Optymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
|
|
- Joanna Rybak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań Jednym z ważnych elementów optymalizacji harmonogramów budowlanych jest poprawne szeregowanie zadań [Jaworsi 1999]. Zadania tego typu należą do szeroiej lasy zagadnień rozdziału zadań i zasobów. Zaprezentowane poniżej zagadnienie zostanie przestawione na przyładzie ustalenia olejności działe roboczych przy założeniu, że na ażdej z nich muszą zostać wyonane pewne procesy technologiczne przez różne zasoby odnawialne (maszyny, robotniów, brygady, środi producji), przy czym załadamy, że na ażdej działce muszą być wyonane wszystie procesy w tej samej olejności. Drugim założeniem jest, że na tej samej działce roboczej w tym samym czasie może przebywać wyłącznie jedna maszyna (brygada). Harmonogram pracy wspomnianych n maszyn na m działach można przedstawić w postaci macierzy czasów wyonania poszczególnych robót na olejnych działach. t 11 t 12 t 1n T = [t ij ] = t 21 t m1 t 22 t m2 t 2n t m3 gdzie t ij to czas pracy i-tej maszyny na j-tej działce (i=1..m, j=1..n) Łatwo zauważyć, że jeżeli poszczególne czasy t ij będą różne, to łączny czas pracy wszystich maszyn na wszystich działach T będzie zależał od olejności, w jaiej zostanie zaplanowane realizacja prac na olejnych działach. I ta np. załadając następujące czasy pracy trzech maszyn na trzech działach: DZ1 DZ2 DZ3 A B C i przyjmując olejność pracy na działach nr. 1, 2, 3 uzysamy schematy pracy maszyn ja na rysunu poniżej (nr w środu pasów oznaczają nr działi / czas prasy danej maszyny na danej działce), z łącznym czasem pracy trzech maszyn na trzech działach16 dni: A 1/4 2/2 3/3 B 1/3 2/1 3/2 C 1/2 2/3 3/4 Analizując powyższy wyres należy zauważyć, że aby dana maszyna mogła rozpocząć pracę na danej działce muszą być spełnione dwa waruni: poprzednia maszyna musi zaończyć pracę na danej działce (działa musi być wolna) oraz dana maszyna musi zaończyć pracę na poprzedniej działce (maszyna musi być wolna). Ja można zauważyć w rozpatrywanym przypadu maszyna B, aby wejść na działę nr 3 musi zaczeać jeden dzień (dzień nr 9), gdyż tego dnia pracuje tam jeszcze maszyna A. Jedna po wyonaniu taich obliczeń nie wiemy, czy przy założonej olejności prac na działach (w tym wypadu 1, 2, 3) uzysaliśmy najrótszy możliwy łączny czas pracy na wszystich działach.
2 Przeanalizujmy następujący przyład. Pracują dwie maszyny A, B na czterech działach. Nr działi Czas pracy maszyny A na działce Czas pracy maszyny B na działce Przyjmująć olejność wyonywania działe ja w temacie (1,2,3,4) uzysamy następujący harmonogram pracy maszyn: Nr dnia Harmonogram (olejność działe 1,2,3,4) Praca maszyny A Łączny czas pracy obu maszyn na wszystich działach wynosi 13 dni. Jedna zmieniając olejność działe na 3,1,4,2 uzysujemy następujący harmonogram: Nr działi Czas pracy maszyny A na działce Czas pracy maszyny B na działce Nr dnia Optymalny harmonogram (olejność działe 3,1,4,2) Praca maszyny A Praca maszyny B Tym razem łączny czas pracy obu maszyn na wszystich działach wynosi 12 dni. Problem poszuiwania taiej olejności działe, tóra pozwoli na zminimalizowanie łącznego czasu pracy T na wszystich działach nazywany jest w literaturze problemem szeregowania zadań. Analizując ta sformułowane zadanie, można szybo