Podstawy mechaniki kwantowej. Jak opisać świat w małej skali?

Transkrypt

1 Podstawy mechaniki kwantowej Jak opisać świat w małej skali? 1

2 Promieniowanie elektromagnetyczne gamma X ultrafiolet podczerwień mikrofale radiowe widzialne Wavelength in meters x x Gamma rays X rays Ultraviolet Infrared Microwaves Radio waves Visible FM Shortwave AM 4 x x x x 10-7 Film_fala elektromagnetyczma.mov

3 Promieniowanie elektromagnetyczne 1 second λ1 duża długość fali mała częstość ν1 4 cycles/second 4 hertz λ ν 8 cycles/second 8 hertz λ3 mała długość fali duża częstość ν3 16 cycles/second 16 hertz 3

4 Promieniowanie elektromagnetyczne λ 1 1 second ν 1 4 cycles/second 4 hertz λ c λ T λ ν [ m] s ν 8 cycles/second 8 hertz λ 3 ν 3 16 cycles/second 16 hertz λ długość fali, m ν częstość, 1/s Τ okres, s c prędkość światła, m/s ν 1 T 1 s [ Hz] 4

5 Promieniowanie elektromagnetyczne Przykład 1 Wyznaczenie częstości światła z długości fali Jaka jest częstość promieniowania podczerwonego stosowanego w dalmierzu (autofocus) aparatu fotograficznego, jeżeli długość fali tego promieniowania wynosi 1.00 µm? pamiętając, że λ ν c i przeliczając długość fali na metry, tak aby c i λ były wyrażone w tych samych jednostkach, długość fali wynosi: c ν λ λ 1.00 µm µm m ν 8 m/s /s m Hz 5

6 Fakty eksperymentalne 1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego. Efekt fotoelektryczny 3. Efekt Comptona 4. Widma atomowe 5. Okresowość 6

7 Fakty eksperymentalne 1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego Max Planck 1900 kwanty energii E hν h J s 7

8 Fakty eksperymentalne. Efekt fotoelektryczny Albert Einstein 1905 bilans energii hν e E kwantu hν 1 E mev kinetyczna el. + Φ + Φ praca wyjscia el. m e masa elektronu v prędkość ν częstość Φ praca wyjścia 8

9 Fakty eksperymentalne Przykład Wyznaczenie energii fotonów Jaka jest energia (w kilodżulach na mol) fotonów światła żółtego o częstości Hz? Każdy foton ma energię, która odpowiada częstości światła, zgodnie z równaniem Ehν. Z równania tego należy obliczyć tą energię, a następnie pomnożyć ją przez stałą Avogadra, by wyznaczyć energię na mol fotonów (w kilodżulach na mol 1kJ 10 3 J, 1Hz 1/s). E hν ( J s) ( /s) J ( J) ( /mol) (1 kj/10 3 J).1 10 kj/mol 9

10 Fakty eksperymentalne 3. Efekt Comptona p i zasada zachowania pędu r p i p r r p s i r p s + cosθ r p e p s θ p i p e h λ i s równanie de Broglie a p p h λ h h λi + cosθ λ λ λ s λ i e λ ( 1 cosθ ) 10

11 Fakty eksperymentalne Przykład 3 Obliczenie długości fali obiektu Przypuśćmy, że elektron w atomie porusza się z prędkością m/s. Jaka jest długość fali de Broglie a elektronu? Równanie λ h/mυ podaje zależność między długością fali a masą i prędkością obiektu. Aby z niego skorzystać musimy znać masę elektronu i wartość h (jednostki: kilogram, metr, sekunda). m e g kg Fala de Broglie λ e m e h υ J s λ ( kg) ( m/s) -10 m e 11 1J 1kg m /s ; 330 pm

12 Fakty eksperymentalne Przykład 3 Obliczenie masy fotonu Jaką masę mają fotony pochodzące ze światła o długości fali 500 nm? Równanie mυ h/λ podaje zależność między masą i prędkością obiektu a długością fali. m m f f h λ c Js m 5 10 m 3 10 s 37 kg m e kg 1

