X. PODSTAWOWA MATEMATYKA REKONSTRUKCJI TOMOGRAFICZNYCH

Transkrypt

1 X. PODSTAWOWA MATEMATYKA REKONSTRUKCJI TOMOGRAFICZNYCH. Definice; metoda wsteczne poeci w tomogafii tansmisyne Załadamy, że mamy wiązę ównoległą o ozmiaach w x h, gdzie w szeoość, a h - wysoość wiązi. Rzecz będzie więc dotyczyć tomogafów piewsze geneaci. Pzymimy, że doonaliśmy pomiau wzdłuż pzeywane linii, ównoległe do osi y obacaącego się uładu (x,y ), związanego z uładem źódło-deteto, podczas gdy z nieuchomym pacentem związany est uład (X,Y). W dane odległości x od osi y ustawione pod ątem Φ w stosunu do osi Y pacenta miezone natężenie wynosi: Y + I ( Φ, x ) I exp μ(x, y ) dy, y x (.) Φ (x,y) gdzie elaca pomiędzy współzędnymi Θ X puntu (x,y) oaz (x,y ) est następuąca: t x y x cosφ + ysin Φ x sin Φ + ycosφ (.) Rys.. Pzyęty do opisu uład współzędnych a μ(x,y ) oznacza liniowy współczynni pochłaniania związany z puntem (x, y ) (x,y). Wzó (.) łatwo est pzeształcić na: + I p ( Φ, x ) ln μ(x, y ) dy (.3) I( Φ, x )

2 Wielość p(φ,t) nosi nazwę tansfomaty Radona wielości μ. Wielość tę nazywamy dla postoty nazywali poecą. Łatwo stwiedzić, że wystaczy ą zmiezyć tylo na półoęgu, gdyż zamiana detetoa i źódła miescami nie może zmieniać watości poeci, t. pφ (x ) p( Φ,x ) p( π + Φ, x ) (.4) Zadaniem tomogafii est, a uż mówiliśmy we wcześnieszym wyładzie, zeonstuowanie funci μ(x,y ), a więc i μ(x,y). Reonstuca ta wcale nie est posta, nie tylo ze względów czysto matematycznych. Pzede wszystim tzeba mieć świadomość, że obazuąc ozład współczynnia pochłaniania w dane płaszczyźnie załadamy, że dane pomiaowe zeczywiście dotyczą niesończenie cienich pzeoów, ta że zamiast tówymiaowych voxeli możemy mówić o dwuwymiaowych pixelach. Po dugie, załadamy, że wszystie eestowane fotony pouszały się po liniach postych pomiędzy źódłem a detetoem. W zeczywistości wiąza pomieniowania X ma sończone ozmiay i ozbieżność ątową, a w tacie pzechodzenia pzez obiet wiąza ulega stwadnieniu, gdyż pomieniowanie o niższych enegiach est silnie pochłaniane i do odlegleszych wastw pzechodzi elatywnie więce pomieniowania o wyższe enegii. Dodatowo eszcze załadamy, że ozład współczynnia absopci w amach ozmiau wiązi i e ozbieżności ątowe est ednoodny. Chaateystyczną odmiennością metody SPECT od tansmisyne tomogafii omuteowe (CT) est badanie nie tyle współczynnia pochłaniania w danym obszaze, ile atywności wychodzące z danego miesca, ta więc miezymy wielość + p ( Φ, x ) A(x, y ) dy, (.5) A gdzie A(x,y ) atywność wychodząca z puntu (x,y ), tóą wyznaczamy w opaciu o pomia wielości p A (Φ,x ). Zaówno w metodzie CT, a i SPECT dążymy do wyznaczenia ozładu dwuwymiaowego z seii miezonych danych ednowymiaowych. Niech pomiay będą wyonywane w seii oów, w tóych ąt Φ zmienia się o δφ, a odległość x zmienia o δx δt. Efetywnie wyznaczamy zatem wielości p i, gdzie

