ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Defiicje, twierdzeia, wzory Wydaie dwudzieste piąte zmieioe GiS Oficya Wydawicza GiS Wrocław 2017

Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika Wrocławska maria.gewert@ pwr.edu.pl Zbigiew Skoczylas Wydział Matematyki Politechika Wrocławska zbigiew.skoczylas@ pwr.edu.pl Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 1991 2017 by Oficya Wydawicza GiS Utwór w całości ai we fragmetach ie może być powielay ai rozpowszechiay za pomocą urządzeń elektroiczych, mechaiczych, kopiujących, agrywających i iych. Poadto utwór ie może być umieszczay ai rozpowszechiay w postaci cyfrowej zarówo w Iterecie, jak i w sieciach lokalych, bez pisemej zgody posiadacza praw autorskich. Składwykoaowsystemie L A TEX. ISBN 978 83 62780 43 3 Wydaie XXV zmieioe, Wrocław 2017 Oficya Wydawicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oficya Wydawicza ATUT 4

Spis treści 1 Wstęp 7 1 Zbiory i fukcje liczbowe 9 1.Zbioryograiczoeikresy... 9 2.Fukcje podstawoweokreśleia... 10 3.Złożeiafukcjiifukcjeodwrote... 16 4.Fukcjeelemetareiie... 21 2 Ciągi liczbowe 27 1.Podstawoweokreśleia... 27 2.Graiceciągów... 30 3.Twierdzeiaograicachciągów... 32 3 Graice i ciągłość fukcji 40 1.Defiicjegraicfukcji... 40 2.Twierdzeiaograicachfukcji... 44 3.Asymptotyfukcji... 50 4.Ciągłośćfukcji... 53 5.Działaiaafukcjachciągłych... 57 6.Twierdzeiaofukcjachciągłych... 58 4 Pochode fukcji 61 1.Podstawowepojęcia... 61 2.Pochodejedostroeipochodeiewłaściwe... 65 3.Twierdzeiaopochodejfukcji... 67 4.Różiczkafukcji... 72 5.Pochodewyższychrzędów... 73 6.Pochodefukcjiwektorowych... 74 5 Zastosowaia pochodych 76 1.Twierdzeiaowartościśrediej... 76 2.Twierdzeiaograicachieozaczoych... 80 3.RozwiięcieTaylorafukcji... 82 4.Ekstremafukcji... 85 5

5.Fukcjewypukłeipuktyprzegięcia... 90 6.Przybliżoerozwiązywaierówań... 94 7.Badaiefukcji... 95 6 Całki ieozaczoe 97 1.Fukcjepierwoteicałkiiezaczoe... 97 2.Twierdzeiaocałkachieozaczoych... 100 3.Całkowaiefukcjiwymierych... 102 4.Całkowaiefukcjitrygoometryczych... 106 5.Całkowaiefukcjiziewymierościami... 108 7 Całki ozaczoe 109 1.Podstawowepojęcia... 109 2.Metodyobliczaiacałekozaczoych... 113 3.Własościcałekozaczoych... 115 4.Fukcjagórejgraicycałkowaia*... 121 5.Przybliżoemetodyobliczaiacałek*... 123 8 Zastosowaie całek ozaczoych 126 1.Zastosowaiawgeometrii... 126 2.Zastosowaiawfizyce... 132 9 Odpowiedzi i wskazówki 134 Literatura 154 Skorowidz 154 6