13 Fakty eksperymentalne 07_97 4. Widma atomowe (a) + VI BGYOR Continuous spectrum - Electric arc (white light source) Slit Prism Detector (photographic plate) (b) + Arc Detector (photographic plate) R o n λ n > High voltage - Hydrogen gas Slit Prism 410 nm434 nm 486 nm 656 nm 13

14 Fakty eksperymentalne 5. Okresowość 0_9 Alkaline 1 earth metals 1A Halogens Noble gases 18 8A 1 H A 3A 4A 5A 6A 7A He 3 Li 4 Be 5 B 6 C 7 N 8 O 9 F 10 Ne 11 Na 1 Mg Transition metals 13 Al 14 Si 15 P 16 S 17 Cl 18 Ar Alkali metals 19 K 37 Rb 0 Ca 38 Sr 1 Sc 39 Y Ti 40 Zr 3 V 41 Nb 4 Cr 4 Mo 5 Mn 43 Tc 6 Fe 44 Ru 7 Co 45 Rh 8 Ni 46 Pd 9 Cu 47 Ag 30 Zn 48 Cd 31 Ga 49 In 3 Ge 50 Sn 33 As 51 Sb 34 Se 5 Te 35 Br 53 I 36 Kr 54 Xe 55 Cs 56 Ba 57 La* 7 Hf 73 Ta 74 W 75 Re 76 Os 77 Ir 78 Pt 79 Au 80 Hg 81 Tl 8 Pb 83 Bi 84 Po 85 At 86 Rn 87 Fr 88 Ra 89 Ac 104 Unq 105 Unp 106 Unh 107 Uns 108 Uno Une Uun Uuu *Lanthanides 58 Ce 59 Pr 60 Nd 61 Pm 6 Sm 63 Eu 64 Gd 65 Tb 66 Dy 67 Ho 68 Er 69 Tm 70 Yb 71 Lu Actinides 90 Th 91 Pa 9 U 93 Np 94 Pu 95 Am 96 Cm 97 Bk 98 Cf 99 Es 100 Fm 101 Md 10 No 103 Lr 14

15 Osobliwości świata w małej skali 1. Kwantowanie energii. Dualizm korpuskularno-falowy 3. Nieoznaczoność położenia i pędu (Heisenberga) 15

16 Dualizm korpuskularno-falowy Które efekty dominują i dlaczego? własności korpuskularne światło efekt Comptona efekt fotoelektryczny elektrony promieniowanie katodowe promieniowanie beta falowe dyfrakcja interferencja Fala de Broglie a dyfrakcja interferencja Przykład: proces fotograficzny λ e m e h υ e 16

17 Dyfrakcja i interferencja elektronów 17

18 Dualizm korpuskularno-falowy Elektrony cechy fali i cząstki Zgodnie z relacją de Broglie a cząstka o określonej prędkości jest falą, której długość określa równanie: λ e m e h υ Gdzie zatem znajduje się elektron? Fala rozciąga się w przestrzeni, jest wszędzie. Jednak elektrony są jednocześnie falą i materią e Zasada nieoznaczoności Heisenberga 18

19 Dualizm korpuskularno-falowy Światło energia masa pęd cechy fali i cząstki E f hν hν m f c hν h p f c λ h - stała Plancka J. s ν częstość, s -1 λ - długość fali, m 19 c prędkość światła m/s

20 Zasada nieoznaczoności Heisenberga jeżeli znamy prędkość cząstki, to nie możemy określić jej położenia gdy znamy położenie cząstki, wówczas nie wiemy nic o jej prędkości tzn. znając położenie cząsteczki, nie możemy opisać jej jako fali o określonej długości x p h Czy są sytuacje, że zasada nieoznaczoności nie działa? nie, w opisie makroskopowym świata falowe właściwości materii nie odgrywają praktycznie roli i można je zaniedbać 0

21 Kwantowy opis atomu 1. Kwantowanie energii interpretacja efektu fotoelektrycznego i rozkładu widma ciała doskonale czarnego E hν. Dualizm korpuskularno-falowy każda poruszająca się cząstka (foton, elektron) emituje falę o długości: λ 3. Zasada nieoznaczoności nie można dokładnie ustalić położenia i pędu cząstki h p x p h 1

22 Kwantowy opis atomu 4. Równanie Schrödingera funkcję Ψ znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe: H ˆψ Eψ 5. Gęstość prawdopodobieństwa można natomiast ustalić prawdopodobieństwo P przebywania cząstki w określonej objętości dv. Prawdopodobieństwo w danej objętości definiujemy jako gęstość prawdopodobieństwa Ψ : ψ P dv gdzie Ψ oznacza funkcję falową.