3 p i p(iδφ, δt) (.6) Nas inteesue odpowiednia funca podcałowa we wzoze (.3) lub (.5). Funcę tę taże eonstuuemy na dysetne siatce pixeli o ozmiaach np. w x w, a więc zmiezamy do znalezienia watości μ μ( iw, w) (.7) i lub A i A( iw, w) (.8) W patyce numeyczne wygodnie est posługiwać się acze maciezą ednowymiaową niż dwuwymiaową. Jeśli ozmia inteesuące nas maciezy wynosi N n x n, to można zapisać piewsze n współczynniów piewszego wiesza, następnie pzypisać piewszemu współczynniowi dugiego wiesza element (n+)-szy, piewszemu współczynniowi tzeciego wiesza element (n+)-szy itd. W podobny sposób możemy opisać zaówno wielości miezone, a i eonstuowane. W taie zdysetyzowane fomie nasze ównania maą postać: N p μ (.9) Jeśli dysponuemy J pomiaami poeci p, to wielości {μ } teoetycznie można otzymać pzez poste odwócenie maciezy. W patyce nie est to wcale taie poste. Po piewsze, liczba elementów te maciezy est znaczna. Jeśli n 56, to liczba elementów wetoa μ wynosi 65536, a więc pzy identyczne długości wetoa p maciez zawiea x elementów, t. ponad 4 miliady elementów. Odwacanie ta wielie maciezy est tudnością samą w sobie poblemem numeycznym (zapewnienie odpowiednie doładności odwacania), ale też i czasowym. Po dugie, zanim zabiezemy się do eonstuci musimy 3

4 wyonać wszystie pomiay, co wydłuża czas uzysiwania obazu. Weszcie niebagatelną spawą są szumy pomiaowe, tóe mogą badzo zdefomować wyni. W dużym pzybliżeniu można uzysiwać obazy metodą wsteczne poeci, tóa polega na pzypisaniu ażdemu pixelowi znaduącemu się na dane linii tego samego ułama zmiezone watości natężenia, t. eśli zmiezone natężenie wynosi I, a na te linii znadue się m pixeli, to ażdemu pixelowi pzypisuemy watość I/m (altenatywnie możemy ażdemu pixelowi pzypisać watość I, gdyż w ońcu spowadzi się to tylo do nomalizaci natężeń w obazie). Suma natężeń w ażdym pixelu, uzysanych z ażdego pomiau dae wyobażenie o inteesuącym nas obazie. Na ys.. poazano zastosowanie te metody do eonstuci świecenia w wypadu istnienia dwóch świecących puntów i tylo dwóch, postopadłych poeci. Mieząc natężenia wzdłuż ieunów postopadłych otzymamy np. identyczne watości, powiedzmy edynowe, a na ysunu z lewe stony. /6 /6 /6 /6 /3 /6 /3 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /3 /6 /3 /6 /6 /6 Rys.. Odtwazanie obazu puntów świecących (czewone) z dwóch postopadłych poeci. Po lewe stonie ysunu poazano miesca świecenia (czewone punty) i natężenia zmiezone wzdłuż poeci. Po pawe stonie poazuemy wyni eonstuci metodą wsteczne poeci. Postępuąc zgodnie z algoytmem wsteczne poeci, pixelom na liniach dugie i piąte (licząc od góy) pzypiszemy watości /6 i podobnie w olumnach 3 i 5 (od lewe). Łatwo spawdzić, że po dodaniu obu watości miescom świecenia (punty) pzypisze się w ten sposób watości /3. Taa sama watość poawi się w pixelach (,3) i (5,5). Pixelom nie leżącym wzdłuż miezone poeci pzypiszemy oczywiście natężenia zeowe. 4

