Rozdział 4 Równanie Schrödingera

Transkrypt

1 Rozdział 4 Równanie Schrödingera 4.1 Równanie falowe Schrödingera 4. Obserwable, stany stacjonarne, wartości średnie 4.3 Nieskończona studnia potencjału 4.4 Skończona studnia potencjału 4.5 Trójwymiarowa nieskończona studnia potencjału 4.6 Degeneracja 4.7 Oscylator harmoniczny 4.8 Bariery i tunelowanie 4.9 Studnia potencjału 0 Erwin Schrödinger ( Wnikliwa analiza procesu obserwacji w fizyce atomowej wykazała, że cząsteczki subatomowe nie mają znaczenia jako pojedyncze jednostki, ale mogą być rozumiane wyłącznie w kontekście przygotowanego eksperymentu i dokonanego pomiaru. - Erwin Schrödinger Przygotowanie Marek Szopa, na podstawie Rick Trebino, Georgia Tech,

2 Opinie o mechanice kwantowej Myślę, że śmiało można powiedzieć, że nikt nie rozumie mechaniki kwantowej. Jeśli nie musisz nie zadawaj sobie pytania: "Ale jak to może tak być?", bo zabrniesz w ślepą uliczkę, z której nikt jeszcze nie uciekł. Nikt nie wie, jak może tak być. - Richard Feynman Ci, którzy spotkawszy się po raz pierwszy z mechaniką kwantową nie są w szoku, prawdopodobnie nie rozumieją jej.. Richard Feynman ( Niels Bohr

3 4.1: Równanie falowe Schrödingera Jednowymiarowe równanie falowe Schrödingera, zależne od czasu, dla cząstek o energii E poruszających się w potencjale V : (, t ħ Ψ (, t Ψ iħ + V Ψ t t m (, gdzie V V(,t gdzie i jest pierwiastkiem kwadratowym z -1. Równanie Schrodingera jest FUNDAMENTALNYM równaniem Mechaniki Kwantowej. Porównajmy je z równaniem falowym dla elektromagnetyzmu: Ψ 1 Ψ v t 0

4 Rozwiązanie ogólne równania falowego Schrödingera dla V 0 Ψ(, t ħ Ψ(, t Sprawdźmy rozwiązanie: iħ t m Ψ (, t Ae i ( k ωt A[cos( k ωt + i sin( k ωt] Ψ i ( k ωt iω Ae iω Ψ t iħ Ψ ( iħ( iω Ψ ħω Ψ t Ψ k Ψ ħ Ψ ħ k Ψ m m Równanie jest spełnione jeśli: ħ k p ħω hν E m m Co oznacza, że całkowita energia jest energią kinetyczną.

5 Ogólne rozwiązanie równania falowego Schrödingera dla V 0 W próżni (kiedy V 0, ogólna postać funkcji falowej jest: Ψ + ( (, i k ωt t Ae A[cos( k ωt i sin( k ωt] funkcja ta opisuje falę poruszającą się w kierunku. Amplituda fali może w ogólności być liczbą zespoloną. Funkcja falowa również nie musi być rzeczywista. W ogólnym przypadku jest ona funkcją zespoloną. Tylko mierzalne fizycznie wielkości takie jak prawdopodobieństwo, pęd i energia muszą być rzeczywiste.

6 Prawdopodobieństwo i normalizacja Prawdopodobieństwo P( d znalezienia cząstki między i + d jest dane równaniem: P ( d Ψ (, t Ψ(, t d wielkość Ψ Ψ nazywamy gęstością prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między 1 a jest dane równaniem P Ψ Ψ d 1 Funkcja falowa musi być znormalizowana, więc prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między gdziekolwiek na osi musi być 1 Ψ (, t Ψ(, t d 1

7 Warunki jakie muszą spełniać funkcje falowe Warunki na funkcje falowe: 1. W celu uniknięcia nieskończonych prawdopodobieństw, funkcja falowa musi być wszędzie skończona.. Funkcja falowa musi być jednowartościowa. 3. Funkcja falowa musi być dwukrotnie różniczkowalna. Oznacza to, że ona i jej pochodna muszą być ciągłe. (Wyjątkiem od tej reguły jest przypadek, gdy potencjał V jest nieskończony. 4. W celu normalizacji, funkcja falowa musi dążyć do zera jak dąży do (plus, minus nieskończoności. Rozwiązania, które nie spełniają tych właściwości z reguły nie odpowiadają rozwiązaniom akceptowalnym fizycznie.

