Postulaty mechaniki kwantowej

Transkrypt

1 Wyk lad 2 Postulaty mechaniki kwantowej

2 1 wymiar Postulat Stan czastki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(x, t) zależna od po lożenia czastki x oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej ρ(x, t) = Ψ(x, t) 2 = Ψ (x, t)ψ(x, t) określajacy gestość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili t czastka znajduje sie w pozycji x. Wyrażenie π(x, t) = Ψ(x, t) 2 dx określa prawdopodobieństwo znalezienia w chwili t czastki w infinitezymalnie ma lym przedziale [x, x + dx]

3 1 wymiar - przyk lady Prawdopodobieństwo znalezienia czastki w przedziale < a, b > b Ψ(x, t) 2 dx a

4 3 wymiary Postulat Stan czastki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(r, t) zależna od po lożenia czastki r = (x, y, z) oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej ρ(x, t) = Ψ(r, t) 2 określajacy gestość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili t czastka znajduje sie w pozycji r. Przyk lad Prawdopodobieństwo tego, że czastka znajduje sie wewnatrz sześcianu o krawedzi 2a umieszczonego w poczatku uk ladu wspó lrz ednych a a a a a a Ψ(x, y, z, t) 2 dxdydz

5 3 wymiary - przyk lad Definicje wspó lrz edne sferyczne: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ element obj etości we wspó lrz ednych sferycznych: dv = r 2 sin θdrdθdφ Prawdopodobieństwo tego, że czastka znajduje sie wewnatrz kuli o promieniu R 2π π R Ψ(r, θ, φ) 2 r 2 sin θdrdθdφ

6 N czastek, 3 wymiary Postulat Stan czastki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(r, t) zależna od po lożeń N czastek (x 1, y 1, z 1,..., x N, y N, z N ) oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej ρ(r, t) = Ψ(r, t) 2 określajacy gestość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili t: czastka pierwsza znajduje sie w pozycji (x 1, y 1, z 1 ) czastka druga znajduje sie w pozycji (x 2, y 2, z 2 )... czastka N-ta znajduje sie w pozycji (x N, y N, z N )

7 N czastek ze spinem, 3 wymiary Postulat Stan uk ladu w przestrzeni konfiguracyjno-spinowej określa funkcja falowa Ψ = Ψ(q, t) zależna od po lożeń i spinów N czastek (x 1, y 1, z 1, σ 1,..., x N, y N, z N, σ N ) oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej ρ(q, t) = Ψ(q, t) 2 określajacy gestość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili t: czastka pierwsza znajduje sie w pozycji (x 1, y 1, z 1 ) ze spinem σ 1 czastka druga znajduje sie w pozycji (x 2, y 2, z 2 ) ze spinem σ 2... czastka N-ta znajduje sie w pozycji (x N, y N, z N ) ze spinem σ N

8 Warunki porzadności funkcji falowej Funkcja falowa: ma interpretacje probabilistyczna musi spe lniać równanie różniczkowe II rzedu (równanie Schrödingera) Wniosek Musimy narzucić na funkcje falowa warunki: skończoności unormowania ci ag lości (wraz z pierwsz a pochodn a) fizycznej jednoznaczności

9 Zasada superpozycji stanów Postulat Jeśli Ψ 1, Ψ 2,... opisuja dozwolone stany uk ladu, to ich dowolna kombinacja liniowa Ψ = i C i Ψ i = C 1 Ψ 1 + C 2 Ψ również opisuje dozwolony stan uk ladu, w którym prawdopodobieństwo zaobserwowania stanu opisanego przez Ψ i wynosi P i = C i 2. Unormowanie wymaga, żeby P i = i i C i 2 = 1

10 Symetria permutacyjna funkcji falowej Sens fizyczny, czyli wartość Ψ 2 nie może zależeć od subiektywnego ponumerowania czastek nieodróżnialnych. ψ(q 1, q 2,..., q i,..., q j,...q N ) 2 = ψ(q 1, q 2,..., q j,..., q i,...q N ) 2 Wniosek ψ(q 1, q 2,..., q i,..., q j,...q N ) = e iφ ψ(q 1, q 2,..., q j,..., q i,...q N )

11 Bozony i fermiony Postulat Dla uk ladu bozonów ψ(q 1, q 2,..., q i,..., q j,...q N ) = ψ(q 1, q 2,..., q j,..., q i,...q N ). Dla uk ladu fermionów ψ(q 1, q 2,..., q i,..., q j,...q N ) = ψ(q 1, q 2,..., q j,..., q i,...q N ) fermiony: elektrony, protony, neutrony, jadra o nieparzystej liczbie nukleonów bozony: fotony, jadra o parzystej liczbie nukleonów

