ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Transkrypt

1 ANALIZA MATEMATYCZNA

2 Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadaia Wydaie dwudzieste szóste zmieioe Oficya Wydawicza GiS Wrocław 08

3 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika Wrocławska pwr.edu.pl Zbigiew Skoczylas Wydział Matematyki Politechika Wrocławska pwr.edu.pl Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c by Oficya Wydawicza GiS Utwór w całości ai we fragmetach ie może być powielay ai rozpowszechiay za pomocą urządzeń elektroiczych, mechaiczych, kopiujących, agrywających i iych. Poadto utwór ie może być umieszczay ai rozpowszechiay w postaci cyfrowej zarówo w Iterecie, jak i w sieciach lokalych, bez pisemej zgody posiadacza praw autorskich. Składwykoaowsystemie L A TEX. ISBN Wydaie XXVI zmieioe, Wrocław 08 Oficya Wydawicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Drukaria I-BiS sp. z o.o., A.Bieroński, P.Bieroński s.j.

4 Spis treści Wstęp 7 Fukcje 9 Podstawoweokreśleia... 9 Fukcjemootoicze... 0 Złożeiefukcji... Fukcjeodwrote... Fukcjeelemetareiie... Ciągi liczbowe 7 Podstawoweokreśleia... 7 Graiceciągów... Twierdzeiaograicachciągów... Graice i ciągłość fukcji 8 Defiicjegraicfukcji... 8 Twierdzeiaograicachfukcji... Asymptotyfukcji... 5 Ciągłośćfukcji... 6 Twierdzeiaofukcjachciągłych Pochode fukcji 7 Podstawowepojęcia... 7 Pochodejedostroeipochodeiewłaściwe Twierdzeiaopochodejfukcji Różiczkafukcji... 9 Pochodewyższychrzędów... 9 Pochodefukcjiwektorowych Zastosowaia pochodych 0 Twierdzeiaowartościśrediej... 0 Twierdzeiaograicachieozaczoych... RozwiięcieTaylorafukcji... 7 Ekstremafukcji... 5

5 Fukcjewypukłeipuktyprzegięciawykresufukcji... Badaiefukcji Całki ieozaczoe 56 Całkiieozaczoe Twierdzeiaocałkachieozaczoych Całkowaiefukcjiwymierych Całkowaiefukcjitrygoometryczych Całkowaiefukcjiziewymierościami Całki ozaczoe 9 Podstawowetwierdzeierachukucałkowego... 9 Metodyobliczaiacałekozaczoych Twierdzeiaocałkachozaczoych Zastosowaia całek ozaczoych 06 Zastosowaiawgeometrii Zastosowaiawfizyce... 7 Zbiory zadań 0 6

6 Wstęp Zestaw podręczików do Aalizy matematyczej składa się z trzech części. Pierwszą z ich jest książka Aaliza matematycza. Defiicje, twierdzeia, wzory, drugą iiejszy zbiór zadań, a ostatią opracowaie Aaliza matematycza. Kolokwia i egzamiy. Książki są przezaczoe główie dla studetów politechik. Mogą z ich korzystać rówież studeci wydziałów auk ścisłych i przyrodiczych uiwersytetów, a także uczeli ekoomiczych, pedagogiczych oraz roliczych. Zbiór zawiera przykładowe zadaia z rozwiązaiami przedstawioymi krok po kroku oraz podobe zadaia przezaczoe do samodzielej pracy. Przykłady i zadaia obejmują rachuek różiczkowy i całkowy fukcji jedej zmieej wraz z zastosowaiami. Materiał teoretyczy, którego zajomość jest potrzeba do rozwiązywaia zadań, moża zaleźć w pierwszej części zestawu. Zadaia ozaczoe gwiazdką są trudiejsze i kierowae do ambitych studetów. Więcej trudych i ietypowych zadań Czytelik zajdzie w książce Studecki kokurs matematyczy. Na końcu zbioru umieszczoe są odpowiedzi lub wskazówki do wszystkich zadań. Przykłady i zadaia z tego zbioru są podobych typów oraz mają zbliżoy stopień trudości do zadań, które studeci zwykle rozwiązują a kolokwiach i egzamiach. Zadaia ze sprawdziaów przeprowadzoych w poprzedich latach w Politechice Wrocławskiej zawiera trzecia część zestawu. Obece wydaie różi się od poprzedich przede wszystkim układem. Zadaia do samodzielej pracy i odpowiedzi do ich umieszczoo bezpośredio po rozwiązaiu podobego przykładu. Poadto poprawioo zauważoe błędy i usterki. Dziękujemy Koleżakom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechiki Wrocławskiej oraz aszym Studetom za uwagi o zbiorze. Maria Gewert Zbigiew Skoczylas 7

