5. Wykazać, że swobodny elektron nie może poch lon ać fotonu.

Transkrypt

1 1. Zbadać rozpraszanie cz astki na ladowanej na potencjale kulombowskim. Wyprowadzić wzór Rutherforda na przkrój czynny.. Jak a temperaturȩ ma czarna kula o średnicy 10 cm, która emituje promieniowanie o mocy 100 W? Jaki jest roczny ubytek masy wynikaj acy z promieniowania? 3. Sta la s loneczna, czyli powierzchniowa gȩstość mocy w pobliżu Ziemi (poza atmosfer a) wynosi I = 1.35kWm. Zak ladaj ac, że mamy do czynienia z cia lem doskonale czarnym, obliczyć temperaturȩ promieniuj acej powierzchni. Odleg lość Ziemi od S lońca R = m, promień S lońca r = m. 4. Znaleźć najbardziej prawdopodobn a czȩstość i najbardziej prawdopodobn a d lugość fali promieniowania cia la doskonale czarnego. 5. Wykazać, że swobodny elektron nie może poch lon ać fotonu. 6. W górnych warstwach atmosfery nastȩpuje fotodysocjacja tlenu. Najwiȩksza d lugość fali, dla której jest to możliwe, wynosi λ = m. Jaka jest energia wi azania? 7. Promieniowanie o natȩżenieu I = Wcm i d lugości fali 400 nm pada na metal, w którym praca wyjścia fotoelektronu wynosi ev. Znaleźć energiȩ kinetyczn a fotoelektronów, liczbȩ elektronów emitowanych w jednostce czasu przez jednostkȩ powierzchni oraz energiȩ absorbowan a w jednostce czasu przez jednostkȩ powierzchni. 8. Cz lowiek może dostrzec nieuzbrojonym okiem żó lty (600 nm) sygna l o mocy W. Ile fotonów pada wtedy na siatkówkȩ w ci agu sekundy? 9. Foton o energii 10 4 ev rozprasza siȩ na spoczywaj acym elektronie pod k atem 60 stopni. Znaleźć przyrost czȩstości fali, przyrost jej d lugości oraz energiȩ kinetyczn a i pȩd elektronu. 10. Znaleźć prȩdkość, któr a uzyska l nieruchomy atom wodoru w wyniku przejścia z pierwszego stanu wzbudzonego do podstawowego. Znaleźć czȩstość wys lanego fotonu z uwzglȩdnieniem odrzutu. 11. Oblicz w ramach modelu Bohra natȩżenie pr adu elektrycznego i dipolowy moment magnetyczny elektronu. 1. Jak zmieni a siȩ wielkości charakteryzuj ace atom wodoru, jeśli elektron zast apić przez mion (m=07 m e )?

2 13. Ile obiegów wokó l j adra wykona elektron w ci agu średniego czasu życia (10 8 s) w stanie z n= lub n=15? 14. Które linie widmowe wodoru i jednokrotnie zjonizowanego helu leż a w obszarze widzialnym? 15. Oblicz czȩstość ruchu orbitalnego elektronu o liczbie kwantowej n oraz czȩstość fali zwi azanej z przejściem n n 1. Porównaj wyniki dla dużych n. 16. Podać rozk lad prawdopodobieństawa dla rzutu prawid low a kostk a i kostk a fa laszyw a, dla której prawdopodobieństwa wyrzucenia jedynki i szóstki s a równe, razy mniejsze od prawdopodobieństw (równych) wyrzucenia dwójki i pi atki i 3 razy mniejsze od prawdopodbieństw (równych) wyrzucenia trójki i czwórki. Obliczyć w każdym przypadku wartość średni a i wariancjȩ rozk ladu. 17. Cz astka w jednym wymiarze opisana jest funkcj a Gaussa ψ(x) = C exp[ (x a) /(4σ ) + ikx], gdzie sta le a,σ i k s a rzeczywiste. Znaleźć sta l a normalizacyjn a C, wartość średni a i wariancjȩ rozk ladu po lożeń oraz prawdopodobieństwo znalezienia cz astki w przedziale (a σ, a + σ). 18. Elektron w najniższych stanach atomu wodoru opisany jest funkcjami: ψ 100 (r) = (πa 3 ) 1/ exp( r/a), ψ 00 (r) = (3πa 3 ) 1/ ( r a ) exp( r a ), ψ 10 (r) = (3πa 3 ) 1/ r a exp( r ) cos θ, a gdzie a = m, r = x + y + z, θ = arccos z. Znaleźć dla tych stanów rozk lad odleg lości od j adra, odleg lość najbardziej prawdopodobn a, odleg lość średni a, wariancjȩ oraz praw- r dopodobieństwo znalezienia elektronu w odleg lości mniejszej niż 0.1a od wartości najbardziej prawdopodobnej. 19. Elektron w atomie wodoru jest w stanie ψ(r) = 1 ψ 100 (r) + 1 exp(iα)ψ 00 (r). Znaleźć gȩstość rozk ladu odleg lości od j adra dla wybranych wartości parametru α = 0, π, π. 0. Oscylator harmoniczny w stanie podstawowym opisany jest funkcj a gdzie α = ψ(x) = C exp[ x α ], h mk. Znaleźć wartość średni a i wariancjȩ rozk ladu po lożeń.

