POLARYZACJA ŚWIATŁA OPISY MATEMATYCZNE

Transkrypt

1 POLARYZACJA ŚWIATŁA OPISY MATMATYCZN prof. dr hab. inż. Krzsztof Patorski Analiza propagacji światła w ośrodku anizotropowm, którego właściwości zależą od kierunku propagacji wiązki, wmaga wprowadzenia w pierwszej kolejności pojęcia polarzacji światła i jej opisu matematcznego. W niniejszej części wkładu przedstawiono opis właściwości światła za pomocą elips polarzacji (opis geometrczn) oraz rachunku wektorowego (macierzowego): Jonesa i Stokesa. Opis geometrczn umożliwia przedstawienie i analizę stanu polarzacji za pomocą pojednczego wzoru jest więc prost i przdatn, aczkolwiek ograniczon do światła całkowicie spolarzowanego. Opis Jonesa (wraz z macierzami Jonesa) umożliwia analizę superpozcji amplitud zespolonch wiązek wzajemnie koherentnch. Opis ten dominuje w fotonice, gdzie podstawową rolę odgrwa całkowicie spolarzowane, koherentne promieniowanie. Opis Stokesa (wraz z macierzami Mullera) umożliwia, dodatkowo, analizę światła niespolarzowanego lub częściowo spolarzowanego. Znajomość stanu polarzacji wiązki świetlnej ma fundamentalne znaczenie z uwagi na jego wpłw na następujące wielkości i zjawiska optczne: współcznnik odbicia światła na granic dwóch ośrodków, współcznnik absorpcji ośrodka, rozproszenie światła w ośrodku, współcznnik załamania materiałów anizotropowch (zaburzenia o różnch stanach polarzacji propagują się z różnmi prędkościami i podlegają różnm opóźnieniom fazowm), obrót płaszczzn polarzacji w przpadku propagacji w tak zwanch aktwnch ośrodkach optcznch.

2 1. Opis geometrczn Z analiz równań Maxwella wnika, że wektor pola elektrcznego drga w pewnej płaszczźnie zawierającej zarówno wektor jak i wektor propagacji k. Wektor pola elektrcznego otrzmuje się w wniku superpozcji dwóch zaburzeń harmonicznch o tej samej częstotliwości, o płaskich czołach falowch, spolarzowanch liniowo w dwóch wzajemnie prostopadłch płaszczznach i propagującch się w tm samm kierunku. Zaburzenia te można traktować jako składowe zaburzenia wpadkowego, którego stan polarzacji nie musi bć już liniow. Jak pokażem niżej stan polarzacji będzie podktowan stosunkiem amplitud i różnicą faz zaburzeń składowch. Składowe wektora pola elektrcznego można przedstawić w postaci x = ox cos ω t, = o cos (ωt + δ), gdzie, oznacza amplitud rzeczwiste zaburzeń, ω = πν, δ = δ x δ, δ x i δ oznaczają faz składowch w początku układu współrzędnch i czasie t = 0. Po weliminowaniu zmiennej t otrzmuje się (1) () Tak więc w ustalonej odległości z koniec wektora kreśli w płaszczźnie x- elipsę, natomiast prz propagacji wzdłuż osi z kreśli on okresową trajektorię (eliptczną helisę) leżącą na powierzchni eliptcznego clindra, rs. 1. Podczas pełnego obrotu wektora pola elektrcznego o czoło falowe przemieszcza się wzdłuż kierunku propagacji o λ = c/ν. x Rs. 1. Przkładowa trajektoria ruchu końca wektora w przestrzeni prz propagacji fali płaskiej wzdłuż osi z. λ z

3 a) b) Wróżnia się następujące parametr opisujące stan polarzacji światła: Kąt przekątnej α = arc tg ( 0 / ). Jest to kąt międz przekątną prostokąta opisanego na elipsie a osią x układu współrzędnch, 0 0 α Azmut ψ. Jest to kąt międz dużą osią elips stanu polarzacji światła a osią x układu współrzędnch; -α ψ α. Można wprowadzić następujące zależności 0 tgψ = 0 cosδ (3) Rs. (a) wielkości fizczne definiujące stan polarzacji światła; (b) zmiana stanu polarzacji w funkcji różnic faz δ. tg ψ = tg(α) cosδ; 0 ψ< π (4) Skrętność. Przjmując, że fala propaguje się do obserwatora i że jeśli w danej płaszczźnie z = const wektor obraca się w kierunku zgodnm z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, to mam do cznienia z polarzacją prawoskrętną. Wstępuje to gd 0 < δ < 180 0, sinδ > 0. Natomiast gd < δ < mam przpadek polarzacji lewoskrętnej, sinδ < 0. liptczność. Definiowana jest jako iloraz b/a, czli iloraz małej i dużej osi elips stanu polarzacji światła. Kąt eliptczności υ = arc tg (b/a). Dla polarzacji prawoskrętnej 0 0 < υ < 45 0, dla lewoskrętnej υ < 0 0. W przpadkach szczególnch polarzacji liniowej i kołowej, patrz niżej, mam, odpowiednio, υ = 0 0 i υ = Obowiązuje zależność sin υ = sin(α) sinδ; (-π/4) < υ π/4 (5) Zgodnie z powszechnie przjętą umową jako płaszczznę drgań rozumie się płaszczznę drgań wektora, a jako płaszczznę polarzacji płaszczznę do niej prostopadłą, czli z zawierającą drgając wektor H.