5 Dysponowanie ta oganiczoną infomacą i postym algoytmem dopowadziło nas zatem do znalezienia miesc świecenia, ale taże i atefatów: smug w wieszach i 5 oaz olumnach 3 i 5, a taże nie istnieących miesc świecenia o natężeniach identycznych z zeczywistymi miescami świecenia. Łatwo spawdzić, że wyonanie dodatowych poeci pod ątami 45 stopni taże pozostawi te atefaty. W ogólnym pzypadu położenia miesc goących będą silnie ozmyte, a pzy oazi poawią się inne atefaty, choć o słabszych natężeniach. Waz ze wzostem liczby poeci, ozmycie miesca świecenia spada i otzymywany ozład natężenia zmienia się a / (ys..3), co wyażemy nieco późnie, niemnie edna est on na ogół tudny do zaaceptowania w zeczywiste diagnostyce pzypadów. Rys..3 Wyni eonstuci puntu świecącego metodą wsteczne poeci, gdy wyona się dużą liczbę poeci W tym szczególnym wypadu ednego puntu świecącego (pochłaniaącego) matematya eonstuci wygląda poście. n μ ( x, y) p( δφ, ) δφ, (.) 5

6 gdzie x x cos(δφ) + ysin(δφ), (.) a pzy n poecach so ąta wynosi δφ π/n. Rozmywanie ostych szczegółów obazu est w medycynie nuleane nie do zaaceptowania i z tego względu stosue się inne technii eonstuci, w szczególności opate o tansfomaty Fouiea, dla tóych opacowano szybie algoytmy. Zwóćmy edna też uwagę, że poste zutowanie wsteczne est bezwymiaowe, podczas gdy poszuiwany współczynni pochłaniania ma wymia odwotności długości i zależy więc od użytych ednoste. Aby sobie poadzić z tym poblemem należy w odpowiedni sposób nomalizować eonstuce. Reonstuuąc ozład współczynnia załamania możemy sozystać z metody iteacyne. Dla ażdego pixela wystaczy tylo az wyznaczyć współczynnii w ównaniu (.9), a następnie ta dobieać watości μ, aż osiągnie się nalepsze odwzoowanie miezonych poeci. Pzyład taiego iteacynego ozwiązania est poazany na ys..4. W piewsze oleności bieze się pod uwagę tylo wynii hoyzontalnych poeci, co oczywiście powodue złe odtwozenie wyniów dla poeci pionowych. W dugim ou ównomienie ozłada się óżnice atualnych i odtwozonych poeci wetyalnych. W następne oleności ozysta się w podobny sposób z poeci diagonalnych, co ostatecznie wyczepue piewszą iteacę, tóa a widać twozy wyni wcale nie ta badzo odległy od zeczywistego ozładu. Pewnie edna naważnieszym pytaniem patycznym est tu pytanie o liczbę niezbędnych poeci dla zeonstuowania ozładu {μ }. Łatwo się domyśleć, że im badzie będzie sompliowany ozład, tym więsza liczba poeci będzie potzebna do ego pawidłowe eonstuci. Niemnie edna w ealnych sytuacach wystaczy zawsze sończona liczba poeci.. Tansfomace Fouiea Do otzymania doładnieszych eonstuci współczynnia absopci (lub ozładu atywności) stosuemy badzie wyafinowane metody, opate głównie na wyozystaniu tansfomat Fouiea. Jednowymiaową tansfomatę Fouiea funci p(φ,x ) definiuemy ao: 6

7 P Φ + ( ξ ) p( Φ,x )exp( πiξx )dx FT[p( Φ,x )] (.3) Rys..4 Pzyład iteacyne metody eonstuci Tansfomata dwuwymiaowa wygląda podobnie: + + M ( ξ, η) μ( t, s) exp( πi( ξt + ηs)) dtds FT[ μ( t, s)] (.4) T.A.Delcha, Physics in Medical Diagnostics, Chapman&Hall (997) 7

