Rysunek 4.1. Odwzorowanie przez soczewkę. PołoŜenie obrazu znajdziemy, korzystając z równania (3.41). Odpowiednio dla obu powierzchni mamy O C

Transkrypt

1 Temat 4: Podstaw optki geometrcznej-3 Ilość godzin na temat wkładu: Zagadnienia: Cienka soczewka sferczna. Wzór soczewkow. Konstrukcja obrazu w soczewce cienkiej. Powiększenie soczewki cienkiej. Soczewka gruba. ZłoŜon układ optczn. Soczewka gruba znajdująca się w powietrzu. Dwie soczewki cienkie umieszczone w skończonej odległości. Układ teleskopow. Cienka soczewka sferczna Rozpatrzm przejście promieni świetlnch przez obszar o współcznniku załamania n ograniczon dwiema powierzchniami sfercznmi, czli przez soczewkę (Rs. 4.). Soczewka o grubości d i znajduje się w powietrzu. Punkt C i C oznaczające środki krzwizn obu powierzchni wznaczają oś optczną. Zgodnie z przjętą regułą znaków dla soczewki z rsunku 4. (dwuwpukłej) r > 0 oraz r < 0. Obraz przedmiotu utworzon w wniku załamania promieni na pierwszej powierzchni oznaczm przez A'. Jest on przedmiotem w odwzorowaniu przez drugą powierzchnię. Ostateczn końcow (finaln) obraz dawan przez całą soczewkę oznaczono jako A' (indeks l, itd. odnoszą się do numeru powierzchni. Ta zasada jest przjęta ogólnie takŝe dla wielu powierzchni). Jest oczwiste, Ŝe n' = n = n, (4.) oraz s = s ' - d. (4.) n = n' = B B A C O n' =n =n O C A' A' Rsunek 4.. Odwzorowanie przez soczewkę -s d - - -s PołoŜenie obrazu znajdziem, korzstając z równania (3.4). Odpowiednio dla obu powierzchni mam

2 oraz n n = (4.3) s r n n =. (4.4) s r Przjmijm, Ŝe soczewka jest cienka, tzn. jej grubość d jest mała w porównaniu z odległościami przedmiotu i obrazu. Wted s = s - d s. (4.5) Wkorzstując (4.5) równania (4.4) zapiszem w postaci n n = +. (4.6) r Eliminując n/ z równań (4.6) i (4.3) i opuszczając indeks prz i, otrzmam = ( n ). (4.7) s r r JeŜeli załoŝm, Ŝe przedmiot znajduje się w nieskończoności (s ), to obraz znajdzie się w ognisku obrazowm. Ogniskowa obrazowa f' jest określona wzorem = ( n ). (4.8) f ' r r Łącząc dwa ostatnie równania, otrzmam s = f '. (4.9) Równanie to nosi nazwę wzoru soczewkowego. Soczewki, dla którch f > 0, nazwają się soczewkami skupiającmi (dodatnimi), te zaś, dla którch f < 0 - soczewkami rozpraszającmi (ujemnmi). Ilustrują to rsunki 4. i 4.3.

3 r r r r r r > r < 0 0 Rs. 4.. Soczewki sferczne skupiające r r < 0 r < 0 r < r r r r r r r < r > 0 0 r < r 0 r < 0 r < r Rs Soczewki sferczne rozpraszające W przpadku soczewek, podobnie jak w przpadku pojednczej powierzchni, takŝe wstępuje niezmiennik Lagrange'a-elmholtza. Jest oczwiste, Ŝe (Rs. 4.4) n u = n u. (4.0) n n' = n n' -u u' -' u u' ' Rs Bieg promienia światła przez dwie powierzchnie załamujące Okazuje się, Ŝe niezmiennik Lagrange'a-elmholtza jest prawdziw dla dowolnej liczb powierzchni, n u = n k k u k, (4.)