3 1. Wykonać obliczenia z poprzedniego zadania dla oscylatora harmonicznego w pierwszym stanie wzbudzonym ψ(x) = Cx exp[ x α ].. Rozwin ać w szereg Fouriera, tzn. w szereg funkcji funkcjȩ ψ n (x) = 1 exp(i nπx ) l l ψ(x) = C(x + l) dla l < x < 0, ψ(x) = C( x + l) dla 0 x < l. 3. W szeregu Fouriera z oprzedniego zadania wykonać przejście graniczne l i otrzymać ca lkȩ Fouriera ψ(x) = 1 g(k) exp(ikx)dk, π g(k) = 1 π exp( ikx)ψ(x)dx. 4. Zauważyć, że z relacji z poprzedniego zadania wynika, że wyrażenie posiada w lasność delty Diraca 1 π exp[ik(x x )] δ(x x )ψ(x )dx = ψ(x). Pokazać, że tak a w lasność maj a wyrażenia graniczne δ(x) = 1 π lim sin ax a x, 1 x δ(x) = lim σ 0 exp[ πσ σ ]. 5. Udowodnić w lasności delty Diraca: δ(αx) = 1 α δ(x) δ(x a ) = 1 [δ(x a) + δ(x + a)] a 6. Obliczyć komutatory (r - po lożenie, p - pȩd, L - moment pȩdu): [L i, L j ], [L i, L ], [L i, p j ], [L i, r j ], i, j = x, y, z.

4 7. Obliczyć komutatory [H, L i ] oraz [H, L ], gdzie H jest operatorem energii cz astki poruszaj acej siȩ w polu o symetrii sferycznej. 8. Napisać hamiltonian dla oscylatora harmonicznego. Zapisać go za pomoc a operatorów a oraz a, gdzie mω a = h (ˆx + i mω ˆp). Znaleźć relacje komutacji [a, a ], [a n, a ], [a a, a]. 9. Udowodnić, że wartość średnia pȩdu w stanie o określonej energii należ acej do widma dyskretnego jest równa zeru. 30. Cz astka opisana jest funkcj a falow a ψ(x) = CΘ(x) exp( γx + ikx), (γ - sta la rzeczywista, Θ - funkcja schodkowa). Znaleźć prawdopodobieństwo, że pomiar pȩdu da wynik z przedzia lu ( h(k γ), h(k + γ)). 31. Cz astka opisana jest funkcj a falow a (a) ψ(x) = Cexp( γ x ), γ -sta la rzeczywista, (b) ψ(x) = CΘ(x a)θ(b x) exp(ikx), Θ -funkcja schodkowa, 1 (c) ψ(x) = exp[ (x a) + ikx]. (πσ ) 1/4 4σ Naszkicować funkcjȩ rozk ladu pȩdów. 3. Znaleźć dozwolone poziomy energii oraz funkcje w lasne cz astki w nieskończonej studni potencja lu V (x) = dla x < 0, x > a, V (x) = 0 dla 0 x a. 33. Jak zmieni a siȩ wyniki poprzedniego zadania, gdy studnia umieszczona jest symetrycznie, tzn. V (x) = dla x > a, V (x) = 0 dla x a. 34. Wykazać, że dla cz astki poruszaj acej siȩ w jednym wymiarze energie stanów dyskretnych s a niezdegenerowane. Korzystaj ac z tego pokazać, że gdy V (x) jest funkcj a parzyst a, funkcje w lasne musz a być parzyste lub nieparzyste. Zanalizować pod tym k atem wyniki dwóch poprzednich zadań. 35. Cz astka w nieskończonej studni potencja lu V (x) = dla x < 0, x > a, V (x) = 0 dla 0 x a opisana jest funkcj a ψ(x) = C sin πx. Jakich wyników i z jakimi prawdopodobieństwami a nal;eży oczekiwać przy pomiarze energii.

5 36. Cz astka w nieskończonej studni potencja lu z poprzedniego zadania jest w stanie ψ(x, t = 0) = 1 [ψ 1 (x) + ψ (x)], gdzie ψ 1, s a najniższymi stanami energii. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia cz astki w przedziale (0, a ) po czasie t? 37. Znaleźć poziomy energii i funkcje falowe cz astki umieszczonej wewn atrz (tzn. E < 0) jednowymiarowej, p laskiej, symetrycznej studni potencja lu V (x) = 0 dla x < 0 i dla x > a, V (x) = U, U > 0, dla 0 x a. Kiedy najniższy poziom energii wypada w po lowie studni? Czy istnieje wtedy drugi stan zwi azany? 38. Znaleźć poziomy energii i funkcje falowe cz astki umieszczonej wewn atrz (tzn. E < 0) jednowymiarowej, p laskiej, skrajnie niesymetrycznej studni potencja lu V (x) = dla x < 0, V (x) = U, U > 0, dla 0 x a, V (x) = 0 dla x > a. 39. Znaleźć dozwolone poziomy energii dla cz astki w studni potencja lu V (x) = κδ(x), gdzie κ > Wykazać, że w zasadzie nieoznaczoności dla po lożenia i pȩdu równość ( x p = tylko dla paczki gaussowskiej. 1 h) wystȩpuje 41. Zbadać ewolucjȩ w czasie cz astki swobodnej opisanej w chwili pocz atkowej funkcj a Gaussa ψ(x, t = 0) = (πσ ) 1 (x a) 4 exp[ exp(ikx). 4σ Oszacować czas potrzebny do podwojenia szerokości paczki dla elektronu (σ = m) oraz dla py lku (σ = 10 5 m, m = 10 1 kg). 4. Zbadać rozproszenie cz astki na progu potencja lu V (x) = 0 dla x < 0. V (x) = U dla x 0. Obliczyć prawdopodobieństwo przepuszczenia cz astki dla E < 0 i dla E > U. Dla energii 0.99U oszacować g lȩbokość wnikania w obszar bariery o potencjale 10 V dla elektronu i dla cz astki py lku o masie kg i ladunku 10 9 e. 43. Zbadać rozproszenie cz astki na symetrycznej barierze potencja lu V (x) = 0 dla x 0, x a, V (x) = U dla 0 < x < a. Obliczyć prawdopodobieństwo odbicia i przepuszczenia dla E > U i E < U. Dla E = 0.99U oszacować prawdopodobieństwo przejścia przez barierȩ o potencjale 10 V i szerokości 1 nm dla elektronu i dla cz astki py lu o masie kg i ladunku 10 9 e.