8 Ze względu na definicę poeci, patz wzó (.3), można łatwo poazać, że funca P Φ (ξ) est dwuwymiaową funcą M(ξ,η) opisaną wzoem (.4), liczoną dla η i t x. Kozystaąc z tansfomaci (.) możemy zapisać ównanie (.4) inacze: M ( μ(x, y )exp[ πi{x( ξcosφ ηsin Φ) + y( ξsin Φ + ηcosφ)]dx d η ξ, η) y η μ( x, y) exp[ πi(xξcos Φ + yξsin Φ)]dxdy M( Φ,R) (.5) Ja widać, możemy zmienną ξ potatować ao szczególny pomień w pzestzeni Fouiea, zdefiniowany ao R ξ + η ξ (.6) η i napisać P ξ η πiξx Φ ( ) μ(x, y )e dx dy M( ξ, η) M( Φ, R) (.7) W patyce to wygląda ta, a byśmy pzeszli do zmiennych biegunowych w pzestzeni Fouiea. Jednowymiaowa tansfomata poeci ówna est zatem tansfomacie dwuwymiaowe inteesuące nas funci μ(x,y ) wzdłuż oeślonego ieunu. Maąc zbió zmiezonych p Φ (x ) dla óżnych ieunów obliczamy tansfomaty P(Φ,ξ) a następnie doonuemy tansfomaci odwotne Fouiea: μ (.8) ( x, y) FT [M( ξ, η)] η Ja widać, ednowymiaowa tansfomata Fouiea poeci est wyniiem scałowania tansfomaty Fouiea współczynnia absopci wzdłuż ednego ieunu lub, inacze mówiąc, pzeoem pzez dwuwymiaową tansfomatę μ(x,y) wzdłuż osi ξ, spzężone z osią x. Jeśli zatem dysponuemy naboem poeci, możemy odtwozyć (zeonstuować) ozład współczynnia absopci w badane pzez nas płaszczyźnie. Wyonuąc taie tansfomaty 8

9 należy bać pod uwagę istnienie szumów pomiaowych, tóe pzeładaą się szum w obazie. Ponadto, oganiczoność danych powadzić może do powstania w obazie atefatów..3 Twiedzenie o splocie Splot funci h(x,y) i f(x,y) zdefiniowany est ao + + g ( x, y) h( x t, y s) f ( t, s) dtds h * f (.9) Załóżmy, że obie ozpatywane funce maą tansfomaty Fouiea odpowiednio H ( ξ, η) i F( ξ, η) h( x, y)exp[ πi( ξx + ηy)] dxdy FT[ h( x, y)] f ( x, y)exp[ πi( ξx + ηy)] dxdy FT[ f ( x, y)] (.) Można łatwo poazać, że tansfomata Fouiea splotu funci h i f wynosi G ( ξ, η) H ( ξ, η) F( ξ, η) (.) Stosuąc opeacę odwotną można też dowieść, że FT [ H ( ξ, η) F( ξ, η)] FT [ H ( ξ, η)]* FT [ F( ξ, η)] h( x, y) * f ( x, y) (.) 9

10 .4 Wsteczna poeca wyozystuąca tansfomaty Fouiea Poażemy teaz, w ai sposób ozystaąc z idei wsteczne poeci i technii fouieowsie można uzysać eonstucę pzestzennego ozładu współczynnia absopci. Zgodnie z ideą wsteczne poeci, wszystim pixelom wzdłuż badanego ieunu pzypisuemy taie same watości. Dla ułatwienia, niech będą one ówne watościom zmiezonych poeci, a więc μ x, y ) p( Φ, x ) (.3) ( Kozystaąc z poeci zmiezonych pod óżnymi ątami otzymamy więc: π μ ( x, y) μ ( Θ, ) μ (x, y ) p( Φ, x )dφ p[ Φ, cos( Φ Θ)] dφ, (.4) S S S π gdzie est długością wetoa wodzącego (x,y), a oznaczenia ątów i innych wielości zostały podane na ys... Indes S pzy wielości funci μ oznacza, że chodzi o wyni sumacyny (całowy). Rozpatzmy dla pzyładu sytuacę, w tóe pochłanianie zachodzi edynie w puncie (x,y)(,) oznaczonym na wspomnianym ysunu, a więc μ x, y) μ(x, y ) δ(x ) δ(y ) (.5) ( Poeca te funci wynosi po posu δ(x ), a więc funca μ S ówna będzie π π μs ( x, y) δ(x )dφ δ[ cos( Φ Θ)] dφ (.6) π π Ponieważ dla dowolne funci f(x)

