MONIKA MUSIAŁ POSTULATY
|
|
- Stanisław Kaczmarek
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIAŁ POSTULATY Ćwiczenia
2 Literatura Lucjan Piela, Idee chemii kwantowej, PWN, Warszawa Włodzimierz Kołos, Chemia kwantowa, PWN, Warszawa Alojzy Gołębiewski, Elementy mechaniki i chemii kwantowej, PWN, Warszawa 1982.
3 Dygresja układy współrzędnych w dwóch wymiarach: biegunowy x=rcosϕ y=rsinϕ 0 r 0 ϕ 2π r= x x 2 +y 2 ϕ=arccos x2 +y2 w trzech wymiarach: sferyczny x=rsinϑcosϕ y=rsinϑsinϕ z=rcosϑ r= z x 2 +y 2 +z 2 ϑ=arccos ϕ=arctg y x2 +y 2 +z 2 x
4 Dygresja zamiana zmiennych Zamiana zmiennych przy całkowaniu: f(x,y)dxdy= 2π 0 ( 0 g(r, ϕ)rdr)dϕ f(x,y,z)dxdydz= 0 π 0 2π 0 g(r,ϑ,ϕ)r 2 sinϑdrdϑdϕ
5 Dygresja całkiipochodne dx=x sinxdx= cosx cosxdx=sinx (x a ) =ax a 1 (sinx) =cosx (cosx) = sinx (e x ) =e x ( f(x)g(x) ) =f (x)g(x)+f(x)g (x) ( f(x) ) f (x)g(x) f(x)g (x) = g(x) g(x) 2
6 Dygresja użyteczne całki e ax dx= 1 a x n e ax dx= n! a n+1 + e ax2 dx= π a + x 2 e ax2dx= 1 2 π a 3
7 Dygresja wartości funkcji trygonometrycznych α sinα cosα tgα ctgα
8 Aksjomatyczna konstrukcja mechaniki kwantowej: pięć aksjomatów zwanych postulatami
9 Postulaty Postulat pierwszy: Stan układu kwantowomechanicznego opisuje funkcjafalowaψ(r 1,r 2,...,r N,t)zwanatakżefunkcj astanutaka,że kwadratjejmodułu: Ψ 2 =Ψ Ψpomnożonyprzezelementobjętości dτ określa prawdopodobieństwo, że w chwili t cząstka znajduje się w elemencie objętości dτ. gdzie: dw(r 1,r 2,...;t)= Ψ(r 1,r 2,...;t) 2 dτ=ρ(r 1,r 2,...;t)dτ ρoznaczagęstośćprawdopodobieństwaρ= dw dτ r i -współrzędne(x,y,z)i-tejcząstki dτ=dv 1 dv 2 dv N
10 Postulaty Postulat drugi: Każdej wielkości mechanicznej zapisanej jako funkcjafwspółrzędnychipędów,f(r 1,r 2,...,p 1,p 2,...)przypisujemyoperatorkwantowomechanicznyˆFzgodnieznastępującymiregułami(Jordan): p xi i h x i, p yi i h y i, p zi i h z i x i x i, y i y i, z i z i Postulat trzeci: równanie Schrödingera zawierające czas: ĤΨ=i h Ψ t określa zmianę funkcji falowej Ψ w czasie
11 Postulaty Postulat czwarty: Równanie stanu charakterystycznego wielkości F(zagadnieniewłasneoperatoraˆF):jeżelispełnionejestrównanie f i wartośćwłasna Φ i funkcjawłasna. ˆFΦ i =f i Φ i Wynikiem pomiaru wielkości F może być tylko jedna z wartości własnychoperatora ˆF.JeżeliΦ i jestfunkcjąstanuukładutozmiennaf mawtymstaniedokładniewartośćf i. Postulatpiąty:owartościśredniej.Wartośćspodziewana fwielkościmechanicznejf,którejodpowiadaoperatorˆfdanajestwyrażeniem: f= Ψ ˆFΨdτ Zakładamy, że funkcja falowa jest unormowana.
12 Postulat I Funkcja porządna: skończona, ciągła, jednoznaczna. jednoznaczność, np.: ϕ zmienna w układzie biegunowym f(ϕ)=f(ϕ+2π) f(ϕ)=sinaϕ jednoznacznatylkodlaa=0,±1,±2,... Funkcje klasy Q- całkowalne z kwadratem modułu.
