Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:

Transkrypt

1 ATOM WODORU

2 Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości uzyskuje się dla tego układu równanie Schrodingera: e r Ψ + e ( E + hm 4πε e r ) Ψ =

3 Postulaty Bohra

4 Energia elektronu to suma energii kinetycznej i potencjalnej, gdzie U jest energią potencjalną w polu elektrostatycznym jądra mv E n = + U U = k e R Kulombowska siła przyciągania elektronu do jądra jest siłą dośrodkową e mv mv k = = U R R e k E U U R e = + U = = = k n R

5 Aby wyznaczyć wartość E n wystarczy tylko policzyć R, co robimy podnosząc obie strony równania zawartego w pierwszym postulacie Bohra m v R = nh Co ostatecznie prowadzi do następującego przekształcenia E n = k me 4 4 = n h 8ε n h Doświadczalnie stwierdzono, że energia jonizacji atomu wynosi 3,6 ev me R = n h k me E n 4 me 8ε n h = 3,59 n = ev

6 Model klasyczny: nieruchome jądro + p i poruszający się wokół niego elektron e - w odległości r. Energia potencjalna elektronu: z e ( ) p (+) φ θ y Wprowadzamy współrzędne sferyczne: x = rsinθcosφ y = rsinθsin φ x z = rcosθ

7 Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości uzyskuje się dla tego układu równanie Schördingera: Wprowadzamy współrzędne sferyczne (x,y,z) => (r,θ,φ) Zakładając, że Ψ= Ψ(r) równanie nie zależy od czasu

8 C.S Żeby było spełnione dla każdego r, to: => =>

9 Po podstawieniu wszystkich danych otrzymujemy: czyli Identyczny wynik jak w teorii Bohra Stan podstawowy, gdzie n= (n główna liczba kwantowa) numeruje rozwiązania, gdy zmieniają się poziomy energetyczne i Ψ(r)

10 Jeżeli r = a, to Ψ(a)= Promień atomu wodoru Dla E> rozwiązanie dla dowolnej wartości E Dla E< rozwiązanie tylko dla dyskretnej wartości E Załóżmy, że Ψ= Ψ nlm (r,θ,φ), gdzie: n główna liczba kwantowa poziom energii l azymutalna liczba kwantowa moment pędu m magnetyczna liczba kwantowa rzut momentu pędu na oś z Wartości l i m: l =,,,3,,n (n różnych wartości) m = l, l+,,,,l,l (l+ wartości) Dla ustalonej liczby n możemy policzyć, ile mamy możliwości. Dla n ustalonego:

11 Zdegenerowaniu jednej wartości E odpowiadają cztery różne funkcje falowe oraz cztery różne położenia Aby opisać moment pędu używamy czterech operatorów: (minimum dwa operatory momentu pędu) l azymutalna liczba kwantowa (l=,,,...,n ) m magnetyczna liczba kwantowa Czwarta liczba nazywana liczbą spinową, która określa moment spinu elektronu. m s spinowa liczba kwantowa (może przyjmować tylko dwie wartości ½ lub ½ )

12 . dla wartości azymutalnej liczby kwantowej l nie przekraczającej wartości głównej liczby kwantowej n, tj. dla: l =,,,..., n-. 3. oraz dla magnetycznej liczby kwantowej m o wartościach: m = -l, -(l+),..,-,,,...,(l-), l (l +) wartości Energia całkowita elektronu zależy tylko od n dla n = l= oraz m= (jedna funkcja falowa Ψ ) n = l=, oraz m= -,, + (4 funkcje Ψ nlm ) itd. stany zdegenerowane krotność degeneracji stanu energii E n wynosi n

13 Lokalizacja elektronu w atomie wodoru o różnych energiach (dla n =,,3) i pędach (l=,,) ΨΨ*dr ΨΨ*dr ΨΨ*dr

14

15 Wnioski: każdy stan energetyczny kwantowy jest n razy zdegenerowany. stan podstawowy nie jest zdegenerowany Energia Ψ nlm Liczby kwantowe n l m E, n = Ψ Stan podstawowy E, n =4 Ψ Ψ - Ψ Ψ - Stan wzbudzony czterokrotnie zdegenerowany E 3, n =9 Ψ 3 Ψ 3- Ψ 3 Ψ 3 Ψ 3- Ψ 3- Ψ 3 Ψ 3 Ψ Stan wzbudzony dziewięciokrotnie zdegenerowany

16 Dla E> równanie ma rozwiązania dla dowolnej wartości E (odpowiada to trajektorii otwartej elektronu analogia do ruchu planety w polu centralnym, gdy E c >) Dla E< równanie ma rozwiązania. tylko dla dyskretnych wartości E (tj. wartości własnych): 4 mee En = ( ) 3π ε h n Rozwiązania (funkcje własne równania) mają trzy parametry: Ψ = Ψ nlm (r, ϑ, ϕ) n główna liczba kwantowa l azymutalna liczba kwantowa m magnetyczna liczba kwantowa

17 Oznaczenia: dla danej wartości głównej liczby kwantowej n (=,,...) kolejne stany kwantowe o wartościach azymutalnej liczby kwantowej l oznacza się następująco: stan (elektron) l= s stan l= p stan l= d stan l =3 f itd. Ponieważ l<n, możliwe są stany: s (stan podstawowy atomu wodoru, E 37 ev) s, p 3s, 3p, 3d 4s, 4p, 4d, 4f, itd.

18

19 Przeniesienie elektronu ze stanu podstawowego do stanu o wyższej energii (t.zw. stanu wzbudzonego) wymaga dostarczenia energii z zewnątrz : np. przez podgrzanie ciała przez zderzenia z innymi elektronami przez naświetlenie (zderzenie) z fotonami o energii hν odpowiadającej różnicy energii między stanami: hν = E n wzb E n pod Reguła wyboru: możliwe są tylko takie przejścia, dla których Δl= ± widmo absorpcji wodoru: s np

20 Wzbudzony atom po pewnym czasie wraca do stanu postawowego i oddaje nadmiar energii w postaci kwantu promieniowania hν uwzględniając regułę wyboru, możliwa jest emisja promieniowania przez wzbudzony wodór: np s (n=,3...) - seria Lymana ns p, nd p, np s - seria Balmera (n= 3,4...) hν nf 3d, (n= 4,5...) - seria Paschena

21 Widma atomu wodoru hν H α H γ H β

22