a jest równa S 2 2 n 1 kn, był rosnący ), gdzie an ... , x4

Transkrypt

1 I Ciągi stroa k Oblicz sumę: k Ciąg a określoy jest w astępujący sposób: a a a wzór a -ty wyraz tego ciągu i wykaż jego prawdziwość idukcyjie Suma początkowych wyrazów ciągu a a * a dla N a jest rówa S (dla każdego N ogóly tego ciągu Wyzacz parametr k tak, aby ciąg ( a ), gdzie a k, był rosący Rozwiąż rówaie: 0 6 Liczby, są rozwiązaiami rówaia m 0 k 0 Oblicz m i k, wiedząc, że liczby, > Wyzacz ) Wyzacz wzór, gdzie jest liczba aturalą, zaś liczby, są rozwiązaiami rówaia,,, tworzą ciąg geometryczy rosący 7 Trzy liczby rzeczywiste róże od zera tworzą ciąg arytmetyczy, a kwadraty tych liczb zapisae w tym samym porządku tworzą ciąg geometryczy Wyzacz iloraz tego ciągu geometryczego 8 Oblicz sumę, gdzie ostati składik ma cyfr 9 Oblicz:, gdzie jest liczbą aturalą dodatią 0 0 Liczby a, b, c, d są kolejymi wyrazami ciągu geometryczego Oblicz a-d, jeśli b c 88 i ad= Długość boków trójkąta są trzema kolejymi wyrazami ciągu arytmetyczego Jaki waruek spełia stosuek długości ajkrótszego z boków do różicy ciągu, jeśli trójkąt jest rozwartokąty? Ciągi: arytmetyczy i geometryczy (róże od ciągów stałych) składają się z trzech wyrazów dodatich Pierwsze i trzecie wyrazy w obu ciągach są jedakowe Zbadaj, która z sum wyrazów ciągu jest większa?, gdzie ostati wyraz ma cyfr Oblicz sumę Niech p ozacza obwód prawidłowego wielokąta o ciąg (p ) jest rosący II Działaia a liczbach bokach wpisaego w okrąg o promieiu R Wykaż, że Wykaż, ze jeżeli liczba aturala jest iloczyem trzech kolejych liczb aturalych to także sumą trzech kolejych liczb aturalych Oblicz 6 y Zajdź wszystkie liczby aturale, y spełiające rówaie: y y 99 Długości a,b,c boków trójkąta spełiają waruek: Wykaż, że liczba a b b c a b c jest liczbą całkowitą 6 Rozwiąż w zbiorze liczb aturalych układ rówań: y 8 y z 6 y z 90 7 Wykaż, ze liczba 998 ie jest różicą kwadratów dwóch liczb aturalych

2 8 Sumę Zajdź cyfrę jedości liczby zapisz w postaci ułamka ieskracalego Odpowiedź uzasadij stroa 0 Sprawdź, czy liczba jest liczbą wymierą Czy moża wpisać liczby całkowite w kółka a rysuku, aby każda liczba była sumą liczb zajdujących się w dwóch sąsiedich kółkach? Mając dae a a b oblicz wartość wyrażeia b a b Przybliżoa wartość liczby wyosi,6068 Zajdź ie używając kalkulatora przybliżoą wartość liczby za pomocą prostego obliczeia Przy dzieleiu liczby 7 przez liczbę aturalą otrzymujemy resztę 8, a przy dzieleiu lczby 86 przez otrzymujemy resztę 7 Oblicz Wykaż, że jeżeli a, b, c to a b c ab bc ca 6 Wykaż, że liczba ( ) 6( ) jest liczbą całkowitą 7 Wykaż, że Wiedząc, że y oraz y, oblicz y 9 Z ilu składików zbudowaa jest suma: Uzasadij, że liczbą odwrotą do liczby: ( Wiedząc, że a, oblicz? jest ) Uzasadij, że liczba jest większa iż liczba Wykaż, że: 8 88 Wykaż, że: Wykaż, że dla dodatich liczb a i b zachodzi ierówość: ( a b)( ) a b 6 a Która z trzech liczb a, b, c rzeczywistych, dodatich, spełiających waruki b c ajwiększa, a która ajmiejsza? a b c i jest 7 Oblicz: 8 Jaka jest cyfra jedości liczby 9 Uzasadij, że: 0 Czy liczba Która z liczb jest większa: 0 9 ( ) ( ) ( ) ( ) czy? jest liczbą aturalą?