4 Przpadki szczególne Polarzację liniową otrzmuje się w przpadku zerowej wartości jednej ze składowch lub różnic faz δ równej 0 lub wielokrotności π. Mam teraz = ± ( 0 / ) x, a więc równanie linii prostej o nachleniu ± 0 / ox (znak + odpowiada różnic faz δ = 0 lub parzstej wielokrotności π, a znak nieparzstej wielokrotności π). W tm przpadku eliptczn clinder przechodzi w płaszczznę. Jeśli, dodatkowo, = 0, płaszczzna polarzacji tworz kąt 45 0 z płaszczzną x-z. Polarzację kołową otrzmuje się w przpadku = 0 i δ = ±π/. Gd δ = +π/ i δ = -π/ mam do cznienia, odpowiednio, z polarzacją prawo- i lewoskrętną. Intenswność sumarcznego zaburzenia (wznaczana poprzez przemnożenie sum zaburzeń składowch danch wzorem (1) przez wartość sprzężoną tej sum) jest stała i niezależna od δ. Dopiero zastosowanie dodatkowego elementu polarzacjnego nazwanego analizatorem umożliwia uzskanie tej informacji. Geometrczn opis właściwości światła za pomocą elips polarzacji jest bardzo przdatn, gdż umożliwia przedstawienie stanu polarzacji za pomocą pojednczego wzoru. Jednakże z wielu powodów opis ten jest niewstarczając. Czas kreślenia krzwej stanu polarzacji przez koniec wektora elektrcznego (pelen obrót) podczas którego fala przemieszcza się w przestrzeni o λ wnosi około sekund, a więc jest zbt krótki ab móc zarejestrować tę krzwą (w przpadku ogólnm elipsę). Atrakcjne są więc modele matematczne wrażające stan polarzacji za pomocą obserwowalnch i mierzalnch wielkości, tzn. intenswności. Dodatkowo, opis z wkorzstaniem elips polarzacji można stosować do światła całkowicie spolarzowanego, a często spotka się promieniowanie częściowo lub całkowicie niekoherentne. Najpowszechniej stosuje się dwa opis macierzowe: Stokesa (zaproponowan w 185r.) i Jonesa (zaproponowan w 1941r.). Pierwsz z nich umożliwia opis każdego stanu polarzacji światła za pomocą czterech mierzalnch wielkości, tzw. parametrów Stokesa. Jest on uniwersaln i może bć stosowan do światła niespolarzowanego, częściowo spolarzowanego lub całkowicie spolarzowanego. Dodatkowo, za pomocą formalizmu Stokesa można analizować superpozcję wielu wiązek niekoherentnch względem siebie. W przpadkach konieczności dodawania wiązek wzajemnie koherentnch, a więc ich amplitud zespolonch (np. w interferometrii), stosuje się formalizm macierzow Jonesa. Ogólną zasadą stosowaną prz wborze opisu matematcznego jest właśnie fakt, cz superpozcji podlegają amplitud cz intenswności wiązek.

