PRZEKSZTAŁCENIA W PRZESTRZENI 3D czyli matematyczny zawrót głowy. Część2 :Rodzaje układów współrzędnych. Obroty i Skalowanie

Transkrypt

1 PRZEKSZTAŁCENIA W PRZESTRZENI 3D cli matematcn awrót głow Cęść :Rodaje układów wpółrędnch. Obrot i Skalowanie Witam wtkich agorałch grafików. Tak jak piałem w popredniej cęści nach matematcnch roważań, pootał nam do głębienia agadnienia dotcące rodajów układów wpółrędnch ora obrotów i kalowania w pretreni 3D (no i jece rutowania ale to już w natępnej cęci). W prpadkach obrotów i kalowania prda nam ię wieda Kącika Matematcnego jaki awarłem w poprednim artkule. Zatem Ci któr nie pamiętają o co chodi w operacjach na macierach niech cm prędej ięgną po popredni numer i prpomną obie podtawowe aad mnożenia macier ab w pełni roumieć problematkę obrotów i kalowania. Zanim jednak prejdę do omawiania dalch prektałceń, powiem (a racej napie) trochę o rodajach układów wpółrędnch jakie można napotkać w grafice 3D. Podca prac oftem graficnm można ię etknąć kilkoma rodajami układów, natomiat najważniejmi ą układ wpółrędnch widoku (View), globaln układ wpółrędnch (World) ora lokaln układ wpółrędnch (Local). Układ wpółrędnch widoku jet domślnm układem wpółrędnch tranformacji (np. w 3D Studio), któr opiera romiecenie oi X,Y i Z na oknie widokowm. Układ wpółrędn tego tpu jet wkortwan domślnie pre wtkie ortogonalne widoki cen. Globaln układ wpółrędnch (World), jet tandardowm układem określającm wpółrędne pretreni świata. W układie tm oie X, Y, Z ą utawione awe w tm amm kierunku. Wtkie obiekt umiecone w świecie poiadają włane lokalne układ wpółrędnch (Local), wkortwane głównie pr obracaniu podca którego obracam również tenże lokaln układ wpółrędnch. Poa tmi układami itnieje jece bardo ważn układ wpółrędnch rodica (Parent). Układ ten wkortuje ię w prpadkach tworenia hierarchii obiektów rodic potomek. Jeżeli poiadam obiekt potomn, powiąan obiektem maciertm, to lokaln układ wpółrędnch obiektu maciertego taje ię również lokalnm układem wpółrędnch obiektu potomka. Układ wżej opiane toowane ą w grafice 3D (właca w programach tpu 3D Studio) decdowanie najcęściej. Poniżej predtawię obiekt i powiąane nimi omówione układ wpółrędnch omówione powżej. Ukł. globaln Ukł. lokaln Ukł. widoku R. Układ widoku (View), układ globaln (World) i układ lokaln obiektu

2 Układ wpółrędnch rodica (Parent) pokauję na poniżej ilutracji. Rodic Potomek R. Obiekt układem wpółrędnch rodica (Parent) Tak mniej więcej wglądają najcęściej wkortwane układ wpółrędnch. Tera prejdiem do dalej cęści tranformacji obiektów w grafice 3D cli do obrotów i kalowania. Podobnie jak w prpadku tranlacji obrót obiektu w pretreni 3D wokół oi X,Y lub Z definiuje ię jako mnożenie macier. W ależności od oi wokół której będiem obracać na obiekt, maciere obrotu będą prjmował trochę inną potać. Ogólnie równanie obrotu może bć repreentowane jako: co in in co dla obrotu wokół oi Z co in in co dla obrotu wokół oi X co in in co dla obrotu wokół oi Y.

3 W macierach obrotu podajem wartości funkcji trgonometrcnch dla kątów (np. dla 9 in co ) o jakie chcem obracać obiekt wokół wbranej oi. Wartości te można naleźć w Tablicach Matematcnch (bła kiedś taka kiążka), lub dla bardiej nowocench itnieje możliwość oblicenia ich na kalkulatore. Gdb jednak nie chciało ię Wam ięgać do kiążek lub cudów techniki to poniżej w tabelce amiecę wartości funkcji dla najbardiej popularnch kątów. co in 3 3,5 45 6,5 3 9 R 3. Wartości funkcji in i co dla wbranch kątów Dla prkładu policm obrót obiektu o kąt 45 wokół oi Z. Wgląd macier dla tego kąta będie natępując ( ) co 45 in 45 in 45 co 45 R Wartość naego kąta 45 odctujem tabelki (r.) Jak można auważć dla kąta 45 in co. Zatem ilocn macier, po podtawieniu odpowiednich wartości prjmie natępującą potać: Kortając Kącika Matematcnego popredniego artkułu oblicm wartość ilocnu macier obrotu ukując w ten poób układ równań opiując położenie wtkich punktów obiektu po wkonaniu prektałcenia ( wpółrędne,, opiują wpółrędne