8 W wielu przypadkach potencjał nie zależy eplicite od czasu. Zależności od czasu i położenia w równaniu Schrödingera mogą być wówczas rozdzielone. Niech: co daje: Po podzieleniu przez ( f(t: Bezczasowe równanie falowe Schrödingera Lewa strona zależy tylko od t, a prawa tylko od. Każda strona musi więc być równa stałej. Dla strona zależnej od czasu otrzymujemy: ( (, ( t f t Ψ ( ( ( ( ( ( ( t f V m t f t t f i + ħ ħ ( ( ( 1 ( ( 1 V m t t df t f i + ħ ħ B t df f i 1 ħ, - nie zależy od

9 Bezczasowe równanie falowe Schrödingera Mnożąc obie strony przez f(t/iħ: f B f t To równanie różniczkowe jest łatwe do rozwiązania: f ( t e e Bt/ iħ ibt / ħ Przypomnijmy rozwiązanie dla cząstki swobodnej: W którym f(t ep(-iωt, więc: ω B / ħ lub B ħω, co oznacza, że: B E! f ( t e iet/ Mnożąc przestrzenną część równ. Schrödingera przez (, otrzymujemy: ħ / iħ Stałą przed f(t możemy zignorować, gdyż jej wartość będzie określona z warunku normalizacji ( ω Ψ (, t e i k t ħ m d ( d + V ( ( E (

10 Bezczasowe równanie falowe Schrödingera ħ m d ( d + V ( ( E ( Równanie to jest znane jako bezczasowe (niezależne od czasu równanie falowe Schrödingera, i na równi z pełnym równaniem falowym Schrödingera jest fundamentalnym równaniem mechaniki kwantowej Ĥ E Równanie to ma postać równania własnego, gdzie: Hˆ ħ + V m Ĥ jest operatorem energii.

11 4.: Obserwable ħ m d ( d + V ( ( E ( Operatory odgrywają w mechanice kwantowej ważną rolę. Wszystkie wielkości mierzalne mają odpowiadające im operatory które nazywamy obserwablami. Operatorem energii kinetycznej jest: ħ K m Inne operatory są na ogół prostsze, zazwyczaj zawierają operacje mnożenia, dodawania. Operator energii potencjalnej jest po prostu mnożeniem przez V(. V ( V ( (

12 Stany stacjonarne Załóżmy, że mamy funkcję falową postaci: Ψ (, t ( e iωt Gęstość prawdopodobieństwa tej funkcji jest równa: * * iωt Ψ Ψ ( e ( e ( iωt Jest to rozkład prawdopodobieństwa niezależny od czasu. Taki stan, (reprezentowany przez falę stojącą nazywamy stanem stacjonarnym.

13 Wartości średnie obserwabli W mechanice kwantowej często obliczamy wartości oczekiwane. Wartość oczekiwana jest średnią ważoną tej wielkości. Ogólnie rzecz biorąc, wartość oczekiwaną jest: P + P + + P P 1 1 N N i i Jeśli zmienna może przyjmować nieskończenie wiele wartości oraz jest ciągła to: W mechanice kwantowej: P( d Ψ Ψ Ψ Ψ * * ( ( d ( ( d Wartość oczekiwana dowolnej obserwabli zależnej od w stanie jest : A Ψ * ( A ( ( d Ψ Ψ i