zauważyć, że liczba możliwych rozwiązań (harmonogramów pracy maszyn na wszystich działach) wynosi n!, gdzie n oznacza liczbę działe (warto również zauważyć, że na liczbę rozwiązań nie ma wpływu liczba maszyn, gdyż olejność wyonywania procesów roboczych przez olejne maszyny jest stała). To znaczy, że już przy 5 działach liczba możliwych rozwiązań wynosi 120 a przy 8 to już wariantów harmonogramu. Biorąc pod uwagę fat, że czas pracy na obiecie jest jednym z najważniejszych parametrów a przyładowa i więsza liczba działe roboczych w budownictwie nie jest niczym szczególnym, szybo zrozumiemy wagę postawionego problemu. Istnieje ila metod szeregowania zadań. Należą do nich: algorytm symulacyjny, algorytm Johnsona, algorytm Łomniciego i algorytm Browna Łomniciego. Wszystie te metody podejmują temat z uwzględnieniem ryterium minimum czasu realizacji przedsięwzięcia a wybór jednego z nich zależy od liczby maszyn. Algorytm symulacyjny możemy stasować przy dowolnej liczbie maszyn, jedna nie zapewnia on znalezienia rozwiązania optymalnego, lecz jedynie suboptymalnego. Polega on na losowaniu olejności realizacji działe na podstawie generatora liczb losowych i obliczaniu łącznego czasu trwania robót T dla założonego wariantu. Przy odpowiedniej liczbie prób najlepszy wyni powinien zbliżyć się do rozwiązania optymalnego, a na pewno być lepszy od jednego przypadowego rozwiązania. Tego rodzaju symulacje stosuje się w badaniach operacyjnych, gdy nie jest znany ścisły algorytm wyznaczania rozwiązania optymalnego bądź też oszt lub czas wyonania obliczeń algorytmicznych jest zbyt duży w stosunu do uzysanego efetu. Pozostałe wymienione algorytmy pozwalają na obliczenie rozwiązania optymalnego. Algorytm Jonhsona stosuje się, gdy mamy do czynienia z dwoma maszynami, algorytm Łomniciego przy trzech maszynach a algorytm Browna Łomniciego przy dowolnej liczbie maszyn. Dwa ostatnie algorytmy oparte są na metodzie podziału i ograniczeń (branch and bound).
3 Algorytm Jonhsona Algorytm ten pozwala poszuiwać najrótszy czas pracy dwóch maszyn (oznaczamy je A, B) na dowolnej liczbie działe n. Na ażdej działce, olejność pracy maszyn jest stała, a więc najpierw pracuje maszyna A, a potem B. Dane są czasy pracy obu maszyn na ażdej działce. Czas pracy maszyny A na działce oznaczamy a, maszyny B na działce l b l Poniżej znajduje się opis poszczególnych roów algorytmu: 1. Przyjąć r 1, s n. 2. Znaleźć najmniejszą liczbę spośród czasów a, bl (, l 1,2,..., n), gdzie a b, l są zbiorami czasów pracy maszyn A i B na poszczególnych działach roboczych. 3. Jeżeli liczbą tą jest a, to s : s 1. p r oraz r : r 1 4. Usunąć ze zbioru czasów trwania parę a, b ) lub a, b ). 5. Powtórzyć postępowanie od puntu 2. (, jeżeli zaś liczbą tą jest b l, to ( l l Optymalną olejność działe wyznacza parametr p 1 do p n. p s l oraz Przyład Uwaga! Szczególną uwagę proszę zwrócić na to, ja zmienia się indes parametru p Dane są czasy pracy maszyn A i B (w dniach roboczych) na sześciu działach. Iteracja 1. r = 1; s = 6 min ( 2, 3, 5, 1, 7, 6, 3, 4, 4, 2, 5, 5 ) = a = a 4 = 1; -> =4 W sytuacji, gdy jest więcej taich samych wartości minimalnych wybieramy dowolną z nich i onsewentnie liczymy dla wybranej maszyny i działi. Ponieważ znaleziony minimalny czas dotyczy pracy maszyny A -> pr = p1 = = 4 oraz r = r + 1 = = 2 Usuwam parę (a 4, b 4)
4 Iteracja 2. A B r = 2; s = 6 min ( 2, 3, 5, 7, 6, 3, 4, 4, 5, 5 ) = a = a 1 = 2; -> =1 Ponieważ znaleziony minimalny czas dotyczy pracy maszyny A -> pr = p2 = = 1 oraz r = r + 1 = 2+ 1 = 3 Usuwam parę (a 1, b 1) Iteracja 3. A B r = 3; s = 6 min ( 3, 5, 7, 6, 4, 4, 5, 5 ) = a = a 2 = 3; -> =2 Ponieważ znaleziony minimalny czas dotyczy pracy maszyny A -> pr = p3 = = 2 oraz r = r + 1 = = 4 Usuwam parę (a 2, b 2) Iteracja 4. A B r = 4; s = 6 min ( 5, 7, 6, 4, 5, 5 ) = b l = b 3 = 4; -> l =3 Ponieważ znaleziony minimalny czas dotyczy pracy maszyny B -> ps = p6 = l = 3 oraz s = s - 1 = 6-1 = 5 Usuwam parę (a 3, b 3) Iteracja 5. A 7 6 B 5 5 r = 4; s = 5 min ( 7, 6, 5, 5 ) = b l = b 5 = 5; -> l =5 Ponieważ znaleziony minimalny czas dotyczy pracy maszyny B -> ps = p5 = l = 5 oraz s = s - 1 = 5-1 = 4 Usuwam parę (a 5, b 5)
5 Iteracja 6. A 6 B 5 r = 4; s = 4 min ( 6, 5 ) = b l = b 6 = 5; -> l =6 Ponieważ znaleziony minimalny czas dotyczy pracy maszyny B -> ps = p4 = l = 6 Usuwam parę (a 6, b 6), zbiór przeszuiwanych wartości pozostaje pusty i ończę obliczenia. Znalezione rozwiązanie to: p 1 = 4, p 2 = 1, p 3 = 2, p 4 = 6, p 5 = 5, p 6 = 3, czyli wyznaczona olejność wyonywania robót to działi nr: 4, 1, 2, 6, 5, 3. Algorytm Jonhsona nie wyznacza optymalnego czasu robót. Należy go obliczyć znając właściwą olejność działe. Można go obliczyć stosując następujący wzór: T p ij = max(t (i 1),j, T i,(j 1) ) oraz T ij = T p ij + t i,j gdzie T ij p, T ij to odpowiedni począte i oniec robót przez maszynę i na działce j. Analizując wzór można zauważyć, że termin rozpoczęcia pracy na olejnej działce wymaga spełnienia dwóch warunów: (1) musi zaończyć pracę na poprzedniej działce maszyna, tóra rozpocznie pracę oraz (2) na danej działce musi zaończyć pracę poprzednia maszyna. Wydaje się, że jeszcze łatwiej wyznaczyć poszuiwany czas pracy graficznie, stosując dwie opisane powyżej zasady. Pamiętając, że zadane czasy pracy maszyn A i B (w dniach roboczych) na sześciu działach wynosiły odpowiednio: w analizowanym przyładzie harmonogram pracy maszyn na olejnych działach (tzn. wg olejności działe 4, 1, 2, 6, 5, 3) wyglądałby następująco (pracę tej samej maszyny na olejnych działach rozróżniono odcieniami tego samego oloru; biały olor oznacza bra pracy danej maszyny; podane wartości na rysunu oznaczają nr. działi/czas pracy danej maszyny na danej działce): A B A 4/1 1/2 2/3 6/6 5/7 3/5 B 4/2 1/3 2/4 6/5 5/5 3/4 Ja można odczytać z wyresu łączny, minimalny czas pracy obu maszyn na sześciu działach wynosi 28 dni. Łatwo zauważyć, że pierwsza maszyna (A) pracuje zawsze bez żadnych przerw (zawsze jest wolna i nigdy nie czea na zaończenie pracy przez poprzednią maszynę na danej działce). Przerwy w pracy mogą występować tylo w pracy wszystich olejnych maszyn, czyli w tym wypadu maszyny B. Literatura Jaworsi K.M. (1999). Metodologia projetowania realizacji budowy. Wydawnictwo Nauowe PWN
Optymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław OŁOŃSI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
Bardziej szczegółowoOptymalizacja harmonogramów budowlanych - szeregowanie zadań. Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Optymalizacja harmonogramów budowlanych - szeregowanie zadań Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Opis zagadnienia Zadania dotyczące szeregowania zadań należą do szerokiej
Bardziej szczegółowoMODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH
MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa
Bardziej szczegółowowtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązanie i jest nie gorsze od j względem k-tego kryterium. 2) Macierz części wspólnej Utwórz macierz
Temat: Programowanie wieloryterialne. Ujęcie dysretne.. Problem programowania wieloryterialnego. Z programowaniem wieloryterialnym mamy do czynienia, gdy w problemie decyzyjnym występuje więcej niż jedno
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoPLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy
PLAN WYKŁADU Algorytm mrówowy OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wyład 8 dr inż. Agniesza Bołtuć (ANT SYSTEM) Inspiracja: Zachowanie mrówe podczas poszuiwania żywności, Zachowanie to polega na tym, że jeśli do żywności
Bardziej szczegółowoP k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =
Definicja.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Każdy -elementowy podzbiór zbioru A wybrany (w dowolnej olejności) bez zwracania nazywamy ombinacją bez powtórzeń. Twierdzenie.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Liczba
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoZASADY WYZNACZANIA BEZPIECZNYCH ODSTĘPÓW IZOLACYJNYCH WEDŁUG NORMY PN-EN 62305
ZASADY WYZNACZANIA BEZPIECZNYCH ODSTĘPÓW IZOLACYJNYCH WEDŁUG NORMY PN-EN 62305 Henry Boryń Politechnia Gdańsa ODSTĘPY IZOLACYJNE BEZPIECZNE Zadania bezpiecznego odstępu izolacyjnego to: ochrona przed bezpośrednim
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. . (odp. a)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 11 Rzucamy trzy razy monetą A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie Oreślić zbiór zdarzeń elementarnych Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoR w =
Laboratorium Eletrotechnii i eletronii LABORATORM 6 Temat ćwiczenia: BADANE ZASLACZY ELEKTRONCZNYCH - pomiary w obwodach prądu stałego Wyznaczanie charaterysty prądowo-napięciowych i charaterysty mocy.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ
WYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ Wstęp. Za wyjątie nielicznych funcji, najczęściej w postaci wieloianów, dla tórych ożna znaleźć iniu na drodze analitycznej, pozostała więszość
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 2 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoGrupowanie sekwencji czasowych
BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 3, 006 Grupowanie sewencji czasowych Tomasz PAŁYS Załad Automatyi, Instytut Teleinformatyi i Automatyi WAT, ul. Kalisiego, 00-908 Warszawa STRESZCZENIE: W artyule
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci
Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowon(n + 1) 2 k = k = 1, P = 1 (1 + 1)/2 = 2/2 = 1 = L. n(n + 1) 2 + (n + 1) = n(n + 1)(2n + 1) 6 k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 + (n + 1) 2 = n + 1
Materiały do zajęć wyrównawczych z matematyi da studentów informatyi, ro aademici 013/14 Zestaw zadań 5 odpowiedzi uwaga: nieco inna oejność zadań 1. Udowodnij, że 1 n(n 1 (1a Odpowiedź: Da n 1 mamy L
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoInstrukcja. Laboratorium Metod i Systemów Sterowania Produkcją.