3 Przyjmując, że ( ), y ( ) dla pewego N \{0} Sprawdź prawdziwość hipotezy: ( a bc a b C) ( a, bc), udowodij rówość y y (gdzie C to zbiór liczb całkowitych) Udowodij hipotezę jeśli jest oa prawdziwa albo podaj kotrprzykład jeśli jest oa fałszywa odp Hipoteza jest fałszywa p: a b Oblicz Jaka jest cyfra jedości liczby 6 Uzasadij, że 0 9? stroa 7 Czy liczba jest liczbą aturalą? Która z liczb jest większa: czy? Przyjmując, że 0 Sprawdź prawdziwość hipotezy: ( ), y ( ) dla pewego N \{0}, udowodij rówość ( a bc a b C) ( a, bc) (gdzie C to zbiór liczb całkowitych) Udowodij hipotezę jeśli jest oa prawdziwa albo podaj przykład jeśli jest oa fałszywa y y odp Hipoteza jest fałszywa p: a b Oblicz a a b Uzasadij, że: ab b b, jeśli a b b a b a b, gdy b 0, gdy b 0 a b Wykaż, że dla a b i a b c zachodzi rówość: a c b c Oblicz bez użycia kalkulatora: Zajdź wszystkie liczby aturale dwucyfrowe, które wzrastają dziewięć razy, gdy między cyfrę dziesiątek i jedości wstawimy zero 6 Udowodij, że jeżeli dla każdego R a b c 0 i p q r 0, gdzie 0i p 0 7 to ap bq rc 0 dla każdego R a, 8 Wykaż, że jeżeli y z yz z y y z, to y z 0 9 Wykaż, że liczba: 0 Wykaż, że jeżeli m>0, to m m jest całkowita

4 Udowodij, ze dla każdego R a b c 0 i p q r 0, gdzie a 0 i 0 ap bq rc 0 dla każdego R Dla liczb dodatich, y zachodzi rówość: Ile wyosi suma cyfr liczby ? III Fukcje Wyzacz f(f(f(998))), jeśli f() = Naszkicuj wykres fukcji f() = Zbadaj parzystość i ieparzystość fukcji: Wykaż, że fukcja f ( ) log Naszkicuj wykres fukcji: y oblicz, dla 0 f ( ), dla 0 jest ieparzysta log f ( ) log 6 Sporządź wykres fukcji ( ) 7 Wykaż, że fukcja 8 Wykaż że fukcja f oraz jej pochodej f ) log f ( jest ieparzysta log jest ieparzysta IV Geometria aalitycza Day jest wektor w, Zajdź wektor o długości rówoległy do wektora w Zazacz w układzie współrzędych zbiór puktów P, ys T gdzie: S P, y:,0, y,, T P, y:, y, y y p to stroa Okrąg o promieiu długości jest styczy do prostej o rówaiu y 0 w pukcie, Jakie rówaie ma te okrąg? Dobierz liczby, y tak, aby z odcików długości a, yb Dae są wektory a,, b,, c, oraz c moża było zbudować trójkąt Zazacz w układzie współrzędych zbiór: B, y: R, yr y y 6 Dae są wektory:,, y 0,, z, Wyzacz liczby b wyzaczały trójkąt 7 Day jest kwadrat ABCD, gdzie A,, B,, C,, D, a, tak, aby wektory a, y, bz ograiczoą wykresami fukcji y y Oblicz pole pozostałej części kwadratu 8 W trójkącie ABC dae są:,, B,0, BC,si ABC Z kwadratu wycięto figurę A Wyzacz współrzęde wierzchołka C 9 Zajdź współrzęde wierzchołków prostokąta o maksymalym polu, który zajduje się w I ćwiartce lub w II ćwiartce układu współrzędych, wiedząc, że jego dwa boki zawierają się w osiach układu a jede z wierzchołków jest położoy a paraboli o rówaiu y

