ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA"

Transkrypt

1 ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

2 Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014

3 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska pwredupl wwwimpwredupl/ gewert Zbigniew Skoczylas Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska pwredupl wwwimpwredupl/ skoczylas Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c by Oficyna Wydawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich Składwykonanowsystemie L A TEX ISBN Wydanie XV zmienione, Wrocław 2014 Oficyna Wydawnicza GiS, sc, wwwgiswrocpl Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT 4

4 Spis treści Wstęp 7 Zestawy zadań z kolokwiów 9 Pierwszekolokwium 9 Drugiekolokwium 19 Zestawy zadań z egzaminów 34 Egzaminpodstawowy 34 Egzaminpoprawkowy 53 Odpowiedzi i wskazówki 73 Pierwszekolokwium 73 Drugiekolokwium 81 Egzaminpodstawowy 87 Egzaminpoprawkowy 92 5

5 Wstęp Niniejszyopracowanie jesttrzeciączęściązestawupodręcznikówdoprzedmiotu Algebra z geometrią analityczną Pozostałymi częściami zestawu są Algebra i geometria analityczna Definicje, twierdzenia, wzory oraz Algebra i geometria analityczna Przykłady i zadania Opracowanie zawiera zestawy zadań, które w ubiegłych latach studenci Politechniki Wrocławskiej rozwiązywali na kolokwiach i egzaminach Zadania obejmują liczby zespolone, wielomiany, macierze i wyznaczniki, układy równań liniowych oraz geometrię analityczną w przestrzeni Do wszystkich zestawów z kolokwiów oraz do zestawów egzaminacyjnych o numerach nieparzystych podane są odpowiedzi Opracowanie pozwala studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych Jest to jednocześnie dodatkowy materiał do samodzielnej nauki Z tego wydania zbioru usunięto zestawy zadań z egzaminu na ocenę celującą Będą one częścią nowego opracowania pt Algebra i analiza Egzaminy na ocenę celującą Ponadto poprawiono zauważone błędy i usterki Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej za zestawy z kolokwiów i egzaminów, a także za uwagi o poprzednich wydaniach tego zbioru Marian Gewert Zbigniew Skoczylas Do2005rksiążkamiałatytuł Algebraliniowa1Kolokwiaiegzaminy 7

6 Egzamin poprawkowy 53 x+2y+3z+4t=10 x+ y+2z+3t= 0 4 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa x+ y+ z+2t=10 x+ y+ z+ t= 0 5ObliczyćA 2 ia 3 inastępnieznaleźćwzórogólnynaa n dlaa= x= 2+ t 6 Znaleźć rzut prostopadły prostej l: y= 3t (t R)napłaszczyznęπ: z= 1 t 2x+3y z 9=0 Zestaw 40 1Korzystajączliczbzespolonychobliczyćsin π ( 12 Wskazówka Wykorzystać równości arg 1+i ) 3 = π 3,arg(1+i)=π 4 2Liczbaz 1 =1+2ijestpierwiastkiemwielomianuW(z)=z 4 +z 3 +3z 2 +7z+20 Znaleźć pozostałe pierwiastki 3 z z 2 z 3 3Dlajakiejwartościz Cwyznacznik z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 10 z 11 jest równy 2? z 12 z 13 z 14 z 15 4ZnaleźćmacierzekwadratoweAstopnia2takie,żeA 2 jestmacierzątrójkątną górną x+3y z+2t=1 5 Rozwiązać układ równań 2x y+z t=2 4x+5y z+3t=3 6 Obliczyć odległość między prostymi x=1+2t x= s l 1 : y= 4t (t R), l 2 : y=3+2s z=3+3t z=1 s Egzamin poprawkowy (s R) Zestaw 1 odp str 92 { } π 1 Naszkicować zbiór z C: 6 argz(1+i) 1+i π 3 ( ) 4 2+i 2 Znaleźć postać algebraiczną liczby 3 i

