnej jest podać klka lczb, które scharakteryzują nasz rozkład. Lczby take ogólne nazywamy charakterystykam zmennej. Wymyślono wele różnych charakterystyk. Na następnych slajdach zdefnowano klka najważnejszych najczęścej używanych. WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 8 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
9 Charakterystyk zmennej Momenty zwykłe Momenty zwykłe rzędu r oznaczamy symbolem α r wylczamy jako: dyskretna r x p r Szczególną rolę odgrywa perwszy moment zwykły, oznaczany często jako E (EZ dla zmennej Z, ET dla zmennej T): E dyskretna x p cągła cągła Moment ten to tzw. wartość oczekwana, czasam nazywana równeż wartoścą przecętną (lub nezbyt ścśle wartoścą średną). r E x r f x f x x dx dx WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 9 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
10 Charakterystyk zmennej Momenty centralne Momenty centralne rzędu r oznaczamy symbolem µ r wylczamy jako: Szczególną rolę odgrywa drug moment centralny, oznaczany często jako D (D Z dla zmennej Z, D T dla zmennej T): Moment ten to tzw. warancja. Perwastek kwadratowy z warancj nazywamy odchylenem standardowym oznaczamy D lub σ. dyskretna dyskretna cągła r r x E p x E f x D r cągła x E D x E f x p D D 10 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe r dx dx WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe AGH, Tarasuk 013
11 Charakterystyk zmennej Momenty centralne Momenty centralne rzędu r oznaczamy symbolem µ r wylczamy jako: Szczególną rolę odgrywa drug moment centralny, oznaczany często jako D (D Z dla zmennej Z, D T dla zmennej T): Pomędzy wartoścą oczekwaną a warancją Moment ten to stneje tzw. warancja. bardzo użyteczny Perwastek zwązek: kwadratowy z warancj nazywamy odchylenem standardowym oznaczamy D lub σ. dyskretna dyskretna cągła r r x E p x E f x D r cągła x E D x E f x p D 11 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe r D =E( )-(E) D dx dx WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe AGH, Tarasuk 013
12 Charakterystyk zmennej Współczynnk zmennośc, skośność kurtoza Współczynnk zmennośc oznaczamy grecką lterą υ wylczamy nezależne od typu rozkładu jako: Skośność (albo współczynnk asymetr) oznaczamy symbolem γ nezależne od typu rozkładu wylczamy go jako: Kurtoza (nazywana równeż współczynnkem skupena) oznaczamy lterą K E 3 3 wylczamy równeż nezależne od typu rozkładu jako: 4 K 4 WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 1 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
13 Charakterystyk zmennej Moda medana Moda to taka wartość zmennej dyskretna cągła x, która występuje z najwę- x, dla której funkcja gęstośc kszym prawdopodobeństwem, przy czym ne może to być perwsza an ostatna wartość x. ma absolutne maksmum. Medana to taka lczba x 0,5, że połowa wszystkch przyjmowanych przez zmenną losową wartośc leży ponżej jej wartośc, co w zapse matematycznym wyraża sę następująco: dyskretna cągła x x 0.5 p 0.5 x x 0.5 p Jak wdać, w przypadku zmennej dyskretnej może sę zdarzyć, że dowolna lczba z pewnego przedzału będze spełnać defncję medany. F 0.5 x f x 0.5 x dx 0.5 WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 13 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
14 Charakterystyk zmennej Kwartyle kwantyle Kwantyl rzędu p to taka lczba x p, dla której spełnony jest warunek: x x p dyskretna p p x x Jak wdać medana jest po prostu kwantylem rzędu 0.5. Kwartyl dolny to kwantyl rzędu 0.5. Kwartyl środkowy to kwantyl rzędu 0.5 (czyl po prostu medana). Kwartyl górny to kwantyl rzędu p p F cągła x f x p x p dx p WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 14 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
15 wartośc przyjmowane przez zmenną losową Charakterystyk zmennej Pudełko z wąsam maksmum górny kwartyl średna medana dolny kwartyl mnmum WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 15 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
16 Funkcje zmennej Jeżel argumentem jakejś funkcj uczynmy zmenną losową to w wynku otrzymamy nową zmenną losową. Na przykład: Należy pamętać, że: Y 6 nowa zmenna losowa może meć nny zakres zmennośc (np. jeśl zmenało sę od 10 do 15, to Y będze sę zmenać od 600 do 1350) w ogólnym przypadku ne można podstawć do wzoru charakterystyk zmennej, aby otrzymać charakterystyk zmennej Y WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6.Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe prawdłowym postępowanem jest wyznaczene rozkładu lub funkcj gęstośc zmennej Y dopero z nej, na podstawe defncj, wylczene charakterystyk zmennej Y 16 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
