w jednowymiarowym pudle potencja lu

Transkrypt

1 Do wyk ladu II czastka w pudle potencja lu oscylator harmoniczny rotator sztywny Ścis le rozwiazania równania Schrödingera: atom wodoru i jon wodoropodobny) Czastka w jednowymiarowym pudle potencja lu Poza pud lem o d lugości L - energia potencjalna nieskończenie wielka. m - masa czastki Należy rozwiazać równanie Schrödingera: Ĥψ = Eψ, 1) gdzie Ĥ = ˆT + ˆV to operator ca lkowitej energii uk ladu hamiltonian, operator Hamiltona) - suma operatorów: energii kinetycznej ˆT i potencjalnej ˆV, E to energia uk ladu, a ψ funkcja falowa. Postać Ĥ zależy od uk ladu. W klasycznym wyrażeniu na sum e energii kinetycznej i potencjalnej, trzeba zamienić ped na operator pedu i po lożenie na operator po lożenia. Dla obszaru II z rysunku V=0. Wystarczy zatem rozważyć energie kinetyczna E kin E kin = mv x = p x m gdzie v x oznacza predkość, a p x - ped czastki poruszajacej sie wzd luż osi x )

2 Podstawienie: p x ˆp x = i d dx = i d dx, 3) gdzie p x - sk ladowa x pedu, ˆp x - operator sk ladowej x pedu, = h - zredukowana π sta la Plancka, i = d 1 - jednostka urojona, - pochodna po zmiennej x. dx Wynik dzia lania operatora ˆp x na funkcje fx) to pochodna tej funkcji wzgledem x pomnożona przez liczbe i albo = = i = i ). i i i Operator energii kinetycznej ˆT dla tej czastki: ˆT = ˆp m = m d dx. 4) Operator Hamiltona dla czastki w jednowymiarowym pudle potencja lu jest równy ˆT, zatem należy rozwiazać równanie Schrödingera WAŻNE: poza pud lem funkcja falowa jest równa zero. Po pomnożeniu obu stron równania przez m : d ψ = Eψ 5) m dx d ψ dx = me ψ 6) me - liczba Jak wiadomo: Szukane: ψx) d sin kx dx = k sin kx 7) Podobnie: d cos kx = k cos kx 8) dx Rozwiazanie ogólne równania różniczkowego: ψx) = a sin kx + b cos kx 9) gdzie a i b sta le, których wartości należy ustalić k = me

3 Funkcja ψx) musi być porzadna klasy Q)! Musi być ciag la. Dla x < 0 ψx) = 0, czyli musi być ψ0) = 0 Dla x > L ψx) = 0, czyli musi być ψl) = 0 ψ0) = a sin k0 + b cos k0 = b 10) zatem b = 0, czyli ψx) = a sin kx ψl) = 0 ψl) = a sin kl sin kl = 0, gdy kl = n π i n to liczba ca lkowita Zatem k = nπ L ψx) = a sin nπx L 11) Prawdopodobieństwo znalezienia czastki miedzy x 1 a x x x 1 ψ x)ψx)dx = P x 1 < x < x ) 1) Zatem ψ x)ψx)dx = 1 13) 0 0dx + L 0 ψ x)dx = 1 14) a sin nπx L ) dx + L 0dx = 1 15) L a sin nπx 0 L ) dx = 1 16) a = 17) L Normalizacja funkcji falowej Ψ n x) = L nπx sin, n = 1,, 3,... 18) L 3

4 Uwaga: k = nπ L stad k = me m - masa czastki E n = n h, n = 1,, 3,... 19) 8mL Energia czastki w jednowymiarowym pudle potencja lu zależy od liczby kwantowej n. Ψ n x) = nπx sin L L 0) Funkcje falowe, opisujace stany czastki w jednowymiarowym pudle potencja lu, także zależa od liczby kwantowej n. Bariera potencja lu o skończonej wysokości i szerokości Czastka o masie m poruszajaca sie wzd luż osi x natrafia na bariere potencja lu o skończonej wysokości V x) = V 0 4