4 pred prektałceniem natomiat,, po prektałceniu). Potać naego układu będie natępująca. + Zatem nowu otrmaliśm wpółrędne potaci [,,,], wane pre na wpółrędnmi jednorodnmi, dokładnie tak amo jak w prpadku tranlacji. Zauważm iż w prpadku obrotu obiektu wokół oi Z mianie ulegają jednie wpółrędne i. Analogicnie w prpadku obrotu wokół oi X mianie ulegną wpółrędne i, a w prpadku obrotu obiektu wokół oi Y mienią ię wpółrędne i. Należ pamiętać iż godnie pierwą aadą prjętą w grafice komputerowej welkie prektałcenia wkonwane ą w prawokrętnm układie wpółrędnch. (o aadach prjętch w grafice piałem w popredniej cęści). R 4. Obrót obiektu wokół oi X w lokalnm układie wpółrędnch. Raem obiektem obraca ię układ R 5. Obrót obiektu wokół oi Z w lokalnm układie wpółrędnch. Raem obiektem obraca ię układ. R 6. Obrót obiektu wokół oi Y w lokalnm układie wpółrędnch. Raem obiektem obraca ię układ.

5 To chba na tle jeśli chodi o obrot. Do tej por w celu preunięcia lub obrócenia obiektu kortaliśm tlko i włącnie mnożenia macier, a rodaj wkonwanej operacji ależał od potaci macier pre która mnożliśm macier kolumnową łożoną wpółrędnch punktu. Skalowanie nie odbiega od ogólnego prepiu na prektałcenia obiektów. W tm prpadku również kortam mnożenia macier. Macier łużąca do kalowania obiektu ma natępującą potać: ),, ( S R 7. Macier kalowania obiektu, gdie,, onacają kalę powiękenia obiektu dla oi X, Y i Z. Kortając mnożenia macier apie tera ogólne równanie dla kalowania obiektu: Wnikiem naego mnożenia będie natępując układ równań: Tak jak w prpadku tranlacji i obrotu, otrmaliśm wpółrędne potaci [,,,]. Dla prkładu prjm że obiekt (np. eścian) mieniam w kali do 5% jego pierwotnej wielkości dla każdej oi.. Niech eścian będie o wmiarach. Umieśćm go tak ab jeden wierchołek najdował ię w pocątku układu wpółrędnch (punkt (,,)) (r 8). (,,) (,,) (,,) R 8. Seścian w kali %

6 Ułożm tera równanie opiujące kalowanie eścianu do 5% jego pierwotnej wielkości dla punktu o wpółrędnch (,,):,5,5,5 Pomnóżm tera maciere i oblicm nowe wpółrędne punktu :,5,5,5 Stąd wiem że nowmi wpółrędnmi punktu będą [.5,.5,.5, ] a atem eścian mniej ię dokładnie o 5% (cli inacej mówiąc.5). Dobrnęliśm do końca męki matematcnej dotcącej podtaw tranformacji, obrotów i kalowania. Tak jak piałem na pocątku wtarcło opanowanie jednego tlko diałania na macierach. Na koniec należałob wpomnieć o jece jednej, bardo ważnej aadie w grafice komputerowej: Zaada trecia Pr wkonwaniu łożonch tranformacji (np. jednocene obracanie i preuwanie obiektu), najpierw wkonujem preunięcie a dopiero potem obrót. Wnika to faktu, iż jak już wceśniej napiałem podca obrotu obiektu, obraca ię nim układ wpółrędnch. W wiąku tm preunięcie obiektu po jego obróceniu, będie ię odbwać już w prektałconm układie wpółrędnch, a co a tm idie obiekt wląduje nie tam gdie bśm chcieli. Na akońcenie tej cęści żcę wtkim udanch tranformacji, obrotów i kalowań (ob man ię nie wieał od obliceń). Radoław amire Bednarki rbednar@ic.p.lod.pl Litereatura: Introduction to Computer Graphic J.D Fole, A. van Dam, S.K. Feiner, J.F. Hughe, R.L. Philip Addion-Wele Publihing Compab, Inc 994 OpenGL Kięga Ekperta