4 gdzie indeks k oznacza numer powierzchni załamującej. Niezmiennik Lagrange'a- elmholtza odgrwa waŝną rolę prz projektowaniu układów optcznch. Rsunek 4.5 i poniŝsze wzor słuŝą do wraŝenia relacji zawierającch powiększenie poprzeczne β, -u u' -' Rs Wznaczanie powiększenia -z -f f' z' -s ' u u ' β = =, (4.) u u ' = = β. (4.3) s Powiększenie dla soczewki cienkiej jest więc określone przez identczn wzór jak w przpadku odwzorowania przez pojednczą powierzchnię. Na podstawie rsunku 4.5 moŝna napisać takŝe, Ŝe ' =, (4.4) z f oraz a takŝe odpowiednio i ' =, (4.5) z ' f ' β = ' f = z, (4.6)

5 Z porównania wzorów wnika, Ŝe β = ' z ' = f '. (4.7) zz' = ff'. (4.8) Wzór Newtona, opisując odwzorowanie przez soczewkę cienką, jest identczn ze wzorem wprowadzonm dla pojednczej powierzchni załamującej. Do tej por rozpatrwaliśm soczewkę cienką w powietrzu. ZałóŜm teraz, Ŝe przestrzeń przedmiotowa i obrazowa są scharakterzowane odpowiednio przez współcznniki załamania n, i n. Równania (4.5) i (4.6) będą miał teraz postać n n n n = +, (4.9) s s r oraz ' n n n n = +. (4.0) r Eliminując z tch równań n/s, otrzmam n n n n n n =. (4.) s s r r ' JeŜeli załoŝm, Ŝe przedmiot znajduje się w nieskończoności (s, = f'), to otrzmam n n n n n =. (4.) f ' r r JeŜeli załoŝm, upraszczając zagadnienie, Ŝe ośrodek zarówno przed, jak i za soczewką jest identczn (n = n = n 0 ), to n 0 = ( n n0 ). (4.3) f ' r r Zdolność zbierająca takiej soczewki wnosi n0 Φ =. (4.4) f ' Jednostką zdolności zbierającej jest dioptria. Soczewka umieszczona w powietrzu ma zdolność zbierającą l dioptrii, jeśli jej ogniskowa wnosi m.

6 Soczewka gruba ZałóŜm, Ŝe światło biegnie przez układ optczn. MoŜe nim bć soczewka gruba lub układ kilku soczewek. Opiszem przejście promieni świetlnch przez taki układ. Cienka soczewka, która faktcznie jest przbliŝeniem rzeczwistości, ma dwa punkt charakterstczne: ognisko przedmiotowe i obrazowe. Ab opisać rzeczwist układ optczn, naleŝ jeszcze dodatkowo wprowadzić czter punkt charakterstczne: dwa punkt główne i i dwa punkt węzłowe W i W. Punkt te wznaczają połoŝenie odpowiednio płaszczzn głównch i węzłowch jako płaszczzn prostopadłch do osi optcznej i przechodzącch odpowiednio przez punkt ' i WW. Płaszczzn główne znajdują się na zewnątrz lub wewnątrz układu optcznego i na nich następuje cała refrakcja (w rzeczwistości zachodzi ona na kaŝdej rzeczwistej powierzchni załamującej). P B M 'M ' A' P' h -u A B' Rs Płaszczzn główne soczewki grubej Wprowadzenie płaszczzn głównch upraszcza graficzną analizę odwzorowania. Rzeczwist bieg promieni pomiędz punktami A i A' nie jest znan (załamanie następuje na kaŝdej powierzchni). Zastąpić go moŝna biegiem fikcjnego promienia wzdłuŝ linii AMM'A' tak jakb załamanie następowało tlko na płaszczźnie. Podobnie zamiast promienia BB' wkreślam fikcjn promień BMM'B' (załamanie na płaszczźnie '). Niech promień P B w przestrzeni przedmiotowej pada na układ optczn na wsokości h nad osią (Rs. 4.6). Po przejściu przez układ przetnie on oś optczną w ognisku obrazowm. Podobnie kaŝd promień wchodząc z ogniska przedmiotowego w przestrzeni obrazowej będzie równoległ do osi optcznej. MoŜna zawsze znaleźć taki kierunek promienia A, Ŝe wchodzi on z układu optcznego na wsokości h. Promienie P B i A (lub ich przedłuŝenia) przetną się w pewnm punkcie M, a promienie B' i A'P' w punkcie M'. JeŜeli znam połoŝenia