5 . Opis macierzow Jonesa Opis ten zaproponowan w 1941r. przez amerkańskiego fizka R. Clarka Jonesa może bć stosowan tlko do wiązek całkowicie spolarzowanch i koherentnch. W tm przpadku najbardziej naturalnm sposobem przedstawienia zaburzenia świetlnego jest wkorzstanie do tego celu samego wektora elektrcznego. Dla wiązki propagującej się wzdłuż osi z możem zapisać macierz kolumnową utworzoną z równania (1) wrażonego w postaci skalarnej, (6) gdzie x (t) i (t) oznaczają chwilowe składowe skalarne wektora. Ta macierz kolumnowa nosi nazwę wektora Jonesa. Mając wektor Jonesa można wznaczć intenswność zaburzenia I = + 0 oraz orientację i kształt elips polarzacji, tzn. kąt Ψ, α, i υ patrz wzor (3), (4) i (5) oraz dskusja powżej. W tabeli 1 podano wektor Jonesa dla charakterstcznch stanów polarzacji. W każdm przpadku unormowano wartość intenswności do jedności. Wartość faz δ x dla składowej x przjęto równą Macierze Jonesa [ ] = x ( t) () t = 0 exp exp ( iδ ) = ( iδ ) exp( iδ) Rozważm przejście wiązki o płaskim czole falowm i polarzacji opisanej wektorem Jonesa i przez element optczn, któr zmienia stan polarzacji wiązki, ale zachowuje jej płaskie czoło falowe. Zakłada się liniowość oddziałwania elementu optcznego. Jako przkład służć mogą odbicie i załamanie na granic rozdziału dwóch ośrodków o różnch współcznnikach załamania lub propagacja wiązki przez płtkę wkonaną z materiału anizotropowego. Wektor Jonesa t wiązki po przejściu przez element optczn (lub odbiciu od niego) można przedstawić w postaci ilocznu tx j11 j 1 ix [ t ] = [ J][ i ] (7) lub = (8) t j1 j i gdzie macierz J nosi nazwę macierz Jonesa o wmiarach x. Wzór (8) opisuje liniowość optcznch elementów polarzacjnch. Wraz j 11, j 1, j 1 i j charakterzują wpłw elementu optcznego na stan polarzacji i intenswność wiązki, tzn. x 0 = exp ( iδ) tx = j 11 ix + j 1 i, t = j 1 ix + j i. (9) 0

6 Tabela 1 Wektor Jonesa niektórch stanów w polarzacji Smbol Azmut ψ Kąt eliptczności Standardow wektor Jonesa Pełn wektor Jonesa / \ Polarzacja liniowa ogólnie 0 0 cos α ± sin α ± i i iπ / e e iπ / Polarzacja eliptczna ogólnie ψ υ cos α sin α e iδ ιδ 0e

7 Tabela Przkład macierz Jonesa Smbol ψ Macierz / \ Płtka opóźniająca składową o kąt δ exp( - iδ) Zastosujm rachunek macierzow do przedstawienia następującch charakterstcznch przpadków działania płtek opóźniającch (prz przjętej konwencji opóźnienia faz składowej o δ i pozostawieniu bez zmian składowej x, osie x i noszą, odpowiednio, nazwę szbkiej i wolnej osi płtki opóźniającej): Gd δ = π/ płtka opóźniająca (nazwana płtką ćwierćfalową) zmienia polarzację liniową o azmucie 45 0 i opisaną wektorem Jonesa [1,1] na lewoskrętną polarzację kołową [1,-i], oraz prawoskrętną polarzację kołową [1,i] na polarzację liniową [1,1]. Gd δ = π płtka opóźniająca (nazwana płtką półfalową) zmienia polarzację liniową [1,1] na polarzację liniową [1,-1], a więc płaszczzna polarzacji liniowej doznała obrotu o π/. Płtka półfalowa zmienia prawoskrętną polarzację kołową [1,i] na lewoskrętną polarzację kołową [1,-i].

8 W przpadku przechodzenia przez kilka elementów optcznch opisanch macierzami J 1, J,..., J n obowiązuje zapis t = J n,..., J, J 1 i (10) z uwagi na nieprzemieność macierz. Obowiązuje więc kolejność mnożenia macierz, tzn. wektora Jonesa i wiązki padającej mnoż się przez macierz Jonesa J 1 pierwszego elementu, wnik mnoż się przez drugą macierz J, itd. W przpadku analiz zmian stanu polarzacji wiązki padającej przez ten sam układ optczn wgodniej jest stworzć macierz zastępczą tego układu J = J n... J J 1. Ćwiczenia 1.Wznaczć stan polarzacji fali o następującch składowch: a) = cos(ωt kz) + 0 sin(ωt kz) b) = cos(ωt kz) 0 cos(ωt kz)) = sin(kz ωt) 0 sin(kz ωt) c) = cos(ωt kz) + 0 cos(ωt kz ¾ π) d) = cos(ωt kz) + 0 cos(ωt kz + ¼ π) e) = sin(ωt kz) + 0 sin(ωt kz ¼ π) f) = cos(ωt kz) + 0 cos(ωt kz + ½ π) Zapis ogóln sum składowch: = cos(ωt - δ x ) + 0 cos(ωt - δ ) Założenia: = 0 ; oraz δ = δ x - δ a) = cos(ωt kz) + 0 sin(ωt kz) = cos(ωt kz) + cos(ωt kz-π/); gdż cos(90 0 +/- α) = -/+sinα. δ= 0 (π/) = - π/ Jeśli = 0 otrzmuje się polarzację kołową lewoskrętną. b) = cos(ωt - kz) 0 cos(ωt kz) = cos(ωt kz) + cos(ωt kz+ π); gdż cos(π +/- α) = - cosα δ = 0 (-π) = π Polarzacja liniowa o azmucie 3π/4 względem osi x.