11 δ ( x xi ) δ [ f ( x)] (.7) i df dx x x i gdzie x i są miescami zeowymi funci f(x), otzymuemy μ ( x, y) S π sin( Φ Θ) cos( Φ Θ) o π (.8) Z puntowego obietu utwozył się zatem obiet o symetii ołowe o natężeniu zmieniaącym się a /. Wyni ten zasygnalizowaliśmy uż wcześnie na ys..3. Ewidentnie obaz sumacyny i zeczywisty się óżnią i w związu z tym należy opacować metodę zniwelowania efetu /. Zobaczmy, w ai sposób możemy sobie pomóc. Zgodnie z naszym wcześnieszym wyniiem (.8): π + μ( x, y) μ(, Θ) dφ M ( Φ, R)exp[πiR( x cosφ + y sin Φ)] R dr (.9) Powyższą elacę możemy zapisać w postaci: π ( F, y) p ( Φ, u) dφ u x cos Φ+ y sin Φ μ x, (.3) gdzie p F ( Φ, u) + M ( Φ, R) R exp(π iru) dr FT [ M ( Φ, R) R ] (.3) Ze wzoów (.7) i (.8) wynia edna, że: FT [ M ( Φ, R) R ] FT [ P( Φ, R) R ] FT [ P( Φ, ξ ) ξ ] (.3)

12 Dla dalszego postępowania musimy sozystać z twiedzenia o tansfomacie Fouiea splotu funci: FT [ P( Φ, ξ ) ξ ] FT [ P( Φ, ξ )]* FT ( ξ ) (.33) Tansfomata Fouiea bezwzględne watości zmienne (w tym wypadu ξ) nie istniee, ao że est to funca nieoganiczona. Aby móc powadzić obliczenia musimy zatem założyć, że tansfomata Fouiea zawiea tylo sończoną liczbę sładowych, co spowadza się do sztucznego oganiczenia zaesu zmienności ξ do zaesu (,ξ ). Zatem, zamiast liczyć tansfomatę bezwzględne watości ξ obliczamy tansfomatę funci Ξ( ξ ) Ξ( ξ ) ξ dla dla ξ ξ ξ < ξ (.34) Tansfomata ta ma następuącą postać: f Ξ ( u) ξ exp(πiξu) dξ ξ exp(πiξu) πiu ξ + sin(πξ πu ξ ξ ξ exp(πiξu) dξ ξ exp(πiξu ) πiu u) cos(πξu) + ξ π u ξ ξ ξ ξ exp(πiξu) dξ exp(πiξu) dξ + πiu [sin c(ξ ξ u) sin c exp(πiξu ) dξ πiu ( ξ u)] (.35) gdzie sin(π x) sin c( x) (.36) πx Zatem, łącząc wzoy (.33) i (.35): p F ( Φ, x ) + p( Φ,u)f Ξ (x u) du (.37)

13 Oganiczenie zaesu częstości fouieowsich eduue wpływ szumów pomiaowych. Poceduę taą nazywamy więc filtowaniem, a wzó (.37) est właśnie wzoem wyozystuącym onetny filt. Zauważmy, że eśli filtem będzie funca δ-diaca, to p F (Φ,x ) będzie tożsame z p(φ,x ), a więc zeczywiste watości μ(x,y) i sumacyne μ S (x,y) będą taie same. Maąc obliczoną funcę p F dla ażdego ąta Φ, dla tóego wyonano pomiay, można wyonać - zgodnie ze wzoem (6) - ostateczne wsteczne zutowanie zmiezonych poeci. W patyce analiz fouieowsich stosowane są ozmaite filty. Ponadto, numeyczne obliczenia dotyczą acze szeegów niż całe. Pzymuąc w dysetyzaci zmiennych o (ξ ) -, dysetna postać filtu (.35), nazywana filtem Ramachandana Laashminaayanana, est następuąca: f iδu) ξ 4ξ π i Ξ ( f i dla dla i dla i ±, ± 3, ± 5,... i ±, ± 4, ± 6,... (.38) Innym, często stosowanym filtem est filt Sheppa i Logana, tóy óżni się od popzedniego czynniiem mnożącym, aim est funca sinc: ξ F SL ( ξ ) Ξ( ξ )sin c (.39) ξ Jego postać dysetna est następuąca: f SL i 8ξ,, ±, ±, ± 3,... 4 i π i (.4) E.Roita w Fizyczne metody diagnostyi medyczne i teapii, ed. A.Z.Hyniewicz i E.Roita, PWN () 3