5 0 W trójkącie ABC dae są: A ;, ;0 wierzchołka C B, BC, si ABC stroa Wyzacz współrzęde Wyzacz odległość początku układu współrzędych od prostej będącej wykresem fukcji y Narysuj liię określoą rówaiem: y Oblicz jej długość Napisz rówaie okręgu przechodzącego przez pukt (,) i styczego do obu osi układu współrzędych Przy jakim waruku dla liczb a, b, c okrąg o rówaiu : y a by c 0 jest styczy od osi OX? a Daa jest fukcja ( ), o dziedziie 0; ), gdzie a R Wykaż, że pole powierzchi trójkąta ograiczoego osiami układu współrzędych oraz styczą do wykresu tej fukcji ie zależy od puktu styczości 6 Napisz rówaie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędych i oddaloej od puktu A (,) o 7 Napisz rówaie okręgu o środku S (, ) styczego do prostej y a 8 Daa jest fukcja f, o dziedziie 0 ;, gdzie a R Wykaż, że pole powierzchi trójkąta ograiczoego osiami układu współrzędych oraz styczą do wykresu tej fukcji ie zależy od puktu styczości 9 Napisz rówaie okręgu o środku S=(,) styczego do prostej y = - 0 Dla jakich wartości parametru m krzywa daa rówaiem: y my m 0 ie ma puktów wspólych osią odciętych? y Oblicz jej długość Narysuj liię określoą rówaiem: V Fukcja Kwadratowa Wykaż, że rówaie b c 0 VI Logarytmy Rozwiąż ierówość: o ieparzystych współczyikach ie ma pierwiastków całkowitych log Przyjmij, że a log i b log Wyraź log prz pomocy a i b Rozwiąż ierówość: log log log 6 Rozwiąż ierówość: odp 0 VII log Nierówości Wykaż, że jeżeli i y to y Rozwiąż ierówość: 0 Dae są zbiory A R : B R : a A B był jedoelemetowy VIII Parametry Liczby rzeczywiste, y, a spełiają układ rówań: wyrażeie +y przyjmuje wartość ajmiejszą? y a 8 y a 6a Wyzacz taką liczbę a, aby zbiór Dla jakich wartości parametru a

6 Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań ierówości + 0 < m jest pusty? stroa 6 Wyzacz wartości parametru a, dla których rówaie a ma ieskończeie wiele rozwiązań? Zbadaj liczbę rozwiązań rówaia m m w zależości od parametru m R Zbadaj liczbę rozwiązań rówaia k w zależości od parametru k ( k R ) 6 Dla jakiej wartości parametru a rówaie: a ma ajwiększą liczbę pierwiastków? 7 Dla jakich wartości parametru m wyrażeie 8 m jest określoe dla każdej liczby rzeczywistej? 8 Daa jest fukcja f ( )a b c, gdzie a b, c R związek: a b c0 ; ;, Dla jakich wartości parametru a,b,c zachodzi 9 Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań ierówości 0 m jest pusty? 0 Dla jakich wartości parametru a rozwiązaiem ierówości a jest zbiór \ ; R? W zależości od wartości parametru k określ liczbę rozwiązań rówaia k 0 fukcji y f k, gdzie k f ozacza liczbę rozwiązań daego rówaia Narysuj wykres Daa jest fukcja f ( ) m Wyzacz zbiór wartości parametru m, dla których rówaie f ( f ( )) 0 Dla jakich wartości parametru k rówaie: ( ) ( k ) k 0 k ma cztery róże pierwiastki? Dla jakich wartości parametru a dziedzią fukcji f ) a a a Naszkicuj wykres fukcji y f (m), gdzie (m) m m 0 6 Daa jest fukcja f ( ) m f ( f ( )) 0 ma cztery róże pierwiastki ( jest zbiór liczb rzeczywistych? f ozacza sumę kwadratów pierwiastków rówaia Wyzacz zbiór wartości parametru m, dla których rówaie 7 Zajdź te wartości współczyików współczyików a i b rówaia: b 0 dla których dwa spośród jego rozwiązań są liczbami przeciwymi 8 Dla jakiej wartości parametru m rówaie m ma dokładie trzy rozwiązaia? 9 Dla jakich wartości parametru a dziedzią f()= a a a a o iewiadomej, 0 Naszkicuj wykres fukcji y = f(m), gdzie f(m) ozacza sumę kwadratów pierwiastków rówaia m m 0 Daa jest fukcja f() = cztery róże pierwiastki m Wyzacz zbiór wartości parametru m, dla których rówaie f(f()) = 0 ma Zbadaj liczbę pierwiastków rówaia m w zależości od parametru m Dla jakich wartości parametru k rówaie: k k 0 k ma cztery róże pierwiastki? Dla jakich wartości parametru m rówaie m ie ma rozwiązaia? y Zbadaj liczbę rozwiązań układu rówań w zależości od parametru k y k 6 Dla jakich wartości parametru t rówaie t 7 Dla jakich wartości parametru a zbiór rozwiązań układu: ma dwa róże pierwiastki dodatie? y y 0 y a jest zbiorem pustym?

