DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolske Semnarum Naukowe, 4 6 wrześna 007 w Torunu Kaedra Ekonomer Saysyk, Unwersye Mkołaa Kopernka w Torunu Unwersye Mkołaa Kopernka w Torunu Ops kurozy rozkładów za pomocą wybranych model z funkcą znaku. Wsęp Badana rynków fnansowych wykazały, ż procesy fnansowe, ake ak sopy zwrou, kursy walu nne charakeryzuą sę lepokurycznoścą rozkładów zmenną warancą warunkową. Wdoczna es równeż nesymeryczna reakca zmennośc na poawene sę pozyywnych negaywnych nformac (zman sóp zwrou. Waranca cen akc wzrasa w odpowedz na poawene sę negaywnych nformac spada w odpowedz na pozyywne nformace. Zawsko o nazywa sę powszechne efekem dźwgn. W modelach akch ak EGARCH, GJR oraz TARCH uwzględnona es uemna korelaca pomędzy sopam zwrou ch zmennoścą (Brzeszczyńsk, Kelm, 00; Doman, Doman, 004; Fszeder, 00; Fornar, Mele, 997. Fornar Mele (997 zaproponowal neco nny sposób uwzględnena asymerycznośc nż o es dla model GJR. W swoe pracy pokazal, że proponowane przez nch modele prowadzą do lepszych nerpreacyne wynków nż w przypadku zasosowana model GJR. W leraurze przedmou, nelnowa dynamka rynków fnanowych naczęśce opsywana es poprzez modele z klasy GARCH (Bollerslev, 986; Engle, 98. Innym, alernaywnych podeścem opsu procesów fnansowych są modele auoregresyne z losowym parameram (RCA (Ncholls, Qunn, 98. Naomas modele RCA GARCH z nnowacam z rozkładu normalnego (Thavaneswaran, Appadoo, Samana, 005 mogą sanowć alernaywę do model GARCH z rozkładem -Sudena (lub podobnym (Górka, 007b. Uwzględnene funkc znaku w modelu RCA wskazue, że zmana warośc parameru zależy od znaku obserwac poprzedne. Podobne es w przypadku modelu RCA GARCH.

2 Celem nneszego arykułu es przedsawene wybranych model z funkcą znaku. Szczególna uwaga zosała zwrócona na własnośc procesów generowanych przez poszczególne modele, a zwłaszcza na warość kurozy procesu warunk e snena.. Modele RCA z funkcą znaku Modele auoregresyne z losowym parameram (RCA są nauralnym uogólnenem klasycznych lnowych model auoregresynych. Pełny ops ych model wraz z własnoścam, meodam esymac oraz aplkacę można znaleźć w pracy Ncholls Qunn (98. Klasyczny saconarny ednowymarowy model auoregresyny rzędu perwszego z losowym paramerem można zapsać w posac: y = α + y + ε, ( gdze ~ ε ( d 0 σ, 0 0 0, ( σ ε α + σ <. (3 Warunek (3 es warunkem konecznym wysarczaącym saconarnośc drugego rzędu procesu y. Warunk (-(3 gwaranuą ścsłą saconarność procesu. Model (, przy odpowednch założenach, może być modelem ypu AR, STUR, RCA(, p (Górka, 007a; Lee, 998. Jeżel spełnone są warunk (-(3, o proces ( ma nasępuące własnośc (Appadoo, Thavaneswaran, Sngh, 006; Aue, 004: E( y = 0, (4 σ ε ( y = E, (5 α σ 3 ( α σ ( α + 6α σ + 3σ. (6 Zaem proces charakeryzue sę zerową średną oraz sałą warancą kurozą. Warość waranc dla procesu opsanego modelem RCA( es wększa nż dla procesu opsanego AR(. Jeżel σ = 0 (. dla modelu AR(, o warość kurozy (6 redukue sę do warośc 3. Warunek koneczny wysępowana 4 4 kurozy ma posać α + 6α σ + 3σ <. Saconarny model RCA z funkcą znaku ma posać (Thavaneswaran, Appadoo, 006: y ( α + + Φs y + ε =, (7

