3. OPIS POLARYZACJI ZA POMOCĄ PAREMETRÓW W STOKESA I MACIERZY MUELLERA

Transkrypt

1 3. OPIS POLARYZACJI ZA POMOCĄ PAREMETRÓW W STOKESA I MACIERZY MUELLERA 3.. Parametr Stokesa 3... Wrowadzenie wzorów w oisującch arametr Stokesa Jak wsomniano orzednio, geometrczn ois olarzacji za omocą elis olarzacji nie jest rzdatn z doświadczalnego unktu widzenia. Ab rzejść do wielkości mierzalnch należ zastosować uśrednianie w czasie, smbol <...>. Mam teraz gdzie, jak orzednio, E E ( t) E ( t) E ( t) E ( t) + E E E cos δ sin, (76a) δ E (t) E (t) cos [ωt + δ (t)], E (t) E (t) cos [ωt + δ (t)], oraz T Ei() t E j() t lim Ei() t E j() t dt i, j T T Przemnażając ostatni wzór rzez 4E E otrzmujem, (76b) Mam więc 4E <E (t)> + 4E <E (t)> - 8E E <E (t) E (t)> cosδ (E E sinδ). (77) <E (t)> ½ E (78a) <E (t)> ½ E (78b) <E (t)e (t)> ½ E E cosδ. (78c) Podstawienie trzech ostatnich wzorów do wzoru (77) daje E E + E E (E E cosδ) (E E sinδ). (79)

2 Po dodaniu i odjęciu E 4 + E 4 do lewej stron (w celu rzedstawienia końcowego wniku w ostaci intenswności) i rzegruowaniu Wielkości w nawiasach zaisujem jako (E + E ) (E E ) (E E cosδ) (E E sinδ). (8) S E + E, S E E, S E E cosδ, (8a) (8b) (8c) skąd wnika również S 3 E E sinδ. (8d) S S + S + S 3. (8) Czter arametr dane wzorem (8) są olarzacjnmi arametrami Stokesa fali łaskiej. Są to wartości rzeczwiste - detekowalne wartości intenswności. Pierwsz arametr S oznacza całkowitą intenswność światła, S oisuje intenswność części o olarzacji oziomej lub ionowej, arametr S oisuje udział intenswności wiązki o liniowej olarzacji +45 lub 45, a arametr S 3 oisuje intenswność części światła o olarzacji kołowej rawo lub lewo skrętnej. Związki te zostaną wjaśnione niżej. W rzadku częściowej olarzacji światła można wkazać że S S + S + S 3. (83) Znak równości dotcz tlko rzadku ełnej olarzacji światła, znak nierówności rzadków światła częściowo solarzowanego lub niesolarzowanego. Wracając do arametrów elis olarzacji, tzn. azmutu tgψ E E cos(δ)/[e E ] i elitczności sinυ E E sin(δ)/[e + E ], atrz wzor (3) i (4), można udowodnić że tg ψ S / S. (84) sin υ S 3 / S. (85)

3 Parametr Stokesa umożliwiają zdefiniowanie stonia olarzacji P dla każdego stanu olarzacji. Z definicji P I sol /I całk (S + S + S 3 ) / / S ; P, (86) gdzie I sol stanowi intenswność sum solarzowanch składników, I całk oznacza całkowitą intenswność wiązki świetlnej. Parametr Stokesa dla wbranch stanów olarzacji Polarzacja liniowa ozioma E, S E ; S E ; S ; S 3. (87) Polarzacja liniowa ionowa E, S E ; S -E ; S ; S 3. (88) Polarzacja liniowa +45 E E E, δ, S E ; S ; S E ; S 3. (89) Polarzacja liniowa -45 E E E, δ 8, S E ; S ; S - E ;S 3. (9) Polarzacja kołowa rawoskrętna Polarzacja kołowa lewoskrętna E E E, δ 9, S E ; S ; S ; S 3 E. (9) E E E, δ 7, S E ; S ; S ; S 3 - E. (9) Parametr Stokesa wiązki solarzowanej elitcznie dane są wzorem (8).