7 Ciągiliczbowe Podstawowe określeia Przykład.. Zbadać, czy podae ciągi są ograiczoe z dołu, z góry, są ograiczoe: a)a + ; b)b 000 ; c)c ) ; d)d +; e)e Rozwiązaie.Ciąga )jestograiczoyzdołu,jeżeliistiejeliczbarzeczywistamtaka, żeierówośćm a jestprawdziwadlakażdejliczbyaturalej.podobie,ciąga ) jestograiczoyzgóry,jeżeliistiejeliczbarzeczywistamtaka,żeierówośća Mjest prawdziwadlakażdejliczbyaturalej.ciąga )jestograiczoy,jeżelijestograiczoy zdołuizgóry.zaprzeczającpowyższymokreśleiomotrzymamy,żeciąga )iejestograiczoyzdołu,jeżelidlakażdejliczbyrzeczywistejmmożawskazaćliczbęaturalą 0 taką,żea 0 <m.aalogiczie,ciąga )iejestograiczoyzgóry,jeżelidlakażdejliczby rzeczywistejmmożawskazaćliczbęaturalą 0taką,żeM<a 0. a)ciąga )jestograiczoyzdołuprzezliczbęm0,gdyżdlakażdego Nspełioa jest ierówość a + >0m. CiągtejestograiczoyzgóryprzezliczbęM,gdyżdlakażdego Nspełioajest ierówość a + <M. Ciąga )jestzatemograiczoy. b)ciągb )jestograiczoyzgóryprzezliczbęm999,gdyżdlakażdego Nspełioa jest ierówość b M. Ciąg te ie jest jedak ograiczoy z dołu, gdyż dla każdej liczby rzeczywistej m istieje liczbaaturala 0taka,że b <m. Rzeczywiście,wystarczyprzyjąć 000 m ),abyspełioabyłapowyższaierówość. 7

8 8 Ciągi c)ciąg c )iejestograiczoy zdołuaizgóry.wykażemyjego ieograiczoość z góry. Dowód ieograiczoości z dołu jest podoby. Niech M będzie dowolą liczbą dodatią.mamypokazać,żeistiejeliczbaaturala 0,dlaktórejzachodziierówość Liczbątakąjestp. 0 M +). c 0 0) 0 >M. d)ciągd )jestograiczoyzdołuprzezliczbęm,gdyżdlakażdejliczbyaturalej spełioa jest ierówość d +> m. Ciągteiejestograiczoyzgóry,gdyżciągd,omiejszychwyrazach,iejest ograiczoy z góry. e)oczywistejest,żeciąge )jestograiczoyzdołuprzezliczbęm0.pokażemy,żeciąg te jest także ograiczoy z góry. Niech będzie dowolą liczbą aturalą. Wtedy zachodzą ierówości e <M. Zatemciąge )jestograiczoyzgóryprzezliczbęm. Zadaie.. Zbadać, czy podae ciągi są ograiczoe z dołu, z góry, są ograiczoe: a)x ; b)y )!; c)z +; d)t ) + ) ; e)b ; f)d +cos si ; g)a +8 +; h)e si π ; i)c ; j*)f!. Odpowiedzi.a)m0,ieograiczoyzgóry;b)ieograiczoyzdołuaizgóry;c) m,m;d)m/5,m;e)ieograiczoyzdołu,m ;f)m/5, M;g)m0,M;h)ieograiczoyzdołuaizgóry;i)m/5,M/;j*) m,ieograiczoyzgóry. Przykład.. Zbadać, czy podae ciągi są mootoicze od pewego miejsca: a)a + ; b)b + ; c)c! + ; d)d cos π ; e*)e 5 +6 ; f)f!)! ; )! g*)g + ) + ; h)h Rozwiązaie.Ciąga )jestrosącyodideksu 0,jeżeliierówośća +>a jestprawdziwadlakażdejliczbyaturalej 0.Jeżeiędzywyrazamiciągua )zachodzi ierówośćsłabaa + a dla 0,tociągjestiemalejącyodideksu 0.Zmieiając