7 IX Plaimetria stroa 7 Trapez, którego boki mają długości: cm, 6 cm, 6 cm, 6 cm obracamy o 60 wokół prostej zawierającej ramię tego trapezu Oblicz objętość i pole powierzchi całkowitej powstałej bryły Okrąg wpisay w trójkąt prostokąty dzieli puktem styczości przeciwprostokątą a odciku o długościach a i b Wyzacz pole tego trójkąta przy pomocy liczb a oraz b Jede z kątów trójkąta ABC ma miarę 0 0 Długość boków tego trójkąta tworzy ciąg arytmetyczy Oblicz stosuek długości boku ajkrótszego do długości boku ajdłuższego tego trójkąta Przekąta trapezu ABCD, o podstawkach AB i CD, przeciają się w pukcje E Oblicz pole tego trapezu wiedząc, że trójkąt ABE ma pole p, zaś trójkąt DCE ma pole q Czy dwusiecze dwóch kątów wewętrzych trójkąta mogą przeciać się pod kątem prostym? Odpowiedź uzasadij 6 Kolejka toczy się po torach w kształcie okręgu Rozstaw szy jest rówy cm Podczas jedego pełego okrążeia kółko wagou toczące się po wewętrzym okręgu wykoało o obroty więcej iż kółko toczące się po zewętrzym okręgu Jaka jest średica kółek wagou? (Przyjmij, że średice wszystkich kółek są rówe) 7 Day jest prostokąt ABCD Pukty E i F są środkami boków, odpowiedio AB i AD Odciki ED i FD przeciają się w pukcie O Oblicz stosuek pól czworokątów AEOF i BCDO 8 Wyzacz, że jeżeli długość odcika łączoego środki podstaw trapezu jest rówa długości odcika łączącego środki przekątych tego trapezu, to suma miar kątów wewętrzych przy krótszej podstawie jest rówa Dae są róże pukty A i B Jaki zbiór tworzą wszystkie pukty X, dla których miara kąta AXB wyosi Promień okręgu wpisaego w trójkąt prostokąty ma długość Oblicz długości boków tego trójkąta wiedząc, że są oe liczbami aturalymi Jakie położeie ma różych puktów a płaszczyźie, a której wyzaczają 6 różych prostych? Długość podstaw trapezu róworamieego opisaego a okręgu wyoszą cm i 8 cm Jaką długość apromień tego okręgu? Na dwóch przeciwległych bokach kwadratu o boku długości a budujemy wewątrz kwadratu trójkąty rówobocze Oblicz pole wspólej części tych trójkątów Oblicz długość promieia okręgu wpisaego w trójkąt prostokąty, którego przyprostokąte mają długość 6 cm i 8 cm Narysuj prostokąt, a astępie podziel go dwoma odcikami a trzy trójkąty podobe, których suma pól jest rówa polu prostokąta Uzasadij swoje rozwiązaie 6 W trójkącie ABC poprowadzoo dwusiecze dwóch kątów wewętrzych Wyraź miarę kąta rozwartego między tymi dwusieczymi za pomocą miary trzeciego kąta daego trójkąta 7 W trapezie ABCD o podstawach AB i CD, pukt O jest puktem wspólym przekątych Oblicz pole trapezu, wiedząc, że pole trójkąta ABO jest rówe 6 cm, a pole trójkąta CDO jest rówe cm 8 Wykaż, że w trójkącie prostokątym suma długości przyprostokątych jest rówa sumie długości średic okręgów wpisaego i opisaego a tym trójkącie 9 Trójkąt przedstawioy a rysuku jest trójkątem rówoboczym o boku długości a Oblicz pole zacieioej figury (powstałej po odjęciu od trójkąta kół o środkach w wierzchołkach trójkąta i promieiu długości ) a 0 Dae są róże pukty A i B Jaki zbiór tworzą wszystkie pukty X, dla których miara kąta AXB wyosi 90? Wykaż, że jeżeli wierzchołki trójkąta są puktami o współrzędych wymierych, to tagesy kątów tego trójkąta są liczbami wymierymi (o ile te tagesy istieją) Środek okręgu wpisaego w trapez prostokąty zajduje się w odległości i 8 od wierzchołków ramieia pochyłego względem podstaw Wyzacz pole trapezu Czy dwusiecze dwóch kątów trójkąta mogą się przeciać pod kątem prostym? Który z trójkątów prostokątych wpisaych w okrąg o promieiu długości r ma ajwiększe pole? Oblicz miary kątów rombu, w którym długość boku rombu jest średią geometrycza długości jego przekątych 6 Na odciku AB o długości 0 obrao pukt M, a astępie zbudowao kwadrat o boku AM oraz trójkąt rówoboczy o boku MB W jakiej odległości od puktu A ależy obrać pukt M, aby suma pól kwadratu i trójkąta była ajmiejsza? 7 Długości boków trójkąta, którego jede kąt ma miarę 0 0 tworząc ciąg arytmetyczy Jakie są stosuki długości boków tego trójkąta? 8 Przekąte czworokąta wypukłego ABCD przeciają się w O Wykaż, że iloczy pól trójkątów AOB i COD jest rówy iloczyowi pól trójkątów BOC i AOD

8 stroa 8 9 Prosta rówoległa do podstawy AB trójkąta ABC przecia bok AC w pukcie M i dzieli te trójkąt a dwie figury o rówych polach W jakim stosuku prosta ta dzieli bok AC daego trójkąta? 0 W trapezie ABCD(AB CD), a którym moża opisać okrąg połączoo wierzchołek D z puktem E, który jest środkiem boku BC Oblicz pole trapezu, wiedząc, że DE = cm, CD =cm i miara kąta EDC jest rówa 0 0 Wykaż, że jeśli w trójkącie o bokach długości a, b, c - jest miarą kąta leżącego aprzeciw boku o długości a to a zachodzi ierówość: si bc Promień okręgu wpisaego w trójkącie prostokątym ma długość Oblicz długość boków tego trójkąta wiedząc, że są oe liczbami aturalymi Oblicz miarę kąta ostrego wyzaczoego przez przekąte, gdy daa jest miara kąta miedzy przekątą i dłuższym bokiem O ile procet wzrośie pole koła, jeżeli jego obwód zwiększymy o p%? W okrąg wpisao kwadrat i opisao a im trójkąt rówoboczy Różica długości boków trójkąta i kwadratu wyosi 0cm Oblicz pole koła, którego brzegiem jest day okrąg 6 Zajdź wszystkie prostokąty, które moża rozciąć a 7 przystających kwadratów 7 Wykaż, że jeżeli puk P ależy do trójkąta ABC, to AP BP AC BC 8 Przyjmij, ze pukt Q jest środkiem ciężkości trójkąta ABC Wykaż, że AQ BQ CQ 0 9 Day jest ostrosłup o rówych krawędziach boczych, w którym podstawą jest czworokąt ABCD Wiedząc, ze kąt 0 ma miarę 0, podaj miarę kata ABC 0 W trójkącie prostokątym ABC, o kącie przy wierzchołku C, obrao pukt P tak, że trójkąty PAB, PBC, PAC mają rówe pola Wyraź w zależości od dodatiej liczby m długość odcika PC, wiedząc, ze PA PB m Day jest trójkąt rówoboczy o boku długości a Przez środek D jedego z boków tego trójkąta poprowadzoo prostą tworzącą z tym bokiem kat osty i mierze α i dzielącą te trójkąt a dwie figury, których stosuek pól jest rówy : 7 Wyzacz miarę α X Podzielość Zajdź wszystkie liczby aturale, dla których liczba jest podziela przez Wyzacz wszystkie pary liczb całkowitych spełiających rówaie: y y 0 Wykaż, że wyrażeie ( jest liczbą całkowitą) jest kwadratem liczby całkowitej Wykaż, że liczba 00 jest podziela przez Wykaż, że liczba 00 jest podziela przez 8 6 Wykaż, że liczba złożoa z 8 jedyek jest podziela przez 8 7 k Wyzacz wszystkie liczby aturale k, tak aby liczba 0 dzieliła liczbę : przy każdym 8 Udowodij, że kwadrat każdej liczby ieparzystej pomiejszoej o jest podziely przez 8 9 Zajdź wszystkie liczby aturale, dla których liczba jest podziela przez N \ 0 0 Liczba aturala przy dzieleiu przez daje resztę, atomiast przy dzieleiu przez 6 daje resztę Jaką resztę otrzymamy z dzieleia liczby przez 0? Przy dzieleiu liczb, y, z przez otrzymujemy odpowiedio reszty:,, Zajdź resztę z dzieleia sumy kwadratów liczb, y, z przez liczbę Wykaż, że liczba postaci 0 dla N \ {0} jest podziela przez 6 Wiadomo, że liczby aturale a i b spełiają rówość a 7b Wykaż, że liczba a b jest złożoa XI Prawdopodobieństwo Na okręgu wybrao 0 różych puktów Ile powstaie odcików, gdy połączymy każde dwa pukty? W urie zajduje się kul czarych, białych, 6 czerwoych zieloych Ile co ajmiej kul ależy wyjąć z ury ie zaglądając do iej, aby mieć pewość, że wśród wyjętych kul będzie 0 tego samego koloru?

9 Ze zbioru {,,,,,6 } losujemy razy, gdzie, po jedej liczbie ze zwracaiem Oblicz stroa 9 prawdopodobieństwo zdarzeia polegającego a tym, że iloczy wylosowaych liczb jest podziely przez W urie zajduje się kul czarych, białych, 6 czerwoych, zieloych Ile co ajmiej kul ależy wyjąć z ury ie zaglądając do iej, aby mieć pewość, że wśród wyjętych kul będzie 0 tego samego koloru? XII Rówaia Rozwiąż rówaie: Rozwiąż rówaie: Rozwiąż rówaie: =0 Rozwiąż rówaie: + y z + + =0 + y =0 =0 o iewiadomej N Wyzacz takie liczby wymiere, y, aby 6 y 6 Rozwiąż rówaie 0 7 Rozwiąż rówaie odp = 8 Rozwiąż rówaie 9 Rozwiąż rówaie 0 0 Wyzacz wszystkie liczby całkowite spełiające rówaie Rozwiąż rówaie 8 XIII Róże Ile jest dróg z A do B, jeśli wolo poruszać się tylko w górę lub a prawo? Przyjmując, że zapis rozstrzygij, czy jest to liczba aturala przedstawia pewą liczbę rzeczywistą Rozwiąż rówaie (Symbol a ozacza ajwiększą liczbę całkowitą, która ie jest większa od liczby a) Rozwiązaiami rówaia a b 0 całkowite dodatie Dowieść, że liczba a b jest złożoa o iewiadomej i o współczyikach całkowitych są liczby Wśród piętastu moet zewętrzie jedakowych, jeda jest fałszywa i różi się ciężarem od pozostałych Jak za pomocą dwukrotego użycia szalkowej wagi, bez odważików odkryć, czy moeta fałszywa jest cięższa czy lżejsza? XIV Tekstowe Średi wiek zawodiczek sekcji gimastyczej wyosi lat Najstarsza zawodiczka ma 7 lat, zaś średik wiek pozostałych jest rówy 0 lat Ile gimastyczek jest w sekcji gimastyczej? Wiadomo że czasu, który upłyął od półocy rówa się czasu, który pozostał jeszcze do połudia O której to było godziie? Opowiedz uzasadij