14 Jeśli w funci p F (Φ,x ) pzymiemy dla zmienne x o w Δu Δx (ξ ) -, otzymamy dla filtu Ramachandana i Lashminaayanana dysetną postać poeci : ( Φ, iw) ( Φ) pi ( Φ) 4w π w pi n ( Φ) ( i n) F F p pi n (.4) We wzoze (.4) sumowanie pzebiega po wszystich watościach n, dla tóych (i-n) est liczbą niepazystą. Watości wsteczne poeci w postaci dysetne są następuące: F F μ( x, y) μ(iw, w) μ i p (ΔΦ, x ) p (x ), (.4) gdzie w est ozmiaem pixela, natomiast, zgodnie ze wzoem (.) x (iw) cos(δφ) + (w)sin(δφ) (.43) We wzoze (.4) sumowanie po odpowiada sumowaniu po wszystich poecach zmiezonych dla ątów ΔΦ, natomiast zmienna x wybiea ze wszystich tych poeci tę, tóa pzechodzi pzez pixel (i). Dodatowym oiem w eonstuci est nomalizaca, aby suma zmiezonych poeci była ówna sumie poeci po wyonaniu opeaci filtowania. Opisana metoda est populana, gdyż est szyba, a obliczenia można wyonywać w tacie pomiaów. Jedna dla dobe eonstuci wymagana est duża liczba poeci, co est pewną wadą metody. 4

15 .5 Reonstuca obazu metodami iteacynymi 3 Na ys..4 pzedstawiliśmy napostszy sposób iteacynego odtwazania pzestzennego ozładu współczynnia pochłaniania ao pzeciwwagę dla matematycznie popawne metody, w tóe należy wpiew odwócić maciez i w ównaniu (.). Odwacanie to est edna nieefetywne, a samo ównanie można ozwiązać metodą iteacyną np. Raphsona- Newtona albo tóąolwie inną. Reonstuca polega na wyonaniu obliczeń w czteech oach. Ko : pzymuemy pewne watości początowe μ, napoście śednią ze zmiezone liczby J poeci: J μ N t N Φ i μ p (.44) i gdzie N t i N Φ oznaczaą odpowiednio liczbę poeci wyonanych w popzecznym ieunu (wzdłuż zmienne x ), a N Φ - liczbę ątów, dla tóych pzepowadzano pomiay poeci. Ko : obliczenie watości poeci na podstawie watości μ otzymanych po l iteacach: N z μ (.45) Ko 3: Zmodyfiowanie watości μ zgodnie z zasadą dane funci iteacyne: ( l+ ) μ μ + f ( p, z ) (.46) Ko 4: powtazanie oów -3 aż do uzysania zbieżności w watościach poeci. Poniże omówimy tzy populane metody eonstuci. 3 E.Roita w Fizyczne metody diagnostyi medyczne i teapii, ed. A.Z.Hyniewicz i E.Roita, PWN () 5