Instrukcja do Laboratorium Metod i Systemów Sterowania Produkcją. 2010 1 Cel laboratorium Celem laboratorium jest poznanie metod umożliwiających rozdział zadań na linii produkcyjnej oraz sposobu balansowania
Bardziej szczegółowoProgramowanie wielocelowe lub wielokryterialne
Programowanie wielocelowe lub wieloryterialne Zadanie wielocelowe ma co najmniej dwie funcje celu nazywane celami cząstowymi. Cele cząstowe f numerujemy indesem = 1, 2, K. Programowanie wielocelowe ciągłe
Bardziej szczegółowoANALIZA WIELOKRYTERIALNA
ANALIZA WIELOKRYTERIALNA Dział Badań Operacyjnych zajmujący się oceną możliwych wariantów (decyzji) w przypadu gdy występuje więcej niż jedno ryterium oceny D zbiór rozwiązań (decyzji) dopuszczalnych x
Bardziej szczegółowo1 Obliczanie modeli sieciowych w funkcji środków
1 Obliczanie modeli sieciowych w funkcji środków Przykład zaczerpnięty z mojego podręcznika Harmonogramy sieciowe w robotach inżynierskich. Wydawnictwo SGGW 001 str. 77. 1.1 Założenia analizy środków oraz
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Komputerowe wspomaganie rozwiązywania zadań programowania nieliniowego Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoAnaliza czasowo-kosztowa
Analiza czasowo-kosztowa Aspekt ekonomiczny: należy rozpatrzyć techniczne możliwości skrócenia terminu wykonania całego przedsięwzięcia, w taki sposób aby koszty związane z jego realizacją były jak najniższe.
Bardziej szczegółowoColloquium 3, Grupa A
Colloquium 3, Grupa A 1. Z zasobów obliczeniowych pewnego serwera orzysta dwóch użytowniów. Każdy z nich wysyła do serwera zawsze trzy programy naraz. Użytowni czea, aż serwer wyona obliczenia dotyczące
Bardziej szczegółowoAnaliza wielokryterialna wstęp do zagadnienia
Organizacja, przebieg i zarządzanie inwestycją budowlaną Analiza wielokryterialna wstęp do zagadnienia dr hab. Mieczysław Połoński prof. SGGW 1 Wprowadzenie Jednym z podstawowych, a równocześnie najważniejszym
Bardziej szczegółowoSystem wspomagania harmonogramowania przedsięwzięć budowlanych
System wspomagania harmonogramowania przedsięwzięć budowlanych Wojciech Bożejko 1 Zdzisław Hejducki 2 Mariusz Uchroński 1 Mieczysław Wodecki 3 1 Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NORMATYWNE W PROJEKTOWANIU INSTALACJI ELEKTRYCZNYCH BUDYNKÓW UŻYTECZNOŚCI PUBLICZNEJ
nstalacje eletryczne nisiego napięcia Michał FLPAK, Łuasz PUT Politechnia Poznańsa nstytut Eletrotechnii i Eletronii Przemysłowej Czytaj w: " listów do Redacji: Opinie i polemii" poz. 15 - od p. A.M. WYMAGAA
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA POZIOM ROZSZERZONY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 FORMUŁA DO 2014 ( STARA MATURA ) INFORMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MIN-R1, R2 MAJ 2016 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZARYS METODY OPISU KSZTAŁTOWANIA SKUTECZNOŚCI W SYSTEMIE EKSPLOATACJI WOJSKOWYCH STATKÓW POWIETRZNYCH
Henry TOMASZEK Ryszard KALETA Mariusz ZIEJA Instytut Techniczny Wojs Lotniczych PRACE AUKOWE ITWL Zeszyt 33, s. 33 43, 2013 r. DOI 10.2478/afit-2013-0003 ZARYS METODY OPISU KSZTAŁTOWAIA SKUTECZOŚCI W SYSTEMIE
Bardziej szczegółowoDWUPOZIOMOWA METODA WIELOKRYTERIALNEGO STEROWANIA PRZEPŁYWEM PRODUKTÓW
DWUPOZIOMOWA METODA WIELOKRYTERIALNEGO STEROWANIA PRZEPŁYWEM PRODUKTÓW Mare MAGIERA Streszczenie: Zadanie sterowania przepływem produtów przez wielostadialną linię producyjną zostało podzielone na dwa
Bardziej szczegółowo( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Zadanie Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne puntu trafienia (, Y ) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie normalnym N ( 0, σ ). Punt (0,0) uznajemy za środe tarczy,
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoCYKLICZNY PROBLEM PRZEPŁYWOWY Z PRZEZBROJENIAMI MASZYN
CYKLICZNY PROBLEM PRZEPŁYWOWY Z PRZEZBROJENIAMI MASZYN Wojciech BOŻEJKO, Łuasz KACPRZAK, Mieczysław WODECKI Streszczenie: W pracy zajmujemy się cylicznym problemem przepływowym z przezbrojeniami maszyn.