12 Zakaz Pauliego Wniosek Gestość prawdopodobieństwa znalezienia dwóch identycznych fermionów w tym samym miejscu w przestrzeni i z ta sama wspó lrz edn a spinowa wynosi 0. Wniosek Dwa identyczne bozony lub dwa identyczne fermiony różniace sie wspó lrz edn a spinowa moga znajdować sie w tym samym miejscu w przestrzeni. nadprzewodnictwo kondensacja Bosego-Einsteina

13 Operatory w mechanice kwantowej Postulat Każdej wielkości mechanicznej A przyporzadkowany jest operator kwantowomechaniczny Â. Operator ten musi być liniowy (aby spe lniać zasade superpozycji) i hermitowski (aby jego wartości w lasne by ly rzeczywiste).

14 Postać operatorów kwantowomechanicznych Regu ly Jordana ˆx = x ˆV (x) = V (x) ˆp x = i x ˆr = r ˆp = i Przyk lad T = p2 2m ˆT = ˆp2 2m = 2 2m 2 = 2 2m

15 Wynik pojedynczego pomiaru Postulat W wyniku pojedynczego pomiaru w lasności mechanicznej A uzyskana może być wy l acznie pewna wartość w lasna a k operatora Â, która odpowiada funkcji w lasnej φ k spe lniajacej zagadnienie w lasne Âφ k = a k φ k, k = 1, 2,...

16 Degeneracja Definicja Jeżeli zbiór g funkcji w lasnych (liniowo niezależnych) operatora  spe lnia równanie w lasne dla tej samej wartości w lasnej Âφ (m) k = a k φ (m) k, m = 1, 2,..., g, to taka wartość w lasna określamy jako g-krotnie zdegenerowana, a stany odpowiadajace tym funkcjom w lasnym określamy jako stany zdegenerowane.

17 Ortogonalizacja Twierdzenie Funkcje w lasne odpowiadajace różnym wartościom w lasnym sa ortogonalne, funkcje dla stanów zdegenerowanych nie musza być ortogonalne, ale zawsze możemy je zortogonalizować. Popularne metody ortogonalizacji: ortogonalizacja Grama-Schmidta: φ 1 φ 2 = S; φ 1 = φ 1, φ 2 = φ 2 Sφ 1 ortogonalizacja symetryczna (symetryczny obrót wektorów)

18 Zupe lność zbioru funkcji w lasnych Twierdzenie Zbiór funkcji w lasnych operatora kwantowomechanicznego  Âφ k = a k φ k, k = 1, 2,... jest zbiorem zupe lnym funkcji, tzn. dowolna funkcje stanu można rozwinać w szereg funkcji w lasnych tego operatora Ψ = i c i φ i Ψ = i c i φ i Pojedynczy pomiar wielkości A w stanie opisanym funkcja Ψ daje wartość a i odpowiadajac a funkcji φ i z prawdopodobieństwem c i 2.

19 Wartość średnia Twierdzenie Wynik średni (spodziewany) wielkiej liczby pomiarów wielkości fizycznej A przeprowadzony na wielu uk ladach w tym samym stanie poczatkowym opisanym funkcja falowa Ψ wynosi Ā = Ψ Â Ψ

20 Notacja Diraca ψ ψ ψ φdτ ψ φ ψ Âφdτ ψ Âφ ψ Â φ ˆP( ψ ) = ψ ψ wektor iloczyn skalarny iloczyn skalarny operator rzutowy w kierunku ψ 1 = i ψ i ψ i spektralny rozk lad jedynki χ = i ψ i ψ i χ = i ψ i C i

21 Jednoczesna mierzalność Dwie wielkości A i B sa jednocześnie ostro mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadajace im operatory komutuja. Zasada nieoznaczoności dla jednoczesnych pomiarów wielkości fizycznych A i B: σ 2 Aσ 2 B 1 4 ] 2 Ψ [Â, ˆB Ψ Przyk lad [ˆx, ˆp x ] = i, σ 2 xσ 2 p x 1 4 2

22 Spin czastek elementarnych Postulat Czastki elementarne posiadaja wewnetrzny moment pedu nazywany spinem S = (S x, S y, S z ). Wielkości ostro mierzalne to: kwadrat d lugości S 2 = s(s + 1) 2 jedna ze sk ladowych S z = m s, m s = s, s + 1,..., s 1, s ca lkowite s: bozony po lówkowe s: fermiony

23 Wspó lrz edna spinowa Postulat Czastka o spinowej liczbie kwantowej s posiada dodatkowy spinowy stopień swobody i zwiazan a z nim wspó lrzedn a spinowa σ. Wspó lrz edna spinowa ma charakter dyskretny i może przyjmować jedna z 2s + 1 wartości: s, s + 1,..., s 1, s