13 Funkcja unormowana gdy: Normalizacja funkcji falowej Ψ(r1,r 2,...,t) 2 dτ=1 Jeżeli: Ψ(r1,r 2,...,t) 2 dτ=n to Ψ= 1 N Ψ
14 Unormowaćfunkcjȩfalow aψ(ϕ)=ne imϕ określon awprzedziale [0,2π] przy czym m jest liczb a całkowit a: N 22π czyli N= 1 2π 0 e imϕ e imϕ dϕ=n 22π Postaćfunkcjiunormowanej:Ψ(ϕ)= 1 2π e imϕ 0 dϕ=n 2 2π=1 Unormowaćfunkcjȩfalow aψ(r,ϑ,ϕ)=ne ar określon awcałej przestrzeni(wskazówka:skorzystajzwyniku 0 rn e ar dr= n! a n+1 ): N 2 ( czyli N=( a3 π )1 2 0 e 2ar r 2 dr π 0 sinϑdϑ 2π 0 dϕ)=n 2π a 3=1 Postaćfunkcjiunormowanej:Ψ(r,ϑ,ϕ)=( a3 π )1 2e ar
15 Postulat II funkcja: x y operator: f(x) g(x) Przykłady operatorów: -energiakinetycznaelektronu(t= p2 2m (p2 x+p 2 y+p 2 z)): ˆT= ˆp2 = h2 2m 2m ( 2 x y z 2 )= h2 2m 2m = 1 -energiaoddziaływaniaelektronuzj adrem(v= Ze2 Ze2 r ):ˆV= r -energiacałkowita(hamiltonian):ĥ=ˆt+ˆv -składowaxmomentupȩdu(m x =yp z zp y ):(ˆM x = i h(y z z y ) -etc.
16 Operatory liniowe: ˆF(Ψ 1 +Ψ 2 )= ˆFΨ 1 +ˆFΨ 2 ˆF(cΨ)=cˆFΨ ˆF(c 1 Ψ 1 +c 2 Ψ 2 )=c 1ˆFΨ1 +c 2ˆFΨ2 gdziec 1,c 2 s astałymi(równieżzespolonymi) Np. operatory różniczkowania, całkowania s a operatorami liniowymi a np. operatory potȩgowania, sprzȩżenia nie.
17 Operatory hermitowskie dla funkcji klasy Q: Ψ 1ˆFΨ2 dτ= Ψ 2 (ˆFΨ 1 ) dτ Sprawdzić czy operator ˆF = 2i jest operatorem hermitowskim Ψ 1 2iΨ 2 dτ= Ψ 2 (2iΨ 1 ) dτ OperatorˆF=2iniejestoperatoremhermitowskim. SprawdzićczyoperatorˆF=8jestoperatoremhermitowskim Ψ 1 8Ψ 2 dτ= Ψ 2 (8Ψ 1 ) dτ Operator ˆF = 8 jest operatorem hermitowskim.
18 SprawdzićczyoperatorˆF= d dx jestoperatoremhermitowskim wskazówka: skorzystać z całkowania przez czȩści u(x)v (x)dx=u(x)v(x) v(x)u (x)dx + Ψ 1 d dx Ψ 2dx=Ψ 1Ψ 2 + }{{} 0 + = + Ψ 2 d dx Ψ 1dx= Ψ 2 ( d dx Ψ 1) dx OperatorˆF= d dx niejestoperatoremhermitowskim.
19 SprawdzićczyoperatorˆF=i d dx jestoperatoremhermitowskim wskazówka: skorzystać z całkowania przez czȩści u(x)v (x)dx=u(x)v(x) v(x)u (x)dx + }{{} Ψ 1i d dx Ψ 2dx=iΨ 1Ψ i + = + Ψ 2 d dx Ψ 1dx= Ψ 2 (i d dx Ψ 1) dx OperatorˆF=i d dx jestoperatoremhermitowskim.