1 Wstęp Niiejsza książka jest pierwszą częścią zestawu podręczików do Aalizy matematyczej 1. Pozostałymi częściami są zbiory zadań Aaliza matematycza 1. Przykłady i zadaia i Aaliza matematycza 1. Kolokwia i egzamiy. Podręcziki te są przezaczoe główie dla studetów politechik. Mogą z ich korzystać także studeci wydziałów auk ścisłych i przyrodiczych uiwersytetów oraz uczeli ekoomiczych, pedagogiczych i roliczych. Opracowaie zawiera defiicje, twierdzeia i wzory z rachuku różiczkowego oraz całkowego fukcji jedej zmieej wraz z zastosowaiami. Wszystkie zagadieia teoretycze zakończoo ćwiczeiami, przy czym początkowe z ich są z reguły ajprostsze. Podręczik jest bogato ilustrowayzawiera poad 300 rysuków). Fragmety materiału ozaczoe gwiazdką iezaczie wykraczają poza aktualy program przedmiotu. Tak samo ozaczoo trudiejsze ćwiczeia. Dodatkowy materiał oraz trudiejsze ćwiczeia dołączoo z myślą o studetach, którzy chcą rozszerzyć swoją wiedzę z aalizy matematyczej. Studetów zaiteresowaych rozwiązywaiem trudych i ietypowych zadań z aalizy zachęcamy do zapozaia się z książką Algebra i aaliza. Egzamiy a oceę celującą. Rówolegle do materiału omawiaego a wykładzie studeci powii przerabiać samodzielie i a ćwiczeiach odpowiedio dobrae zadaia. Takie zadaia wraz z metodami ich rozwiązywaia moża zaleźć w zbiorze zadań Aaliza matematycza 1. Przykłady i zadaia. Ćwiczeia z tego podręczika oraz przykłady i zadaia z drugiej części zestawu są podobych typów i mają te sam stopień trudości jak zadaia, które zwykle pojawiają a kolokwiach i egzamiach. Zadaia, które w poprzedich latach studeci Politechiki Wrocławskiej rozwiązywali a sprawdziaach, są umieszczoe w trzeciej części podręczika. Do tego wydaiu dodao owe ćwiczeia i rysuki oraz zmieioo układ materiału. Poadto poprawioo zauważoe błędy i usterki. Serdeczie dziękujemy Pai dr Teresie Jurlewicz za przygotowaie odpowiedzi do ćwiczeń z wcześiejszych wydań. Szczególe podziękowaia składamy Paom dr. Maciejowi Bureckiemu, dr. Krzysztofowi Michalikowi, prof. dr. hab. Jauszowi Mier- 7

8 Wstęp czyńskiemu, prof. dr. hab. Krzysztofowi Stempakowi oraz Pai dr Jolacie Sulkowskiej za licze spostrzeżeia, które pozwalały ulepszać koleje wydaia. Dziękujemy także Koleżakom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechiki Wrocławskiej oraz aszym Studetom za uwagi o poprzedich wydaiach. Dziękujemy rówież Koleżakom i Kolegom z iych uczeli za kometarze dotyczące zakresu i sposobu ujęcia materiału. Uprzejmie prosimy wykładowców i studetów o przesyłaie uwag o podręcziku oraz iformacji o dostrzeżoych błędach i usterkach. Maria Gewert Zbigiew Skoczylas

2 Ciągiliczbowe 2. 1. Podstawowe określeia Defiicja 1.1.ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym azywamy fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych i przyjmującą wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Wartość tej fukcji dla liczby aturalejazywamy-tymwyrazemciąguiozaczamyp.przeza.ciągotakich wyrazachozaczamyprzeza ).Zbiórwyrazówciągua ),tj.{a : N},ozaczamykrótkoprzez{a }.Ciągibędziemyprzedstawialiapłaszczyźie,jakozbiory puktówowspółrzędych,a ),gdzie N,albojakoideksowaepuktyaosi liczb rzeczywistych. a) a b) 1,a 1 ) 2,a 2 ) 3,a 3 ) 4,a 4 ) 5,a 5 ) a 1 a 2 a 3... a 1 2 3 4 5 Rys. 1.1. Ilustracja ciągua) a płaszczyźie,b) a prostej Obrazowo: ciąg moża traktować jako zbiór poumerowaych liczb rzeczywistych, które są ustawioe według rosących umerów Przykład 1.2. Ciągi możemy określać: a 1,a 2,a 3,...,a,... wzorem: a)a =2, b)b = 1 si, c)c = +1, d)d =1+2 2 +3 3 +...+, e)e = 1 + 1 +1 + 1 +2 +...+ 1 2, f)f = { 3 dlaieparzystych, 3 dlaparzystych; 27