17 Rozkłady dyskretne Rozkład zero-jedynkowy E D x P 0 1-p 1 p p p 1 p WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 7.Rozkłady dyskretne 1. Zero-jedynkowy. Równomerny 3. Dwumanowy 4. Possona 8. Rozkłady cągłe 17 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
18 Rozkłady dyskretne Rozkład równomerny E D x P x 1 1/n 1/n x n 1/n x n x 1 n 1 1 WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 7.Rozkłady dyskretne 1. Zero-jedynkowy. Równomerny 3. Dwumanowy 4. Possona 8. Rozkłady cągłe 18 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
19 Rozkłady dyskretne Rozkład dwumanowy (Bernoullego) Zmenne losowe są wzajemne nezależne każda z nch może przyjmować jedną z dwóch wartośc. Wartość 1 nazywaną sukcesem z prawdopodobeństwem p oraz wartość 0 nazywaną porażką z prawdopodobeństwem q. Zmenna losowa dwumanowemu. będze podlegać rozkładow Powyższy wzór opsuje prawdopodobeństwo uzyskana k sukcesów w n próbach. n 1 k k p p n 1 k P S n n k E n D p n p q WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 7.Rozkłady dyskretne 1. Zero-jedynkowy. Równomerny 3. Dwumanowy 4. Possona 8. Rozkłady cągłe n=5,p=0.3 n=10,p=0.3 n=30,p= Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
20 Rozkłady dyskretne Rozkład Possona Jeżel w dośwadczenu Bernoullego lczba prób będze bardzo duża, a prawdopodobeństwo p bardzo małe tak, że spełnone będze: n to wówczas lczba sukcesów k będze podlegać rozkładow Possona, a prawdopodobeństwo uzyskana k sukcesów można polczyć jako: P k p 0 lm P S n n p const k k e n k! E D WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 7.Rozkłady dyskretne 1. Zero-jedynkowy. Równomerny 3. Dwumanowy 4. Possona 8. Rozkłady cągłe λ=3 λ=5 λ=15 Rozkład Possona jest rozkładem dyskretnym. Lnę cągłą dorysowano tylko w celu lepszej wzualzacj. 0 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
21 Rozkłady cągłe Rozkład jednostajny Mówmy, że zmenna losowa ma rozkład jednostajny na przedzale [a,b), jeżel prawdopodobeństwo otrzymana w pojedynczym dośwadczenu dowolnej wartośc x jest stałe take samo dla każdej wartośc x. Gęstość takego rozkładu wyraża sę wzorem: E D a b f b 1 a x c 0 x x a, b a, b WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8.Rozkłady cągłe 1. Jednostajny. Wykładnczy 1 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
22 Rozkłady cągłe Czas oczekwana na perwsze wystąpene zdarzena podlegającego rozkładow Possona z parametrem λ opsywany jest rozkładem wykładnczym, a gęstość rozkładu wykładnczego wyraża sę wzorem: 1 E D 1 f x 0 e x x 0 x 0 WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8.Rozkłady cągłe 1. Jednostajny. Wykładnczy Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
23 Rozkład normalny Zmenna losowa podlega rozkładow normalnemu jeżel jej gęstość wyraża sę wzorem: E a D b f x xa 1 b b e WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 9.Rozkład normalny E=15, D= E=15, D=4 3 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
24 Rozkład normalny W przypadku rozkładu normalnego około 68.% wszystkch wynków dośwadczena losowego gromadz sę w przedzale ±σ wokół wartość oczekwanej a (albo średnej ). P P P x a 68,% a 95,4% a % WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 9.Rozkład normalny 4 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
25 Rozkład normalny Mówmy, że rozkład zmennej jest znormalzowany, gdy E=0 a D=1. Rozkład normalny przybera wówczas postać: f x 1 1 x e Dowolny rozkład o wartośc oczekwanej E=a odchylenu standardowym D=b można znormalzować, tworząc nowy rozkład Y przy użycu funkcj: Rozkład normalny o wartośc oczekwanej a odchylenu standardowym b często oznacza sę symbolem N(a,b). Rozkład normalny, znormalzowany oznacza sę symbolem N(0,1). a Y b WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 9.Rozkład normalny 5 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
26 Twerdzena granczne TWIERDZENIE MOIVRE A LAPLACE A Jeżel dla dośwadczena Bernoullego 0<p<1 a<b to: lm P a n Co oznacza, że dla dużych wartośc n prawdopodobeństwo, że lczba sukcesów k będze sę znajdować w przedzale np a npq, np b można polczyć z rozkładu Gaussa. TWIERDZENIE LINDEBERGA LEVY EGO Jeżel są nezależnym zmennym podlegającym rozkładow o wartośc średnej µ warancj σ, wówczas w grancy n ch n suma podlega rozkładow normalnemu z wartoścą średną µ 1 warancją. n npq k np np lm P n b e 1 p n 1 6 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe na n 1 b a 1 x 1 dx e 1 x dx WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe Dodatek Twerdzena Granczne AGH, Tarasuk 013