7 tch punktów i połoŝenie ognisk, to moŝem wznaczć i bieg dowolnch promieni przez układ, i połoŝenie obrazu dla określonego połoŝenia przedmiotu. Punkt M i M' definiują płaszczzn główne układu, a w szczególności połoŝenie punktów głównch i '. Punkt M' i ' są obrazami punktów M i. Płaszczzn główne są płaszczznami sprzęŝonmi, dla którch β = l, i tak moŝem formalnie je zdefiniować. Wgodnie jest zdefiniować połoŝenie obrazu i przedmiotu względem płaszczzn głównch. Na podstawie rsunku 4.7 moŝem napisać, Ŝe f =, (4.5) s ' + oraz f =. (4.6) ' + Dodajem stronami te równania i otrzmujem f ' f + =. (4.7) s Otrzmaliśm znan juŝ wzór soczewkow wprowadzon dla soczewki cienkiej (f = f'), zatem jeŝeli połoŝenie przedmiotu i obrazu oraz odległości ogniskowe określim względem płaszczzn głównch, to wzór soczewkow będzie miał identczną postać jak dla soczewki cienkiej. Na podstawie rsunku 4.7 moŝna takŝe udowodnić wzór Newtona, wprowadzon wcześniej dla soczewki cienkiej, zz' = ff'. (4.8) P P -u -z -s -f Rs Konstrukcja obrazu z wkorzstaniem płaszczzn głównch. M Kolejnm pojęciem są płaszczzn węzłowe. Są to płaszczzn, dla którch powiększenie kątowe = -l. Na rsunku 4.8 punkt węzłowe oznaczono jako W i W'. M' ' f' u' z' P' -' P'

8 Promień świetln wchodząc z punktu W po przejściu przez układ optczn wchodzi z niego równolegle do kierunku padania choć, podobnie jak poprzednio, rzeczwista droga promienia międz płaszczznami i ' nie jest znana. JeŜeli po obu stronach układu znajdują się te same ośrodki (o tm samm współcznniku załamania) i f = -f', to płaszczzn węzłowe pokrwają się z płaszczznami głównmi. Ich odróŝnienie jest istotne w przpadku, gd po obu stronach soczewki są róŝne ośrodki optczne (jest tak np. w przpadku soczewki oka). Z rsunku 4.8 widać, Ŝe równieŝ wted odległość pomiędz płaszczznami głównmi jest równa odległości pomiędz płaszczznami węzłowmi. A ' A' z h -u u' α W W' f' -f -z' Rs. 4.8.Punkt węzłowe ZłoŜon układ optczn Rozpatrzm teraz układ optczn złoŝon z dwóch składników. KaŜd z nich jest pisan przez płaszczzn główne. Oba są ustawione współosiowo jeden za drugim (Rs. 4.9). Niech na układ pada na wsokości h promień I równoległ do osi optcznej. Promień ten po przejściu przez układ przetnie oś optczną w ognisku obrazowm całego układu. Punkt przecięcia tego promienia z prostą, będącą przedłuŝeniem promienia padającego, wznacz połoŝenie płaszczzn głównej obrazowej '. JeŜeli znajdziem taki kierunek promienia II, Ŝe po przejściu przez układ optczn jest on równoległ do osi optcznej, to przecięcie tego promienia z osią optczną w przestrzeni przedmiotowej wznacz połoŝenie ogniska przedmiotowego. Analogicznie jak w przpadku promienia I moŝem takŝe wznaczć połoŝenie płaszczzn głównej przedmiotowej układu.

9 ' ' ' II I II h u' -u -u' -u' -h' I Rs. 4.9.Punkt węzłowe f -f -s f' -f f' z' -f' Rozpatrwanie relacji pomiędz parametrami układu optcznego na rsunku 4.9 daje moŝliwość otrzmać następujące wzor na zastępcze ogniskowe f, f i połoŝenie płaszczzn głównch przedmiotowch S, S całego układu, ' ' f f f ' =, (4.9) f f f =, (4.30) ' ' ' + f f S = f, (4.3) ' f f S = f +. (4.3) Soczewka gruba znajdująca się w powietrzu Zastosowanie metodki analiz parametrów układów optcznch złoŝonch opisanej wŝej daje moŝliwość otrzmania wzorów na zdolność zbierającą Φ i połoŝenia płaszczzn głównch S, S soczewki grubej (Rs. 4.0), oraz d( n ) Φ = = ( n ) +, f ' r r nr r (4.33) d( n ) S = f, nr (4.33)

10 S ' d( n ) = f '. (4.33) nr ' ' n = n' = n = n n' = r O r O -s d Rs Soczewka gruba w powietrzu Na rsunku 4. przedstawiono schematcznie połoŝenie płaszczzn głównch dla róŝnch tpów soczewek grubch. Mogą one znajdować się zarówno wewnątrz soczewki, jak i poza nią. ' ' ' ' ' ' Rs. 4.. PołoŜenie płaszczzn głównch w tpowch soczewkach grubch