7 54 Zestawy zadań z egzaminów 3Sprawdzić,czywektoryu=(1,1,1),v=(1,2,1),w=(1,1,3)sąwspółpłaszczyznowe 4 Obliczyć Wykorzystać metodę operacji elementarnych Wyznaczyć równanie prostej zawierającej dłuższą przekątną równoległoboku ABCD owierzchołkacha=(1,1,3),b=(3,2,3),c=(1,4,3) 2x+2y z+ t =4 4x+3y z+2t =6 6Zukładurównań obliczyć niewiadomą x stosując 8x+5y 3z+4t=12 3x+3y 2z+2t =6 wzory Cramera Zestaw 2 1 Naszkicować zbiór { z C: } z 1 z i >1,argz<π 2 Obliczyć W( i) i następnie znaleźć pierwiastki wielomianu W(z)=z 4 +z 3 +2z 2 +z+1 3Znaleźćzbiórtychliczbzespolonychz,dlaktórychmacierzA= jestnieosobliwaobliczyća 1 dlaz=i x+2y z t=1 2x y+z 2t=2 4 Rozwiązać układ równań 3x+ y 3t=3 5x +z 5t=5 1 0 z 0 1+z 0 z Obliczyć kosinus kąta między bokami równoległoboku, którego przekątnymi są wektoryu= 2i+2j+k,v=4i+j+5k 6 Napisać równanie prostej l przechodzącej przez punkt przecięcia prostych x= 2+2t x= 3+3s l 1 : y= 2+ t (t R), l 1 : y= s (s R) z= 1 t z= 1+ s i prostopadłej do nich Zestaw 3 odp str 92 1Rozwiązaćrównanie(2+i)z 2 (5 i)z+(2 2i)=0 2 Funkcję wymierną x x 4 1 rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste

8 Egzamin poprawkowy 55 Wykorzystać metodę eli- 3 Rozwiązać układ równań minacji Gaussa 4 Obliczyć x y+2z+2t= 2 y z+2t= 7 x+2y 2t= 7 x+2y 2z t= 1 5 Obliczyć kosinus kąta między przekątnymi równoległoboku rozpiętego na wektorach u=(1,2,3),v=(2,1,0) 6 Znaleźć równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P =(1, 2, 3) i prostopadłej do prostych x= t x=1+2s l 1 : y=1+2t (t R), l 2 : y= s (s R) z= 3t z=2+ s Zestaw 4 1 Naszkicować zbiór { z C: 1+iz 3,arg(z+1) π } 2 2Rozwiązanierównaniaz 6 =2(1 i) 4 przedstawićwpostacialgebraicznej 3ZnaleźćpierwiastkiwielomianuW(z)=z 4 5z 3 +10z 2 10z+4,jeśliwiadomo, żejednymznichjestz 1 =1+i x 2y 3z= 7 4 Rozwiązać układ 3x+ y+4z= 5 Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa 2x+5y+ z= 18 5 Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A =(3, 1, 4), która jest równoległadoosioz 6W R 3 danesąpunktya=(1,2,3),b=(2,4,1),c=(1, 3,5),D=(4, 2,3) Obliczyć objętość czworościanu ABCD Zestaw 5 odp str 92 1WielomianW(x)=x 3 +x 2 x+2rozłożyćnarzeczywisteczynnikinierozkładalne 2 Obliczyć kosinus kąta między płaszczyznami π 1 :x 2y+z=0, π 2 :2x y 3z+1=0 x+ y+ z+t=5 3 Rozwiązać układ równań x+2y z+t=2 3x +3z+t=8

9 56 Zestawy zadań z egzaminów Obliczyć wyznacznik [ ] 1 x 5 Czy kwadrat macierzy może być macierzą zerową dla odpowiednio dobranych wartości x, y? y 1 6 Obliczyć pierwiastki 3 8 8iizaznaczyćjenapłaszczyźniezespolonej Zestaw 6 { } z 1 Naszkicować zbiór z C:z 3 5 =i przechodząc do postaci wykładniczej liczb zz zespolonych 2 Rozwiązać równanie macierzowe A = A Funkcjęwymierną x+1 x 4 +1 rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste x+y+z+2t= 0 x+y z+2t= 1 4 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji x y+z 2t= 4 x+y z+2t= 4 Gaussa 5Obliczyćkątmiędzypłaszczyznamiπ 1 :x 2y+z=1,π 2 :x+ 2y z= 3 6 Wyznaczyć odległość między prostymi x= 1+t k: y= t (t R), l: z= 2+t { x 3y 3=0 y z+1=0 Zestaw 7 odp str 93 1Wyznaczyćpostaćalgebraicznąelementówzbioru 8 6i 2Obliczyć ( 1+i 3 ) 12 Wynikpodaćwpostacialgebraicznej Czy istnieje macierz odwrotna do macierzy ? { ax+ 2y= 3 4 Rozwiązać układ równań z parametrem a x+(a 3)y= 3

10 Egzamin poprawkowy 57 5ObliczyćpoletrójkątaABCowierzchołkachA=(1,1,1),B=(1,2,3),C = ( 1,1,0) { } 6 Na płaszczyźnie zespolonej przedstawić zbiór z C: z z+i 1 Zestaw 8 1Naszkicowaćzbiór { z C: Im ( z 4) 0 } 2ZnaleźćpierwiastkizespolonewielomianuW(z)=z 6 +z 4 +2z 2 4iprzedstawić je w postaci algebraicznej 3Funkcjęwymierną x2 5x+9 x 2 +5x+6 rozłożyćnasumęwielomianuiułamkówprostych 2x+ y z+ t= 5 x+ y+z 2t= 1 4Zukładurównań wyznaczyć niewiadomą x wykorzystując wzory x 2y+z+ t= 2 x +z = 3 Cramera 5 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P =(4, 3, 2) i prostopadłejdopłaszczyznπ 1 :x+2y z=0,π 2 :2x 3y+4z 5=0 x=1+2t 6Przezprostąl: y=2+ t (t R) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do z= 3t płaszczyznyπ:3x 2y+4z+6=0 Zestaw 9 odp str Obliczyć 3 (1 i) 2Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 2ZnaleźćpierwiastkizespolonewielomianuW(x)=x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1 [ ] [ ] ZnaleźćmacierzA,któraspełniarównanieA = x+ +z= 1 4Dlajakichwartościparametrum Rukładrównań mx my+z= m jest x+my+z= 3 układem Cramera? 5 Napisać równanie parametryczne { płaszczyzny przechodzącej przez punkt P =(4, 7, 2) 3x+2y z=3 iprostopadłejdoprostejl: x y 3z=6 6Obliczyćmiarękątamiędzyprostąl:x=3+2t,y=1,z= 2+3t(t R)i płaszczyznąπ:x z=0

11 58 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 10 { 1 Naszkicować zbiór z C: Im z } z+2 >0, z+1 i <2 ( 2 Obliczyć cos π 8Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 3 6) +isinπ z+ t= 4 4x+3y z+2t= 6 3Zukładurównań wyznaczyć niewiadomą x korzystając ze wzorów 3z+4t=12 y 2z+2t= 6 Cramera 4 Rozwiązać równanie macierzowe Y = Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się metodą bezwyznacznikową 5ZnaleźćpierwiastkiwielomianuW(x)=x 4 5x 3 +10x 2 10x+4 6 Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A =( 1, 1, 2) i prostą x= 1+5t l: y= 1+ t (t R) z= 2t Zestaw 11 odp str 93 1Rozwiązaćrównaniez 6 +2i z 6 =(z) 6 używającodpowiedniejpostaciliczbyzespolonej Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej 2Liczbę (1+i)3( 3 i ) 2 i 2( 1+ 3i ) 3 przedstawićwpostacialgebraicznej 3 Znaleźć wielomian rzeczywisty W możliwie najniższego stopnia taki, że W(2i) = 0, W(i)=3+3i 4Obliczyćpoletrójkątależącegonapłaszczyźnieπ: 2x 3y+2z=3,którego wierzchołkami są punkty przecięcia tej płaszczyzny z prostymi k:x=t,y=t,z=t(t R), l:x=2s,y=s,z= 2s(s R), m:x=3u,y=2u,z=3u(u R) 5 Znaleźć macierz X spełniającą równanie X= Sprawdzić,czypunktyA=( 1, 2,2),B=( 1,3,3),C=(2, 2,2),D=(1,0,3) leżą na jednej płaszczyźnie

12 Egzamin poprawkowy 59 Zestaw 12 1 Naszkicować zbiór { z C: Re ( z 2 3 ) >0, } z z+1 <1 2Rozwiązaćrównaniez 3 =(z i) 3 3x 2y 5z+ t= 3 2x 3y+ z+5t= 3 3 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji x+2y 4t= 3 x y 4z+9t= 22 Gaussa 4 Rozwiązać równanie macierzowe Y = Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się wzorem wyznacznikowym 5WielomianW(x)=x 4 x 3 +x 2 3x+2rozłożyćnailoczynwielomianówstopnia pierwszego 6ZnaleźćrównaniepłaszczyznyπprzechodzącejprzezpunktA=(1,3,0)irównoległej do prostych { x= 1 t x+y z+3=0 l 1 : 2x y+5z+1=0, l 2: y= t (t R) z= 3 6t Zestaw 13 odp str 93 1Rozwiązaćrównaniez 4 2z 2 +4=0 2Naszkicowaćzbiór{z C: z 1 =Re(z+1)} 4x 3 Funkcję wymierną (x+1)(x 2 +1) 2rozłożyćnazespoloneułamkiproste 4 Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy , korzystając z definicji Trójkąt ABC rozpięty jest na wektorach AB=(1,5, 3) AC=( 1,0,4)Obliczyć wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka C 6 Określić i opisać zbiór punktów wspólnych płaszczyzn Zestaw 14 π 1 :3x+y+z+1=0, π 2 :x+2z+6=0, π 3 :3y+2z=0 1Naszkicowaćzbiór{z C: z i <Imz+3}

13 60 Zestawy zadań z egzaminów 2Rozwiązaćrównanie2z z =z 4 3Zukładurównań wzory Cramera 2x+3y = 2 x+ y+5z+2t= 1 2x+ y+3t = 3 x+ y+3z = 3 wyznaczyć niewiadomą t stosując 4 Rozwiązać równanie macierzowe Y = Macierz odwrotną wyznaczyć stosując metodę bezwyznacznikową 5 Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przezwielomianq(x)=x 3 +x 2 2 P(x)=x 6 +x 5 +3x 2 +x 3 6 Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez prostą l 1 :x=1+3t,y= 2+4t,z=1+2t(t R), irównoległejdoprostejl 2 :x=5s,y=1+4s,z= 1+3s(s R) Zestaw 15 odp str 94 1Naszkicowaćzbiór{z C: Re[2zz (2+4i)z+(4i 2)z]<0} ( 1+i ) Obliczyć Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 1 i 3ZnaleźćinaszkicowaćpierwiastkiwielomianuW(x)=x 4 +8x 3 +x+8orazrozłożyć go na nierozkładalne czynniki rzeczywiste x 2y 3z= 3 4 Rozwiązać układ równań 2x+ 6y 10z= 0 Wykorzystać metodę eliminacji 3x+12y+ 3z= 9 Gaussa 5Znaleźćwektoruwiedząc,żejestonprostopadłydowektorówv=(0,2, 3), w=( 1,4,2)ispełniawaruneku (4,5,1)= 150 6ZnaleźćrównaniepłaszczyznyπprzechodzącejprzezpunktyP 1 =(2,1,3),P 2 = ( 1,2,1)irównoległejdoosiOz Zestaw 16 1 Naszkicować zbiór { z C:arg z+1 = 3 } i 2 π 2Rozwiązaćrównaniez 4 =z(1 i) 5

14 Egzamin poprawkowy 61 2x+ 7y+3z+ t= 5 x+ 3y+5z 2t= 3 3 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa x+ 5y 9z+8t= 1 5x+18y+4z+5t=12 4 Rozwiązać równanie macierzowe Y [ ] = Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się wzorem wyznacznikowym x 5 Funkcję wymierną x 4 1 rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste 6 Znaleźć równanie{ płaszczyzny przechodzącej przez punkt A =(1, 3, 1) i prostopadłejdoprostejl 1 : x+y z+2=0 2x+3y+z 1=0 Zestaw 17 odp str 94 1Napłaszczyźniezespolonejprzedstawićelementyzbioru 3 2 2i 2Funkcjęwymierną x+1 x 3 +x rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste 3 Rozwiązać równanie macierzowe [ ] B = [ ] x+2y+3z t= 1 4 Rozwiązać układ równań 3x+6y+7z+ t= 5 Wykorzystać metodę kolumn 2x+4y+7z 4t= 6 jednostkowych 5Zbadać,dlajakichwartościparametrup,punktyA=(1,2,1),B=(3,3, 2), C= ( 2,4, p 2),D=(3,1,0)należądojednejpłaszczyzny { x= 1+ t x 4y+3=0 6Obliczyćkątmiędzyprostymil 1 : x+y z+2=0, l 2: y= 3+2t (t R) z= 2+3t Zestaw 18 1Wyznaczyćelementyzbioru 3 (3 i) 6 ipodaćjewpostacialgebraicznej 2WielomianW(x)=x 4 +16przedstawićwpostaciiloczynurzeczywistychczynników nierozkladalnych 3PodaćwzórnamacierzodwrotnąikorzystajączniegoobliczyćA 1 dla A=

15 62 Zestawy zadań z egzaminów [ ] [ ] [ ] Rozwiązać równanie macierzowe: X = Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnychzpłaszczyznąπ:3x+2y+z=6 6 Napisać równanie ogólne płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P =(1, 2, 1) ijestrównoległadopłaszczyznyπ:2x y+3z+5=0 Zestaw 19 odp str 94 { } 1 Narysować zbiór z C: 4i 3 3i z 5 2ZnaleźćpierwiastkiwielomianuW(z)=2z 3 +3z 2 +2z 2 3x+ y+ z+ t=0 3x+3y+ z+ t=0 3 Wyznaczyć niewiadomą x z układu równań,stosując 3x+3y+3z+ t=0 3x+3y+3z+3t=3 wzory Cramera Obliczyć macierz Zastosować metodę operacji elementarnych Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnychzpłaszczyznąπ:3x+2y+z=6 6ZnaleźćpunktsymetrycznydoA=(6, 3,0)względempłaszczyznyπ:x+y+z=0 Zestaw 20 1Stosującpostaćwykładnicząliczbyzespolonejrozwiązaćrównaniez 6 =(z) 6 Na płaszczyźnie zespolonej naszkicować zbiór jego pierwiastków 2WielomianW(z)=z 4 (1 2i) 4 przedstawićjakoiloczynzespolonychczynników nierozkładalnych 3 Stosując operacje elementarne obliczyć wyznacznik stopnia n n n n n n n+2

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie siódme uzupełnione. GiS

Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie siódme uzupełnione. GiS ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie siódme uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2013 Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA I KARTOGRAFIA I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)

GEODEZJA I KARTOGRAFIA I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny) KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka I Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics I Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań

ALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A ALGEBRA LINIOWA Wszystkie warianty kursu Lista zdań obejmuje cały materiałkursu oraz określa przybliżony stopień trudności zadań, które pojawia się na kolokwiach i egzaminach

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

Geodezja i Kartografia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny) Stacjonarne (stacjonarne / niestacjonarne)

Geodezja i Kartografia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny) Stacjonarne (stacjonarne / niestacjonarne) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012 r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka I Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics I Obowiązuje od

Bardziej szczegółowo

Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS

Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie ósme zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Projekt okadki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000 2018

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M1 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Stopień studiów

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1, Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Linear algebra and analytical geometry Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka,

Bardziej szczegółowo

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra

Algebra liniowa. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Algebra liniowa Nazwa modułu w języku angielskim Linear algebra Obowiązuje

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Środowiska I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Inżynieria Środowiska I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/1 z dnia 1 lutego 01r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics Obowiązuje od roku akademickiego

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Spis treści 2

Spis treści. Spis treści 2 Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa Linear algebra

Algebra liniowa Linear algebra Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa Linear algebra

Algebra liniowa Linear algebra Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Z-EKO-085 Algebra liniowa Linear Algebra. Ekonomia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Z-EKO-085 Algebra liniowa Linear Algebra. Ekonomia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Z-EKO-085 Algebra liniowa Linear Algebra Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE

Bardziej szczegółowo

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera: Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Inżynieria biomedyczna Linear algebra and analytical geometry forma studiów: studia stacjonarne Kod przedmiotu: IB_mp_ Rodzaj przedmiotu:

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Mechatronika Linear algebra and analytical geometry Kod przedmiotu: A01 Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Poziom

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +

Bardziej szczegółowo

Z-ID-103 Algebra liniowa Linear Algebra

Z-ID-103 Algebra liniowa Linear Algebra KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Z-ID-0 Algebra liniowa Linear Algebra Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 0/06 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata.

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata. Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz 1. Wzajemne położenia prostych, płaszczyzn w przestrzeni. 2. Graniastosłupy- podział, pole powierzchni i objętość. 3. Ostrosłupy- podział,

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa Linear Algebra. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Algebra Liniowa Linear Algebra. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Algebra Liniowa Linear Algebra A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Algebra Liniowa. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Algebra Liniowa Nazwa modułu w języku angielskim Linear Algebra Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB-1-110-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Specjalność:

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2017/2018 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 60 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria

Algebra liniowa z geometria Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 9 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 9 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P) Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Algebra z Geometria Analityczna Nazwa w języku angielskim : Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 2

Praca domowa - seria 2 Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo