Zadania z mechaniki kwantowej

Transkrypt

1 Zadania z mechaniki kwantowej Gabriel Wlazłowski 13 maja 2016 Rachunek zaburzeń bez czasu 1. Metodą rachunku zaburzeń obliczyć pierwszą i drugą poprawkę dla poziomów energetycznych oscylatora harmonicznego o potencjale: V (x) = mω2 2 x2 + ε 1 x 3 + ε 2 x 4. Wyrazy proporcjonalne do ε 1 i ε 2 potraktować jako zaburzenie. 2. Do dwuwymiarowego rotatora przykładamy słabe pole elektryczne E. Obliczyć zaburzenie poziomów energetycznych rotatora w pierwszym i drugim rzędzie rachunku zaburzeń. Wskazówka: Nie zaburzony rotator o promieniu a spełnia równanie falowe: 2 d 2 u 2ma 2 dϕ 2 = Eu, które po uwzględnieniu postulatu okresowości w przedziale 0 < ϕ < 2π prowadzi do następujących wartości własnych i unormowanych funkcji falowych: u µ = E µ = 1 2π e iµϕ, (µ = 0, ±1, ±2,... ) 2 2ma 2 µ2. 3. Oszacować w rachunku zaburzeń poprawkę do stanu podstawowego atomu wodoropodobnego spowodowaną skończonymi rozmiarami jądra atomowego. Jądro przybliżyć przez: (a) jednorodnie naładowaną kulę o promieniu R, (b) jednorodnie naładowaną powierzchnię kulistą o promieniu R. 4. Ocenić energię oddziaływania dwóch atomów wodoru odległych o R, znajdujących się w stanach podstawowych (oddziaływanie van der Waalsa). 5. Niech wzajemne oddziaływanie między neutronem a protonem w odległości r opisuje potencjał siły przyciągającej: V (r) = Ae r/a. 1

2 Znaleźć rozwiązanie dla stanu związanego w przypadku l = 0 (deuteron) posługując się metodą Ritza. Na miejsce masy w równaniu Schrödingera podstawić masę zredukowaną m = 1 2m i potraktować to zadanie jako zagadnienie pojedynczego ciała. Oszacować wartość energii stanu podstawowego deuteronu. Współczynniki A = 32, 7 MeV, a = 2, cm są dobrane w ten sposób aby energia stanu podstawowego dla ścisłego rozwiązania tego problemu wynosiła E 0 = 2, 23 MeV (wartość mierzona empirycznie). Wskazówka: Jako punkt wyjścia dla metody Ritza przyjąć unormowane funkcje próbne postaci: α 3 u = 8πa 3 e αr/2a. 6. Można pokazać, że dla każdego potencjału jednowymiarowego typu (studnia potencjału): V (x) = V 0, x < a = 0 x > a istnieje co najmniej jedno rozwiązanie reprezentujące stan związany tzn. E s < 0. Używając tego wyniku oraz metody wariacyjnej pokazać, że dla dowolnego przyciągającego potencjału jednowymiarowego istnieje co namniej jeden stan związany. Rachunek zaburzeń z czasem 1. Hamiltonian zależny od czasu H(t) = H (0) + H (1) (t) powoduje przejście układu z stanu k w chwili t = 0 do stanu j w chwili t = t z prawdopodobieństwem p k j (t). Pokazać w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń, że jeśli p j k (t) jest prawdopodobieństwem przejścia układu z stanu j do stanu k powodowanym przez ten sam hamiltonian to zachodzi równość: p k j (t) = p j k (t). 2. Atom wodoru w stanie podstawowym został umieszczony pomiędzy okładkami kondensatora w polu o zależności czasowej E = 0 dla t < 0, E = E 0 e t/τ dla t > 0. Znaleźć z dokładnością do pierwszego rzędu prawdopodobieństwo, że po upływie długiego okresu czasu atom znajdzie się w stanie 2S (200). Jakie jest odpowiednie prawdopodobieństwo, że atom znajdzie się w każdym ze stanów 2P. 3. W dalekiej przeszłości oscylator harmoniczny znajdował się w m-tym stanie wzbudzonym. W najniższym rzędzie rachunku zaburzeń obliczyć prawdopodobieństwo przejścia oscylatora w dalekiej przyszłości do n-tego stanu pod wpływem zewnętrznego, jednorodnego pola siły o przebiegu czasowym: f 0 f(t) = (t/τ)