27 Twerdzena granczne Wnosk praktyczne z twerdzeń grancznych są take, że: jeśl w dośwadczenu Bernoullego lczba prób jest duża (w praktyce wystarczy klkanaśce/klkadzesąt) to zamast rozkładu Bernoullego można stosować rozkład normalny dla welu zmennych losowych, będących sumą dużej lczby nnych zmennych losowych równeż można stosować rozkład normalny WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe Lteratura, do której odnośnk pojawły sę w trakce wykładu: [1] Krysck, Bartos, Rachunek statystyka matematyczna w zadanach Dodatek Twerdzena Granczne [] Kornack, Melnczuk, Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych 7 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Statystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy x i p i 0 1-p 1 p suma 1
Rozkład dwupunktowy Zmenna losowa przyjmuje tylko dwe wartośc: wartość 1 z prawdopodobeństwem p wartość 0 z prawdopodobeństwem 1- p x p 0 1-p 1 p suma 1 Rozkład dwupunktowy Funkcja rozkładu prawdopodobeństwa
0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4
Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (
) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Elementy rachunku prawdopodobieństwa. repetytorium
Elementy rachunku prawdopodobeństwa repetytorum myślowy. - powtarzalny eksperyment fzyczny lub obserwacja czy śwatło jest zapalone czy zgaszone, określene lośc braków w bel tkanny, ustalene lośc wadlwych
Parametry zmiennej losowej
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru
1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:
.. Uprość ops zdarzeń: a) A B, A \ B b) ( A B) ( A' B).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A b) A B, ( A B) ( B C).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A B b) A B C ( A B) ( B C).4. Uproścć ops zdarzeń: a) A B, A B
( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
STATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład
STATYSTYKA Wnosowane statystyczne to proces myślowy polegający na formułowanu sądów o całośc przy dysponowanu o nej ogranczoną lczbą nformacj Zmenna losowa soowa jej rozład Zmenną losową jest welość, tóra
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a
KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje
65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Maemayka ubezpeczeń mająkowych 7.05.00 r. Zadane. Pewne ryzyko generuje jedną szkodę z prawdopodobeńswem q, zaś zero szkód z prawdopodobeńswem ( q). Ubezpeczycel pokrywa nadwyżkę szkody ponad udzał własny
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E bedze zborem zdarzen elementarnych danego doswadczena. Funcje X(e) przyporzadowujaca azdemu zdarzenu elementarnemu e E jedna tylo jedna lczbe X(e)x nazywamy ZMIENNA
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Katarzyna Rosak-Lada Zajęca 3 1. Dobrod dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R 2 Dekompozycja warancj zmennej zależnej Współczynnk determnacj R 2 2. Zmenne
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych
5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
I. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Diagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Mikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 5 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Uogólnone modele lnowe Uogólnone modele lnowe (ang. Generalzed Lnear Models GLM) Różną sę od standardowego MNK na dwa sposoby: Rozkład zmennej objaśnanej
Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne
ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych
Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboratorum Ćw. Analza statystyczna grafczna danych pomarowych. Wprowadzene MATLAB dysponuje weloma funcjam umożlwającym przeprowadzene analzy statystycznej pomarów, czy
Pattern Classification
attern Classfcaton All materals n these sldes were taken from attern Classfcaton nd ed by R. O. Duda,. E. Hart and D. G. Stork, John Wley & Sons, 000 wth the permsson of the authors and the publsher Chapter
V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH
Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty 007 34 V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH. Zbór np. lczb rzeczywstych a, b elementy zbor A a A b A, podzbór B zbor A : B A, sma zborów
Rozwiązania (lub wskazówki do rozwiązań) większości zadań ze skryptu STATYSTYKA: MATERIAŁY POMOCNICZE DO ZAJĘĆ oraz EGZAMINÓW Z LAT
Rozwązana (lub wskazówk do rozwązań) wększośc zadań ze skryptu STATYSTYKA: MATERIAŁY POMOCNICZE DO ZAJĘĆ oraz EGZAMINÓW Z LAT 01-014 ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁAD Zadane 1/ str. 4 a/ zmenna może przyjmować
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Proces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
1 Przestrzenie statystyczne, statystyki
M. Beśka, Statystyka matematyczna, wykład 1 1 1 Przestrzene statystyczne, statystyk 1.1 Rozkłady zmennych losowych Nech Ω, F, P ) będze ustaloną przestrzeną probablstyczną, a X : Ω IR zmenną losową na
Natalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax
Analiza struktury zbiorowości statystycznej