9 c) = sin(kz - ωt) 0 sin(kz - ωt) ponieważ cos( α) = sinα; cos( α) = - sinα = cos(kz - ωt + 3π/) + 0 cos(kz - ωt + π/) = cos(ωt kz - 3π/) + 0 cos(ωt kz - π/) δ = 3π/ - π/ = π otrzmuje się polarzacje liniową jak w przpadku b) d) = cos(ωt kz) + 0 cos(ωt - kz - 3π/4) δ = δ x - δ = 0-3π/4 = - 3π/4 polarzacja eliptczna, lewoskrętna ( bo < δ < ) Prz założeniu = 0 azmut dużej przekątnej elips: tgψ = 0 cosδ / ( o ) = ψ = π/ lub 3π/; w naszm przpadku ψ = 3π/4 e) = cos(ωt kz) + 0 cos(ωt - kz + π/4) δ = 0 (-π/4) = π/4 Polarzacja eliptczna, prawoskrętna (gdż 0 < δ < π) Prz założeniu = 0 azmut dużej przekątnej elips: (patrz obliczenia w punkcie d) ψ = π/4 f) = sin(ωt kz) + 0 sin(ωt kz - π/4) cos( α) = sinα; = cos[(π/) (ωt kz)] + 0 cos[(π/) (ωt kz) + (π/4)] = cos[(ωt kz) - π/] + 0 cos[(ωt kz) (π/) (π/4)] δ = (π/) [(π/) + (π/4)] = - π/4 Prz założeniu = 0 mam polarzację eliptczną lewoskrętną o azmucie osi głównej π/4 g) = cos(ωt kz) + 0 cos(ωt kz + π/) δ = 0 (-π/) = π/ Prz założeniu = 0 polarzacja kołowa prawoskrętna

10 . Za pomocą rachunku wektorowego Jonesa wznaczć wnik superpozcji przeciwskrętnch polarzacji kołowch o równch i różnch amplitudach. Suma unormowanch wektorów Jonesa polarzacji kołowej prawo i lewoskrętnej wnosi i opisuje stan poziomej polarzacji liniowej o amplitudzie dwa raz większej od amplitud zaburzeń składowch. Poniżej wkażem, że nierówność amplitud składowch polarzacji kołowch prowadzi do polarzacji eliptcznej. Jeśli zapiszem polarzacje składowe zapiszem w postaci to zaburzenie wpadkowe opisuje wektor gdzie x = a + b = (a b)exp[iπ/] Zapisując te wrażenia z uwzględnieniem cznnika związanego z propagacją wiązki otrzmujem x = (a + b) exp[i(ωt kz)] = (a b) exp[i(ωt kz+π/)]. Uwzględniając tlko część rzeczwistą mam x (z, t) = (a + b) cos(ωt kz) (z, t) = (a b) cos (ωt kz + π/) = (a b) sin(ωt kz) Przepisując ostatnie równania w postaci otrzmuje się po podniesieniu do kwadratu i zsumowaniu

11 Ostatni wzór opisuje elipsę, której oś duża (główna) i mała mają długość, odpowiednio, (a + b) i (a b). Tak więc w wniku superpozcji dwóch przeciwskrętnch polarzacji kołowch o nierównch amplitudach otrzmuje się lewoskrętną polarzację eliptczną o osiach elips pokrwająch się z osiami układu współrzędnch. 3. Jaką macierz Jonesa można przporządkować odbiciu fali płaskiej od zwierciadła w przpadku propagacji wzdłuż normalnej? W przpadku θ i = 0 mam [r ] θi=0 = [-r ] θi=0. Macierz Jonesa x dla odbicia wzdłuż normalnej przjmuje postać Warto zwrócić uwagę, że jest to taka sama macierz jak macierz opóźniającej płtki półfalowej (patrz Tabela ). Tak więc wsteczne odbicie wiązki (wzdłuż kierunku padania), tak samo jak jej przejście przez płtkę półfalową, wprowadza zmianę skrętności stanu polarzacji światła. Literatura 1. F. Ratajczk, Optka ośrodków anizotropowch, PWN, Warszawa, R. Jóźwicki, Optka instrumentalna, WNT, Warszawa, M. Pluta, Advanced Light Microscop, vol. 1, PWN-lsevier, Warszawa-Amsterdam, 1988.