28 2. Ciągi liczbowe rekurecyjietz. kolejy wyraz ciągu wyraża się przez iektóre poprzedie): a)a 1 =7,a +1 =a +3 ciągarytmetyczy, b)b 1 =1,b +1 =2b ciąggeometryczy, c)c 1 =1,c 2 =1,c +2 =c +c +1 ciągfiboacciego, d)d 1 =2,d +1 =2 d1 ; opisowo: a)a -tacyfrapoprzecikuwrozwiięciudziesiętymliczbyπ, b)p -taliczbapierwsza, c)c przedostatiacyfrarozwiięciadziesiętegoliczby+3) 2. Defiicja 1.3.ciągi ograiczoe) Mówimy,żeciąga )jestograiczoyzdołu,jeżeliistiejeliczbarzeczywistam taka,iżierówośćm a jestprawdziwadlawszystkich N.Obrazowo:ciągjest ograiczoy z dołu, gdy jego wyrazy leżą ad pewą prostą poziomą. a) a b) a M m 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Rys.1.2.Wykresciąguograiczoegoa)zdołu,b)zgóry Podobiemówimy,żeciąga )jestograiczoyzgóry,jeżeliistiejeliczbarzeczywistamtaka,iżierówośća Mjestprawdziwadlawszystkich N.Obrazowo: ciąg jest ograiczoy z góry, gdy jego wyrazy leżą pod pewą prostą poziomą. Zkoleimówimy,żeciąga )jestograiczoy,jeżelijestograiczoyzdołuiz góry. Obrazowo: ciąg jest ograiczoy, gdy jego wyrazy leżą między dwiema prostymi poziomymi. Ciąg, który ie jest ograiczoy, azywamy ieograiczoym. a) a b) a M m 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Rys. 1.3. Wykres ciągua) ograiczoego,b) ieograiczoego LeoardoPisaoFiboacci1170-1250),matematykwłoski.

1. Podstawowe określeia 29 Ćwiczeie 1.4. Zbadać, czy podae ciągi są ograiczoe z dołu, z góry, ograiczoe: a)a = 2; b)a = +1 ; c)a = 2 +3 ; d)a =5si!+1); e)a =3 ; f)a = 1 +1 + 1 +2 +...+ 1 + ; g*)a = 1+ 1 ) ; h)a =10 2 ; i*)a =1+ 1 2 +1 3 +...+1. Defiicja 1.5.ciągi mootoicze) Mówimy,żeciąga )jestrosący,jeżeliierówośća <a +1 jestprawdziwadla wszystkich N. Obrazowo: ciąg jest rosący, gdy jego wyrazy powiększają się ze wzrostemideksu,tz. a 1 <a 2 <a 3 <... a) a 1 2 3 4 5 b) a 1 2 3 4 5 Rys. 1.4. Wykres ciągua) rosącego,b) malejącego Podobiemówimy,żeciąga )jestmalejący,jeżeliierówośća >a +1 jest prawdziwa dla wszystkich N. Obrazowo: ciąg jest malejący, gdy jego wyrazy zmiejszająsięzewzrostemideksusię,tz.a 1 >a 2 >a 3 >... Uwaga. Jeżeli defiicji ostre ierówości zastąpimy słabymi, to otrzymamy określeia odpowiedio ciągu iemalejącego i ierosącego. Ciągi rosące, malejące, ierosące i iemalejące azywamy mootoiczymi. Wprowadza się także pojęcie ciągów mootoiczychodumeru 0. Ćwiczeie 1.6. Zbadać mootoiczość ciągów: a)a = 1 ; b)a = 2 ; c)a = 1 3... 2 1) ;! d)a = 3)!!) 3; e*)a = 100 50 +1; f*)a =5 3 2 ; 1 +10 g)a = ; h)a =+10+ 10 ; i)a = +1 2 +2 ; j)a = 100 ; k)a =! 1+ 1 ) ; l)a 1 = 2,a +1 = 2+a ; m)a = 2 +1; *)a = 1 +1 + 1 +2 +...+ 1 +. Ćwiczeie1.7. a)dla 4iechp ozaczadługośćajwiększejprzekątej-kąta foremegowpisaegowokrągopromieiu1.czyciągp )jestrosący?