14 Notacja Bra-Ket Poprzednie równanie jest na tyle ważne, że fizycy mają dla niego specjalna notację. A Ψ * ( A ( Ψ( d Ψ A Ψ Ψ Całe to wyrażenie jest rozumiane jako bracket czyli nawias Wyrażenie nazywamy bra podczas gdy nazywamy ket. Warunek normalizacji w tej notacji jest: Ψ Ψ 1

15 Operator pędu Aby znaleźć wartość oczekiwaną, musimy najpierw wyrazić poprzez i. Rozważmy pochodną funkcji falowej cząstki swobodnej względem : Ψ [ e ale k p / ħ więc mamy mnożąc obie strony przez ħ Ψ(, t pˆ[ Ψ (, t] iħ pψ(, t To sugeruje, że operatorem pędu powinniśmy nazwać Wartością oczekiwaną pędu w stanie Ψ jest więc ] ike i ( k ωt i ( k ωt Ψ i p ħ Ψ ikψ pˆ iħ * Ψ(, t p Ψ pˆ Ψ iħ Ψ (, t d Ψ

16 Operatory położenia i energii Operatorem położenia jest mnożenie przez. Operator energii: Pochodna po czasie funkcji falowej cząstki swobodnej jest: Ψ t t [ e Podstawiając ω Ε / ħ mamy [,]ħ, Operatorem energii jest więc: iωe Wartością oczekiwaną energii w stanie Ψ jest: ] i ( k ωt i( k ωt Eˆ ħ i t * Ψ(, t E iħ Ψ (, t d Ψ iωψ

17 Operatorowa postać równania Schrödingera Energia całkowita jest: p E K + V + V m p EΨ Ψ + V Ψ m Podstawiając operatory: Ψ : E Ψ iħ t p +: 1 Ψ + VΨ iħ Ψ + V Ψ m m ħ Ψ + V Ψ m Ψ ħ Ψ mamy: iħ + V Ψ t m Czyli pełne równanie falowe Schrodingera

18 Dwa rozwiązania równań różniczkowych Rozważmy równanie różniczkowe: d d k k jest rzeczywiste Jako, że k jest dodatnie, rozwiązaniem równania jest: k ( Ae + Be ɶ ɶ k Można też te rozwiązania zapisać jako: k k cosh( k ( e + e 1 k k sinh( k ( e e 1 Teraz rozważmy inne równanie różniczkowe: d k d Ponieważ stała -k jest ujemna, rozwiązaniem jest: ( ik ik Ae + Be albo Asin( k + B cos( k ɶ ɶ

19 4.3: Nieskończona prostokątna studnia potencjału Najprostszym przykładem tego systemu jest cząstka uwięzione w pudełku o nieskończenie twardych ścianach których cząstka nie może przeniknąć. Potencjał ten nazywany jest również nieskończoną prostokątną studnią: 0, L V ( 0 0 < < L 0 L W obszarze gdzie potencjał jest nieskończony funkcja falowa musi być równa zeru. W obszarze zerowego potencjału (wewnątrz studni, bezczasowe równanie Schrödingera można zapisać jako: d d ( me ħ + V ( ( k E ( gdzie k me / ħ md d ħ Ogólne rozwiązanie tego równania:! "sin& +'cos& * Energia jest tylko kinetyczna i dlatego dodatnia

20 Kwantowanie Warunki brzegowe potencjału stanowią, że funkcja falowa musi być równa zeru w punktach 0oraz +. Aby tak mogło być dla musi być, że kl nπ dla całkowitych,. Funkcja falowa jest więc: n ( A sin nπ L 0 L Normalizując ją: ½ ½ cos(nπ/l * ( ( d 1 n n A sin nπ d 1 0 L L A / L Otrzymamy znormalizowaną funkcję falowa: ( n L sin nπ L Taka sama funkcja opisuje drgającą strunę umocowaną na obu końcach!