16 W metodzie ART (od Algebaic Reconstuction Technique) elaca (.46) ma postać: μ μ ( l+ ) z p (.47) albo p z (l ) μ + (, μ + ), (.48) N gdzie N oznacza liczbę pixeli daących wład do -te poeci. Obliczenia taie powadzimy dla wszystich poeci, edna po dugie, co oznacza, że watości w danym -tym pixelu są modyfiowane tyle azy, ile mamy poeci. Tę właśnie metodę w patycznym działaniu zapezentowaliśmy na ys..4. Tego odzau łatwo wyonywalne na omputeze pzybliżenie powadzi czasem do atefatów, co est związane z wstawianiem do mianownia popawi wielości N. Lepsze wynii otzymuemy, gdy nasza popawa est nie (p z )/N lecz 4 p z (l ) μ + (, μ + ), (.49) L N gdzie L est długością linii pzechodzące pzez onetny pixel. Reonstuce wyonywane metodą ART nazywane są czasem szumem piepzu i soli, związanym z nadmieną postotą używanego pzybliżenia. Szum ten można zeduować pzez wpowadzenie do obliczeń pewnych elasaci, t. banie tylo części obliczanych popawe (patz czynni gaszący w ównaniu (.54)). Zmnieszenie szumu pociąga za sobą edna wydłużenie czasu obliczeń. Metoda SIRT (od Simultaneous Iteative Reconstuction Technique) wyonue podobne iteace, ale bieze pod uwagę ednocześnie wszystie zmiezone poece, tóe pzechodzą pzez -ty pixel. O ile, w metodzie ART modyfiace następuą oleno w ażdym pixelu, w metodzie SIRT obliczamy popawi dla wszystich pixeli i dopieo po ozwiązaniu wszystich ównań wpowadzamy te popawi. Modyfiace watości μ są tu następuące: 4 A.C.Ka, M.Slaney, Pinciples of Computeized Tomogaphic Imaging, IEEE Pess (999) 6

17 p N ( Φ) ( Φ) ( Φ) L ( Φ) ( Φ) ( Φ) ( Φ) ( l+ ) μ μ (.5) z ( Φ) gdzie L oznacza długość poeci, a nie liczbę pixeli N. Altenatywnie używa się p ( Φ) z ( Φ) ( l+ ) ( Φ) ( Φ) μ, μ + (.5) L ( Φ) N ( Φ) ( Φ) ( Φ) W obu wzoach sumowanie pzebiega po wszystich poecach wnoszących wład do - tego pixela. W SIRT nomalizue się watości μ po ażde iteaci. O ile opisane dwie metody są stosowane pzede wszystim do zeonstuowania obazu, można też sozystać z ogólne poceduy LSIT (od Least-Squae Iteative Technique, a więc metody iteacyne wg schematu namnieszych wadatów), tóa opata est na minimalizaci funci ( p z ) σ R, (.5) gdzie {σ } oznaczaą niepewności pomiaowe. Tu, poszuuąc namniesze watości funci R, pzyównuemy pochodną funci R do zea, w wyniu czego otzymuemy: (l μ + ) μ + Δμ μ + (p σ z σ ) (.53) Dla polepszenia szybości zbieżności iteaci wpowadza się czynni gaszący ε, oganiczaący o w dane iteaci: 7

18 μ μ + εδμ ( l+ ) (.54) gdzie ε można wyznaczyć np. ze wzou: ε (p z σ ( σ ) Δμ Δμ ) (.55) Metody iteacyne pozwalaą na otzymanie obazu nawet w sytuacach, gdy zmiezona liczba poeci J est mniesza od liczby pixeli N, a więc metoda wsteczne poeci nie est możliwa. Jednaże metody iteacyne należy stosować zawsze z dużą ostożnością, gdyż ich wyni może zawieać atefaty. Nota bene, nie ma metod idealnych, tóe gwaantowałyby pawidłowe, a więc bez znieształceń, odtwozenie wszystich szczegółów badanego obietu. Doładność est funcą ilości zebane infomaci, stopnia złożoności obietu oaz ozmiau ocze siati, na tóe doonuemy eonstuci. Istniee też metoda, tóe aonimem est SART (od ang. Simultaneous Algebaic Reconstuction Technique), tóa łączy nieao w sobie nalepsze cechy opisanych wyże metod ART I SIRT. Je zaletą est to, że pozwala na uzysanie dobe eonstuci obazu uż w ednym ou 5. 5 Opis te technii można znaleźć w cytowane uż monogafii A.C.Ka, M.Slaney, Pinciples of Computeized Tomogaphic Imaging, IEEE Pess (999) 8