20 Działania na operatorach: suma:(ˆf+ĝ)ψ=ˆfψ+ĝψ iloczyn:(ˆfĝ)ψ=ˆf(ĝψ) potęga:ˆf 2 Ψ=ˆF(ˆFΨ) Komutator KomutatoremoperatorówˆFiĜnazywamyoperator: ˆK=[ˆF,Ĝ]df =ˆFĜ ĜˆF Gdy komutator sprowadza siȩ do mnożenia przez 0, wówczas mówimy, że operatory ˆF i Ĝ s a przemienne, czyli komutuj a.
21 W celu sprawdzenia czemu równy jest komutator, działamy nim na jak aś dowoln a funkcjȩ. Np.ˆF= d dx Ĝ=x: [ˆF,Ĝ]f(x)=[ d dx,x]f(x)= d dx (xf(x)) x(d dx f(x))= czyli [ d dx,x]=1 f(x)+x d dx f(x) xd dx f(x)=f(x)
22 Własności komutatorów: [Â,ˆB]= [ˆB,Â] [Â, n ]=0 n=1,2,3,... [kâ,ˆb]=[â,kˆb]=k[â,ˆb] k stała [Â,ˆB+Ĉ]=[Â,ˆB]+[Â,Ĉ] [Â+ˆB,Ĉ]=[Â,Ĉ]+[ˆB,Ĉ] [ˆB,Ĉ]=Â[ˆB,Ĉ]+[Â,Ĉ]ˆB [Â,ˆBĈ]=[Â,ˆB]Ĉ+ˆB[Â,Ĉ]
23 Moment pȩdu Ujęcie klasyczne: Moment pędu jest iloczynem wektorowym: wektora promienia wodzącego riwektorapędup: M=r p Moment pędu jest wektorem o składowych: M x =yp z zp y M y =zp x xp z M z =xp y yp x M 2 =M 2 x+m 2 y+m 2 z
24 Moment pȩdu Ujęcie kwantowe: Konstrukcja operatorów dla składowych momentu pędu: ˆM x = i h(y z z y ) ˆM y = i h(z x x z ) ˆM z = i h(x y y x )
25 Komutatory Własności komutacyjne operatorów momentu pędu: [ˆM x,ˆmy ]=i hˆm z [ˆM y,ˆmx ]= i hˆm z [ˆM z,ˆm x ]=i hˆm y [ˆM x,ˆm z ]= i hˆm y [ˆM y,ˆmz ]=i hˆm x [ˆM z,ˆm y ]= i hˆm x Z reguł komutacji wynika, iż: [ˆM 2,ˆM x ]=[ˆM 2,ˆM y ]=[ˆM 2,ˆM z ]=0 Równocześnie ostro mierzalne są: kwadrat momentu pędu i jedna ze składowych. Dwie dowolne składowe momentu pędu nie mogą być równocześnie dowolnie dokładnie zmierzone.
26 Komutatory Obliczkomutator[ˆM y,ˆmx ] (skorzystaj z własności komutatorów oraz pochodnej iloczynu funkcji (uv) =u v+uv ) [ˆM y,ˆm x ]=[ i h(z x x z ), i h(y z z y )]= h 2( (z x x z )(y z z y ) (y z z y )(z x x z )) = h 2 (zy 2 x z z2 2 x y xy 2 z 2+x y y x yz 2 z x +yx z z 2+z2 2 y x h 2 (x y y x )= i hˆm z +xz 2 z y zx 2 y z )=
27 Komutatory Obliczkomutator[ˆM 2,ˆMx ] (skorzystaj z własności komutatorów oraz własności komutacyjnych operatorów momentu pędu) [ˆM 2,ˆM x ]=[ˆM 2 x+ ˆM 2 y+ ˆM 2 z,ˆmx ]= [ˆM 2 x,ˆmx ]+[ˆM 2 y,ˆmx ]+[ˆM 2 z,ˆmx ]= [ˆM yˆmy,ˆmx ]+[ˆM zˆmz,ˆmx ]= ˆM y [ˆM y,ˆm x ]+[ˆM y,ˆm x ]ˆM y + ˆM z [ˆM z,ˆm x ]+[ˆM z,ˆm x ]ˆM z = ˆM y ( i hˆm z ) i hˆm zˆmy + ˆM z i hˆm y +i hˆm yˆmz = i hˆm yˆm z i hˆm zˆm y +i hˆm zˆm y +i hˆm yˆm z =0
28 Postulat III Stany stacjonarne: Hamiltonian nie zależy od czasu lub(równoważnie) gęstość prawdopodobieństwa nie zależy od czasu Ψ(r 1,r 2,...,t)=Ψ(r 1,r 2,...,r N )e iē h t E jest energią całkowitą układu. Po podstawieniu do równania Schrödingera: ĤΨ=EΨ Jest to równanie Schrödingera nie zawierające czasu.