3 Teoria rozpraszania 1. Obliczyć współczynnik przejścia dla rozpraszania na prostokątnej jamie potencjału danej wzorem: { V0, x a V (x) = 0, x > a cząstki o energii E > 0. Dokładnie opisać jego zachowanie się, jeżeli jama potencjału jest głęboka i szeroka. 2. Punkt materialny o masie m 1 poruszający się z prędkością v 0 (w układzie laboratoryjnym) zderza się ze spoczywającym punktem o masie m 2. Na podstawie zasady zachowania energii i zasady zachowanie pędu znaleźć dla obu punktów kąty odchylenia, raz w układzie obserwatora, a drugi raz w układzie środka masy obu punktów. Podać związek między tymi układami, tzn. wyrazić kąty odchylenie w jednym układzie przez kąty odchylenia w drugim. 3. Dla neutronów o energii 25 MeV, wartości przekrojów czynnych ze względu na rozpraszanie σ sc i absorpcję σ abs na atomach azotu N i tlenu O wynoszą: σ sc [m 2 ] σ abs [m 2 ] Azot N Tlen O Oszacować osłabienie wiązki neutronów o energii 25 MeV po przebyciu drogi 1 m w powietrzu. Przyjąć, że skład powietrza stanowi 80% azotu i 20% tlenu oraz liczba atomów tlenu przypadajęcych na jednostkową objętość wynosi n O = m 3. Wskazówka: σ sc = N sc F σ abs = N abs F gdzie: N sc - liczba cząstek rozproszonych na jednostkę czasu, N abs - liczba cząstek zaabsorbowanych na jednostkę czasu, F - strumień cząstek. Rozważyć osłabienie strumienia neutronów po przejściu przez elementarną objętość dv. Za elementarną objętość wybrać walec o jednostkowym polu powierzchni podstawy oraz wysokości dz. Teoria rozpraszania - przybliżenie Borna 1. Posługując się przybliżeniem Borna obliczyć amplitudę rozpraszania, różniczkowy i całkowity przekrój czynny dla elastycznego rozpraszania elektronu na obojętnym atomie, reprezentowanym przez ekranowany potencjał kulombowski dany wzorem V (r) = Ze2 r e αr. Zbadać dokładnie otrzymane wyniki dla α 0 (rozpraszanie w polu kulombowskim). 3

4 2. Rozpraszanie neutron - jądro atomowe można w przybliżeniu opisać wykorzystując potencjał postaci V ( r ) = gδ( r ). (a) Korzystając z przybliżenia Borna obliczyć amplitudę rozpraszania powolnych neutronów na jądrach atomowych. Jak należy dobrać wartość stałej g aby potencjał V ( r ) = gδ( r ) poprawnie symulował rozpraszanie z długością rozpraszania a S, tzn. całkowity przekrój czynny dla tego rozpraszania wynosi σ = 4πa 2 S. (b) Termiczne neutrony o długości fali λ 0 ulegają roproszeniu na kawałku materiału. Przyjmując, że każde jądro jest źródłem potencjału V ( r ) = gδ( r ) z stałą g obliczoną w poprzednim punkcie, pokazać że materiał zachowuję się jak ośrodek z współczynnikiem załamania danym wzorem: n = 1 ρa Sλ 2 0 2π, gdzie ρ - ilość atomów materiału na jednostkę objętości. (c) Pokazać, że jeśli a S > 0 to kąt graniczny dla całkowitego wewnętrznego odbicia neutronów od powierzchni materiału dany jest wzorem: θ c = π 2 as ρ π λ 0. Wskazówki: Współczynnik odbicia można przedstawić jako: n = k k 0, gdzie k 0 - wektor falowy neutronu w próżni, k - wektor falowy neutronu w ośrodku. W próżni cała energia neutronu zawarta jest w energii kinetycznej. Energia neutronu w ośrodku wynosi: E = 2 k 2 2m n + V, gdzie V - uśredniona energia oddziaływania z ośrodkiem, którą można obliczyć jako całkę po objętości zawierającą dużą liczbę jąder atomowych i następnie dzieląc przez liczbę jąder zawartych w tej objętości. Otrzymany wynik dla współczynnika rozpraszania można rozwinąć w szereg Taylora w parametrze ρa S λ 2 0, które jest rzędu 10 4 (λ m, a S m, średnia odległość między atomami d m). 3. Korzystając z przybliżenia Borna, zbadać dla jakich β dla potencjału V (r) = A r β : (a) amplituda rozpraszania jest skończona, (b) całkowity przekrój czynny jest skończony. Wykonać obliczenia dla β = 2. 4

5 Przybliżenie WKB 1. Obliczy w przybliżeniu quasi-klasycznym poziomy energii cząstki o masie µ poruszającej się w polu siły o potencjale: V (x) = µω2 x 2. 2 Porównać wynik z rozwiązaniem ścisłym. 2. Znaleźć w przybliżeniu quasi-klasycznym funkcje falowe stanów związanych (E < 0) dla potencjału kulombowskiego. 3. Wyznaczyć w przybliżeniu quasi-klasycznym prawdopodobieństwo wyjścia cząstki o masie µ z jamy potencjału o symetrii sferycznej: { V0 dla r < r 0 V (r) = α dla r > r 0 r Założyć, że cząstka posiada moment pędu równy 0. Wstęp do relatywistycznej mechaniki kwantowej 1. Ogólną liniową transformację współrzędnych można zapiać w postaci: x µ = Λ µ νx ν + a µ. Macierz Λ jest tak dobrana aby interwał był niezmiennikiem transformacji tzn.: s 2 = g µν x µ x ν = g µν x µ x ν = s 2, gdzie g µν jest tensorem metrycznym: g µν = Zakładając, że pomijamy translacje (a µ = 0) pokazać, że macierz Λ posiada następujące własności: (a) det(λ) = ±1. Wskazówka: Pokazać, że z niezmienniczości interwału wynika równanie macierzowe Λ T gλ = g. (b) Λ Wskazówka: Zapisać w jawnej postaci: (Λ T gλ) 00 = g 00. (c) 3 i=1 (Λi 0 )2 = 3 i=1 (Λ0 i )2. Wskazówka: Pokazać, że Λ T gλ = ΛgΛ T a następnie postępować podobnie jak w punkcie b. 2. Pokazać, że w granicy nierelatywistycznej równie Diraca redukuje się do równania Pauliego. 5

6 3. Pokazać, że: (a) z gęstość lagranżjanu: L = µ φ µ φ M 2 φφ wynika równanie ruchu (równanie Kleina-Gordona): (b) z gęstość lagranżjanu: ( + M 2 )φ = 0, L = i 2 ψ(/ ψ) i (/ ψ)ψ Mψψ 2 wynika równanie ruchu (równanie Diraca): (i/ M)ψ = 0, gdzie: / = γ µ µ, ψ = ψ γ 0, γ µ - macierze Diraca tzn. {γ µ, γ ν } = 2g µν, (c) z gęstość lagranżjanu: L = 1 4 F µνf µν, (F µν = µ A ν ν A µ ) wynikają równania ruchu: µ F µν = 0, które są równoważne równaniom Maxwella, jeśli A µ potraktujemy jako czteropotencjał elektrodynamiczny. Wskazówki: Założyć, że gęstość lagranżjanu jest funkcją pól i ich pochodnych tzn.: L = L(ϕ(x), µ ϕ(x)) a następnie zastosować równanie Eulera-Lagrange a, które w tym przypadku ma postać: ( ) δl µ = δl δ( µ ϕ) δϕ. Uwaga: w punkcie a, pola φ oraz φ należy traktować jak dwa różne pola, tzn. należy zapisać dwa równania Eulera-Lagrange a, pierwsze dla pola φ a drugie dla pola φ. Podobnie należy postąpić w punkcie b. 6