9 Podstawowe określeia 9 powyżej kieruek ierówości między wyrazami ciągu otrzymamy określeia ciągu malejącegoiierosącego.mootoiczośćciągua )ustalamybadajączakróżicya + a, adlaciągówowyrazachdodatichmożemyporówaćiloraza +/a z. a)zbadamyzakróżicya + a.mamy a + + a + +) + +) +)+) +)+) >0dla N. Poieważróżicajestdodatia,więcciąga )jestrosący. b) Mamy b + b +) + +)! +! [ +) + ] [! +) +)+)! + ]! +)+)! Zbadamy teraz dla jakich liczb aturalych iloraz te jest miejszy od. Mamy < ++< < < < ) Ostatiaierówośćjestspełioadlaliczbaturalych.Poieważbadayciągma wyrazydodatieorazdla jegowyrazyspełiająierówośćb +/b <,więcjest malejącyodumeru 0. c) Mamy c + + ) ++ ) ++ [ : ] ++ :. + + Zatem c Pokażemybezpośredio,żec +>c dla N.Rzeczywiście,wychodzącodoczywistej relacji + >, otrzymamy kolejo rówoważe ierówości: + < + + <+ + + < < > > + + c +>c, czylijakżądao.toozacza,żeciągc )jestrosący.

10 0 Ciągi d)zbadamymootoiczośćciągud )ustalajączakróżicyd + d.wykorzystamy wzór Mamy d + d cos Dla Nliczby si cosα cosβsi β α π +) cosπ si π +) si+)π +). si α+β. π π +) si π +),+)π +) ależądoprzedziału0,π),więc si π >0oraz si+)π +) +) >0. Zatemd + d >0,czyliciągd )jestrosący. e*)mamy e ) +. π +) + π Abyuzasadićmootoiczośćciągue )skorzystamyzoczywistychierówości []a >a + + dla0<a<,[] a< adlaa>,[] a< bdla0<a<b Dla dowolej liczby aturalej mamy zatem 5 ) + 5 ) + 5 ) e []<6 + [,]<6 + e Toozacza,żeciąge )jestmalejący. f)poieważf >0dla N,więc,abyzbadaćmootoiczośćciąguf ),wystarczy porówaćilorazf +/f z.wrozwiązaiuwykorzystamytożsamość!k! k+)... ) 0 k<).mamy f + +)![+)]! f [+)]! )!!)! +)!+)! +)! )!!)!!+))!+)+) )! )!+)+)+)!)! +)+)+) +)+)+) +)+) +)+) <. Zatemciągf )jestmalejący. g*)zauważmy,żeg >0dla N.Jeżelipokażemy,żedla ilorazg /g jest miejszyod,tobadayciągbędziemalejącyodumeru 0.Mamy + ) + g g + ) ) ) ) <.

11 Graice ciągów Nierówość )wyikazierówościberoulliego : +x) +x, gdziex oraz N, wktórejprzyjętox.zatembadayciągjestmalejący. h)zbadamyzakróżicyh + h.mamy h + h ) ) ) ) )+)+)+) >0. Poieważdlakażdejliczbyaturalejróżicah + h jestdodatia,więcciągh )jest rosący. Zadaie.. Zbadać, czy podae ciągi są mootoicze od pewego miejsca: a)u + + ; b)x 6+0 ; c)y + ; d)z tg 00π + ; e)s 50 )! ; f)t! 0 ; g)a 9 50; h)b + ) ; i)c ; j)d ) ) ; k)e + + ; l)f +. Odpowiedzi.a)rosący;b)malejącyod 0;c)rosącyod 0;d)malejącyod 000;e)malejącyod 0;f)rosącyod 00;g)rosącyod 05;h) rosący;i)malejącyod 0;j)malejącyod 0;k)malejący;l)malejący. Graice ciągów Przykład.. Korzystając z defiicji graicy właściwej ciągu uzasadić rówości: a) 0; b) ; c) Rozwiązaie.Ciąga )magraicęwłaściwąa R,gdydladowolejliczbydodatiej εmożadobraćtakąliczbęaturalą 0,żeierówość a a <εjestprawdziwadla wszystkich> 0. a) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby dodatiej ε moża dobrać taką liczbę aturalą Dowód ierówości Beroulliego moża zaleźć w iym podręcziku autorów pt. Wstęp do aalizy i algebry. Teoria, przykłady, zadaia.