29 Postulat IV Założenie: ˆF jest operatorem hermitowskim. Teza:wartościwłasneoperatora ˆFsąrzeczywiste. ˆFΦ i =f i Φ i ˆF Φ i =fiφ i MnożącprzezΦ iiφ i : Φ i FΦ i dτ =f i Φ i Φ i dτ Φi F Φ idτ =f i Φ i Φ i dτ Lewestronysąrównewięcf i =f i
30 Założenie: ˆFjestoperatoremhermitowskim wartościwłasnef i if jsąróżne Teza: funkcje własne są ortogonalne: MnożącprzezΦ jiφ i : ˆFΦ i =f i Φ i ˆF Φ j =f jφ j Φ j FΦ i dτ =f i Φ j Φ i dτ Φi F Φ jdτ =f j Φi Φ jdτ Lewe strony są równe więc (f i f j) Φ i Φ jdτ=0 i Φi Φ jdτ=0
31 Jednoczesna mierzalność wielkości fizycznych Kiedy dwie wielkości fizyczne(obserwable), którym odpowiadają operatory ˆF i Ĝ sa równocześnie dokładnie mierzalne? Z postulatu IV wynika, że ostro można określić wartość wielkości F,gdyfunkcjastanuΨjestfunkcjąwłasnąoperatoraˆF.Zatemjeślidwie wielkościfigmająbyćrównocześnieostromierzalnetofunkcjaψwinna byćfunkcjąwłasnąobuoperatorówˆfiĝ.
32 Zasada superpozycji stanów:zbiórfunkcjiwłasnych{φ i }dowolnego operatora kwantowomechanicznego F tworzy tzw. zbiór zupełny. Każdą funkcję porządną Ψ możemy rozwinąć: Ψ= i c iφ i akwadratwspółczynnika c i 2 =c ic i jestprawdopodobieństwem,żestan ΨmożemiećwłasnościopisaneprzezΦ i
33 Postulat V Wynika pośrednio z zasady superpozycji. Jeżeli prawdopodobieństwo udziałufunkcjiφ i wfunkcjiopisującejstanukładu,czyliprawdopodobieństwowystąpieniawielkościf i wynosi c i 2 tośredniawartośćwielkości F jest zgodnie z zasadami statystyki jako: f= i c i 2 f i W oparciu o postulat V obliczymy: f= Ψ ˆFΨdτ= i,j c ic j Φ iˆfφ j dτ= i c ic i f i
34 Oblicz p x jeślifunkcjajestpostaciψ=e ikx p x = e ikx ( i h d dx )eikx dx e ikx e ikx dx = i h e ikxd dx dx eikx dx = hk Oblicz p 2 xjeślifunkcjajestpostaciψ=e ikx p 2 x= e ikx ( h 2d2 dx 2 )e ikx dx e ikx e ikx dx = h2 e ikxd2 dx 2 e ikx dx dx = h 2 k 2 Oblicz wartość spodziewan a energii kinetycznej energii potencjalnej energii całkowitej w przypadku oscylatora harmonicznego w stanie podstawowym, gdzie Ψ(x)=( Π a ) 1 4 e 1 2 ax2 a= mω h
35 Dygresja notacja Diraca Notacja Diraca: Φ iˆfφ j dτ df = Φ i F Φ j Φ i Φ j dτ= Φ iˆ1φ j dτ df = Φ i 1 Φ j = Φ i Φ j
MOMENT PĘDU, ROTATOR SZTYWNY. c.us.edu.pl/ mm
MOMENT PĘDU, ROTATOR SZTYWNY http://zcht.mf c.us.edu.pl/ mm dygresja(materiał dodatkowy) układy współrzędnych w dwóch wymiarach: biegunowy x=rcosϕ y=rsinϕ 0 r 0 ϕ 2π r= x 2 +y 2 x ϕ=arccos x2 +y2 w trzech
Bardziej szczegółowoNormalizacja funkcji falowej
Normalizacja funkcji falowej Postulaty mechaniki kwantowej Zadanie. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncosαx) dla x [, a] Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:.