5 Przed bariera w obszarze I) V x) = 0 gdzie m - masa czastki, = h/π h - sta la Plancka) d ψ = Eψ 1) m dx d ψ dx = me ψ ) W obszarze II V x) = V 0, zatem: Ψ = A 1 e ikx + A e ikx, gdzie k = me 3) dla V 0 < E dla V 0 > E d ψ m dx + V 0ψ = Eψ 4) d ψ m dx = E V 0)ψ 5) d ψ dx = me V 0) ψ 6) me Ψ = B 1 e ik x + B e ik x, gdzie k V0 ) = 7) e k x dla x nie jest porzadna) d ψ dx = mv 0 E) ψ 8) Ψ = C e k x, gdzie k = mv0 E) 9) Poza bariera w obszarze III) ponownie V x) = 0: d ψ = Eψ 30) m dx Ψ = De ikx, gdzie k = me Efekt tunelowy - czastka może przedostać sie za bariere potencja lu o skończonej wysokości i szerokości, nawet jeśli jej energia jest mniejsza od wysokości bariery. Skaningowa mikroskopia tunelowa Scanning Tunnelling Microscopy STM) Binning i Rohrer - Nagroda Nobla ) 5

6 Czastka w trójwymiarowym pudle potencja lu. V x, y, z) = 0 dla 0 < x < L, 0 < y < L i 0 < z < L V x, y, z) =, jeśli x < 0, x > L, y < 0, y > L, z < 0 lub z > L Wewnatrz pud la potencja lu m - masa czastki): m Metoda rozdzielenia zmiennych Hamiltonian: Ĥ = x + y + z m x m y m z ) Ψ = EΨ 3) = Ĥx + Ĥy + Ĥz jest suma trzech operatorów, z których każdy zależy od innej zmiennej niezależnej: x, y albo z Można przyjać: Ψx, y, z) = ψ 1 x)ψ y)ψ 3 z), Wtedy: ĤΨx, y, z) = EΨx, y, z) Ĥx + Ĥy + Ĥz)ψ 1 x)ψ y)ψ 3 z) = εψ 1 x)ψ y)ψ 3 z) ψ y)ψ 3 z)ĥxψ 1 x) + ψ 1 x)ψ 3 z)ĥyψ y)+ +ψ 1 x)ψ y)ĥzψ 3 z) = Eψ 1 x)ψ y)ψ 3 z) Po podzieleniu obu stron równania przez ψ 1 x)ψ y)ψ 3 z) musi być: czyli Ĥ x ψ 1 x) ψ 1 x) + Ĥyψ y) ψ y) Ĥ x ψ 1 x) ψ 1 x) = E 1 Ĥ yψ y) ψ y) = E Ĥ z ψ 3 z) ψ 3 z) = E 3 + Ĥzψ 3 z) ψ 3 z) Ĥ x ψ 1 x) = E 1 ψ 1 x) Ĥ y ψ y) = E ψ y) Ĥ z ψ 3 z) = E 3 ψ 3 z) = E Trzy równania dla czastki w jednowymiarowym pudle potencja lu 6

7 Funkcja falowa: Ψ n1 n n 3 x, y, z) = 8 L sin n 1πx 3 L sin n πy L sin n 3πz L 33) Energia: E n1 n n 3 = n 1 +n +n 3 )h 8mL n 1 = 1,, 3,..., n = 1,, 3,..., n 3 = 1,, 3,... 7

8 Oscylator harmoniczny k - sta la si lowa d m dx Ψ + 1 kx Ψ = EΨ 34) si la: F = kx Dwa atomy: x 1 - po lożenie atomu 1; x - po lożenie atomu [ + 1 ] m 1 x 1 m x kx 1 x x e ) Φ = εφ 35) gdzie x e - po lożenie równowagowe Wspó lrz edne środka masy: m 1 + m )X s = m 1 x 1 + m x czyli: X s = m 1 m 1 +m x 1 + m m 1 +m x Wspó lrz edne ruchu wzgl ednego odchylenie od po lożenia równowagi) : x = x 1 x x e x 1 = X s x 1 x = X s x x 1 = x = m 1 m 1 + m m m 1 + m + x X s x 1 + x X s x x x + X s x X s x 36) 37) 38) 39) Po podstawieniu: gdzie µ = m 1m m 1 +m x 1 x = = m1 ) m 1 + m ) m m 1 + m m 1 + m ) X s - masa zredukowana X s X s + m 1 m 1 + m X s x + x 40) m m 1 + m X s x + x 41) µ x + 1 ) kx Φ = εφ 4) Ĥ1 X s ) + Ĥx)) Φ = εφ 43) 8

9 Hamiltonian sk lada sie z dwóch cześci: Ĥ 1 zależy tylko od X s, Ĥ zależy tylko od x X s i x niezależne). Metoda rozdzielenia zmiennych. Za lożenie: Φ = F X s )Ψx) Po podstawieniu do równania Schrödingera: ΨĤ1F + F ĤΨ = εf Ψ Po podzieleniu obu stron przez F Ψ: Ĥ x)ψ Ψ = ε Ĥ1X s )F F 44) Musi być zatem: Ĥ x)ψ Ψ = E ε Ĥ1X s)f F = E gdzie E - pewna sta la) ε Ĥ1X s )F F m 1 + m ) d dx s ruch translacyjny środka masy = E 45) F = ε E)F 46) Ĥ x)ψ Ψ = E 47) d µ dx Ψ + 1 kx Ψ = EΨ 48) równanie Schrödingera dla oscylatora harmonicznego o masie µ 9

10 Energia potencjalna, poziomy energetyczne i kwadraty funkcji falowych dla oscylatora harmonicznego energia oscylatora harmonicznego zmienia sie w sposób kwantowy nieciag ly): E υ = hν 0 υ + 1 ), υ = 0, 1,,... - liczba kwantowa oscylacji ν 0 = π) 1 k/µ - czestość drgań klasycznego oscylatora harmonicznego energia kwantowego oscylatora harmonicznego nie może nigdy być równa zeru zerowa energia oscylacji) w stanie podstawowym najbardziej prawdopodobne jest znalezienie kwantowego oscylatora harmonicznego w pobliżu punktu równowagi przenikanie do obszarów niedost epnych wed lug praw fizyki klasycznej tu poza klasyczne punkty zwrotu) Ψ 0 = ) α 1/4 y π e Ψ 1 = α π Ψ = α π ) 1/4 ye y ) 1/4 1 y 1)e y itd., gdzie y = αx, α = kµ wielomiany Hermite a 10

11 Rotator sztywny gdzie ale Uk lad dwóch czastek, poruszajacych sie w taki sposób, 1 = że ich odleg lość pozostaje sta la ) 1 Ψ = εψ 49) m 1 m + x 1 y1 + z 1 x1 x ) + y 1 y ) + z 1 z ) = R ; = + x y + z Po przejściu do wspó lrzednych środka masy: X s = m1 m 1 +m x 1 + m m 1 +m x ; Y s = m1 m 1 +m y 1 + m m 1 +m y i Z s = m1 m 1 +m z 1 + m m 1 +m z ; i wspó lrzednych ruchu wzglednego: x = x 1 x ; y = y 1 y i z = z 1 z można latwo dokonać oddzielenia ruchu translacyjnego środka masy. Równanie Schrödingera dla ruchu wewn etrznego wzgl ednego) w uk ladzie środka mas: gdzie µ - masa zredukowana, = przy czym x + y + z = R 50) Ψ = EΨ 51) µ + + x y z Wspó lrz edne sferyczne: 0 r, 0 θ π, 0 φ π 11

12 Operator Laplace a we wspó lrzednych sferycznych: = 1 r r ) + 1 r r r sin θ sin θ ) θ θ + 1 r sin θ 5) φ r = R sta le), wiec hamiltonian ma postać: 1 µr sin θ sin θ ) θ θ + 1 sin θ ) φ 53) µr = I moment bezw ladności Należy rozwiazać równanie: 1 I sin θ θ sin θ ) + 1 θ sin θ po pomnożeniu obu stron równania przez I gdzie λ = IE 1 sin θ sin θ ) + 1 θ θ sin θ Y θ, φ) = Θθ)Φφ) - możliwe rozdzielenie zmiennych. sin θ Mnożac obie strony równania przez otrzymuje sie: Θθ)Φφ) czyli sin θ Θθ) sin θ Θθ) ) θ θ ) Y θ, φ) = EY θ, φ) 54) φ ) Y θ, φ) = λy θ, φ) 55) φ + 1 Φφ) Φφ) φ = λ sin θ 56) sin θ Θθ) sin θ Θθ) ) + λ sin θ = 1 θ θ Φφ) Φφ) 57) φ Jedna strona równania zależy tylko od zmiennej θ, a druga tylko od zmiennej φ każda z tych cześci musi być równa sta lej, która oznaczymy M Równanie zawierajace zmienna φ ma postać: czyli 1 Φφ) d Φφ) dφ = M 58) d Φφ) dφ + M Φφ) = 0 59) Rozwiazanie, to funkcje: Φ M φ) = 1 π e imφ, które sa jednoznaczne tylko dla M = 0, ±1, ±,... 1