24 Spin elektronu s = 1 2 m s = 1 2, 1 2 σ = 1 2, 1 2 S 2 = S z = 1 2, 1 2

25 Funkcje spinowe α(σ) = { 1, σ = 1 2 0, σ = 1 2 α = ( 1 0 ) β(σ) = { 0, σ = 1 2 1, σ = 1 2 β = ( 0 1 ) Uk lad ortonormalny: α α = β β = 1 α β = 0

26 Operatory spinowe Ŝ x = 1 2 ˆσ x, Ŝ y = 1 2 ˆσ y, Ŝ z = 1 2 ˆσ z ˆσ x = ( ) ˆσ y = ( 0 i i 0 ) ˆσ z = ( ) Ŝ z α = 1 2 α Ŝ z β = 1 2 β 1 ( Ŝ x ± iŝ y ) =?

27 Spin uk ladu czastek ca lkowity spin: suma (wektorowa) spinów poszczególnych czastek S 2 = S(S + 1) 2 S z = M s M s = S, S + 1,..., S 1, S żadne wzbudzenie nie może przeprowadzić nieelementarnego bozonu w fermion a fermionu w bozon uk lady z lożone z parzystej liczby fermionów sa bozonami uk lady z lożone z nieparzystej liczby fermionów sa fermionami

28 Stany singletowe i trypletowe Uk lad dwóch elektronów: s 1 = s 2 = 1 2, m s 1 = 1 2, 1 2, m s 2 = 1 2, 1 2 stan singletowy uk ladu: S = 0, M s = 0 stan trypletowy uk ladu: S = 1, M s = 1, 0, 1 kat miedzy spinami elektronów: singlet: 180, spiny antyrównoleg le tryplet: 70.52, spiny równoleg le

29 Równanie Schrödingera zależne od czasu Postulat Swobodna ewolucje w czasie stanu kwantowomechanicznego wyznacza równanie Schrödingera zależne od czasu Ψ(q, t) ĤΨ(q, t) = i t równanie dyfuzji w urojonym czasie

30 Ewolucja stanu w czasie Znajomość hamiltonianu i funkcji falowej w danej chwili pozwala wyznaczyć dalsza ewolucje ( Ψ = exp it ) Ĥ Ψ Twierdzenie W trakcie ewolucji: zachowana jest norma funkcji falowej jeżeli hamiltonian nie zależy od czasu, to zachowana jest średnia wartość energii

31 Stany stacjonarne Definicja Stanem stacjonarnym nazywamy stan, w którym N-czastkowa gestość prawdopodobieństwa nie zmienia sie w czasie: ρ(q, t) = Ψ(q, t) 2 = ρ(q) stany stacjonarne sa możliwe tylko dla uk ladów z hamiltonianem niezależnym od czasu funkcja falowa dla stanów stacjonarnych musi mieć postać Ψ(q, t) = ψ(q)f (t) z czynnikiem zależnym od czasu o module jednostkowym Twierdzenie Funkcja falowa stanu stacjonarnego ( ) ma postać Ψ E (q, t) = ψ E (q) exp it E, gdzie cześć niezależna od czasu wynika z zagadnienia w lasnego hamiltonianu Ĥψ E = Eψ E. Energia stanu stacjonarnego jest ostro zadana i wynosi E.

32 Superpozycja stanów stacjonarnych k Ψ = c i Ψ i i=1 Twierdzenie Kombinacja liniowa k funkcji stanów stacjonarnych odpowiadajacych tej samej energii E jest funkcja stanu stacjonarnego o energii E. Twierdzenie Kombinacja liniowa k funkcji stanów stacjonarnych, z których przynajmniej jeden nie odpowiada tej samej energii co pozosta le, nie jest funkcja stanu stacjonarnego.reprezentuje ona stan o nieostro zadanej energii, wyniki pojedynczych pomiarów należa do zbioru E 1,..., E k, odpowiadajace im prawdopodobieństwa zadane a kwadratami modu lów wspó lczynników kombinacji. s

33 Perturbacje, z lota regu la Fermiego Ψ m, Ψ k : stany stacjonarne - odpowiednio poczatkowy i końcowy ˆV (x, t) = ˆv(x) exp (±iωt): periodyczna perturbacja, na przyk lad pole elektryczne oscylujace z czestości a ω v km = Ψ k ˆv(x) Ψ m w km : prawdopodobieństwo (na jednostke czasu) przejścia ze stanu poczatkowego do końcowego Twierdzenie w km = v km 2 2π δ (E k E m ± ω)