Bardziej szczegółowo1 Postulaty mechaniki kwantowej
1 1.1 Postulat Pierwszy Stan ukłau kwantowomechanicznego opisuje funkcja falowa Ψ(r 1, r 2,..., r N, t) zwana także funkcją stanu taka, że kwarat jej moułu: Ψ 2 = Ψ Ψ pomnożony przez element objętości
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoPostulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Bardziej szczegółowoZad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
Bardziej szczegółowoChemia teoretyczna. Postulaty mechaniki kwantowej. Katarzyna Kowalska-Szojda
Chemia teoretyczna Postulaty mechaniki kwantowej Katarzyna Kowalska-Szoja Spis treści 1 Postulaty mechaniki kwantowej 2 1.1 Postulat pierwszy.......................... 2 1.2 Postulat rugi.............................
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia
1 Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia Piotr Szańkowski Ćwiczenia nr 3 : Podstawowy aparatu matematycznego mechaniki kwantowej I OPERATORY Operator to odwzorowanie  : V V, które działa na stan,
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowow jednowymiarowym pudle potencja lu
Do wyk ladu II czastka w pudle potencja lu oscylator harmoniczny rotator sztywny Ścis le rozwiazania równania Schrödingera: atom wodoru i jon wodoropodobny) Czastka w jednowymiarowym pudle potencja lu
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
Wyk lad 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1 wymiar Postulat Stan czastki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(x, t) zależna od po lożenia czastki x oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoChemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 21/211: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny - interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest licza
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoV. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ
V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych
Bardziej szczegółowoMechanika klasyczna zasada zachowania energii. W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, Cząstka przechodzi z obszaru I do II.
Próg potencjału Mecanika klasyczna zasada zacowania energii mvi mv E + V W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, E > V w obszarze cząstka biegnie z prędkością v Cząstka przecodzi z obszaru I do.
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoREZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA
REZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA Opis układu cząsteczek w mechanice kwantowej: 1. Funkcja falowa, 2. Wektora stanu ψ. TRANSFORMACJE UKŁADU CZĄSTEK: 1.
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoWstęp do chemii kwantowej - laboratorium. Zadania
Wstęp do chemii kwantowej - laboratorium. Zadania 2 października 2012 1 Wstęp Używanie maximy jako kalkulatora Zadanie 1 1. Oblicz 2+2*2 2. Oblicz 18769 3. Oblicz 2 10 4. Oblicz 7/8 i 7.0/8.0 5. Oblicz
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoReprezentacje położeniowa i pędowa
3.10.2004 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 103 Rozdział 9 Reprezentacje położeniowa i pędowa 9.1 Reprezentacja położeniowa Reprezentacja położeniowa jest szczególnie uprzywilejowana i najczęściej
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowo1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Pytania egzaminacyjne: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny- interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest liczba wybijanych elektronów
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, Funkcja falowa
Bardziej szczegółowoWykład 9 Podstawy teorii kwantów fale materii, dualizm falowo-korpuskularny, funkcja falowa, równanie Schrödingera, stacjonarne równanie
Wykład 9 Podstawy teorii kwantów fale materii, dualizm falowo-korpuskularny, funkcja falowa, równanie Schrödingera, stacjonarne równanie Schrödingera, zasada nieoznaczoności Heisenberga, ruch cząstki swobodnej,
Bardziej szczegółowoWykład 13 Mechanika Kwantowa
Wykład 13 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński mrow@if.pw.edu.pl Wydział Fizyki Politechnika Warszawska 25 maja 2016 Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 13 25 maja 2016 1 / 21 Wprowadzenie Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja
Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoCiało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.