30 2. Ciągi liczbowe b)dla 3iechS ozaczapole-kątaforemegoopisaegoakoleopromieiu1. CzyciągS )jestmalejący? 2. Graice ciągów Defiicja 2.1.graica właściwa ciągu, ciąg zbieży) Mówimy,żeciąga )magraicęwłaściwąa R,cozapisujemy lim a =a,gdy dladowolejliczbydodatiejεmożadobraćtakąliczbęaturalą 0,iżierówość a a <εbędzieprawdziwadlawszystkich> 0.Ciąg,którymagraicęwłaściwą, azywamy zbieżym. W przypadku przeciwym ciąg azywamy rozbieżym. Obrazowo: ciąg ma graicę a, gdy jego dostateczie dalekie wyrazy leżą dowolie blisko puktu a. a a+ε a a ε 1 2 3 4 5 0 Rys. 2.1. Ilustracja ciągu zbieżego Ćwiczeie 2.2. Korzystając z defiicji uzasadić rówości: 1 3 1 a) lim = 3; b) lim 1+ 2 =0; c) lim a=1,gdziea>0. +1 Ćwiczeie* 2.3. Udowodić, że ciąg zbieży: a) ma tylko jedą graicę;b) jest ograiczoy. Defiicja 2.4.ciągu rozbieżego do ) Mówimy,żeciąga )jestrozbieżydo,cozapisujemy lim a =,gdydla dowolejliczbydodatiejemożadobraćtakąliczbęaturalą 0,iżierówość a >Ebędzieprawdziwadlawszystkich> 0.Obrazowo:ciągjestrozbieżydo, gdy dostateczie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od dowolej liczby dodatiej. a E 1 2 3 4 5 0 Rys. 2.2. Ilustracja ciągu rozbieżego do

2. Graice ciągów 31 Podobiemówimy,żeciąga )jestrozbieżydo,cozapisujemy lim a =,gdydladowolejliczbyujemejemożadobraćtakąliczbęaturala 0,że ierówośća <Ebędzieprawdziwadlawszystkich> 0.Obrazowo:ciągjest rozbieży do, gdy jego dostateczie dalekie wyrazy są miejsze od dowolej liczby ujemej. a 1 2 3 4 5 0 E Rys. 2.3. Ilustracja ciągu rozbieżego do Uwaga. O ciągach rozbieżych do i mówimy także, że mają graice iewłaściwe odpowiedio lub. Ciągami rozbieżymi, które ie mają graic iewłaściwych, sąp.:a = 2),b =cosπ.graicawłaściwaaiiewłaściwaciąguiezależyod wartości skończeie wielu jego wyrazów. Iaczej mówiąc, zmiaa wartości skończoej liczby wyrazów ciągu ie zmieia jego graicy. Ćwiczeie 2.5. Korzystając z defiicji uzasadić rówości: a) lim = ; b) lim 1 2 ) = ; c) lim 2 5)=. Ćwiczeie 2.6. Pokazać,żeciąggeometryczyq )jest: i)zbieżydo0,gdy q <1; ii)zbieżydo1,gdyq=1; iii)rozbieżydo,gdyq>1; iv)rozbieży,gdyq 1. Korzystając z tego faktu wyzaczyć graice ciągów: a)a = 1 2) ; b)a = 10 3 ; c)a = 4) 5 ; d)a =3 π) ; e)a =si 2017; f)a =tg π π 4 Defiicja 2.7.podciąg) Niecha )będzieciągiemoraziechk )będzierosącymciągiemliczbaturalych. Podciągiemciągua )azywamyciągb )określoywzorem b =a k,gdzie N. Obrazowo: podciągiem azywamy ciąg pozostały po skreśleiu pewej liczbybyć może ieskończoej) wyrazów ciągu wyjściowegozobacz ilustracja iżej). a\ 1 a 2 a\ 3 a\ 4 a 5 a\ 6 a 7 a 8 a 9 a\ 10... b 1 b 2 b 3 b 4 b 5... ).