4 3... Wektor Stokesa Czter arametr Stokesa można zaisać w ostaci macierz kolumnowej wektora Stokesa. Umożliwi to rozwiązwanie złożonch zagadnień roagacji światła rzez element olarzacjne.. S S S. S S 3 Z matematcznego unktu widzenia S nie jest wektorem, jest to nazwa zwczajowa. Dla światła solarzowanego elitcznie macierz kolumnowa S rzjmuje ostać E + E. (94) E E S. EE cos δ EE sin δ Nosi ona również nazwę wektora Stokesa fali łaskiej. (93) Wektor Stokesa dla olarzacji liniowej, oziomej E, gdzie I E oznacza całkowitą intenswność., S I, (95)

5 Wektor Stokesa dla olarzacji liniowej, ionowej E,. (96) I E Wektor Stokesa dla olarzacji liniowej, +45 E E E, δ (97) gdzie I E. Wektor Stokesa dla olarzacji liniowej, - 45 Ponownie, E E E, ale δ 8,. (98) I E Wektor Stokesa dla rawoskrętnej olarzacji kołowej E E E, δ 9,. (99) I E Wektor Stokesa dla lewoskrętnej olarzacji kołowej E E E, δ 7 (lub 9 ),. () I E. I S, I S. I S. I S. I S

6 Jeśli we wzorze (94) wstawim δ lub δ 8, to wzór uraszcza się do ostaci E + E E E S. EE. ± () Przomnijm, że elitczność υ i azmut ψ dla elis olarzacji są dane, odowiednio, sinυ S 3 / S dla - π/4 υ π/4, (a) tgψ S / S dla ψ< π. (b) W rozatrwanm rzadku S 3, υ, i wzór () oisuje wektor Stokesa dla światła solarzowanego liniowo. Azmut wznacza się z wzoru tgψ +/-E E / [E E ]. (3) Poza wzorem () olarzację liniową rzedstawia się często wrażając amlitud E i E za omocą kąta. Przedstawm najierw całkowitą intenswność S jako S E + E E. (4) Wzór ten można interretować za omocą rostego rsunku oniżej. Rs. 3 Rozłożenie wektora ola otcznego na składowe.

7 Z rsunku wnika E E cos α, (5a) E E sin α; α π/. (5b) Kąt α odowiada kątowi rzekątnej rostokąta oisanego na elisie olarzacji. Wstawiając (5) do () wektor Stokesa dla światła solarzowanego liniowo rzjmuje ostać cos α S I, + / sin α gdzie I E oisuje całkowitą intenswność. Wzór (5) można również wkorzstać do wrowadzenia ostaci wektora Stokesa dla światła solarzowanego elitcznie, wzór (94). Wstawiając (5) do (94) otrzmujem (6). cos α (7) S I. sin α cosδ sin sin α δ W ostaci unormowanej rzjmuje się I. Dla olarzacji elitcznej kąt azmutu i elitczności wnoszą (wstaw S, S i S 3 do (7) i ()) tg ψ tg (α) cos (δ), (8a) sin υ sin (α) sin (δ). (8b) Wnik ten jest zgodn z otrzmanm orzednio. Kąt rzekątnej α umożliwia wrażenie orientacji i elitczności za omocą kątów α i δ. Dla α 45 mam S I.. cosδ (9) sin δ