12 .. MACIRZ JONSA DLA POLARYZATORA, PŁYTKI OPÓŹNIAJĄCJ (FAZOWJ, FALOWJ) I OBRACAJĄCJ LIPSĘ POLARYZACJI Załóżm, jak to uczniono we wzorach (7-10), że składowe wiązki po przejściu przez element polarzacjn, tx i t, są liniowo związane ze składowmi wiązki padającej, ix i i. Wznaczm macierze Jonesa dla polarzatora, płtki opóźniającej (przesuwającej fazę międz składowmi) oraz elementu powodującego obrót elips polarzacji...1. Macierze Jonesa dla polarzatora Dla polarzatora macierz ma postać: Możem więc zapisać J P px = 0 0, p 0 p x 1 (11) tx px 0 ix. = 0 p t i Dla idealnego polarzatora przepuszczającego w kierunku równoległm do osi x mam p x = 1 oraz p = 0 (1) 1 0 (13) J PH =. 0 0 Dla idealnego polarzatora pionowego 0 0 (14) J PV =. 0 1 Ogóln przpadek dotcz macierz Jonesa polarzatora obróconego o kąt θ. Można ją zapisać korzstając z tzw. macierz obrotu, tzn. J = J(-θ) J J(θ), (15) gdzie J(θ) jest macierzą obrotu (16) cosθ sin θ J( θ) =, sin cos θ θ

13 a macierz Jonesa J dana jest wzorem (8). Dla obróconego polarzatora J P opisanego wzorem (11) z wzoru (15) otrzmuje się cos θ sin θ px 0 cos θ sin θ J' =, (17) sin cos 0 p θ θ sin θ cos θ Po wmnożeniu px cos θ + p sin θ ( px p ) sin θcosθ JP ( θ) =. ( p p ) sin cos p sin p cos (18) x θ θ x θ + θ Dla idealnego polarzatora można zapisać p x = 1 i p = 0; idealn obrócon polarzator opisuje macierz Jonesa cos θ sinθ cosθ JP ( θ ) = sinθ cosθ sin θ (19) Macierz idealnego polarzatora liniowego obróconego o kąt J P (45 ) = (0) 1 1 Dla nieidealnego polarzatora liniowego, patrz wzór (11), obróconego o kąt 45 0, ze wzoru (18) otrzmujem J P 1 px (45 ) = px W przpadkach θ = 0 0 i θ = 90 0 otrzmuje się macierze Jonesa dla poziomego i pionowego polarzatora liniowego, patrz wzor (13) i (14). Wzór (18) opisuje również absorpcjn filtr szaroodcieniow (ang. neutral densit, ND), dla którego mam p x = p = p. Macierz Jonesa ma teraz postać 1 0 J ND ( θ ) = p () 0 1 Macierz Jonesa tego tpu filtra nie zależ od kąta obrotu θ, współcznnik absorpcji dla obu składowch wnosi p. Charakter macierz diagonalnej w ostatnim wzorze potwierdza fakt, że filtr ND nie zmienia stanu polarzacji padającej wiązki. + p p p p x x p + p. (1)

14 ... Macierze Jonesa dla płtek p opóźniaj niającch (fazowch, falowch) Załóżm, że płtka opóźniająca przspiesza fazę składowej wzdłuż osi x (osi szbkiej) o +φ/, a opóźnia fazę składowej równoległej do osi (osi wolnej) o -φ/. To zachowanie można wrazić wzorem + iφ/ tx e 0 ix. (3) = iφ/ t 0 e i + iφ/ Macierz Jonesa płtki opóźniającej ma więc postać e 0 J WP( φ) =, iφ/ 0 e (4) gdzie φ oznacza całkowite przesunięcie fazowe międz składowmi. Indeks WP wwodzi się z jęzka angielskiego wave plate. Dwie najczęściej spotkane płtki opóźniające (płtki fazowe, płtki falowe) to ćwierćfalówka i półfalówka, dla którch, odpowiednio, φ = 90 0 i φ = Macierze Jonesa mają postać J WP + iπ λ e = 4 0 /4 e 0 iπ/4 = e + iπ/ i Macierz Jonesa dla obróconej płtki opóźniającej opisuje wzór którą można zapisać w postaci φ φ cos + isin cos θ J WP ( φ, θ) = φ isin sin θ Dla płtki ćwierćfalowej i półfalowej mam, odpowiednio J WP λ, θ = 4 1 i + cos θ i sin θ, e ( φ, θ) = cos iφ/ iφ/ ( e e ) (5) λ i J i. (6) WP = = 0 i 0 1 θ + e sin sin θcosθ iφ/ iφ/ ( e e ) e sin sin θcosθ, iφ/ θ + e cos θ iφ/ iφ/ J WP iφ/ i sin θ, 1 i cos θ θ φ isin sin θ. φ φ cos isin cos θ (7) (8) (9) λ cos θ sin θ J WP, θ = i. (30) sin cos θ θ