32 2. Ciągi liczbowe Przykład 2.8. a)ciągliczbparzystychb =2jestpodciągiemciąguliczbaturalycha =. b)ciągb = 1+ 1 ) 2 +1 2 jestpodciągiemciągua = 1+ 1. +1 ) c)ciągb )=1,1,2,2,3,3,...)iejestpodciągiemciągua )=1,2,3,...). TWIERDZENIE 2.9.o graicy podciągu) a) Podciąg ciągu z graicą właściwą ma tę samą graicę. b)podciągciągurozbieżegodo )jestrozbieżydo ). Uwaga. Ciąg, z którego moża wybrać dwa podciągi z różymi graicami, jest rozbieży. Ćwiczeie 2.10. Korzystając z twierdzeia o graicy podciągu uzasadić rówości: 1 1 a) lim 1+2=0; b) lim 3 +2 =0; ) c) lim 2 4 3 + 3=1; d) lim =. 3 Ćwiczeie 2.11. Wybierając odpowiedie podciągi uzasadić, że ie istieją graice: a) lim +2 [ ; b) lim 1)2 + 1) 2] ; c) lim siπ 3. TWIERDZENIE2.12. Bolzao Weierstrassa,ociągachograiczoych) Jeżeli ciąg jest ograiczoy, to ma podciąg zbieży. Uwaga.Jeżeliciągiejestograiczoy,tomapodciągrozbieżydo lub. 3. Twierdzeia o graicach ciągów TWIERDZENIE 3.1. o arytmetyce graic ciągów) Jeżeliciągia )ib )majągraicewłaściwe,to a) lim a +b )= lim a + lim b, b)lim a b )= lim a lim b, ) ) c) lim a b )= a e) lim = b lim a lim b lim a lim b, d)lim c a )=c lim a c R),, f)lim k a = k lim a k N). BerhardBolzao1781 1848),matematykifilozofczeski. KarlTheodorWilhelmWeierstrass1815 1897),matematykiemiecki.

3. Twierdzeia o graicach ciągów 33 Dowódc). Niech ε będzie dowolą liczbą dodatią. Mamy pokazać, że istieje taka liczba aturala 0,iżierówość a b ab <εjestprawdziwadlakażdegoaturalego> 0.Zezbieżościciągua )wyikajegoograiczoość.zatemistiejeliczbam ataka,że a M adlawszystkich N.NiechMbędziewiększązdwóchliczbM a, b,tj.iech M=max{M a, b }.Wdefiicjigraicyciągua )przyjmujemyε =ε/2m.wtedyistieje takaliczbaaturala a,iżierówość a a <ε jestprawdziwadlakażdego> a. Podobiewdefiicygraicyciągub )przyjmujemyε =ε/2m.wtedyistiejetakaliczba aturala b,żeierówość b b <ε jestprawdziwadlakażdego> b.pokażemy,że liczba 0=max{ a, b }spełiapoczątkowywaruek.rzeczywiście,dla> 0mamy a b ab = a b b)+ba a) a b b + b a a M a ε +M ε ε =M a 2M +M ε 2M M ε 2M +M ε 2M =ε. Zatem graica iloczyu ciągów rówa się iloczyowi graic tych ciągów. Uwaga. Wzorya) ic) są prawdziwe dla dowolej liczby odpowiedio składików i czyików. Z kolei we wzorache) if) zakładamy, że wyrażeia po obu stroach zaku rówości mają ses. Ćwiczeie 3.2. Obliczyć graice: 2 3 3 a) lim 3 ; b) lim +1 d) lim g) lim 2 1 3 +2 2 +1 ) 499 ) 5 ; e) lim 3 333; h) lim +1) 2 + ) ; c) lim +1) 3 8 3 +1 2 +1 3 +8 +4) 2 3 1+2+...+ ; 94 +1 +1)!! ; f) lim +1)!+! ; ; i) lim 4 +1 3 8 +1. Ćwiczeie3.3. a)dla 3iechα ozaczamiarękątawewętrzego kątaforemego. Obliczyć lim α. b)dla 6iechp ozaczadługośćajkrótszej,aq ajdłuższejprzekątej kąta foremego, którego bok ma długość 1. Obliczyć: lim p, lim q. c)dla 3iechS ozaczapole kątaforemegoopisaegoakoleopromieiu 1. Obliczyć lim S. Podać iterpretacje geometrycze otrzymaych wyików. Ćwiczeie 3.4. Pokazać rówoważość lim a =0 lim a =0.Następie uzasadić rówości: a) lim 1) 2 +1 =0; 1) b) lim =0. +1 TWIERDZENIE 3.5.o trzech ciągach) Jeżeliwyrazyciągówa ),b ),c )spełiająierówościa b c dla 0 oraz lim a = lim c =b,to lim b =b.