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Bardziej szczegółowokoszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału.
Modele strutury apitału oszt apitału Optymalna strutura apitału dźwignia finansowa / Rys. 8.3. Krzywa osztów apitału. Założenia wspólne modeli MM Modigliani i Miller w swoich rozważaniach ograniczyli się
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoTemat 20. Techniki algorytmiczne
Realizacja podstawy programowej 5. 1) wyjaśnia pojęcie algorytmu, podaje odpowiednie przykłady algorytmów rozwiązywania różnych problemów; 2) formułuje ścisły opis prostej sytuacji problemowej, analizuje
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoA. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna
A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów
Bardziej szczegółowo9. Sprzężenie zwrotne własności
9. Sprzężenie zwrotne własności 9.. Wprowadzenie Sprzężenie zwrotne w uładzie eletronicznym realizuje się przez sumowanie części sygnału wyjściowego z sygnałem wejściowym i użycie zmodyiowanego w ten sposób
Bardziej szczegółowoTechnologia informacyjna Algorytm Janusz Uriasz
Technologia informacyjna Algorytm Janusz Uriasz Algorytm Algorytm - (łac. algorithmus); ścisły przepis realizacji działań w określonym porządku, system operacji, reguła komponowania operacji, sposób postępowania.
Bardziej szczegółowoProgramowanie wielocelowe lub wielokryterialne
Programowanie wielocelowe lub wieloryterialne Zadanie wielocelowe ma co najmniej dwie funcje celu nazywane celami cząstowymi. Cele cząstowe f numerujemy indesem = 1, 2, K. Programowanie wielocelowe ciągłe.
Bardziej szczegółowoWaga szalkowa i uogólniony problem fałszywej monety
Waga szalowa i uogólniony problem fałszywej monety Marcel Kołodziejczy Hugo Steinhaus w Kalejdosopie matematycznym ([7]) przedstawił następujące zadania: oraz Mamy dziewięć monet pozornie jednaowych. Wiemy,
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładów na temat Obliczanie sił przekrojowych i momentów przekrojowych. dla prętów zginanych.
ateriały do wyładów na temat Obliczanie sił przerojowych i momentów przerojowych dla prętów zginanych Wydr eletroniczny. slajdów na. stronach przeznaczony do celów dydatycznych dla stdentów II ro stdiów
Bardziej szczegółowoDziałanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).
Algorytm A* Opracowanie: Joanna Raczyńska 1.Wstęp Algorytm A* jest heurystycznym algorytmem służącym do znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie. Jest to algorytm zupełny i optymalny, co oznacza, że zawsze
Bardziej szczegółowoPoszukiwanie optymalnego wyrównania harmonogramu zatrudnienia metodą analityczną
Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wieskiego, Warszawa, ul. Nowoursynowska 159 e-mail: mieczyslaw_polonski@sggw.pl Poszukiwanie optymalnego wyrównania
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoWykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)
Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia
Bardziej szczegółowoPrognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1
Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoDo Szczegółowych Zasad Prowadzenia Rozliczeń Transakcji przez KDPW_CCP
Załączni nr Do Szczegółowych Zasad Prowadzenia Rozliczeń Transacji rzez KDPW_CCP Wyliczanie deozytów zabezieczających dla rynu asowego (ozycje w acjach i obligacjach) 1. Definicje Ileroć w niniejszych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do algorytmiki
Wprowadzenie do algorytmiki Pojecie algorytmu Powszechnie przyjmuje się, że algorytm jest opisem krok po kroku rozwiązania postawionego problemu lub sposób osiągnięcia jakiegoś celu. Wywodzi się z matematyki
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoWPŁYW TYPU ROZKŁADU CZASU TRWANIA CZYNNOŚCI NA WYNIKI ANALIZY RYZYKA W PLANOWANIU REALIZACJI PRZEDSIĘWZIĘĆ
Dane bibliograficzne o artykule: http://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje mgr inż. Wojciech Bogusz dr hab. inż. Mieczysław Połoński, prof. SGGW mgr inż. Kamil Pruszyński Szkoła Główna Gospodarstwa
Bardziej szczegółowoZapisywanie w wybranej notacji algorytmów z warunkami i iteracyjnych
Temat 2. Zapisywanie w wybranej notacji algorytmów z warunkami i iteracyjnych Cele edukacyjne Usystematyzowanie podstawowych pojęć: algorytm z warunkami, iteracja, algorytm iteracyjny, zmienna sterująca.
Bardziej szczegółowoPROCENT SKŁADANY, OPROCENTOWANIE LOKAT I KREDYTÓW. HARALD KAJZER ZST NR2 im. Mariana Batko
, OPROCENTOWANIE LOAT I REDYTÓW HARALD AJZER ZST NR im. Mariana Batko Prześledźmy losy pewnego kapitału 1000 zł zdeponowanego w banku na lokacie terminowej oprocentowanej 5% w skali roku. o 1000 1 1000+0,05
Bardziej szczegółowoALGORYTM OPTYMALNEGO WYRÓWNANIA WYKRESU ZATRUDNIENIA METODĄ GRAFICZNĄ
ALGORYTM OPTYMALNEGO WYRÓWNANIA WYKRESU ZATRUDNIENIA METODĄ GRAFICZNĄ Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego, Warszawa, ul. Nowoursynowska
Bardziej szczegółowoKlasyczne zagadnienie przydziału
Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem
Bardziej szczegółowoMożliwości arbitrażu na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie z wykorzystaniem kontraktów terminowych
1 Możliwości arbitrażu na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie z wyorzystaniem ontratów terminowych dr Krzysztof Pionte Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Aademia Eonomiczna we Wrocławiu
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE
Równania reurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE 1 Ciągi arytmetyczne i geometryczne Z najprostszymi równaniami reurencyjnymi zetnęliśmy się już w szole Zacznijmy od przypomnienia definicji ciągu arytmetycznego
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH
OPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH Andrzej SZYMONIK, Krzysztof PYTEL Streszczenie: W złożonych sieciach omputerowych istnieje problem doboru przepustowości
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Inducja matematyczna Inducja jest taą metodą rozumowania, za pomocą tórej od tezy szczegółowej dochodzimy do tezy ogólnej. Przyład 1 (o zanurzaniu ciał w wodzie) 1. Kawałe żelaza, tóry zanurzyłem w wodzie,
Bardziej szczegółowodr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW
dr Bartłomiej Roici atedra Maroeonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nau Eonomicznych UW dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Model Solowa z postępem technologicznym by do modelu Solowa włączyć postęp
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 5
Zadania do rozdziału 5 Zad.5.1. Udowodnij, że stosując równię pochyłą o dającym się zmieniać ącie nachylenia α można wyznaczyć współczynni tarcia statycznego µ o. ozwiązanie: W czasie zsuwania się po równi
Bardziej szczegółowoANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA PLANOWANEGO PRZEDSIĘWZIĘCIA BUDOWLANEGO PRZY ZASTOSOWANIU ZBIORÓW ROZMYTYCH
ANALIZA CZASOWO-OSZTOWA PLANOWANEGO PRZEDSIĘWZIĘCIA BUDOWLANEGO PRZY ZASTOSOWANIU ZBIORÓW ROZMYTYCH Andrzej MINASOWICZ, Bartosz OSTRZEWA Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnia Warszawsa, l. Armii Ldowej
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoWPŁYW SZUMÓW KOLOROWYCH NA DZIAŁANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO
ELEKTRYKA 2012 Zeszyt 3-4 (223-224) Ro LVIII Piotr KOZIERSKI Instytut Automatyi i Inżynierii Informatycznej, Politechnia Poznańsa Marcin LIS Instytut Eletrotechnii i Eletronii Przemysłowej, Politechnia
Bardziej szczegółowoFOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS
FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin. 9, Oeconomica 68 54), 55 6 Anna LANDOWSKA ZASTOSOWANIE DYSKRETNEGO PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU
Bardziej szczegółowo13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym
Bardziej szczegółowoPROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE
PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoProgramowanie i techniki algorytmiczne
Temat 2. Programowanie i techniki algorytmiczne Realizacja podstawy programowej 1) wyjaśnia pojęcie algorytmu, podaje odpowiednie przykłady algorytmów rozwiązywania różnych 2) formułuje ścisły opis prostej
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Sławomir Jemielity Zasada inducji matematycznej Są różne sformułowania tej zasady, mniej lub bardziej abstracyjne My będziemy się posługiwać taą: Niech T(n) oznacza twierdzenie dotyczące liczby naturalnej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 4: Wpływ operatorów mutacji na skuteczność poszukiwań AE
Instytut Mechanii i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnia Śląsa www.imio.polsl.pl OBLICZENIA EWOLUCYJNE LABORATORIUM 4: Wpływ operatorów mutacji na suteczność poszuiwań
Bardziej szczegółowoRys Wykres kosztów skrócenia pojedynczej czynności. k 2. Δk 2. k 1 pp. Δk 1 T M T B T A
Ostatnim elementem przykładu jest określenie związku pomiędzy czasem trwania robót na planowanym obiekcie a kosztem jego wykonania. Związek ten określa wzrost kosztów wykonania realizacji całego przedsięwzięcia
Bardziej szczegółowoProcesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku.
Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Uogólnienie na przeliczalnie nieskończone przestrzenie stanów zostało opracowane
Bardziej szczegółowoMetoda rozwiązywania układu równań liniowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników ( 0 )
MATEMATYKA STOSOWANA 7, 2006 Izabella Czochralsa (Warszawa) Metoda rozwiązywania uładu równań liniowych z symetryczną, nieoreśloną macierzą współczynniów ( 0 ) Streszczenie. W pracy zaadaptowano opracowaną
Bardziej szczegółowoTechnika optymalizacji
Algorytmy bezgraientowe Algorytmy optymalizacji loalnej c. Nieliniowe zaanie optymalizacji statycznej bez ograniczeń - nieliniowe algorytmy optymalizacji loalnej c. r inŝ. Ewa Szlachcic Wyział Eletronii
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoCiągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoPROJEKTOWANIE PLANU PRZEPŁYWU ŁADUNKÓW W SYSTEMIE AGV
Technologia i Automatyzacja ontażu 1/2013 PROJEKTOWAIE PLAU PRZEPŁYWU ŁADUKÓW W SYSTEIE AGV Alesander IEOCZY Streszczenie Artyuł zawiera opis podstawowych problemów projetowania systemu AGV oraz stosowanego
Bardziej szczegółowoPlanowanie i organizacja robót inżynieryjnych WF-ST1-GI--12/13Z-PANO. Liczba godzin stacjonarne: Wykłady: 15 Zajęcia projektowe: 30
Karta przedmiotu Wydział: Wydział Finansów Kierunek: Gospodarka przestrzenna I. Informacje podstawowe Nazwa przedmiotu Planowanie i organizacja robót inżynieryjnych Nazwa przedmiotu w j. ang. Język prowadzenia
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Bardziej szczegółowo