3 Ops kurozy rozkładów za pomocą wybranych model z funkcą znaku 3 gdze spełnone są warunk (-(3 oraz dla y > 0 s = 0 dla y = 0. (8 dla y < 0 Jeżel α + > Φ, o uemna warość Φ oznacza, że dla uemnych (dodanch obserwac w czase maleą (rosną warośc w czase. W przypadku sóp zwrou oznaczałoby o, że po spadkach noowań nasępuą wększe nż oczekwane spadk, naomas w przypadku wzrosu noowań nasępuą mnesze nż oczekwane wzrosy noowań. Jeżel spełnone są warunk (-(3, o proces (7 ma nasępuące własnośc (Thavaneswaran, Appadoo, 006: E( y = 0, (9 σ ε ( y = E, (0 α σ Φ 3 ( α + σ + Φ [ α + Φ + 6[ α σ + Φ ( α + σ ] + 3σ ]. ( Zaem proces opsany równanem (7 charakeryzue sę zerową średną oraz sałą warancą kurozą. Warunek koneczny wysępowana kurozy ma posać: [ α σ + Φ ( α + σ ] + 3σ < α + Φ + 6. ( Jeżel σ = 0 oraz Φ = 0, o warość kurozy ( redukue sę do warośc 3. Z porównana własnośc (4-(6 modelu RCA oraz własnośc (9-( modelu RCA z funkcą znaku wynka, że wprowadzene funkc znaku do modelu RCA powodue zwększene warośc waranc oraz kurozy w sosunku do ych welkośc dla procesu opsanego modelem RCA bez funkc znaku. 3. Modele GARCH z funkca znaku Ogólny model y σ GARCH(p, q opsany es równanam: = σ ε, (3 q p = + ω α y + = gdze ~ d( 0, β σ ε, ω > 0, α 0 oraz β 0., (4 Wzory na eoreyczną warośc kurozy dla procesów generowanych przez poszczególne modele GARCH, są podawane w leraurze z ego zakresu (np.

4 4 Doman, Doman, 004. Brak es ogólnego wzoru na warość kurozy procesu opsanego równanam (3-(4. Ponże zaprezenowany będze bardze ogólny wzór na kurozę dla welu model z klasy GARCH (zn. z różnym rozkładam resz W celu zapsana ogólnego wzoru na kurozę modelu GARCH bez względu na yp rozkładu model (3-(4 należy zapsać w posac ARMA. Jeżel u = σ es różncą maryngałową o waranc var( u = σ, o model y (6-(7 może być nerpreowany ako model ARMA(m, q dla posac: lub m p = ω + = ( α + β y β u u y + ( ( u y (5 φ B y = ω + β B u, (6 m gdze ( ( = m p φ B = α + β B φ B, ( = = m = max{ p, q}, α = 0 dla > q oraz β = 0 dla > p. β β B, B Warunkam saconarnośc dla y, kóry ma reprezenace ARMA(m,q, są (Thavaneswaran, Appadoo, Samana, 005: (Z. Wszyske perwask równana charakerysycznego φ ( B = 0 leżą poza kołem ednoskowym. (Z. 0 ψ <, gdze ψ są współczynnkam welomanu spełnaącego równane ψ ( B φ( B = β ( B posac ( + Założena e gwaranuą neskorelowane ψ B ψ B. =, średną zero skończoną warancę dla u oraz o, że proces y es saconarny w szerszym sense. Jeżel model GARCH(p,q opsany równanem (6 spełna warunk (Z.- (Z. ma skończony bezwarunkowy momen czwarego rzędu, o kurozę K procesu y opsanego równanem (6 można zapsać (Thavaneswaran, Appadoo, Samana, 005: E 4 E( ε 4 4 ( ε [ E( ε ] ψ 0 u. (7 Warośc paramerów konkrenego modelu są zaware w poszczególnych waroścach wag. Wyprowadzena wzorów na warość kurozy dla przykładowych model GARCH z nnowacam z rozkładu normalnego oraz - Sudena można znaleść w pracy Górka (007b. Funkca znaku do model GARCH zosała wprowadzona przez Fornar, Mele (997. Ogólny model GARCH(p, q z funkcą znaku opsany es równanam:

5 y Ops kurozy rozkładów za pomocą wybranych model z funkcą znaku 5 = σ ε, y I ~ N( 0 σ, (8 σ = ω + q α y gdze ~ d( 0, + p =, β σ + l k= Φ s k k, (9 ε, ω > 0, α 0, β 0, s określone es wzorem (9, zaś Φk ω. Osan warunek gwaranue neuemne warośc { σ }. Podobne ak dla modelu GARCH (3-(4, w leraurze przedmou podęe zosały próby znalezena ogólnego wzoru na kurozę procesu (Thavaneswaran, Appadoo, 006. Jednakże, przedsawony przez Thavaneswaran, Appadoo (006 ogólny wzór na kurozę ne dae wynków, w przypadku konkrenych model, orzymanych przez auorkę czy przez Fornar, Mele (997. Znalezene ogólne posac wzoru na kurozę procesu GARCH z funkcą znaku, zdanem auork, es możlwe ednakże wymaga eszcze dalszych badań. Nech dany będze model ARCH( z funkcą znaku posac: y = σ ε, σ ω + α y + Φs, (0 gdze ~ N( 0, = ε, ω > 0, α 0, Φ ω, zaś s określone es wzorem (8. Jeżel Φ < 0, o wówczas dla uemnych (dodanch obserwac w czase wzrasa (malee waranca warunkowa w czase. Zaem uemna warość Φ określa uemną korelacę pomędzy zmennoścą sopam zwrou. Zakładaąc, że spełnone są warunk saconarnośc dla procesu odpowadaącego równanom (0, orzymuemy: E( y = 0, ( ( ω E y =, ( α ( α + 3ω ( α ω ( 3α 3Φ. (3 Zaem, funkca znaku ne wpływa na warość średną oraz warość waranc bezwarunkowe procesu. Naomas warość kurozy procesu opsanego 3Φ ( α równanam (0 ulega zwększenu o ω ( 3α. Ne zmena sę równeż warunek koneczny snena kurozy (Górka, 007b, zn. α <. 3 W podobny sposób można orzymać kurozę procesu opsanego przez model GARCH(, z funkca znaku. Nech dany będze model opsany równanam: y = σ ε, σ ω + α y + β σ + Φs, (4 = y

6 6 ε, ω > 0, α 0, β 0, Φ ω, zaś określone es gdze ~ N( 0, wzorem (8. Wówczas, przy spełnenu warunków saconarnośc dla procesu y, orzymuemy: E( y = 0, (5 ( ω E y =, (6 α β ( α + β + 3Φ ( ( α + β ( ( α + β α ω 3ω. (7 Podobne ak w przypadku modelu ARCH( z funkcą znaku, w przypadku modelu GARCH(, z funkcą w sosunku do zwykłego (z nnowacam z rozkładu normalnego modelu GARCH rośne warość kurozy procesu, zaś warość średna oraz waranca bezwarunkowa ne ulega zmane. Ne ulega równeż zmane warunek, przy kórym kuroza procesu snee (Górka, 007b, zn.: ( α + β + α <. Reasumuąc, wprowadzene funkc znaku do model GARCH powodue edyne zwększene warośc kurozy. Jeżel Φ = 0, o wzory (3 (33 na kuroze procesu redukuą sę do wzorów na kurozę procesów generowanych przez odpowednch modele GARCH (Górka, 007b. 4. Modele RCA GARCH z funkcą znaku Modele RCA GARCH, w omawane posac, zosały zaproponowane przez Thavaneswaran, Appadoo, Samana (005. W modelach RCA GARCH, analogczne ak w przypadku modelu AR, wprowadza sę losowość parameru do modelu GARCH (Górka, 007b; Thavaneswaran, Appadoo, Samana, 005. Gdy do modelu RCA GARCH dodana zosane eszcze funkca znaku, o orzymue sę model RCA GARCH z funkcą znaku. Funkca a es ednak dodana w nny sposób nż w przypadku model GARCH z funkcą znaku. Model RCA ARCH( z funkcą znaku ma posać: y = σ ε, ( = ω + α + a + Φs y σ, (8 gdze ε ~ N( 0, σ ε, ( ~ N 0, a a σ, zaś s określone es wzorem (8. Uemna warość Φ oznacza, że dla uemnych (dodanch obserwac w czase rośne (malee zmenność w czase. Jeżel przymemy u = y σ, o równane waranc warunkowe ma posać: ( α + a + Φs y u = ω + y + s. (9

7 Ops kurozy rozkładów za pomocą wybranych model z funkcą znaku 7 Zaem, równane waranc w modelu RCA ARCH( z funkcą znaku może być nerpreowane ako model RCA z funkcą znaku dla. Przy założenu y saconarnośc procesu orzymuemy (por. Thavaneswaran, Appadoo, 006: E( y = 0, (30 ( σ ε ω σ ε 3 α ε α + E y =, (3 α 3σ 4 ( σ ( σ + Φ ε. (3 a W ym przypadku zmenła sę (zwększyła ylko warość kurozy. Warunek koneczny snena kurozy dla modelu RCA ARCH z funkca znaku, o α σ + Φ <. Waro zwrócć uwagę, że warunek en, w sosunku do σ ε ( + a 3 warunku na kurozę procesu generowanego przez model RCA GARCH, zmenł sę. W przypadku losowośc parameru soącego przy y w modelu GARCH(, mamy do czynena z modelem RCA GARCH(,, kóry zapsue sę w posac: y = σ ε, = ω + ( α + a + Φs y + βσ σ, (33 gdze ε N( 0, σ, ( ~ N 0, a ~ ε a σ, zaś s określone es wzorem (8. Przy założenu saconarnośc procesu orzymuemy: y E( y = 0, (34 ( ε ε εα σ ω E y =, (35 σ β 3 +. (36 σ α β 3 ( ασ β ε 4 σ ( α + σ +Φ β ε a Dla modelu RCA GARCH z funkcą znaku równeż ulega podwyższenu edyne warość kurozy procesu. Warunek koneczny wysępowana kurozy dla procesu opsanego modelem RCA GARCH(, z funkcą znaku wynos 4 σ εαβ + 3σ ε ( α + σ a + Φ + β <. W każdym, z przedsawonych przypadków wprowadzene funkc znaku prowadzło do podwyższena warośc kurozy procesu. Dla Φ = 0 wzory (3 (36 na kurozę procesu redukuą sę do wzorów na kurozę procesów generowanych przez odpowednch modele RCA GARCH (Górka, 007b. y

8 8 5. Podsumowane W arykule przedsawono wybrane modele z funkcą znaku, pozwalaące na ops nesymeryczne reakc zmennośc (lub, w przypadku modelu RCA sóp zwrou na poawene sę pozyywnych negaywnych nformac. Warość parameru przy funkc znaku, dla każdego przedsawanego modelu, ma wpływ na warość kurozy procesu powoduąc e zwększene. Warunk koneczne snena kurozy procesu, wskazuą na ogranczena sosowana rozkładu normalnego dla nnowac w przedsawanych modelach. Leraura Appadoo, S.S., Thavaneswaran, A., Sngh, J. (006, RCA Models wh Correlaed Errors, Appled Mahemacs Leers, 9, Aue, A. (004, Srong Approxmaon for RCA( Tme Seres wh Applcaons, Sascs & Probably Leers, 68, Bollerslev, T. (986, Generalzed Auoregressve Condonal Heeroscedascy, Journal of Economercs, 3, Brzeszczyńsk, J., Kelm, R. (00, Ekonomeryczne modele rynków fnansowych. WIG-Press, Warszawa. Engle, R. F. (98, Auoregressve Condonal Heeroscedascy wh Esmaes of he Varance of Uned Kngdom Inflaon, Economerca, 50, Doman, M., Doman, R. (004, Ekonomeryczne modelowane dynamk polskego rynku fnansowego, Wyd. AE w Poznanu, Poznań. Fszeder, P. (00, Zasosowane model GARCH w analze krókookresowych zależnośc pomędzy Warszawską Gełdą Paperów Waroścowych a mędzynarodowym rynkam akc, Przegląd Saysyczny, Zeszy 3 4, Fornar, F., Mele, A. (997, Sgn- and Volaly-Swchng Arch Models: Theory and Applcaons o Inernaonal Sock Markes, Journal of Appled Economercs,, Górka, J. (007a, Modele auoregresyne z losowym parameram, w: Osńska M. (red., Procesy STUR. Modelowane zasosowane do fnansowych szeregów czasowych, Wydawncwo TNOK, Toruń. Górka J., (007b, Kuroza w procesach generowanych przez model RCA GARCH, Modelowane Prognozowane Gospodark Narodowe, w druku. Lee, S. (998, Coeffcen Consancy Tes n a Random Coeffcen Auoregressve Model, Journal of Sascal Plannng and Inference, 74, Ncholls, D.F., Qunn, B.G. (98, Random Coeffcen Auoregressve Models: An Inroducon, Sprnger, New York. Thavaneswaran, A., Appadoo, S.S. (006, Properes of a New Famly of Volaly Sng Models, Compuers and Mahemacs wh Applcaons, 5, Thavaneswaran,, A., Appadoo, S.S., Samana, M. (005, Random Coeffcen GARCH Models, Mah. Compu. Modellng, 4,