34 2. Ciągi liczbowe b a,b,c c b a 1 2 3 4 5 Rys. 3.1. Ilustracja twierdzeia o trzech ciągach Dowód.Niechεbędziedowoląliczbądodatią.Wtedyzezbieżościciągówa )ic )dob wyika,żeistiejątakieliczbyaturale a, c,iżierówość a b <εjestprawdziwadla > a,aierówość c b <εjestprawdziwadla> c.niech b ozaczaajwiększą wśródliczb a, coraz 0,tj.iech b =max{ a, c, 0}.Wtedydla> b zachodzą ierówości b ε<a <b+ε, b ε<c <b+ε. Poieważdla b spełioesąierówości:a b c,więctakże Stąd Toozacza,żeciągb )magraicęb. b ε<a b c <b+ε. b b <εdla> b. Ćwiczeie 3.6. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach uzasadić rówości: a) lim 2 +3 +5 2+si =5; b) lim 2 =0; +1 c) lim 2 3 2 =3; d) lim = 2; e) lim =1; g) lim f) lim log +1 1 2+1 3+2=1; h) lim 2 +1 ) =2; + 2 2+ 3 3=1; i) lim +1 ) 3 + 2 +1=1; j) lim si +1 si =0; ) 1 k) lim 2 +1 + 1 2 +2 +...+ 1 =1; 2 + 2 l*) lim 4 +2 + 2 2 2 3 2 4 +2 2+ 4 +2 3+...+ )=2. 4 +2

3. Twierdzeia o graicach ciągów 35 TWIERDZENIE 3.7.o ciągu mootoiczym i ograiczoym) Jeżeliciąga )jestiemalejącyorazograiczoyzgóry,tojestzbieży. a a a a 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Rys. 3.2. Ilustracja twierdzeia o ciągu a) iemalejącym i ograiczoym z góry,b) ierosącym i ograiczoym z dołu Dowód. Pokażemy, że lim a=sup{a}.zbiór{a}jestiepustyiograiczoyzgóry.zatemzaksjomatuciągłościmakresgóry.przyjmijmya=sup{a }.Niechεbędziedowolą liczbądodatią.pokażemy,żeistiejeliczba 0taka,żedla> 0zachodziierówość a ε<a <a+ε.zdefiicjikresugóregowyika,żeistiejetakielemeta 0 zbioru {a },iżprawdziwajestierówośća 0 >a ε.gdybytakiebyło,toa εbyłobyograiczeiemgórymzbioru{a },miejszymoda.toprzeczyłobydefiicjikresugórego,jako ajmiejszegoograiczeiagórego.skorociąga )jestiemalejący,toierówość a a =a a a a 0 <ε jestprawdziwadlawszystkich> 0.Tozkoleiozacza,żegraicąciągua )jesta. Uwaga. Prawdziwe jest aalogicze twierdzeie o ciągu ierosącym i ograiczoym zdołu. Ćwiczeie 3.8. Koleje wyrazy ciągu tworzymy dopisując po przeciku dowolą cyfrę p.x 1 =0.3,x 2 =0.37,x 3 =0.370,x 4 =0.3705,...Pokazać,żeciągx )jest zbieży. Ćwiczeie 3.9. Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić zbieżość ciągów: a)a = 1 +1 + 1 +2 +...+ 1 + ; b)a =! ; c)a 1 =0,c +1 =arctg1+c ); d*)a = 1+ ) 1 +1 ; e*)a = 1 1! +1 2! +...+1! + 2 +1)! ; f*)a =. W przykładachb) if*) ułożyć rówaia z graicami i astępie je wyzaczyć. Ćwiczeie 3.10. Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić rówości:

36 2. Ciągi liczbowe 100 [3)!] 2 a) lim =0; b) lim! 2)!4)! =0; c*) lim b =2,gdzieb 1 = 2,b +1 = 2+b dla N; d*) lim c = 1 2 FAKT 3.11.określeie liczby e) Ciąge = 1+ ) 1 jestzbieży. 5 1 ),gdziec 1 =1orazc +1 = 1 1+c dla N. e e 2 3 1 1 2 3 4 5 6 Rys.3.3.Wykresciągue ) Dowód.Najpierwpokażemy,żeciąge )jestrosący.mamy 1+ 1 ) +1 ) e +1 = +1 e 1+ 1 ) = +1 +1 [ ] 1 1 > +1 1 +1 =1. +1) 2 +1) 2 Nierówośćotrzymaliśmyprzyjmującr=+1orazx= 1/+1) 2 wierówościberoulliego :1+x) r >1+rx.Ciąge )jestzatemrosący. Pokażemy teraz ograiczoość z góry tego ciągu. Skorzystamy ze wzoru dwumiaowego Newtoa a+b) = ) a b 0 + 0 ) a 1 b 1 + 1 ) a 2 b 2 +...+ 2 ) a 0 b orazzierówości!>2 1 prawdziwejdlakażdego 3.Nierówośćtajestłatwado wykazaia przy pomocy idukcji matematyczej. Mamy e = 1+ ) 1 ) ) ) ) 1 1 1 1 =1+ 1 + 2 2+ 3 3+...+ =1+1+ 1 1 1 ) + 1 1 1 ) 1 2 ) +...+ 1 1 1 ) 1 2 )... 1 1 ) 2! 3!! <1+1+ 1 1 2! +1 3! +...+1! <1+ 1 1 1 ) 2 0+ 2 1+ 2 2+...+ 2 1 <1+ 1 1 ) 2 0+ 2 1+ 2 2+... =1+ 1 1 1 =3. 2 Zobacz Wstępdoaalizyialgebry,str.31.,wyd.3

3. Twierdzeia o graicach ciągów 37 Toozacza,żeciągjestograiczoyzgóryprzez3.Ztwierdzeiaociągumootoiczymi ograiczoymtwierdzeie3.7)wyika,żeciąge )jestzbieży. Uwaga.Graicęciągue )ozaczamyprzeze: e= lim 1+ 1. ) Liczbaepodaazdokładościądo2cyfrpoprzecikujestrówa2.72. Logarytmprzypodstawieeazywamyaturalymiozaczamyprzezl;lx=log e x. Fukcję wykładiczą przy podstawie e azywamy ekspoes i ozaczamy przez exp; expx=e x. Ćwiczeie 3.12. Pokazać,żejeżeliciągx )jest,rozbieżydo±,to lim 1+ 1 ) x =e.korzystając z tego obliczyć x graice: a) lim 1+ 1 +2 d) lim 1+ 1 2 ) 3 ; b) lim ) 2 +1 ; e) lim FAKT 3.13.o graicach iewłaściwych ciągów) 1 ) 1 ; c) lim 1 1 ) 2+1 2 ; ) 3+1 ; f) lim 3+4 ) 2+1 1. +3 a) Jeżeli lim a =0ia >0 N),to lim 1/a )=. b) Jeżeli lim a =,aciągb )jestograiczoy,to lim b /a )=0. c) Jeżeli lim a =,aciągb )jestograiczoyzdołu,to lim a +b )=. d) Jeżeli lim a = orazb m>0 N),to lim a b )=. Dowóda).NiechEbędzieliczbądodatią.Pokażemy,żeistieje 0 Ntaka,żewaruek 1/a >Ejestspełioydla> 0.Wdefiicjigraicyciągua )przyjmujemyε=1/e. Wtedyistiejetakie a N,żedla> aspełioyjestwaruek a <1/E.Stądiz założeiaa >0,mamya <1/Edla> a.zatem 1 > 1 a 1/E =E dla> 0= a,cokończydowód. Uwaga.Aalogiczetwierdzeiamożasformułowaćdla działań zsymbolem. Ćwiczeie 3.14. Obliczyć graice ciągów: a) lim 2 +1)! ; b) lim +1 5 4 3 2 ); ) 2+ 2 5 c) lim +3 ; d) lim 1+ 3.