12 Ciągi 0,żeierówość / + ) 0 <εjestprawdziwadlawszystkich>0.niechε będziedowoląliczbądodatią.musimyzatemwskazaćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego > 0spełioabędzieierówość/ + ) <ε.dla Nierówośćtajestkolejo rówoważa ierówościom +> ε > ε. Poieważ,więcostatiaierówośćjestspełioa,gdy/ε <,tz.dlaε>/5. Zkoleidla0<ε /5ierówośćtajestrówoważawarukowi> /ε.zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą /ε. b) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby dodatiej ε moża dobrać taką liczbę aturalą 0,iżierówość /+) <εjestprawdziwadlawszystkich> 0.Niechεbędzie dowoląliczbądodatią.musimyzatemzaleźćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego> 0 spełioabędzieierówość /+) <ε.mamy + + <ε > ε. Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą/ε. c)mamypokazać,żedladowolejliczbydodatiejεmożadobraćtakąliczbęaturalą 0, iżierówość 5 <εjestprawdziwadlawszystkich>0.niechεbędziedowolą liczbądodatią.musimyzatemzaleźćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego> 0spełioa będzieierówość 5 <ε.mamy 5 5 <ε 5 / <+ε <log 5 +ε) > log 5 +ε). Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą/log 5 +ε). Zadaie.. Korzystając z defiicji graicy właściwej ciągu uzasadić rówości: + + a) 0; b) ; c) + d) 0; e*) +5 + ; ; f*) 0. +! Odpowiedzi.e*)Wsk.Wykorzystaćierówość +)/+)<orazfakt,że x dla x<;f*)wsk.wykorzystaćierówość! dla N. Przykład.. Korzystając z defiicji graicy iewłaściwej ciągu uzasadić rówości: a) + ; b) ) ; c) log. Rozwiązaie. W dowodach rówościa) ib) wykorzystamy defiicję ciągu rozbieżego do :ciąga )jestrozbieżydo,gdydladowolejliczbydodatiejemożadobraćtaką liczbęaturalą 0,żeierówośća >Ejestprawdziwadlawszystkich> 0.Zkolei wdowodzierówościc)zastosujemydefiicjęciągurozbieżegodo :ciąga )jest rozbieży do, gdy dla dowolej liczby ujemej E moża dobrać taką liczbę aturalą 0,żeierówośća <Ejestprawdziwadlawszystkich> 0. a) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby dodatiej E moża dobrać taką liczbę aturalą

13 Twierdzeia o graicach ciągów 0,iżierówość +>Ejestprawdziwadlawszystkich> 0.NiechEbędziedowolą liczbądodatią.musimyzatemzaleźćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego> 0spełioa będzieierówość +>E.Mamy +>E >E. Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówąE. b) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby dodatiej E moża dobrać taką liczbę aturalą 0,iżierówość >Ejestprawdziwadlawszystkich> 0.NiechEbędziedowolą liczbądodatią.musimyzatemzaleźćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego> 0spełioa będzieierówość >E.Dla Nmamy >E >E+ > E+. Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą E+. c)mamypokazać,żedladowolejliczbyujemejemożadobraćtakąliczbęaturalą 0, iżierówośćlog <Ejestprawdziwadlawszystkich> 0.NiechEbędziedowolą liczbąujemą.musimyzatemwskazaćliczbęaturalą 0taką,żedla> 0zachodzi ierówośćlog <E.Mamy E ) E log<e log<log > ) E. Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą E. Zadaie.. Korzystając z defiicji graicy iewłaściwej ciągu uzasadić rówości: a) log +) ; b) ) ; ) c) ; d) 0 ). Twierdzeia o graicach ciągów Przykład.5. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce graic ciągów obliczyć: a) ; b) ) ; c) ) ; d) ; e) ++ ) ; f) + +) ; + + ) )! ++ g) ; h) ; i) )! Rozwiązaie. W rozwiązaiach wykorzystamy twierdzeia o arytmetyce graic: jeżeli ciągi a )ib )majągraicewłaściwe,to [] [] a +b ) a + b, a b ) a b, [] a b)a) b), [] a b wszczególościmamy [ ] c a )c a ) c R), a b, oile b 0,