15 Cznnik i wstępując przed macierzą jest zazwczaj pomijan i macierz półfalówki zapisuje się jako (31) λ cos θ sin θ J WP, θ = sin θ cos θ Porównując postać macierz z ostatniego wzoru z macierzą obrotu, patrz wzór (16), można zauważć ich pewne podobieństwo. Dwie różnice to: a) dla półfalówki wstępuje kąt θ, nie kąt θ. Obrót półfalówki o kąt θ powoduje obrót elips polarzacji o kąt θ. b) Obrót o kąt θ w kierunku zgodnm z kierunkiem obrotu wskazówek zegara, wzór (31), powoduje obrót elips polarzacji w kierunku przeciwnm do kierunku obrotu wskazówek zegara. Wjaśnim to na przkładzie wiązki padającej o poziomej polarzacji liniowej, = [ x, 0]. Składowe wiązki opuszczającej element włącznie obracając, patrz wzór (16), opisują wzor tx = ix cos θ t = - ix sin θ. (3a) (3b) Kąt obrotu α wnosi więc tg α = t / tx = - (sin θ) / (cosθ) = tg (-θ). (33) W podobn sposób, przemnażając wektor Jonesa wiązki padającej przez (31) otrzmujem tx = ix cos θ t = ix sin θ, (34a) (34b) i mam teraz tg α = t / tx = (sin θ) / (cos θ) = tg θ. (35) Porównując (33) z (35) widzim, że kierunek obrotu uzskiwan za pomocą obracanej półfalówki jest przeciwn do kierunku obrotu wwołwanego przez element obracając. Ostatni wzór pokazuje również, że kąt obrotu za półfalówką jest dwukrotnie większ od kąta obrotu za elementem obracającm. Częściej spotkana macierz półfalówki ma postać λ 1 0 J = (36) 0 1 którą otrzmuje się opuszczając i we wzorze (6) lub podstawiając θ = 0 we wzorze (31).

16 ..3. Macierz Jonesa elementu obracającego cego Dla elementu obracającego zapisuje się Macierz Jonesa elementu obracającego ma więc postać tx t cosβ sin β = sin cos β β J ROT cosβ sin β = sin β cosβ ix i. (37) (38) Przeanalizujm teraz efekt mechanicznego obrotu elementu obracającego. Z wzorów (15) i (38) J ROT cosθ sin θ sin θ cosβ cosθ sin β sin β cosθ cosβ sin θ sin θ ( θ) = cosθ (39) Po wmnożeniu macierz cosβ sin β J ROT ( θ) = JROT sin cos = β β (40) Mechaniczn obrót elementu obracającego nie powoduje obrotu elips polarzacji. lipsę polarzacji można obrócić tlko o kąt charakterstczn dla elementu obracającego, tzn. kąt β. Jednm sposobem realizacji mechanicznego obrotu elips polarzacji jest zastosowanie półfalówki umieszczonej w obrotowej oprawce..3. ZASTOSOWANIA WKTORA I MACIRZY JONSA.3.1. Wznaczenie wektora Jonesa i intenswności wiązki za obracanm polarzatorem liniowm Wektor Jonesa polarzacji liniowej wnosi i = [ ix, i ], macierz Jonesa obracanego idealnego polarzatora opisuje wzór (19). Ograniczm się do przpadku poziomej polarzacji liniowej wiązki padającej, i = [ ix, 0] = ix [1,0]. W rozważanm przpadku (41) ixcos θ t =. sinθcosθ ix

