MOMENT PĘDU, ROTATOR SZTYWNY. c.us.edu.pl/ mm

Transkrypt

1 MOMENT PĘDU, ROTATOR SZTYWNY c.us.edu.pl/ mm

2 dygresja(materiał dodatkowy) układy współrzędnych w dwóch wymiarach: biegunowy x=rcosϕ y=rsinϕ 0 r 0 ϕ 2π r= x 2 +y 2 x ϕ=arccos x2 +y2 w trzech wymiarach: sferyczny x=rsinϑcosϕ y=rsinϑsinϕ z=rcosϑ r= z x 2 +y 2 +z 2 ϑ=arccos ϕ=arctg y x2 +y 2 +z 2 x

3 dygresja(materiał dodatkowy) zamiana zmiennych Zamiana zmiennych przy całkowaniu: f(x,y)dxdy= 2π f(x,y,z)dxdydz= 0 0 ( 0 π 0 2π 0 g(r, ϕ)rdr)dϕ g(r,ϑ,ϕ)r 2 sinϑdrdϑdϕ Zamiana zmiennych przy różniczkowaniu: Φ(x,y,z) x(r,ϑ,ϕ) y(r,ϑ,ϕ) z(r,ϑ,ϕ) Θ(r,ϑ,ϕ) r(x,y,z) ϑ(x,y,z) ϕ(x,y,z)

4 dygresja(materiał dodatkowy) zamiana zmiennych Zastąpić x, y, z przez r, ϑ, ϕ : Pochodna funkcji złożonej: Φ(x(r,ϑ,ϕ),y(r,ϑ,ϕ),z(r,ϑ,ϕ)) Θ(r(x,y,z),ϑ(x,y,z),ϕ(x,y,z)) lub równoważnie: x = r r x + ϑ ϑ x + ϕ ϕ x x = r x r + ϑ x ϑ + ϕ x ϕ Podobnie dla pochodnych: y i z

5 dygresja(materiał dodatkowy) zamiana zmiennych z korzystamyzanalogicz- Gdychcemywyrazić r ( nych zależności, np: ϑ, ϕ )poprzez x, y, ϑ = x ϑ x + y vt y + z ϑ z Zasada konstruowania drugich pochodnych jest podobna, np.: 2 x 2= r x r ( x )+ ϑ x ϑ ( x )+ ϕ x ϕ ( x )

6 dygresja(materiał dodatkowy) zamiana zmiennych r= x 2 +y 2 +z 2 ϑ=arccos z x2 +y 2 +z 2 ϕ=arctg y x r x = x x2 +y 2 +z 2=sinϑcosϕ r y = y x2 +y 2 +z 2=sinϑsinϕ r z = z x2 +y 2 +z 2=cosϑ ϑ x =cosϑcosϕ r ϑ y =cosϑsinϕ r ϑ z = sinϑ r ϕ x = sinϕ rsinϑ ϕ y = cosϕ rsinϑ ϕ z =0

7 dygresja(materiał dodatkowy) zamiana zmiennych x=rsinϑcosϕ y=rsinϑsinϕ z=rcosϑ x r =sinϑcosϕ x ϑ =rcosϑcosϕ x ϕ = rsinϑsinϕ y r =sinϑsinϕ z r =cosϑ y ϑ =rcosϑsinϕ z ϑ = rsinϑ y ϕ =rsinϑcosϕ z ϕ =0

8 moment pędu Ujęcie klasyczne: Moment pędu jest iloczynem wektorowym: wektora promienia wodzącego riwektorapędup: M=r p Moment pędu jest wektorem o składowych: M x =yp z zp y M y = (xp z zp x )=zp x xp z M z =xp y yp x M = r p sin(aob) M 2 =M 2 x+m 2 y+m 2 z

9 moment pędu Ujęcie kwantowe: Konstrukcja operatorów dla składowych momentu pędu: i dla kwadratu momentu pędu: ˆM x = i h(y z z y ) ˆM y = i h(z x x z ) ˆM z = i h(x y y x ) ˆM 2 = h 2 (x 2 2 y 2+x2 2 z 2+y2 2 z 2+y2 2 x 2+z2 2 x 2+z2 2 y 2 2xy 2 x y 2yz 2 y z 2zx 2 z x 2x x 2y y 2z z

10 moment pędu We współrzędnych sferycznych te same operatory przyjmują postać: ˆM x = i h( sinϕ ϑ ctgϑcosϕ ϕ ) ˆM y = i h(cosϕ ϑ ctgϑsinϕ ϕ ) ˆM z = i h ϕ ˆM 2 = h 2 1 [ sinϑ ϑ (sinϑ ϑ )+ 1 sin 2 ϑ 2 ϕ 2]

11 moment pędu Własności komutacyjne operatorów momentu pędu: Z reguł komutacji wynika, iż: [ˆM x,ˆm y ]=i hˆm z [ˆM z,ˆmx ]=i hˆm y [ˆM y,ˆm z ]=i hˆm x [ˆM 2,ˆM x ]=[ˆM 2,ˆM y ]=[ˆM 2,ˆM z ]=0 Równocześnie ostro mierzalne są: kwadrat momenty pędu i jedna ze składowych. Dwie dowolne składowe momentu pędu nie mogą być równocześnie dowolnie dokładnie zmierzone.

12 moment pędu Zagadnienie własne momentu pędu: (a) Równanie własne składowej zetowej: We współrzędnych sferycznych mamy: Całkując otrzymamy: ˆM z Φ=m z Φ i h ϕ Φ=m zφ lnφ=i m z h ϕ Φ=e im z h ϕ

13 moment pędu AbyfunkcjaΦbyłafunkcjąjednoznacznątzn.Φ(ϕ)=Φ(ϕ+2π) m z =M M=0,±1,±2... h Skądmożemyokreślićm z jako: m z =M h M=0,±1,±2... Wartościwłasneoperatora ˆM z : m z =M h M=0,±1,±2... Funkcjewłasneoperatora ˆM z : Φ M =e imϕ

14 moment pędu Możnapokazać,żefunkcjaΦ M jesttakżefunkcjąwłasnąoperatorakwadratu składowej zetowej: ˆM 2 z= h 2 2 ϕ 2 ˆM 2 zφ M =m 2 zφ M h 2 2 ϕ 2Φ M =M 2 h 2 Φ M

15 moment pędu (b) Równanie własne operatora kwadratu momentu pędu: ˆM 2 Y(ϑ,ϕ)=m 2 Y(ϑ,ϕ) h 2 1 [ sinϑ ϑ (sinϑ ϑ )+ 1 2 sin 2 Y(ϑ,ϕ) (1) ϑ ϕ 2]Y(ϑ,ϕ)=m2 Rozwiązanie metodą separacji zmiennych: przyjmujemy fukcję Y(ϑ, ϕ) jako: Y(ϑ,ϕ)=Θ(ϑ)Φ (ϕ) Popodstawieniuiprzekształceniu(mnożymyprzezsin 2 ϑidzielimyprzez ΘΦ )równania(1)otrzymamydwarównania: 1 Θ sinϑ ϑ (sinϑ ϑ )Θ+m2 h 2sin2 ϑ=β 2 φ 2Φ =βφ (2) Równanie(2)jestidentycznezrównaniemwłasnymop. ˆM 2 zzatem: Φ=Φ

16 moment pędu Wyrażenie na wartości własne równania(1) wynika z warunku porządności funkcji własnej: m 2 =J(J+1) h 2 J=0,1,2,..., Funkcja Θ jest równa z dokładnością do stałej normalizacyjnej tzw. stowarzyszonejfunkcjilegendre ap M J : Θ(ϑ)=cP M J (cosϑ) P M J (x)=(1 x 2 ) M d M 2 dx M P J(x) P J (x)jesttzw.wielomianemlegendre astopniaj: P J (x)= 1 2 J J! d J dx J(x2 1) J FunkcjaLegendre astajesięrówna0dla M >Jstądpojawiasięograniczenie naliczbym: M J

17 moment pędu Przykłady wielomianów Legendre a(druga równość wynika z x = cos ϑ): P o =1 P 1 =x=cosϑ P 2 = 1 2 (3x2 1)= 1 2 (3cos2 ϑ 1) oraz stowarzyszonych wielomianów Legendre a: P o 1 =P 1 P 1 1 =(1 x 2 ) 1 2=sinϑ P 0 2 =P 2 P 1 2 =3(1 x 2 ) 1 2x=3sinϑcosϑ P 2 2 =3(1 x 2 )=3sin 2 ϑ

18 moment pędu Funkcja Y(ϑ, ϕ) = Θ(ϑ)Φ(ϕ) jest równa: Przykłady funkcji Y(ϑ, ϕ) Są to tzw. funkcje kuliste. Y M J (ϑ,ϕ)=n J, M P M J (cosϑ)e imϕ Y o o =N o Y o 1 =N1cosϑ o Y1 1 =N1sinϑe 1 iϕ Y1 1 =N1sinϑe 1 iϕ

19 moment pędu podsumowanie Dwa zagadnienia własne: składowej zetowej i kwadratu momentu pędu. Wartości własne: m z =M h m 2 =J(J+1) h 2 Funkcje własne: Y M J (ϑ,ϕ)=n J, M P M J (cosϑ)e imϕ Liczby kwantowe: rotacyjna liczba kwantowa J: J=0,1,2,3,...; dla elektronu liczba J nosi nazwę orbitalnej(pobocznej) liczby kwantowej(oznaczanej jako l) magnetyczna rotacyjna(orbitalna) liczba kwantowa M: M=0,±1,±2,...,±J

20 rotator sztywny Rotator sztywny: układ dwóch cząstek o stałej odległości R poruszający się swobodnie w przestrzeni. Rozdzielenie ruchu translacyjnego i rotacyjnego. Energia całkowita rotatora sztywnego: E=T= M2 V=0 2I gdzie M jest momentem pędu a I momentem bezwładności: I= m Am B m A +m B R 2 Hamiltonianmożemywięcwyrazićprzezoperatorkwadratumomentupędu ˆM 2 jako: M Ĥ= ˆ2 2I

21 rotator sztywny Równanie Schrödingera: h2 2I [ 1 sinϑ Wartości własne: ĤΨ=EΨ ϑ (sinϑ ϑ )+ 1 2 sin 2 ϑ ϕ 2]YM J (ϑ,ϕ)=e J YJ M (ϑ,ϕ) E J = h2 2I J(J+1)=BJ(J+1) B jest tzw. stałą rotacyjną: B= h2 2I Funkcje własne operatora energii dla rotatora = funkcje własne operatora kwadratu momentu pędu.

22 rotator sztywny Degeneracja(zwyrodnienie) k-krotna wartości własnej: tej samej wartości własnej odpowiada k funkcji własnych. Każdy poziom energii rotacji jest(2j+1)-krotnie zdegenerowany. Widmo rotacyjne: w przejściach czysto rotacyjnych liczba kwantowa J może zmieniaćsięojedność,np.zpoziomujna(j+1),lubz(j+1)naj. hν= E=B(J+1)(J+2) BJ(J+1)=2B(J+1) Populacja poziomów rotacyjnych- rozkład Maxwella-Boltzmanna: N J =(2J+1)e BJ(J+1) kt N o Rozkład poziomów rotacyjnych dla cząsteczki HCl: B= ev