11 Dwie soczewki cienkie umieszczone w skończonej odległości Niech obie soczewki znajdują się w powietrzu, wted f = - f, (4.34) oraz f = - f. (4.35) Soczewki są rozsunięte o odległość d (Rs. 4.). Wted = d - f + f. (4.36) Ogniskowe obrazowa i przedmiotowa układu złoŝonego wnoszą, d = +. (4.37) ' ' ' ' f ' f f f f i d = + +. (4.38) f f f f f ' ' f' -f Rs. 4.. Dwie soczewki cienkie d PołoŜenie płaszczzn głównch określają wzor (4.3) i (4.3). Mam zatem f0 + 3 f0 + f0 S ' = f0 = f0, (4.39) f f + 3 f + f S = 3 f = 3 f f0. (4.40) Na rsunku 4.3 pokazano połoŝenie wpadkowch płaszczzn głównch i ognisk tego złoŝonego układu. Ogniska są rozmieszczone smetrcznie względem drugiej soczewki w odległościach równch 0,5f 0 i -0,5f 0. Płaszczzna główna obrazowa leŝ

12 tm razem na lewo od płaszczzn głównej przedmiotowej, a zatem inaczej niŝ to bło w przpadku soczewek grubch. Nie ma to jednak większego znaczenia dla konstrukcji obrazu. Na rsunku 4.4 przedstawiono konstrukcję obrazu zakładając, Ŝe przedmiot znajduje się przed pierwszą soczewką w odległości f 0. ' ' ' f 0 d = f 0 = -f Rs PołoŜenie płaszczzn głównch i ognisk przkładowego układu złoŝonego 0 ' A A A' A' Rs Konstrukcja obrazu w przkładowm układzie złoŝonm Układ teleskopow Niech soczewki rozwaŝane w poprzednim przkładzie znajdują się tm razem w odległości 4f 0, a ognisko obrazowe pierwszej soczewki pokrwa się z ogniskiem przedmiotowm drugiej. W takim przpadku = 0, a więc zgodnie ze wzorem (4.36) i pamiętając o tm, Ŝe f = -f, mam, d = f + f. (4.4) Wstawiając tę wartość do (4.37), otrzmujem,

13 f + f = + = 0. (4.4) f ' f f f f ' ' ' ' ' ' Wpadkowa ogniskowa układu jest więc nieskończona. Zdolność zbierająca równa się zeru (układ nie ma moc optcznej). Wiązka promieni równoległch padającch na taki układ, zwan układem teleskopowm, wchodzi z niego równieŝ jako wiązka promieni równoległch. Nie da się w tm przpadku skonstruować obrazu tak, jak to opisano. Sposób wkreślania obrazu przedstawia rsunek 4.5. Promień I wchodzi z punktu A przedmiotu i biegnie równolegle do osi optcznej (w przestrzeni przedmiotowej), następnie przechodzi przez wspólne ognisko obrazowe pierwszej i ognisko przedmiotowe drugiej soczewki układu, a w przestrzeni obrazowej znów jest równoległ do osi optcznej. Promień ten wznacza wsokość obrazu. Nie zaleŝ ona od odległości przedmiotu od układu, co ma duŝe znaczenie w zastosowaniach pomiarowch. Jako promień II wchodząc z punktu A przedmiotu (na osi) wbierzem taki promień, którego przedłuŝenie w przestrzeni przedmiotowej przecięło się z przedłuŝeniem promienia I w płaszczźnie ogniska przedmiotowego pierwszej soczewki (punkt G). Wted w przestrzeni międz soczewkami promień ten będzie równoległ do promienia I, więc w przestrzeni obrazowej musi przeciąć promień I w płaszczźnie ogniska obrazowego drugiej soczewki. Jego punkt przecięcia z osią optczną (punkt A') wznacza połoŝenie obrazu A'A'. G A I ' ' A II C' A' A' Rs Konstrukcja obrazu w układzie teleskopowm

14 Literatura. J. Nowak, M. Zając, Optka. Kurs elementarn, Oficna Wd. PW, s.. K. Booth, S. ill, Optoelektronika, WKŁ, J. Petkiewicz, Optka falowa, PWN, Ratajczk, Instrument optczne, PWr Wrocław, R. Jóźwicki, Optka instrumentalna, WNT Warszawa, 970.