17 Stan wnikowej polarzacji można zinterpretować wrażając go za pomocą wektora Jonesa dla światła spolarzowanego eliptcznie, tzn. iδx a e t = iδ be (4) gdzie a i b są liczbami rzeczwistmi. Porównując dwa ostatnie wzor mam tx = ix cos θ = a exp(iδ x ), (43a) t = ix cos θ sin θ = b exp(iδ ) (43b) Dzieląc (43b) przez (43a) otrzmujem t / tx = sin(θ) / cos(θ) = (b/a) exp(iδ), (44) gdzie δ = δ - δ x. Obliczając rzeczwistą i urojoną część wzoru (44) mam sin(θ) / cos(θ) = (b/a) cosδ, (45a) 0 = (b/a) sinδ b a (45b) Z wzoru (45b) wnika δ = 0 0, a więc z (45a) (b/a) = sin(θ) / cos(θ) (46) lipsa polarzacji, patrz wzór (4), ma postać x a + b x cosδ ab = sin δ (47) Dla δ = 0 0 ostatni wzór upraszcza się do = b a x = sin θ x cosθ (48) Wektor Jonesa dan wzorem (41) opisuje liniowo spolarzowaną wiązkę o azmucie (nachleniu) płaszczzn polarzacji m = tg α = tg θ. (49)

18 Intenswność wiązki na wjściu z polarzatora I t = t t = tx tx + t t = ixcos θ [ cos θ, sinθ cosθ ] ix ix ix sinθ cosθ (50a) gdzie = ( x*, * ); macierz wierszowa stanowi zespoloną macierz transponowaną wektora Jonesa (macierz kolumnowej ). Transponowanie macierz kolumnowej na macierz wierszową, a następnie uwzględnienie wartości sprzężonej, oznacza się smbolem. Intenswność I t wnosi I t = ix cos θ ix* cos θ + ix sinθcosθ ix* sinθcosθ = ix ix* [cos 4 θ + sin θcos θ] = I cos θ, (50b) gdzie I = ix ix*. Ostatni wzór nosi nazwę wzoru Malusa. Rozszerzm powższ przkład wprowadzając za obrotow polarzator, wzór (41), liniow polarzator o pionowej płaszczźnie przepuszczania. Macierz Jonesa dostawionego polarzatora opisuje wzór (14). Wektor Jonesa wiązki za drugim polarzatorem opisuje iloczn (14) i (41), tzn. 0 = ix cos θ 1 ( θ ) sin( ), Intenswność wnosi I t = ix sinθcosθ ix *sinθcosθ = Isin θcos θ = (I/8)[1 cos 4θ] = (I/4)[1 cos θ], (5) gdzie I = ix ix*. Prz obrocie drugiego polarzatora obserwuje się zerowe wartości intenswności dla kąta θ równego 0 0, 90 0, i Znajdowanie azmutu eliptczności ci i elips polarzacji wiązki padającej tp Jednm z podstawowch zagadnień spotkanch w optce światła spolarzowanego jest wznaczenie orientacji (azmutu) elips polarzacji i eliptczności spolarzowanej wiązki padającej. Dokonuje się tego za pomocą dwóch elementów: ćwierćfalówki i liniowego polarzatora. Obdwa te element są obracane, a ich azmut zapiszem, odpowiednio, jako α i β. Korzstając ze wzorów (9) i (19) opisującch obróconą ćwierćfalówkę i idealn polarzator liniow, możem napisać (51) J = J POL (β) J WP (λ/4, α), (53)

19 gdzie J WP i cos α isin α isin α 1 i cos α ( λ / 4, α) =, (53a) J POL ( β) =. cos β cosβsin β cosβsin β sin β (53b) Wmnożenie macierz daje macierz, z której wnioskuje się o wgaszeniach intenswności dla pewnch wartości kątów α i β. Znajdując kątowe położenia ćwierćfalówki i polarzatora można wznaczć azmut elips polarzacji i eliptczność badanej wiązki. Zamiast ogólnego rozwiązania problemu, którego otrzmanie wmaga rozbudowanch obliczeń, przedstawion zostanie przpadek szczególn. Załóżm, że wgaszenie wstępuje dla α = 45 0 i β = Z wzorów (53a) i (53b) otrzmujem 1 1 i J WP ( λ / 4, 45 ) =, (54a) (54b) i 1 J POL ( 30 ) = Mnożenie macierz (54a) i (54b) daje i 3 i3 + 3 J = i i (55) Wzór (55) opisuje wnik propagacji wiązki najpierw przez obracaną ćwierćfalówkę, a następnie przez polarzator liniow. Ćwierćfalówka ma wtworzć z polarzacji eliptcznej badanej wiązki polarzację liniową. Kolejno, obracając polarzatorem uzskuje się całkowite wgaszenie światła za polarzatorem. Takie postępowanie stanowi podstawę metod nazwaną elipsometrią. Ab otrzmać kompletne wgaszenie wiązki za polarzatorem musi bć spełnion warunek Rozpisując składowe wzoru (56) mam i i i3+ 3 i =. 0 (3 + i 3) ix + (i3 + 3) i = 0, (57a) ( 3 + i) ix + (i 3 + 1) i = 0. (57b) x (56)