21 Skwantowana energia Skwantowana liczba falowa wynosi więc: Co oznacza energię: E n n πħ ml (n 1,, 3,... n k n π L ( n L me ħ sin n nπ L Zauważmy, że energia zależy od liczby naturalnej,. Stąd energia jest skwantowana i niezerowa. Przypadek szczególny gdy n 1 nazywamy stanem podstawowym. Energia E 1 πħ ml Położenie

22 4.4: Skończona prostokątna studnia potencjału Skończona prostokątna studnia jest dana przez potencjał: V 0 0 Region I V ( 0 0 < < L Region II V 0 L Region III Równanie Schrödingera na zewnątrz studni w obszarach I i III jest: d m ( V 0 E d ħ ħ d + V 0 E m d α gdzie: α Załóżmy: E < V 0 Położenie m( V E / ħ 0 Biorąc pod uwagę, że funkcja falowa musi być zero w (minus, plus nieskończoności mamy: ( I III Ae α ( Be α Region I, < 0 Region III, > L

23 Rozwiązania dla skończonej prostokątnej studni potencjału Wewnątrz studni, gdzie potencjał V jest zero, równanie falowe jest -. / -. &0! gdzie & ħ 0 (tak jak dla nieskończonej studni. Rozwiązaniem tu jest: ( sin cos II A k + B k Region II, 0 < < L Warunki brzegowe wymagają aby: tzn. aby w miejscu sklejenia obszarów funkcja i jej pochodna były ciągłe. dla 0 oraz dla L I II II III ' ' dla 0 oraz ' ' dla L I II II III Funkcja falowa Ekspotencjalna Zauważmy, że funkcja falowa poza studnią nie jest równa zeru. Energia

24 Cząstki wnikają do ściany! Głębokość wnikania to odległość od ścianki studni powyżej której prawdopodobieństwo znalezienia cząstki znacząco maleje. Jest to: 1 δ α ħ m( V E 0 Funkcja falowa Ekspotencjalna Głębokość penetracji jest proporcjonalna do stałej Plancka. Uzyskane zjawisko jest sprzeczne z fizyką klasyczną! ( I III Ae α ( Be α Region I, < 0 Region III, > L

25 4.5: Trójwymiarowa, nieskończona studnia potencjału Funkcja falowa zależy od trzech wymiarów przestrzennych. Tak jak dodaje się składowe wektora, tak aby zdefiniować trójwymiarowy operator pędu dodajmy do siebie trzy przestrzenne składowe pędu : gdzie pˆ pˆ + pˆ + pˆ y z ˆ iħ p ˆ iħ p y y ˆ iħ p z z Tak więc trójwymiarowe równanie falowe Schrödingera ma postać: V E m + + y z + ħ lub ħ V E m +

26 Trójwymiarowa, nieskończona studnia potencjału Kiedy 0 łatwo znaleźć rozwiązanie: (, y, z A sin( k sin( k y sin( k z k π n / L gdzie: π / y z k n L k π n / L y y y z z z oraz: E π n ħ n y nz n, ny, n + + z m L Ly Lz n, n, n (, y, z A sin( π n / L sin( π ny y / Ly sin( π nzz / Lz y z Kiedy więc mamy cząstkę w sześciennym pudle: π ħ E n + n + n n,, ny nz ml ( y z

27 4.6: Degeneracja weźmy 10, 4, 3 oraz 8, 6, 5: ale: π ħ E n + n + n n,, ny nz ml 10,4,3 8,6,5 Widzimy, że dwie różne funkcje falowe mogą mieć tą samą energię. E ( y z E 1 0, 4, 3 8, 6, 5 Trójwymiarowe równanie falowe Schrödingera wprowadza trzy liczby kwantowe energii. Tej samej energii mogą odpowiadać różne zestawy liczb kwantowych. Jeśli istnieje więcej niż jedna funkcja falowa dla danej energii, to taki stan kwantowy nazywamy zdegenerowanym. Degeneracja jest wynikiem szczególnych własności energii potencjalnej, która opisuje system. Zaburzeniem energii potencjalnej można usunąć degenerację.

