Plan wykładu. Wykład 2. Rzutowanie równoległe i perspektywiczne. Układ współrzędnych, zasady rzutowania. Układ współrzędnych, zasady rzutowania

Transkrypt

1 Plan wkładu Wkład 2 Rutwanie równległe i ersektwicne 1. Układ wsółrędnch, asad rutwania 2. Rutwanie równległe 3. Rutwanie ersektwicne 4. Ogóln radek rutwania Układ wsółrędnch, asad rutwania Układ wsółrędnch, asad rutwania Lewskrętn układ wsółrędnch i rutnia: rutnia (ekran) bserwatr ś ś ś Jeśli atrm ddatnieg kierunku si w strnę śrdka układu wsółrędnch, t brót 90 w kierunku gdnm ruchem wskaówek egara, rekstałci jedną ddatnią ś w drugą. Wartści wsółrędnej są więkse dla unktów leżącch dalej d bserwatra. Zadanie rutwania: Dane: is biektu w układie wsółrędnch. łascna rutwania (rutnia Π ). Jak uskać bra biektu na rutni? Stsuje się wkle jeden dwóch ssbów rutwania. 1. Rutwanie równległe 2. Rutwanie ersektwicne 1

2 Układ wsółrędnch, asad rutwania Układ wsółrędnch, asad rutwania Rutwanie równległe Rutwanie ersektwicne P 1 P 2 P 1 P 2 Π rutnia P 1 P 2 P 1 P 2 Π rutnia bserwatr bserwatr (śrdek rjekcji) Punkt P 1 i P 2 stał reniesine na rutnię, wdłuż rstch równległch. Punkt recięcia rstch rutwania rutnią są braami rutwanch unktów. Punkt P 1 i P 2 stał reniesine na rutnię, wdłuż rstch recinającch się w jednm unkcie (śrdku rjekcji). Punkt recięcia rstch rutwania rutnią są braami rutwanch unktów. Rutwanie równlegle Rutwanie równlegle Wróżnia się wkle dwa radki : rste rutwania recinają rutnię d kątem rstm (rut inw), rste rutwania recinają rutnię d kątem innm niż kąt rst (rut ukśn). 1. Rut inw Prste rutwania recinają rutnię d kątem rstm. Prkład: Obiekt - seścian jednstkw Rutnia Π - łascna (-) (1,2,1) (1,2,2) (2,2,2) (2,2,1) (2,1,2) (1,1,1) (2,1,1) Jeśli rste rutwania recinają rutnię d kątem rstm, t rut biektu wgląda nastęując. (1,2,1) (1,2,2) (2,2,2) (2,2,1) (2,1,2) (1,1,1) (2,1,1) Jeśli rutnią Π jest łascna (-), t równania isujące wiąek międ wsółrędnmi rutwaneg unktu (,, ) a wsółrędnmi jeg rutu (,, ) rjmują stać: 2

3 Rutwanie równlegle = = = 0 Rutwanie równlegle Zastswanie rutu inweg - rsunek technicn. Definiując rutnie jak łascn (-), (-), (-), bądź łascn d nich równległe, mżna uskać rut rdu, bku, gór itd. Dla rkładu: Własnści braów wknanch techniką rutu inweg: rut dcinków równległch d rutni mają taką samą długść jak te dcinki, rut dcinków rstadłch d rutni są unktami. rut bku rut gór Rutwanie równlegle 2. Rut ukśn Prste rutwania recinają rutnię d kątem innm niż kąt rst. Jak jednnacnie rientwać rste rutwania wględem rutni? (,, ) α L Φ (, ) Π (, ) Rutwanie równlegle Ab jednnacnie rientwać rstą rutwania wględem rutni, róc kąta α treba adać ddatkw arametr n. kąt Φ. Z rsunku widać, że = + LcsΦ = + LsinΦ dstawiając tg α = = L 1 L 1 i dalej (,, ) L = L 1 α L Φ (, ) Π (, ) uskuje się równania 3