20 Wzor (57a) i (57b) różnią się tlko współcznnikiem 3. Rozwiązując (57b) otrzmujem Wraźm teraz i / ix jako i ix = i. (58) i / ix = (a/b) exp(iδ) (59) gdzie a/b jest liczbą rzeczwistą. Przrównując części rzeczwiste i urojone we wzorach (58) i (59) mam (a/b) cos δ = - 3 /, (60a) (a/b) sin δ = ½. (60b) Suma kwadratów (60a) i (60b) wnosi (a/b) = +/- 1 (61a) a iloraz (60b) i (60a) δ = tg -1 (-1/ 3) = (61b) Prostopadłe składowe polarzacji wiązki padającej są sobie równe, a przesunięcie fazowe międz nimi wnosi (-30 0 ). Wektor Jonesa wiązki padającej ma więc postać ix 1 a 1 1 i = = = iδ i30 i be ± e (6) po wprowadzeniu cznnika 1/ w celu unormowania wzoru (6). Z punktu widzenia analiz elips polarzacji ze wzoru (6) można zapisać 3x + Wzór (63) stanowi równanie obróconej elips. Posługując się zależnościami z geometrii analitcznej można znaleźć postać nie obróconej elips. Lewa strona (63) ma postać którą można przekształcić, po zastosowaniu równań obrotu, do postaci x = 1 (63) Ax + Bx + C, (64). a 1 u + b 1 uv + c 1 v, (65a)

21 gdzie a 1 = A cos φ + Bsinφ cosφ + Csin φ, (65b) b 1 = B cosφ -(A C) sinφ, c 1 = A sin φ - B sinφ cosφ + C cos φ. W przpadku nie obróconej elips znika wraz b 1, zachodzi to gd (65c) (65d) ctgφ = (A C)/B. (66) Ze wzoru (63) wnika, że A = C = 1 oraz B = - 3/. Z wzoru (66) otrzmujem więc, że kąt obrotu φ = Wzor (65b) i (65d) upraszczają się do postaci a 1 = ( - 3) /, (67a) Kąt eliptczności wnosi c 1 = ( + 3) /. (67b) tg υ = [( - 3) / ( + 3)] 1/ = [(1-3/) / (1 + 3/)] 1/. (68a) Wzór (68a) można dalej uprościć, gdż cos 30 0 = 3/. Po zastosowaniu kątów połówkowch mam tg υ = [(1 cos 30 0 ) / (1 + cos 30 0 )] 1/ = [ sin (15 0 ) / cos (15 0 )] 1/, (68b) a więc υ = Wzór (63) opisuje więc elipsę obróconą o 45 0 względem osi x. Stosunek długość osi elips wnosi L /L 1 = (c 1 /a 1 ) = [( + 3) / ( - 3)] 1/ = Zastosowanie liniowego polarzatora do wznaczenia ilorazu dużej i małej osi elips polarzacji Jeśli osie elips będą pokrwał się z osiami x i układu współrzędnch, wkorzstując liniow polarzator można wznaczć stosunek długości osi elips. Wektor Jonesa takiej elips polarzacji opisuje wzór (δ=π/, rs. ) cosα a i = = isinα ib (69)

22 Składowe amplitud opisują wzor ix = cos α cos ωt, i = sin α sin ωt, eliminując ωt otrzmujem ix i + = 1, a b gdzie a = cos α i b = sin α. Wielkości a i b stanowią więc połow długości dużej i małej osi elips polarzacji opisanej wzorem (71). Macierz Jonesa obróconego polarzatora opisuje wzór (19). Iloczn (69) i (19) daje wektor Jonesa wiązki za polarzatorem a cos θ + ib cosθsin θ t = a cosθsin θ + ibsin θ Można wkazać (patrz wzor 50a i 50b), że intenswność wnosi I t (θ) = a cos θ + b sin θ, (73) Przjmując θ = 0 0 i 90 0 otrzmuje się, odpowiednio, (70a) (70b) I t (0 0 ) = a = cos α, (74a) I t (90 0 ) = b = sin α. (74b) Mierząc intenswności w prostopadłch kierunkach można wznaczć wartości proporcjonalne do kwadratów długości osi elips. Stosunek połówek długości osi elips wznacza się ze wzoru (71) (7) a / b = [ I t (0 0 ) / I t (90 0 ) ] 1/. (75)