28 4.7: Prosty oscylator harmoniczny Prosty oscylator harmoniczny opisuje wiele fizycznych sytuacji od sprężyny, poprzez cząsteczki dwuatomowe do sieci krystalicznych Położenie równowagi Energia potencjalna Położenie Energia potencjalna Prosty ruch harmoniczny Molekuła dwuatomowa Rozwińmy potencjał w szereg Taylora: 1 V ( V0 + V1 ( 0 + V (

29 Prosty oscylator harmoniczny Weźmy pod uwagę wyrazy drugiego rzędu rozwinięcia Taylora potencjału: V ( κ ( 1 Jest to paraboliczna studnia potencjału 0 Energia potencjalna paraboliczna studnia potencjału Położenie Podstawiając to do d ( równania Schrödingera: ħ + V ( ( E ( m d d m me m E κ + κ d ħ ħ ħ gdzie przyjęliśmy 0 0 Niech oraz ħ. ħ., co daje: d d ( α β

30 Paraboliczna studnia potencjału Funkcjami falowymi są gdzie H n ( to wielomiany Hermite a rzędu n α 1 3( α (α 3 e π α 1 ( (α 1 e π 1 4 α 1( α e π ( α π 1 4 e α Funkcje falowe / α α / α / /

31 Paraboliczna studnia potencjału Klasycznie, prawdopodobieństwo znalezienia masy jest największe na końcach studni a najmniejsze w centrum. Kwantowo największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w najniższym stanie energii jest w centrum studni potencjału.

32 Dalsza analiza studni parabolicznej Kiedy jednak liczby kwantowe rosną, rozwiązanie zbliża się do wyniku klasycznego. Na tym przykładzie prostego oscylatora harmonicznego widzimy że Zasada Korespondencji jest spełniona.

33 Paraboliczna studnia potencjału Poziomy energetyczne są dane przez: E n 1 1 ( n + ħ κ / m ( n + ħω Energia stanu podstawowego jest nazywana granicą Heisenberga: E 0 1 ħω

34 4.8: Bariery potencjału i tunelowanie Rozważmy cząstkę o energii E zbliżającą się do bariery potencjału o wysokości V 0, poza którą potencjał wszędzie jest zero. Najpierw rozważmy przypadek kiedy energia cząstki jest większa od potencjalnej bariery. me W obszarach I i III, liczby falowe są: ki kiii ħ W obszarze bariery zaś: m( E V0 kii gdzie V V0 ħ Padająca Cząstka Odbita Przepuszczona

35 Odbicie i przejście Funkcja falowa będzie składać się z fali padającej, fali odbitej oraz fali która przeszła barierę. Potencjały oraz równania falowe Schrödingera dla trzech obszarów są: Region I ( < 0 V 0 d I m + E I 0 d ħ d II m Region II (0 < < L V V 0 + ( E V 0 II 0 d ħ d III m Region III ( > L V 0 + E III 0 d ħ Odpowiednie rozwiązania są: Wszystkie trzy stałe są ujemne tzn.: d k d Region I ( 0 iki < Ae + Be Region II (0 < < + Region III ( ikii L Ce De iki > L Fe + Ge I II III ik I ik I II ik Sinusy i kosinusy we wszystkich obszarach Jako, że fala porusza się od lewej strony można zidentyfikować rozwiązania: Fala padająca Fala odbita Fala, która przeszła (padająca III I II (odbita Be Ae (przepuszczona ik I I ik Fe ik I

36 Prawdopodobieństwa odbicia i przejścia Prawdopodobieństwa odbicia cząstki R, oraz przejścia T są: T R * I(odbita B B * (padająca I * III (przekazana F F * (padająca I A A A A Ponieważ cząstka musi się odbić lub przejść: R + T 1 Po zastosowaniu warunków brzegowych dla 0, and L, uzyskujemy prawdopodobieństwo przejścia: T V sin 4E( E ( k V II L 0 1 Zauważmy, że prawdopodobieństwo przejścia może być nawet równe 1.