Analza struktury zborowośc statystycznej.analza tendencj centralnej. Średne klasyczne Średna arytmetyczna jest parametrem abstrakcyjnym. Wyraża przecętny pozom badanej zmennej (cechy) w populacj generalnej:
Nieparametryczne Testy Istotności
Neparametryczne Testy Istotnośc Wzory Neparametryczne testy stotnośc schemat postępowana punkt po punkce Formułujemy hpotezę główną odnoszącą sę do: zgodnośc populacj generalnej z jakmś rozkładem, lub:
2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
6. ROŻNICE MIĘDZY OBSERWACJAMI STATYSTYCZNYMI RUCHU KOLEJOWEGO A SAMOCHODOWEGO
Różnce mędzy obserwacjam statystycznym ruchu kolejowego a samochodowego 7. ROŻNICE MIĘDZY OBSERWACJAMI STATYSTYCZNYMI RUCHU KOLEJOWEGO A SAMOCHODOWEGO.. Obserwacje odstępów mędzy kolejnym wjazdam na stację
Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Weryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.
Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można
Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru
Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru
Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup
Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT
Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru
Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru
Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
TEORIA PORTFELA MARKOWITZA
TEORIA PORTFELA MARKOWITZA Izabela Balwerz 28 maj 2008 1 Wstęp Teora portfela została stworzona w 1952 roku przez amerykańskego ekonomstę Harry go Markowtza Opera sę ona na mnmalzacj ryzyka nwestycyjnego
Procedura normalizacji
Metody Badań w Geograf Społeczno Ekonomcznej Procedura normalzacj Budowane macerzy danych geografcznych mgr Marcn Semczuk Zakład Przedsęborczośc Gospodark Przestrzennej Instytut Geograf Unwersytet Pedagogczny
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobeństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźne wypełna wnętrze kwadratu [0 x ; 0 y ]. Znajdź p-stwo, że dowolny punkt
PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36 Krzysztof Dmytrów * Marusz Doszyń ** Unwersytet Szczecńsk PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA
p Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
dy dx stąd w przybliżeniu: y
Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc
RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu
Komputerowe generatory liczb losowych
. Perwszy generator Komputerowe generatory lczb losowych 2. Przykłady zastosowań 3. Jak generuje sę lczby losowe przy pomocy komputera. Perwszy generator lczb losowych L. H. C. Tppet - 927 Ksąż ążka -
SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Opsowa analza struktury zjawsk masowych Demografa statystyka PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości
Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość
SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA Częstochowa 4 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TWIERDZENIE BAYESA Wedza pozyskwana przez metody probablstyczne ma
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3.03.07 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 06/07 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane
Regresja liniowa i nieliniowa
Metody prognozowana: Regresja lnowa nelnowa Dr nż. Sebastan Skoczypec Zmenna losowa Zmenna losowa X zmenna, która w wynku pewnego dośwadczena przyjmuje z pewnym prawdopodobeństwem wartość z określonego
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ
WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego
= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału
5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL W standardowym modelu lnowym zakładamy,
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
ZAJĘCIA 3. Pozycyjne miary dyspersji, miary asymetrii, spłaszczenia i koncentracji
ZAJĘCIA Pozycyjne ary dyspersj, ary asyetr, spłaszczena koncentracj MIARY DYSPERSJI: POZYCYJNE, BEZWZGLĘDNE Rozstęp dwartkowy (ędzykwartylowy) Rozstęp dwartkowy określa rozpętośd tej częśc obszaru zennośc
Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
SZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej
Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 2014 część 2 Katarzyna Lubnauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzanu Admr D. Aczel 2. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucjan Kowalsk. 4. Statystyka opsowa,
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
STANDARDOWE TECHNIKI KOMPRESJI SYGNAŁÓW
STANDARDOWE TECHNIKI KOMPRESJI SYGNAŁÓW Źródło Kompresja Kanał transmsj sek wdeo 60 Mbt 2 mn muzyk (44 00 próbek/sek, 6 btów/próbkę) 84 Mbt Dekompresja Odborca. Metody bezstratne 2. Metody stratne 2 Kodowane
8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.