14 Ciągi [] 5 a ) p a ) p p Z), Poadto wykorzystamy fakt: [ 7 ] ciąggeometryczyq )jestzbieżydo0,gdy q <. [] 6 k a k a k N). Wzory [ ] i[]sąprawdziwedladowolejliczbyodpowiedioskładikówiczyików.we wzorach[5] i[6] zakładamy, że wyrażeia po obu stroach zaku rówości mają ses. W rozwiązaiach podajemy umer rówości, z której skorzystao. a) Mamy b) Mamy [ ] + : : [ ] [ ] + : : ) ) [, ] [] 5 ) + ) [, ] c) W rozwiązaiu wykorzystamy wzór a sumę początkowych k składików ciągu arytmetyczego:s k a +a k ) k/,gdziea ozaczapierwszy,aa k ostatiskładiksumy.w sumiewliczikujest+składikówpierwszymskładikiemjest,aostatim+). Zatem ) ++) +)+). Zkoleisumawmiaowikumaskładikówpierwszymskładikiem,aostatim+). Zatem ) ++) +5). Teraz możemy obliczyć graicę. Mamy ) ) +) +5) [ ) ] [ : : ] ) [,,5 ] + ) [] + 5 [ + )] ) +0.

15 Twierdzeia o graicach ciągów 5 d) Mamy e) Mamy [ ] ) : ) : ++ ) ) ) ) [ [] ) ) ) ] ) ] ) [ [] 0 0 ) ) +++ ) +++ ) ++ ) ) ) ) [ ] + [ : ] +++ : [,6 ] f)przedewszystkimzauważmy,żedlax,y>0mamy x y ) x+ y ) x ) x+ ) x x y y y y x+ y x+ y x+ y ) ) x+ y x y x+ y ) x+ y ). Korzystając z tego wzoru otrzymamy + + +) + + ) + ) +) + ) + +) + +) + [ ] ++ + ) ++ + ) : : [ ]

16 6 Ciągi )+ + + ). Stąd [] ) + + ) ) [+ [] )] + ) ) + [ ] ) ),, ) ). g) Mamy + [ : ] : [] ) [ ] h)wrozwiązaiuzastosujemytożsamość!k! k+)... ) 0 k<). Mamy zatem + ) )! + ) )! [ ] : )! +)!+ )!)+)+ : )! [ ] + : : Stąd +)+ + ) )! +)!+ )! )! + [] + + )!

17 Twierdzeia o graicach ciągów 7 + ) + + )! ) [ ] )! i) W rozwiązaiu wykorzystamy wzór a sumę początkowych k składików ciągu geometryczegos k a q k q,gdzieaozaczapierwszywyraz,aqilorazciągugeometryczego. Sumarozważaawliczikuma+składikówpierwszywyrazciągua,ailoraz q).zatem Z kolei suma w miaowiku ma składików pierwszy wyraz ciągu a, ailorazq).zatem ). Teraz możemy obliczyć graicę. Mamy [ ] : : ) ) ) 0 0. [] ) [, ] [] ) 7 Zadaie.5. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce graic ciągów obliczyć: a) + ; b) ) ++ ; c) ; )!+ 0 + ) d) ; e) +)+)! 0; f) + +) ; +) ) +6 ) g) i) l) ; h) + ; j) 5 ++ arctg+) ; m) arctg+) ; k) ; ; ) ; o*) si π ) + + ; p*) ;