23 Kwantowy opis atomu Definicje Co to jest funkcja falowa? z P prawdopodobieństwo Ψ funkcja falowa ρ gęstość prawdopodobieństwa ψ ρ x y ψ 1 ρ P dv ρ( x, y, z, t) ρ( x, y, z) 3

24 Definicje Co to jest operator w matematyce? dowolna operacja matematyczna, jak na przykład: + Kwantowy opis atomu Gˆ f d dx g f sin Co to jest zagadnienie własne? ^ jeżeli w wyniku działania jakiegoś operatora G na funkcję f otrzymamy tą samą funkcję przemnożoną przez liczbę g: ^ wówczas liczbę g nazywamy wartością własną operatora G 4

25 Kwantowy opis atomu Równanie Schrödingera zasada zachowania energii Energia w atomie - bilans operator energii kinetycznej h d d d + + m dx dy dz Hˆ Tˆ + Vˆ operator energii potencjalnej Z e 4πε r 0 energia kinetyczna elektronów i jąder energia przyciągania ładunków (Coulomba) jądro-elektron, elektron-elektron, jądro-jądro m masa cząstki h stała Plancka Z ładunek jądra E ładunek elektronu ε 0 stała dielektryczna próżni r promień 5

26 Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera jeżeli cząstka porusza się w jednym wymiarze x to operator Hamiltona ma postać w stanie nieważkości: Hˆ h m d dx a w trzech wymiarach x, y, z: ˆ h d d d H + + m dx dy dz m masa cząstki h stała Plancka 6

27 Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się się funkcje falowe i i odpowiadające im im wartości energii E. E. O poprawności rozwiązania świadczy jego jego zgodność z wartościami E wyznaczonymi doświadczalnie. 7

28 Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) x0 xl x równanie Schrödingera ma postać: h m d dx ψ ( x) Eψ ( x) 8

29 Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) h m d Ψ dx E Ψ( x) rozwiązanie równania ma postać ogólną: Ψ( x) Asin kx + B cos kx gdzie k (me) h 1 i h h π E energia cząstki A, B stałe całkowania 9

30 Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) Uwzględniając warunki brzegowe cząstki w pudle dla: x0 to Ψ0 i xl to Ψ0 bo cząstka nie przebywa na ściankach pudła. Podstawiając x0 do równania ogólnego otrzymamy: Ψ(x0)Asin (k 0)+Bcos(k 0)0 sinkx0 i coskx1 zauważmy, że: wówczas B0 Podstawiając xl do równania ogólnego otrzymamy: Ψ(xL)Asin (k L)0 wówczas A0 lub sin (k L)0 30 jednak A0 wykluczamy, bo cząstka istnieje (Y(x) 0 dla 0 < x< L)

31 Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) Zatem dalej: sin (k L)0 wtedy i tylko wtedy, gdy π π 3π kn π i n jest liczbą naturalną Podstawmy do wzoru na k Z tego otrzymamy wzór na energię E 1 ( me) k nπ n h 1,... n h E n 8mL 1,... Energia cząstki jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej n 31

32 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) energia Mechanika kwantowa n h E n 1,... 8mL poziomy energetyczne cząstki E n n

33 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) funkcja falowa Mechanika kwantowa dla stanu podstawowego n 1 dla stanu wzbudzonego n > 1 można wykazać, że z warunku L Ψ ( x) dx 1 0 Ψ n ( x) L 1 sin nπx L określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego 33

34 Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) funkcja falowa i energia E n n ψ Ψ n ( x) L 1 sin nπx L 9 3 E n h 8mL x0 xl

35 Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) funkcja falowa E n n ψ ψ Ψ n ( x) L 1 sin nπx L 9 3 gęstość prawdopodobieństwa Ψ nπx n( x) sin L L 4 i energia E n h 8mL x0 xl