13 Równanie zawierajace zmienna θ ma bardziej z lożona postać. Rozwiazania znane. Sens fizyczny maja tylko rozwiazania, które uzyskuje sie przy spe lnieniu warunku prowadzacego do zależności: J - liczba kwantowa rotacji Funkcje falowe dla rotatora sztywnego: E J = JJ + 1), gdzie J = 0, 1,, 3,... 60) I Y M J θ, φ) = 1 π N J, M P M J cos θ)e imφ 61) J= 0, 1,,..., M = J, J + 1,..., -1, 0, 1,,..., J 1, J N J, M - czynnik normalizacyjny Harmoniki sferyczne: E 0 - jeden stan Y 0 0 Y 0 0 = 1 π Y 0 1 = 1 Y 1 1 = 1 Y 1 1 = 1. 3 cos θ π 3 sin θeiφ π 3 π sin θe iφ E 1 - trzy stany, opisywane przez Y 1 1, Y 0 1 i Y 1 1 E - pi eć stanów Poziomy rotacyjne sa J + 1-krotnie zdegenerowane J + 1 stanów funkcji falowych) o tej samej energii) 13

14 Energia klasycznego rotatora E = L I, gdzie L - moment p edu czyli L = IE zatem ˆL = IĤ - operator kwadratu momentu p edu; ĤY M J zatem θ, φ) = I M JJ + 1)YJ θ, φ), gdzie J = 0, 1,, 3,... ˆL YJ M θ, φ) = JJ + 1) YJ M θ, φ) 6) Operator wspó lrz ednej L z wektora momentu p edu sk ladowej L z momentu p edu) L z = xp y yp x ˆLz = i x y y x ) We wspó lrz ednych sferycznych: ˆLz = i φ ˆL z YJ M θ, φ) = M YJ M θ, φ) 63) Harmoniki sferyczne sa funkcjami w lasnymi operatorów Ĥ, ˆL i ˆL z Dla rotatora sztywnego energia, kwadrat momentu pedu i rzut momentu pedu na wyróżniony kierunek w przestrzeni maja jednocześnie ściśle określone wartości. - Rotator sztywny - model obracajacej sie czasteczki dwuatomowej 14

15 Stan uk ladu opisuje f 1 -funkcja w lasna operatora ˆα reprezentujacego wielkość mechaniczna A. ˆαf 1 = a 1 f 1 64) a 1 -wynik pomiaru wielkości mechanicznej A Co uzyskamy w wyniku pomiaru innej wielkości mechanicznej B, która reprezentuje operator ˆβ? Jeśli funkcja f 1 jest także funkcja w lasna ˆβ, to w wyniku pomiaru otrzymamy odpowiadajac a jej wartość w lasna operatora ˆβ ˆβf 1 = b 1 f 1 65) A jaki bedzie wynik pomiaru B, jeśli funkcja f 1 nie jest funkcja w lasna ˆβ? ˆβg 1 = b 1 g 1, ˆβg = b g, ˆβg3 = b 3 g 3 66) Wyniku pomiaru B nie można ściśle określić jest to jedna z wartości w lasnych ˆβ) Wartości wielkości mechanicznych A i B można zawsze jednocześnie ściśle określić, jeśli każda funkcja w lasna ˆα jest także funkcja w lasna operatora ˆβ Można udowodnić: jeśli iloczyn ˆα i ˆβ jest przemienny, czyli dla dowolnej funkcji f: ˆβ ˆαf = ˆα ˆβf 67) to każda funkcja w lasna operatora ˆα jest także funkcja w lasna ˆβ i odwrotnie, jeśli operatory maja wspólny zbiór funkcji w lasnych, to sa przemienne). Przyk lad: operatory: ˆx=x i ˆp x = i d dx Iloczyn tych operatorów nie jest przemienny, np. natomiast x i d dx ex ) = i xe x ) 68) i d dx xex ) = i e x + xe x ) 69) Nie można jednocześnie ściśle określić po lożenia czastki i jej pedu zasada nieoznaczoności Heisenberga) Zatem: ˆLx ˆLz ˆL z ˆLx ; ˆL z = i x y y x ) ˆL x = i y z z y ) Podobnie: ˆLx ˆLy ˆL y ˆLx i ˆLy ˆLz ˆL z ˆLy Nie można dok ladnie określić jednocześnie wartości żadnych dwóch sk ladowych momentu p edu. Można określić tylko kwadrat momentu pedu i jedna ze sk ladowych. 15