4 Rutwanie równlegle Rutwanie równlegle = + ( L = + ( L 1 1 csφ csφ ) = + tgα sinφ sinφ ) = + tgα Dla rkładu seścianu jednstkweg, mżna kaać interretację arametrów rutwania na utwrnm braie. L 1 Π Parametrami definiującmi rut ukśn są wiec kąt Φ L 1 = 1 / tgα i dległść lub ara kątów Φ i α. Pwżs rsunek wjaśnia także metdę knstrukcji rsunkwej rutu ukśneg seścianu. Φ Rutwanie równlegle Prkład: Wrwadne wceśniej równania walają na wknwanie rutów ukśnch dla dwlnch estawów arametrów L 1 i Φ. W raktce stsuje się jednak najcęściej ewne twe estaw arametrów rutwania. Wknane staną cter rut ukśne seścianu jednstkweg. Rutwanie równlegle 1. L 1 = 1 / tgα = 1, α = 45 (rut kawalerjski) (1,2,2) (2,2,2) (1,2,1) (2,2,1) (2,1,2) (1,1,1) (2,1,1) Φ = 30 Φ = 45 4

5 Rutwanie równlegle Rutwanie ersektwicne 2. L1 = 1 / tgα = 1 / 2, α 63 (rut gabinetw) Jak na łascźnie brawać biekt trójwmiarwe, ab bserwatr atrąc na taki bra dniósł wrażenie, że widi świat trójwmiarw? Niektóre cnniki jakie należ uwględnić r róbie siągnięcia wrażenia restrennści na braie łaskim: Gemetria brau - biekt, które są w recwistści dalej, wdają się mniejse, - linie, które są w recwistści równległe, wdają się bieżne. Φ = 30 Φ = 45 Włw świetlenia scen na t, c widi bserwatr - świetlenie wierchni biektów scen, - interakcje świetlne międ biektami, cienie. Rutwanie ersektwicne Prkład (miniatura średniwiecna): Rutwanie ersektwicne Fili Brunelleschi ( ) - architekt, reźbiar La Smme le R (1290) British Museum, Lndn Kuła katedr we Flrencji Batsterium św. Jana Fili Brunelleschi jest uważan a dkrwcę świadmie stswanej metd rutu ersektwicneg. Narswał n bra ersektwicn batsterium św. Jana, sługując się sstemem dwóch wierciadeł. 5

6 Rutwanie ersektwicne Paweł Uccell ( ) - malar Rutwanie ersektwicne Masacci ( ) - malar P. Uccell Bitwa d san Rman Masacci Grs cnsw Rutwanie ersektwicne Rafael Santi ( ) - malar Rafael Skła ateńska Rutwanie ersektwicne Urądenie d wknwania rutów ersektwicnch: Albrecht Dürer ( ) Pucenie miereniu crklem i linią r. Pr mc trech nici mżes renieść na bra każdą rec, którą [tmi nićmi] mżna dsięgnąć narswać na desce. Cń ted tak: jeśli jesteś w sali, wbij w ścianę dużą silę dużm uchami rjmij, że t jest k. Pre t [uch] reciągnij mcną nić i awieś u dłu na niej łwian ciężarek: Ptem staw stół lub deskę tak dalek jak echces d ucha sili, w której jest nić. Ustaw na tm [stle] rstą [inwą] ramę recnie d ucha sili, wżej lub niżej, w jaką echces strnę, a w tej ramie niech będą drwicki, które mżna b twieraći amkać. Prbij d nich dwie nici, które b bł tak długie jak inwa rama jest serka i długa, u gór i śrdku ram i staw b tak wisiał. Ptem rób długi metalw stft, któr na redie, na stru miałb uch igielne; rewlec reeń długą nić, która reciągnięta jest re uch sili w ścianie i renieś igłę i długą nić re ramę na ewnątr. Daj ją kmuś innemu d ręki i ilnuj dwóch innch nici, które wisą r ramie. A tera użwaj ich tak: łóż lutnię c cklwiek ci się dba tak dalek d ram, jak echces bleb leżała be mian tak dług jak będies jej trebwał. Każ tera mcnikwi naciągać igłę nicią d najbardiej isttnch unktów lutni. A ile ra atrma się na na którmś tch unktów i nanie długą nić, naciągnij awse dwie nici r ramie na krż, w miejscu [gdie rechdi] długa nić, i rleiaj je w bu miejscach wskiem d ram, a d mcnika właj b uścił długą nić. Wted amkaj drwicki i wrswuj na desce ten sam unkt w miejscu gdie nici się krżują. Ptem twieraj nów drwicki i cń tak sam innm unktem - aż wunktujes całą uełnie lutnię na desce. Ptem łąc liniami wsstkie unkt lutni, które najdują się na desce - wówcas bacs, c teg wjdie. Mżes w ten ssób drswać i inne rec. 6