37 Tunelowanie Teraz rozważmy sytuację, w której klasyczna cząstka nie ma wystarczającej ilości energii do pokonania bariery potencjału, E < V 0. Energia Zjawisko klasyczne Wynik mechaniki kwantowej jest jedną z najbardziej niezwykłych cech współczesnej fizyki. Istnieje skończone prawdopodobieństwo, że cząstka przenika przez barierę i pojawia się po drugiej stronie! Funkcja falowa w obszarze II jest: II m V E κ κ 0 Ce + De gdzie κ ( ħ Współczynnik przejścia dla tunelowania jest: T V0 sinh ( κl 1 + 4E( V0 E 1

38 Tunnelownie funkcji falowej Zjawisko kwantowe Ekspotencjalnie Sinusoidalnie Sinusoidalnie To naruszenie fizyki klasycznej jest dozwolone przez zasadę nieokreśloności. Cząstka może naruszać klasyczne zachowanie o E przez krótki czas, t ~ ħ / E.

39 Ewolucja funkcji falowej i gęstości prawdopodobieństwa w czasie

40 Analogia do optyki falowej Jeśli światła przechodzące przez pryzmat szklany odbija się od wewnętrznej powierzchni pod kątem większym od kąta krytycznego, zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie. Jednak pole elektromagnetyczne tuż za pryzmatem nie jest dokładnie zero. Jak pokazują eksperymenty, jeśli umieścić kolejny pryzmat bardzo blisko pierwszego, to fala elektromagnetyczna (światło pojawia się w również w drugim pryzmacie. Sytuacja jest analogiczna do opisanego wyżej tunelowania. Efekt ten został zaobserwowany przez Newtona i może być wykonany, za pomocą dwóch pryzmatów i lasera. Intensywność drugiej wiązki światła zmniejsza się ekspotencjalnie, kiedy odległość między pryzmatami wzrasta.

41 4.9: Studnia potencjału 9 : Rozważmy cząstkę przechodzącą przez studnie potencjału a nie barierę. Cząstka o energii E Klasycznie, cząstka ta powinna przyspieszyć w rejonie studni gdyż: K mv / E + V 0? Kwantowomechanicznie, fala ulegnie odbiciu i transmisji a jej długość wewnątrz studni zmniejszy się. Gdy szerokość studni potencjału jest dokładnie równa połowie lub całkowitej wielokrotności długości fali, fala odbita będzie w przeciwfazie lub w fazie fali padającej odpowiednio, czego skutkiem będzie wygaszenie lub rezonans. Wygaszenie bądź wzmocnienie fal może spowodować całkowite przejście ;0, 1 lub całkowite odbicie ;1, 0. Jeśli, na przykład, na prawym brzegu studni + fala biegnąca w prawo jest w przeciwfazie do fali odbitej, efektem będzie zerowa amplituda (brak cząstki wewnątrz studni.

42 Przykładowe rozwiązania równania falowego Schrödingera dla jednowymiarowych pól potencjalnych

43 Rozpad Alfa Zjawisko tunelowania wyjaśnia rozpad alfa, ciężkich jąder promieniotwórczych. Wewnątrz jądra, cząstka alfa czuje silne, krótkozasięgowe przyciąganie jądrowe, oraz Kulombowską siłę odpychającą. Oddziaływanie jądrowe jest silniejsze wewnątrz jądra a wypadkowy potencjał może być opisany za pomocą studni potencjału. Poza promieniem jądra dominuje siła Kulomba. Bariera potencjalna na granicy jądrowej jest kilka razy większa niż energia cząstki alfa. W mechanice kwantowej, jednak cząstka alfa może tunelować przez barierę. Jest to obserwowane jako zjawisko rozpadu promieniotwórczego.. Energia Energia potencjalna Kulomba Promień