18 8 Ciągi Odpowiedzi.a)0;b) /;c);d)/;e);f) ;g)0;h);i)0;j);k);l); m);)/;o*)0.p*). Przykład.6. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach obliczyć graice: + a) ; b) + si + 5+cos) ; c) ; d) + +5 ; e) +; g) f) 5 ; ) log ; h*) +) log +). Rozwiązaie.Przypomiamytwierdzeieotrzechciągach:jeżeliciągia ),b ),c )spełiają,zaczyającodpewejliczbyaturalej 0,ierówościa b c iskrajeciągi a ),c )sązbieżedotejsamejgraicy,tociągśrodkowyb )jestrówieżzbieżydo tejgraicy.poadtowrozwiązaichwykorzystamyrówości: [] a,gdya>0; [ ]. a)dlakażdegox Rprawdziwesąierówościx < x x.zatemdla Nmamy <. Ciągiograiczającebadayciągzlewejizprawejstroymajątesamegraice.Mamy bowiem ) + + oraz + +. Zatem z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że + b)zauważmyajpierw,że cos dlakażdego N.Stądmamyoczywiste ierówości ) + + ) 6 5+cos). dlakażdego N.Poieważwzór [] 7,s.) ) ) 0 oraz 00, więc z twierdzeia o trzech ciągach mamy + 5+cos) 0.

19 Twierdzeia o graicach ciągów 9 c)zauważmyajpierw,że0 si dlakażdego N.Stąd 0+ + si + dlakażdego N. Poieważ + oraz, więc z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że si +. d)zauważmyajpierw,żedlakażdego Nmamy Poieważ 55oraz 5 [] 5 5,więcztwierdzeiaotrzechciągach wyika, że e)dlakażdego spełioesąierówości + +. Ciągiograiczającebadayciągsązbieżedoporówaj [ ], [ ] ).Zatemztwierdzeia otrzechciągachwyika,żeciągtejestzbieżydo. f) Mamy ) ) Zatemdla zachodząierówości ) ) ) ) Ciągiograiczającebadayciągzlewejizprawejstroymajątesamegraice.Mamy bowiem [ ] oraz Zatem z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że g) Zauważmy ajpierw, że -ty wyraz ciągu jest sumą składików, wśród których ajmiejszy jest rówy / +,aajwiększy / +.Dlakażdego Nprawdziwesązatemierówości

20 0 Ciągi Poieważ + + oraz + +, więc z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że h*)poieważlog a<log bdla0<a<b,więcdla Nprawdziwajestierówość log +) log +) log log + ) log log ) log log log + +)log + oraz log +) log +) log + ) log + log log +)log + log. Mamy zatem + log +) log +) +. Poieważ zachodzą oczywiste rówości + więc z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że ) + oraz, log +) log +). Zadaie.6. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach obliczyć graice: a) π +; b) ; c) si + ; + ) d) + ; e) + 5 +; f) +si! cos ; g) ; h) + +; i) +si; + j) π ) ; cos k) m) ; ) o) ; p) r) t*) ) ; l) si+ ; ; ) ; ) log ; s*) + ) log +) ; ).

21 Twierdzeia o graicach ciągów Odpowiedzi.a);b)π;c)0;d)/;e)/5;f)/;g) /;h);i);j)0;k)0;l) 0;m);)0;o);p);r);s*);t*)/. Przykład.7. Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić zbieżość ciągów: a)x! ; b)y! +! +...+! + +)! ; c)z, z + z ; d)u +z Obliczyćgraiceciągówx ),z ). Rozwiązaie. Rozpocziemy od sformułowaia twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym. Ciąg iemalejacy ierosący) od pewego umeru oraz ograiczoy z góry z dołu) jest zbieży do graicy właściwej. a)zbadamyajpierwmootoiczośćciągux ).Poieważciągtemawyrazydodatie, więcwystarczyporówaćilorazx +/x z.mamy x + x + +)!! + +)!! +)!! +. Zauważmy,żex +/x dla.toozacza,żeciągx )jestierosący.ciąg tejestograiczoyzdołu,bodlakażdego Nmamyx >0.Ztwierdzeiaociągu mootoiczym i ograiczoym wyika, że jest o zbieży. Niech g ozacza graicę tego ciągu.przechodzącwrówościx + + xzdoieskończoościotrzymamyrówaie g0 g,stądg0. b)mootoiczośćciąguy )okreśybadajączakróżicyy + y.mamy ) y + y! +! +...!+! + +)! + +)! )! +! +...+! + +)! +)! +)! +)! <0dlakażdego N. Zatemciągy )jestmalejący.ograiczoośćtegociąguzdołuwyikazierówościy >0 dlakażdego N.Ztwierdzeiaociągumootoiczymiograiczoymwyika,żeciągy ) jest zbieży. Wyzaczeie graicy tego ciągu wymaga jedak wiadomości z teorii szeregów ciągtejestzbieżydoe ). c)zauważmyajpierw,żeciągz )mawyrazydodatie,azatemjestograiczoyzdołu p.przez0.poadtodlakażdego Nmamy z +z +z <z z. To ozacza, że ciąg te jest malejący. Z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym wyika,żeciągz )jestzbieży.niechgozaczajegograicę.przechodzącwrówości

22 Ciągi z +z zdoieskończoościotrzymamywaruekg g +z +g,stądg0. d)zbadamyajpierwmootoiczośćciąguu ).Mamy u + u > ) Zatemciągu )jestrosący.uzasadimyteraz,żeciągtejestograiczoyzgóry.mamy ) u ) < [] [ ] <. ) Pokazaliśmy, że baday ciąg spełia założeia twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym, a zatem jest zbieży. Uwaga. W miejscu ozaczoym[ ] korzystaliśmy ze wzoru a sumę początkowych wyrazów ciągugeometryczegos a q q. Zadaie.7. Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić zbieżość ciągów: a)d +) ; b)y! 5 ; c)z ; d)t,t + 6+t ; e)b!) )! ; f)a ; g)c +! + +! ! ; h)x 5... ) ; 6... i)e ) )... ) ; j*)f,f + + f ). Obliczyćgraiceciągówy ),t ),b ),d )if ). Odpowiedzi.Wskazówki:a)d )malejącyiograiczoyzdołup.przezm0,graica 0;b)y )malejącyiograiczoyzdołup.przezm0,graica0;c)z )rosacyi ograiczoyzgóryp.przezm;d)t )rosacyiograiczoyzgóryp.przezm, graica;e)b )malejącyiograiczoyzdołup.przezm0,graica0;f)a )rosący iograiczoyzgóryp.przezm,graicalzobaczprzykład7.c));g)c )rosący iograiczoyzgóryp.przezm/;h)x )malejącyiograiczoyzdołup.przez m0; i)e )malejącyiograiczoyzdołup.przezm0; j*),f )rosącyi ograiczoyzgóryprzezm,graica.

23 Twierdzeia o graicach ciągów Przykład.8. Obliczyć graice: a) + ) 6 ) + +5 ; b) ; + + ) c) ; d) ) Rozwiązaie. W rozwiązaiach wykorzystamy twierdzeia o arytmetyce graic ciągów oraz fakt: jeżeli a,to + ) ae. a a)przyjmujemya +.Wtedy a oraz6a 9.Zatem + ) [ b) Poieważ ) a 9 a + ) ] a a { [ + +5 ) + + ) a ) a ] + a ) 9 } + a ) 9 e 9 e więcprzyjmujemya +)/.Wtedy a oraz+8a.zatem ) [ ) 8a a + ) ] a 8 a { [ + c) Poieważ ) ) + + a ) a ] 8 + a ) } + a ) e 8 9 e 8. + ), +) więcprzyjmujemya +).Wtedy a oraz a / /.Zatem ) + + [ ) a/ / a + ) ] a / a { [ + ) ] a / + ) } / a a + a ) / e / / e., d) Poieważ ) ) +,

24 Ciągi więcprzyjmujemya.wtedy a oraz +a +.Zatem ) [ Zadaie.8. Obliczyć graice: a) d) g) ) a+ a + ) ] a a ) 5 ; b) + ) 6 ; e) ) 5 ; h) ) + + ) { [ + a ) a ] + a ) e e. ; c) ) ; f) ) ) ; i) + a ) } ) ; + + ) ; Odpowiedzi.a)e ;b)/e;c)/ e;d)e ;e)/e;f)e ;g)/e ;h)e;i)e. Przykład.9. Korzystając z twierdzeia o dwóch ciągach zaleźć graice: a) 8; b) ) ) ; c) ; d) si ). ). Rozwiązaie.Twierdzeieodwóchciągach:jeżeliciągia ),b )spełiają,począwszyod pewejliczbyaturalej 0,ierówośća b orazciąga )jestrozbieżydo,tociąg b )rówieżjestrozbieżydo.aalogiczie,jeżeliciągia ),b )spełiają,począwszy odpewejliczbyaturalej 0,ierówośća b orazciągb )jestrozbieżydo,to ciąga )rówieżjestrozbieżydo. a)zauważmy,żedla spełioajestierówość b 8 ) a. Poieważciąg ) )jestrozbieżydo,więcztwierdzeiaodwóchciągachwyika,żeciąg /8 jest rówież rozbieży do. b)pokażemy,żeciąg ) ) jestrozbieżydo.mamy a ) ) b dla. Poieważciągowyrazachb jestrozbieżydo,więcztwierdzeiaodwóchciągach wyika,żeciąga )jestrówieżrozbieżydo. c)zauważmy,żedla spełioajestierówość a si + b.

25 Twierdzeia o graicach ciągów 5 Poadto b.zatemztwierdzeieodwóchciągachwyika,żeciąga )jest rozbieży do. d)pokażemy,żeciągb jestrozbieżydo.mamy b }{{} składików a. Poieważciąga )jestrozbieżydo,więcztwierdzeiaodwóchciągchwyika,żeciąg b )takżejestrozbieżydo. Zadaie.9. Korzystając z twierdzeia o dwóch ciągach zaleźć graice: ) a) +5; b) cos ); c) + 5 ; ) ) d) si ) ; e) ; f) ) ; g) i) l*) ; j)!; [+ ) ] ; h) + m*) + [l+) l] ; ) + ; k) + ) cos/) ; Odpowiedzi.a) ;b) ;c) ;d) ;e) ;f) ;g) ;h) ;i) ;j) ;k) ; l*).wsk.wykorzystaćierówość!>/) dla ;m*).wsk.wykorzystać ierówość dla N. Przykład.0. Korzystając z twierdzeia o graicach iewłaściwych ciągów obliczyć graice: a) +5 9 ; b) 5 +) + ; d) + +) ; ) e) + ; f) + ) ; g) ). Rozwiązaie. Podae iżej rówości są umową formą zapisu odpowiedich twierdzeń o graicach iewłaściwych ciągów. [ ] a+ dla <a, [ ] a dla0<a, [ ] a 0dla <a<, [ ] a 0 + dla0<a. Poadto wykorzystamy fakt: [ 5 ] ciąggeometryczyq )jestzbieżydo0,gdy q <,irozbieżydo,gdyq>. ).

26 6 Ciągi W rozwiązaiach podajemy umer rówości, z której skorzystao. [ ] +5 a) : + 5 )+ 5 : b) ) d) +) +0 [ : : ] ) e) + f) +0 0 [ 9 ] 5 5) [+ ] ) [ ] + ) [ ] [ ] +0 ) 5 [ ]. 9 5 [ ] [ ]. ) ) [] [] +0 ) ) [] ) ) ) [] [ ] ) +) + ) ++ +) ) +) + ++ [ : ] +) + : [] [ ] Wmiejscuozaczoym[ ]korzystaliśmyzewzorua b a b) a +ab+b ). [ ) g) ) {7 6 ) 5 ]} [5 ] [] 0 0). 7 7 Zadaie.0. Korzystając z twierdzeia o graicach iewłaściwych ciągów obliczyć graice:

27 Twierdzeia o graicach ciągów 7 a) ) ; b) arctg d) arcctg ; e) +)! ; c)! ) ; f) + arctg ); g) ; h*) + ; + Odpowiedzi.a) ;b) ;c) ;d) ;e)0;f) ;g)0;h*)0. ).