7 Rutwanie ersektwicne Rutwanie ersektwicne rama drwicki uch długa nić (, ) (,, ) krótkie nici ciężarek Jak wraić wiąek międ wsółrędnmi unktu (,, ) a wsółrędnmi jeg rutu (, ) r mc równań? Rutwanie ersektwicne Rutwanie ersektwicne Zależnść międ wsółrędnmi unktu (,, ) a unktu (,, ) isuje układ równań arametrcnch: (,, ) (,, 0) d (,, ) śrdek rjekcji = u = u = ( + d )u 0 u 1 Ab wnacć wsółrędne unktu rutu (,, 0 ) należ więc blicć u, dla któreg = ( + d )u = 0 Rwiąaniem równania jest u = + d Pdstawiając blicne u d układu równań arametrcnch isującch wsółrędne unktu (,, ) trmuje się równania d = + d d = + d 7

8 Rutwanie ersektwicne Ogóln radek rutwania Jak wglądają bra ersektwicne? W rednich rważaniach rutnia leżała na łascźnie (-). Prkład: (1,2,2) (2,2,2) C rbić gd rutnia jest ustuwana inacej? Jaki będie w takim radku efekt rutwania? (1,2,1) (2,2,1) (2,1,2) (1,1,1) (2,1,1) Sfrmułwanie rblemu: 1. Dan jest układ rstkątn wsółrędnch ewnętrnch (wrld crdinates) i isan w tm układie biekt. d = 3 d = 20 Gd d rut ersektwicn staje się rutem inwm. 2. W układie wsółrędnch ewnętrnch isan jest drugi układ wsółrędnch rstkątnch wan układem bserwatra (viewing crdinates). Ogóln radek rutwania Ogóln radek rutwania Mdel sntetcnej kamer: w, w, w układ ewnętrn v, v, v układ bserwatra Rwiąanie: biekt 1. Zaisać biekt w układie wsółrędnch bserwatra (relicć wsółrędne biektu układu ( w, w, w ) na układ ( v, v, v ). 2. Wknać rutwanie (n. ersektwicne) na łascnę w w v v v w Ab wknać krk 1 najleiej jest kreślić transfrmacje łżną ( transfrmacji elementarnch). Składanie transfrmacji elementarnch mże dbwać się według nastęującej rcedur: 1. Presunięcie śrdka układu bserwatra d śrdka układu wsółrędnch ewnętrnch. 2. Obrót resunięteg układu bserwatra wkół si w, tak ab ś v nalała się na łascźnie ( v - v ). 3. Obrót układu bserwatra wkół si v, tak b ś v krła się sią w. 4. Obrót układu bserwatra wkół si w, ab sie v i v krł się siami w i w. ( v - v ). 8

9 Ogóln radek rutwania Ogóln radek rutwania Zastswanie dla rutu ersektwicneg: Klasfikacja rutów ersektwicnch Krterium klasfikacji - licba si układu wsółrędnch ewnętrnch ( w, w, w ), które recinają rutnię ( v - v ). Jak wglądają bra ersektwicne dla różnch łżeń rutni? 1. Persektwa jednunktwa (rutnia ( v - v ) leż na łascźnie ( w - w ) ). biekt v w biekt w v v Prn unkt bieżnści v w v w w v jedna ś ( w ) recina rutnię w tr sie recinają rutnię Na braie ersektwicnm rste, na którch leżą bra niektórch krawędi seścianu biegają się w jednm unkcie (rn unkt bieżnści, vanishing int). Ogóln radek rutwania Ogóln radek rutwania 2. Persektwa dwuunktwa. Dwie sie układu wsółrędnch ewnętrnch ( w, w, w ) recinają rutnię ( v - v ) P 1 P 2 Seścian jednstkw w ersektwie dwuunktwej Canalett ( ) - Plac św. Marka w Wenecji Na braie ersektwicnm seścianu jawił się dwa rne unkt bieżnści. 9

10 Ogóln radek rutwania Ogóln radek rutwania 3. Persektwa trójunktwa. Tr sie układu wsółrędnch ewnętrnch ( w, w, w ) recinają rutnię ( v - v ) Seścian jednstkw w ersektwie trójunktwej E. Her (1923) - The Mansard Rf Na braie ersektwicnm seścianu mżna anacć tr rne unkt bieżnści. Ogóln radek rutwania Ogóln radek rutwania Prkład: G. O'Keefe (1926) - Cit Night Pietr Lrenetti (1432) - Birth f Mar Hans Memling (1490) - Flwer still-life 10