1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowo(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
Bardziej szczegółowoTeorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowo15 Potencjały sferycznie symetryczne
z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoChemia kwantowa - proste modele
Uniwersytet Warszawski Wydział Chemii Małgorzata Jeziorska, Aleksandra Tucholska Michał Hapka, Tomasz Grining Chemia kwantowa - proste modele Skrypt dla studentów zainteresowanych raczej innymi działami
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji
21 Symetrie 21.1 Grupy symetrii Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak zmienia się stan układu kwantowego pod wpływem transformacji układu współrzędnych. Najprostszą taką transformacją jest np. przesunięcie
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej
Bardziej szczegółowoUniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy poziom Sylabus modułu: Chemia kwantowa 021 Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne koordynator modułu
Bardziej szczegółowo(U.11) Obroty i moment pędu
3.10.2004 32. U.11) Obroty i moment pędu 96 Rozdział 32 U.11) Obroty i moment pędu 32.1 Wprowadzenie Obroty w przestrzeni R 3 są scharakteryzowane przez podanie osi obrotu, którą określa wektor jednostkowy
Bardziej szczegółowoRównanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.
Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)
Bardziej szczegółowoZestaw IV Wstęp do matematyki wyższej (cz. 1)
Funkcje trygonometryczne. Definicja Zestaw IV Wstęp do matematyki wyższej (cz. ) Łukasz Kuśmierz, Jan Major, Adam Wyrzykowski e-mail: kolkof@uj.edu.pl http://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/ warsztaty-z-fizykiśzkoly-ponadgimnazjalne
Bardziej szczegółowoLogarytmiczne równanie Schrödingera w obracajacej się pułapce harmonicznej
Logarytmiczne równanie Schrödingera w obracajacej się pułapce harmonicznej Tomasz Sowiński Seminarium CFT p.1/17 Nieliniowa mechanika kwantowa Dwa konteksty nielinowej mechaniki kwantowej: czy istnieja
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a
grudzień 2013 grudzień 2013 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoFunkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoStara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
Bardziej szczegółowoUklady modelowe III - rotator, atom wodoru
Wyk lad 5 Uklady modelowe III - rotator, atom wodoru Model Separacja ruchu środka masy R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 Ĥ = Ĥ tr (R) + Ĥ rot (r) Ĥ tr 2 (R) = 2(m 1 + m 2 ) R [ Ψ E tr (R; t) = exp i (k R
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoWykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną. 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja
Wykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja probabilistyczna 2. Wielkości fizyczne operatory hermitowskie (obserwable)
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowof x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5)
1 Pochodne cząstkowo Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem zmiennej x oznaczamy i definiujemy jako granicę f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h natomiast pochodną cząstkową względem
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie
Bardziej szczegółowo3 Ewolucja układu w czasie, trajektorie kwantowe
3 Ewolucja układu w czasie, trajektorie kwantowe Pytanie: jak ewoluuje funkcja falowa stanu kwantowego ψ? W tym rozdzoale zajmiemy się ruchem cząstki w jednym wymiarze. 3.1 Trajektorie klasyczne Klasyczne
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa - zadania 1 (2007/2008)
Wojciech Broniowski Instytut Fizyki, Akademia Świetokrzyska Mechanika kwantowa - zadania (007/008) Elementy algebry (powtórka). Ortoganalizacja Gramma-Schmidta. Rozważ wektory w przestrzeni R 3 v = 0,
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera Fale materii de Broglie a (rok 193) De Broglie zaproponował, że każdy
Bardziej szczegółowoAtom wodoru i jony wodoropodobne
Atom wodoru i jony wodoropodobne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Spis treści Spis treści 1. Model Bohra atomu wodoru 2 1.1. Porządek
Bardziej szczegółowoFizyka 3.3 WYKŁAD II
Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło
Bardziej szczegółowoCzęść całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Chemii I Zadania
Matematyczne Metody Chemii I Zadania Mariusz Radoń, Marcin Makowski, Grzegorz Mazur Zestaw Zadanie. Pokazać, że wyznacznik dowolnej macierzy unitarnej jest liczbą o module. Zadanie. Pokazać, że elementy
Bardziej szczegółowoże w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41?
TEST. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f i f są funkcjami własnymi operatora αˆ, przy czym: α ˆ f =. 05 f i α ˆ f =. 4f. Stan pewnej cząstki opisuje 3 znormalizowana funkcja falowa Ψ = f + f. Jakie
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga
. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowo