Fzyka 7 Janusz Andzejewsk
Poblem: Dlaczego begacze na stadone muszą statować z óżnych mejsc wbegu na 400m? Janusz Andzejewsk
Ruch obotowy Cało sztywne Cało, któe obaca sę w tak sposób, że wszystke jego częśc są zwązane ze sobą, dzęk czemu kształt cała ne ulega zmane Oś obotu Podczas obotu cała sztywnego wokół stałej os obotu, każdy punkt tego cała pousza sę po okęgu, któego śodek leży na os obotu każdy punkt zakeśla w ustalonym czase tak sam kąt. Janusz Andzejewsk 3
Była sztywna Była(cało) doskonale sztywne to take cało, w któym odległośc mędzy dwoma dowolnym jego punktam matealnym ne zmenają sę w takce uchu Może go stosować gdy odkształcena są małe w stosunku o wymaów cała. Punkt matealny CAŁA RZECZYWISTOŚĆ Była sztywna Janusz Andzejewsk 4
Potzeba nowych welkośc fzycznych 1 3 Welkośc któe zależą od mejsca w któym ozpatujemy uch: - watość wektoa pędkośc -doga Welkośc któe ne zależą od mejsca w któym ozpatujemy uch - czas obegu dookoła os obotu -kąt 5 Janusz Andzejewsk
Położene kątowe Położene kątowe: Ustalony keunek θ s s długość łuku okęgu pomeń okęgu Położene kątowe mezy sę w adanach(ad). Jest to welkość bezwymaowa. 1 pełny obót 360 o π/ πad 1 ad 360 o /π 57.3 o 6 Janusz Andzejewsk
Pzemeszczene kątowe W chwl t > t 1 Δθ Pzemeszczene kątowe: Δθθ θ 1 θ W chwl t 1 θ 1 Konwencja znaków: Δθ> 0 jeśl obót nastąpł pzecwne do uchu wskazówek zegaa Δθ< 0 jeśl obót nastąpł zgodne z uchem wskazówek zegaa Janusz Andzejewsk 7
Pędkość pzyśpeszene kątowe Śedna pędkość kątowa: Śedna pzyśpeszene kątowe: s θ t α s tt Pędkość kątowa (chwlowa): Pzyśpeszene kątowe (chwlowe): θ lm t 0 t dθ dt α lm t 0 t Wzoy te odnoszą sę zaówno do obacającego sę cała sztywnego jako całośc, jak do każdej cząstk tego cała. d dt Janusz Andzejewsk 8
Welkość wektoowa? Keunek oś obotu Zwot eguła śuby pawoskętnej (pawej ęk) Watość watość welkośc kątowej Janusz Andzejewsk 9
Czy kąt jest welkoścą wektoową Welkość wektoowa > dodawane welkośc wektoowych jest pzemenne a + b b + a Pzykład: Obót o 90 0 wzdłuż os x oaz y Welkośc kątowe take jak pzemeszczene kątowe, pędkość kątowa czy pzyśpeszene kątowe są tzw. pseudowektoam. Janusz Andzejewsk 10
Ruch lnowy obotowy Ruch lnowy a Ruch obotowy v θ x Dla uchu obotowego względem stałej os, każdy punkt na byle sztywnej obaca sę o tak sam kąt, ma taką samą pędkość kątową ma take samo pzyśpeszene kątowe Janusz Andzejewsk 11
Relacje pomędzy welkoścam lnowym a kątowym Welkość lnowa Welkość kątowa x θ v Janusz Andzejewsk 1 a ε dt d v t v s dt d t s θ θ dt dv a t v a s dt d t s ε ε at v v K + 0 t K ε + 0 0 0 at t v K + + 0 0 t t K ε θ θ + +
Ruch po okęgu Założene: const z0 > uch da sę opsać jedną zmenną: - kątem w płaszczyźne XY - długoścą łuku okęgu Watość pędkośc ds d( θ ) dθ v dt dt dt Janusz Andzejewsk 13
Ruch po okęgu Pędkość wektoowo możemy zapsać: v Pzyśpeszene: ( ) d v d Janusz Andzejewsk 14 ( ) a S a N v dt d dt d dt d dt dv a + + + ε a S ε - pzyśpeszene styczne ( ) v a N - pzyśpeszene nomalne ( ) ( ) ( ) C B A B C A C B A tożsamość
Ruch po okęgu Pzyśpeszene styczne a S d v dt Pzyśpeszene nomalne ε v v a N chaakteyzuje szybkość zmany lczbowej watośc pędkośc uchu; chaakteyzuje szybkość zmany keunku pędkośc uchu; Pzyśpeszene styczne nomalne są do sebe zawsze postopadłe Pzyśpeszene całkowte a a N + a S a N a S a + a N a S a Janusz Andzejewsk
Ruch kzywolnowy W ogólnośc obowązują wzoy dla uchu po okęgu ALE: Zamast pomena okęgu należy podstawć tzw. pomeń kzywzny R v R gdze kzywzna R jest zdefnowana: a N 1 R (θ-kąt pomędzy stycznym do kzywej na końcach łuku, s długość łuku) Uwag: -w uchu po okęgu, pzyśpeszene nomalne nazywane jest czasam pzyśpeszenem dośodkowym -w uchu jednostajnym po okęgu pzyśpeszene styczne wynos zeo dθ ds Janusz Andzejewsk 16
Enega knetyczna w uchu obotowym Enega knetyczna -tej cząstk E K E K 1 m v Enega knetyczna były sztywnej wynos: E K 1 1 E K m v m 1 m gdze: v Defnując moment bezwładnośc były sztywnej: E K 1 I m Enega knetyczna były sztywnej względem stałej os obotu. I Janusz Andzejewsk 17
Moment bezwładnośc I m Moment bezwładnośc Iwzględem danej os obotu jest to watość stała dla danego cała sztywnego okeślonej os obotu. Watość Izależy od ozłożena masy obacającego sę cała wokół os jego obotu. Im mnejszy jest moment bezwładnośc cała, tym łatwej wpawć je w uch obotowy. Janusz Andzejewsk 18
Chodzene begane Kótke nog mają mnejszy moment bezwładnośc nż długe. Zweze o kótkch nogach stąpa częścej nż zweze o długch nogach. Podczas begu mocno zgnamy nog w kolanach, zmnejszając ch moment bezwładnośc Janusz Andzejewsk 19
Momenty bezwładnośc wybanych cał Janusz Andzejewsk 0
TWIERDZENIE STEINERA (TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGŁYCH) Załóżmy, że znamy moment bezwładnośc cała względem pewnej os obotu pzechodzącej pzez śodek masy, ale cało obaca sę względem nnej os, ównoległej do nej: Moment bezwładnośc cała I względem dowolnej os O ówna sę momentow bezwładnośc I tego cała względem nnej, ównoległej do nej os O pzechodzącej pzez śodek masy cała, powększonemu o loczyn masy tego cała pzez kwadat odległośc mędzy tym osam: I ' O I SM + md Wnosek: Moment bezwładnośc jest najmnejszy dla os pzechodzącej pzez śodek masy Janusz Andzejewsk 1
Toczene s θr ds d(θr ) dt dt v SM R Janusz Andzejewsk
Toczene Ruch wyłączne obotowy Ruch wyłączne + postępowy Ruch toczny Janusz Andzejewsk 3
Enega knetyczna uchu tocznego Enega knetyczna uchu obotowego wokół os pzechodzącej pzez śodek masy: 1 E k I SM Enega knetyczna uchu postępowego śodka masy koła: E Całkowta enega knetyczna: 1 k mv SM 1 E k I SM + 1 mv SM Janusz Andzejewsk 4
Moment sły Zdolność sły F do wpawana cała w uch obotowy zależy od watośc sły, odległośc pzyłożena sły od os obotu kąta pomędzy słą a amenem sły. F F F F O O O O 1) ) 3) 4) Janusz Andzejewsk 5
Moment sły Moment sły: M F F φ F Watość: M Fsnφ M Keunek: postopadły do F Zwot: eguła pawej ęk Oznaczena: do powezchn, zwot do katk do powezchn, zwot od katk Janusz Andzejewsk 6
Moment sły -uwag F F F M -ame sły F F Janusz Andzejewsk 7 F F M Moment sły zawsze jest zdefnowany względem danej os obotu
Moment sły a pzyśpeszene kątowe Na cząstkę o mase dmdzała sladf. df dm *a Obót powoduje moment sły : dm df dm *a * Ale a *ε, węc: dm dm ε dm ε Całkowty moment sły dzałający na całą byłę sztywną wynos: M dm dm ε I ε Janusz Andzejewsk 8
II zasada dynamk uchu obotowego Jeśl na pewne cało mogącej sę obacać wokół stałej (ne obacającej sę w pzestzen), o momence bezwładnośc względem tej os ównym I, dzałają zewnętzne sły, któe wyweają na to cało wypadkowy moment sły M, to w wynku tego cało będze obacać sę z pzyspeszenem kątowym ε takm, że: M I ε Gancznym pzypadkem dugej zasady dynamk dla uchu obotowego jest sytuacja, gdy wypadkowy moment sł dzałających na cało ówny jest zeo. (pewsza zasada dynamk dla uchu obotowego). Ze wzou wynka, że wówczas pzyspeszene kątowe ówneż będze ówne 0 a była obacać sę będze ze stałą pędkoścą kątową. Janusz Andzejewsk 9
Pzykład T Q T Θ Q Q Θ Staczane po ówn pochyłej symetycznej były bez poślzgu: x φ a ε Ruch postępowy śodka masy wzdłuż ówn ma Janusz Andzejewsk 30 Q II Ruch obotowy względem śodka masy ma + T I ε T Elmnując słę taca, otzymujemy Iε mg snθ Im wększy moment bezwładnośc, tym wolnej stacza sę cało... g snθ a I 1+ m
Pzykład Janusz Andzejewsk 31
Pzykład T Sła taca w pzypadku toczena sę bez poślzgu Q ne wykonuje pacy poneważ kąt pomędzy słą a małym pzesunęcem (odywane sę koła Θ od powezchn) wynos 90 0. v Podobne, w tym pzypadku sła taca ne jest h dana popzez zależność empyczną. Q Θ Q Z zasady zachowana eneg: mgh + + mgh 1 1 1 1 1 I0 + m0 0 + I mv m ( v 1 ) + mv mv v gh ale v oaz I m Toczący sę peśceń v gh Ślzgający sę peśceń Janusz Andzejewsk 3
Paca, Moc dw F ds M F snφ ( F snφ) dθ dw M dθ Jeżel moment sły M jest stały powoduje obót były o kąt θ, wówczas paca wykona pzez ten moment sły wynos: W M θ Moc: dw dt ( M dθ ) d dθ M M dt dt Janusz Andzejewsk 33