38 2. Ciągi liczbowe Pokażemy iżej, że graica ilorazu ciągów rozbieżych do ieskończoości może przyjmować dowole wartości albo ie istieć. Przykład 3.15. Dla ciągów: a)a = 2,b =mamy lim a /b = lim =, b)a =c,gdziec>0,b =mamy lim a /b = lim c=c, c)a =,b = 2 mamy lim a /b = lim 1/=0, d)a =2+ 1) ),b =mamy lim a /b = lim 2+ 1) ) ieistieje. Ztegowzględuciąga /b )dla lim a =, lim b = azywamywyrażeiem ieozaczoym postaci /. Poadto, mamy sześć iych typów wyrażeń ieozaczoych. Są to kolejo: a b )dla lim a =, lim b = wyrażeie, a b )dla lim a =0, lim b =, wyrażeie0, a /b )dla lim a =0, lim b =0, wyrażeie0/0, ) a b dla lim a =1, lim b =, wyrażeie1, ) a b dla lim a =, lim b =0, wyrażeie 0, ) a b dla lim a =0, lim b =0 wyrażeie0 0. Ćwiczeie3.16.Podaćprzykładyciągówa ),b )świadczące,żewyrażeiapostaci,1,0 0 sąieozaczoe.rozważyćwszystkiewartości,jakiemogąprzyjąć te wyrażeia. TWIERDZENIE 3.17. o dwóch ciągach) Jeżeliwyrazyciągówa )ib )spełiająierówośća b dla 0,aciąga ) jestrozbieżydo,torówieżciągb )jestrozbieżydo. a,b 1 2 3 4 5 6 b a Rys. 3.3. Ilustracja twierdzeia o dwóch ciągach Dowód.Mamypokazać,żedladowolegoEistiejetakie b N,iżierówośćb >Ejest prawdziwadla> b.niechebędzieliczbądodatią.zdefiicjirozbieżościciągua )do

3. Twierdzeia o graicach ciągów 39,wyika,żeistieje a Ntakie,iża >Edla> a.przyjmując b = azzałożeia a b N),mamyb >Edla> b.toozacza,żeciągb )jestrozbieżydo. Uwaga. Prawdziwe jest aalogicze twierdzeie dla ciągów rozbieżych do. Ćwiczeie 3.18. Korzystając z twierdzeia o dwóch ciągach uzasadić rówości: a) lim [4 + 1) ]= ; b) lim 2 +3)= ; [ c) lim 2cos 5) 2 ] 1 = ; d) lim 1 + 1 +...+ 1 )=. 2 a +1 Ćwiczeie3.19.Dlaciągówa )obliczyć lim albo lim a dowyboru): a a)a =2 +3 ; b)a = 2! ; c)a = 2 +2; d)a = Najważiejsze graice ciągów lim lim 1 x lim lim p=0p>0), lim q = q>0), =0, gdy x <1, =1, gdy x=1, =, gdy x>1, ieistieje, gdy x 1, a=1a>0), lim =1, 1+ ) 1 =e, lim 1 1 1+ 1 ) 2. ) = 1 e, ogólielim 1+ a =e ) a a R).