10 stroa 0 Wyzacz graficzie zbiór A B gdy: A={(,y): R i y R i y = y- } B= { (,y); R i y R i y } y Dwie beczki zawierają razem a litrów wody Jeżeli z pierwszej przelejemy do drugiej tyle, aby jej zawartość podwoiła się, a astęie z drugiej przelejemy do pierwszej tyle, aby jej zawartość podwoiła się, to w obu beczkach będzie tyle samo wody Oblicz, ile wody było a początku w każdej beczce Spośród 00 ucziów liceum 00 wzięło udział w olimpiadzie matematyczej 80 w fizyczej i 60 w iformatyczej w tym w matematyczej i w fizyczej, 6 w matematyczej i iformatyczej, w fizyczej i iformatyczej, a ucziów wzięło udział we wszystkich trzech olimpiadach Ile ucziów wzięło udział: a tylko w olimpiadzie matematyczej b dokładie w jedej olimpiadzie c w co ajmiej jedej olimpiadzie 6 Mam cztery razy więcej lat iż moja siostra wtedy, gdy była razy młodsza ode mie Razem mamy 70 lat Ile lat mam teraz 7 Ceę pewego towaru podiesioo o % O jaki procet ależy teraz obiżyć ceę, aby powróciła oa do poprzediego poziomu? 8 Zajdź liczbę czterocyfrową, której suma wyosi, cyfra dziesiątek staowi 80 % cyfry setek, a cyfra tysięcy jest 7 razy miejsza od sumy cyfr jedości i dziesiątek 9 Zapytay w XX wieku o rok urodzeia, mężczyza odpowiedział: w roku a miałem a lat Podaj rok urodzeia tego mężczyzy 0 Suma pól dwóch figur podobych wyosi cm Oblicz pole każdej z figur, jeżeli skala ich podobieństwa jest rówa 0, W grupie 00 osób język agielski za 8 osób, język iemiecki 7 osób, język fracuski 60 osób, a język hiszpański 90 osób Ile, co ajmiej osób za wszystkie języki? XV Trygoometria Wyzacz zbiór wartości parametru a, dla których rówaie si cos a ie ma rozwiązaia Dla jakich całkowitych wartości k liczby: si( ciąg arytmetyczy? ) k, si k, si( ) Udowodij rówość: cos 0 cos 0 cos80 0, Oblicz wartość tg 0 bez użycia kalkulatora Wyzacz zbiór wartości parametru a, dla których rówaie cos a 6 Wyzacz ajmiejszą wartość fukcji 6 f ( ) si 6 cos odp 7 Oblicz 8 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest ierówość: k w podaej kolejości tworzą cos ie ma rozwiązaia f si si 0; y mi dla k : k C si cos tg, gdy i są kątami ostrymi trójkąta prostokątego ( cos ) si 6 6 si cos 6 6 odp 6 6 si cos si si 0; si cos ; 6 6 si cos si 9 Naszkicuj wykres fukcji oraz określ jej zbiór wartości, gdy f ( ) cos si odp Patrz rysuek iżej 0 Oblicz bez użycia tablic: cos cos cos odp 0,

11 Naszkicuj wykres fukcji f ( ) si odp Patrz rysuek iżej cos Rozwiąż ierówość: cos ; dla Przyjmij że: si + cos = a Wyraź si cos jako fukcję a Wykaż że jeśli α,β,γ ozaczają miary kątów trójkąta, to si α + si β > si γ si Rozwiąż ierówość: si dla ; 0 6 Zbadaj, jaki ciąg tworzą wszystkie pierwiastki rówaia: si cos 0 stroa

12 XVI Wektory Wektory jedostkowe a i b spełiają waruek: a b XVII Wielomiay Zajdź kąt między wektorami a i b Oblicz sumę wszystkich współczyików wielomiau: W Dla jakich całkowitych liczb a, pierwiastki rówaia a a a 0 całkowitymi? a są liczbami Wykaż, że dla każdego całkowitego wartość wielomiau W liczbą całkowitą Zajdź ajmiejszą wartość wielomiau W 0 Wykaż, że wielomia 0 jest W ma tylko jedo miejsce zerowe 6 Wyzacz wszystkie liczby całkowite a,b,c takie, że trójmia y a b c b odp A=-, b=, c=6 7 7 Zajdź ajmiejszą wartość wielomiau W ma pierwiastki 8 Dla jakich wartości parametru m reszta z dzieleia, wielomiau m m dwumia a stroa i W przez m jest większa od sumy, a miejsza od iloczyu pierwiastków tego wielomiau f a b c, gdzie a będzie C f ie ma pierwiastków rzeczywistych 9 Daa jest fukcja d ieparzystymi, to rówaie 0 Wykaż, że jeśli f 0 i 0 Zajdź te wartości współczyików współczyików a i b rówaia: b 0 dla których dwa spośród jego rozwiązań są liczbami przeciwymi Wykaż, że dla każdej liczby aturalej wielomia P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jest podziely przez XVIII Wykładicza Naszkicuj wykres fukcji log f ( ) f są liczbami a o iewiadomej, ( ) Rozwiąż rówaie: 9 0 Dla jakich a R rówaie: a 0 ma dwa róże dodatie pierwiastki? Rozwiąż rówaie: 6 Dla jakich wartości parametru m rówaie m m XIX Zbiory ma dokładie jedo rozwiązaie? Podaj przykład zbioru B, jeśli wiadomo, że A ;0 ; oraz A ' B' ; 6; Dla jakich wartości a, r R zbiór A B jest jedoelemetowy, gdy: A, y: R, y R y B y: R, y R a, y r Zazacz w układzie współrzędych zbiór \ B A, gdzie A, y: R, y R y y B, y: R, y R y 0 Sprawdź czy pukt P ; Zazacz w układzie współrzędych zbiór A y: R, y R si y ależy do tego zbioru, 0