6 44. Korzystaj ac z postaci hamiltonianu dla oscylatora harmonicznego zapisanego za pomoc a operatorów kreacji a i anihilacji a oraz z regu l komutacji, znaleźć dozwolone wartości energii i funkcje w lasne oscylatora. 45. Wykazać, że w stanach oscylatora harmonicznego o określonej energii wartości średnie energii kinetycznej i potencjalnej s a równe. 46. Znaleźć funkcje w lasne operatora anihilacji (funkcje tzw. stanów koherentnych). 47. Oscylator harmoniczny znajduje siȩ w stanie koherentnym o wartości w lasnej operatora anihilacji równej z. Jakie wyniki i z jakimi prawdopodobieństwami można otrzymać przy pomiarze energii? Obliczyć wartość średni a i wariancjȩ energii w takim stanie. 48. Oscylator harmoniczny znajduje siȩ w stanie opisanym funkcj a ψ(x) = C( x4 α + x 4 α ) exp( 1 α ), gdzie C jest sta l a normalizacyjn a, a α h =. Jakie wyniki i z jakimi prawdopodobieństwami mk można otrzymać przy pomiarze energii? x 49. Korzystaj ac w równania spe lnianego przez wielomiany Hermite a: H n yh n + nh n = 0, sprawdzić, że funkcja F (s, y) = exp( s + sy) jest dla niego funkcj a tworz ac a, tzn. F (s, y) = n s n H n! n(y). Wyprowadzić wzory rekurencyjne: H n+1 = yh n nh n 1 oraz H n = nh n Znaleźć wartość średni a i wariancjȩ po lożenia i pȩdu w stanach w la snych energii oscylatora harmonicznego. 51. Wykazać, że w stanach w lasnych operatora L z wartości średnie L x,y s a równe zeru. 5. Znaleźć postać operatorów sk ladowych momentu pȩdu, kwadratu momentu pȩdu oraz energii kinetycznej we wspó lrzȩdnych sferycznych. 53. Spośród stanów w lasnych operatorów L i L z znaleźć takie, dla których suma wariancji W (L x )+ W (L y ) jest minimalna. 54. Rotator p laski o masie m i ramieniu a jest opisany funkcj a ψ(φ) = C cos n φ. Jakich wyników i z jakimi prawdopodobieństwami można oczekiwać przy pomiarze energii i momentu pȩdu. 55. Cz astka znajduje siȩ w stanie, w którym orbitalny moment pȩdu i jego rzut opisane s a liczbami kwantowymi l = m = 1. Jakich wyników i z jakimi prawdopodobieństwami moża oczekiwać przy pomiarze rzutu momentu pȩdu na oś z leż ac a w p laszczyźnie yz i tworz ac a k at α z osi a z?

7 56. Znaleźć potencja l w punkcie określonym przez wektor wodz acy R, pochodz acy od nieodkszta lconego atomu wodoru w stanie podstawowym. 57. Uk lad kwantowy opisany jest hamiltonianem H 0, którego funkcje w lasne ψ n i wartości w lasne E n s a znane, i znajduje siȩ w stanie ψ 1. W l aczono oddzia lywanie V. Zak ladaj ac, że uk lad nie może przejść do stanów innych niż ψ (przybliżenie dwóch poziomów), obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia uk ladu w w poszczególnych stanach po czasie t. 58. Znaleźć funcje w lasne i wartości w lasne rzutu spinu na kierunek n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). Znaleźć wartość średni a i wariancjȩ s z w takim stanie w lasnym. Jeśli cz astka jest przygotowana tak, że rzut spinu na os z wynosi h, jakie s a prawdopodobieństwa otrzymania poszczególnych wyników przy pomiarze rzutu spinu na kierunek n? 59. Znaleźć operatory spinu dla cz astki o spinie 1. Cz astka zosta la przygotowana tak, że rzut spinu na oś z wynosi h. Jakich wyników i z jakimi prawdopodobieństwami można oczekiwać przy pomiarze rzutu spinu na oś x? 60. Cz astka o spinie 1 znajduje siȩ w silnym polu magnetycznym B równoleg lym do osi z i s labym polu magnetycznym b równoleg lym do osi x. Znaleźć dozwolone poziomy energii ściśle i perturbacyjnie. 61. Znaleźć operatory opisuj ace wypadkowy spin s = s 1 + s dwóch cz astek o spinie 1 (odpowiednie iloczyny tensorowe macierzy). Znaleźć funkcje w lasne operatora s. Wskazać odpowiednie wspó lczynniki Clebscha-Gordana. 6. Dwie cz astki o spinie 1 znajduj a siȩ w polu magnetycznym i dodatkowo oddzia luj a ze sob a, przy czym operator energii ich oddzia lywania ma postać γs 1 s. Znaleźć dozwolone poziomy energii. 63. Oscylator harmoniczny drgaj acy w kierunku x poddano dodatkowemu oddzia lywaniu V (x) = Ax 3 +Bx 4. Używaj ac formalizmu operatorów kreacji i anihilacji, znaleźć perturbacyjne poprawki do energii. 64. Dwa atomy wodoru w stanie podstawowym znajduj a siȩ w odleg lości R. Znaleźć perturbacyjn a poprawkȩ do energii (przyci aganie van der Waalsa). 65. Oszacować poprawkȩ do energii stanu podstawowego atomu wodoru wynikaj ac a ze skończonych rozmiarów j adra. Przyj ać, że j adro jest jednorodnie na ladowan a kul a o promieniu R. 66. Oszacować poprawkȩ do energii stanu podstawowego atomu wodoru wynikaj ac a z relatywistycznego przyrostu masy. Uzasadnić i przyj ać postać zaburzenia V = p4 8m 3 c.