8 W ten sosób elisa olarzacji została zaisana tlko za omocą rzesunięcia fazowego δ międz rostoadłmi składowmi. Azmut wnosi zawsze 45. Jednakże dla kąta elitczności mam sin υ sin δ, () czli υ δ/. Wektor Stokesa, wzór (9), daje nam informację, że elisa olarzacji jest obrócona o 45 względem osi oziomej i że stan olarzacji może zmieniać się od olarzacji liniowej (δ, π) do kołowej (δ 9, 7 ). Inn unikaln stan olarzacji zachodzi dla δ 9 lub 7. Teraz z wzoru (7) cos α S I ± sin α W tm rzadku wektor Stokesa i elisa olarzacji zależą tlko od kąta α. Z wzoru (8a) azmut ψ rzjmuje zawsze wartość zerową. Kąt elitczności υ, atrz wzor (8b) i (), jest teraz równ () sin υ (+/-) sin α, () a więc υ (+/-) α/. W ogólnm rzadku otrzmujem olarzację elitczną. Dla α + 9 i 9 mam olarzację kołową rawo i lewoskrętną. Podobnie, dla α i 8 otrzmuje się olarzację liniową oziomą i ionową. Wektor Stokesa można również wrazić włącznie za omocą arametrów S, ψ, i υ. Ponieważ wzor (a) i (b) można zaisać w ostaci S S tg ψ, (3a) S 3 S tg υ, (3b). wrowadzając dwa ostatnie wzor do (8) mam S S cos (υ) cos (ψ), (4a) S S cos (υ) sin (ψ), (4b) S 3 S sin (υ). (4c) cos ν cos ψ Ostatni wzór odowiada wektorowi Stokesa S I. (5) cos νsin ψ sin ν

9 3..3. Wznaczanie arametrów Stokesa Jak wsomniano wcześniej, stan olarzacji wiązki świetlnej można wznaczć mierząc wartości intenswności odowiadające arametrom Stokesa lub ich kombinacjom. Niżej rzedstawiona zostanie jedna z metod z wkorzstaniem łtki oóźniającej i olarzatora. Przedstawm rostoadłe składowe wiązki adającej (analizowanej) w ostaci zesolonej E (t) E e{i(ωt + δ )} E (t) E e{i(ωt + δ )}. Parametr Stokesa dla fali łaskiej można wznaczć z wkorzstaniem ostaci zesolonej jako S E E * + E E *, (6a) S E E * -E E *, (6b) S E E * +E E *, (6c) S 3 i (E E * -E E * ). (6d) Ab wznaczć arametr Stokesa wiązka rzechodzi rzez element oóźniając, któr rzsiesza składową E o φ/ i oóźnia składową E o φ/. Składowe zaburzenia E i E o rzejściu rzez element oóźniając mają ostać E E e(iφ/), (7a) E E e(-iφ/). (7b) Nastęnie wiązka rzechodzi rzez linow olarzator, którego łaszczzna rzeuszczania tworz kąt θ z osią oziomą (kierunkiem składowej E ), atrz rsunek niżej. Rzut składowej E na kierunek rzeuszczania olarzatora wnosi E cosθ. Podobnie, rzut składowej E jest równ E sinθ. Pole rzeuszczone rzez olarzator oisuje suma E E cosθ + E sinθ. (8) Łącząc dwa ostatnie wzor otrzmujem za olarzatorem E E e(iφ/) cosθ + E e(-iφ/) sinθ. (9) Rs. 4 Składowe ionowa i ozioma o rzejściu rzez olarzator.

10 Intenswność wraża wzór I(θ, φ) E E * E E * cos θ + E E * sin θ+ E * E e(-iφ) sinθcosθ + E E * e(iφ)sinθcosθ. () Wrażenie to, o rzegruowaniu wrazów i wkorzstaniu zależności trgonometrcznch, rzjmuje ostać I(θ, φ) ½ [(E E * + E E * ) + (E E * -E E * ) cosθ+ (E E * + E E * ) cosφ sinθ + i(e E E E * ) sinφsinθ]. () Wraz w nawiasach odowiadają arametrom Stokesa, atrz wzór (6). Możem więc zaisać I(θ, φ) ½ [S + S cosθ + S cosφ sinθ + S 3 sinφ sinθ]. () Ostatni wzór umożliwia wznaczenie arametrów Stokesa określonch ołożeń kątowch θ i φ. rzez omiar wartości intenswności dla Pierwsze trz arametr Stokesa mierz się rz usuniętej łtce oóźniającej, (φ ) i ustawiając, odowiednio, kierunek osi rzeuszczania olarzatora względem osi oziomej tzn. θ, +45 i +9. Ostatni arametr S 3 wmaga wstawienia ćwierćfalówki (φ 9 ) i ustawienia azmutu olarzatora θ 45. Wartości intenswności wnoszą I(, ) ½ [S + S ], (3a) I(45, ) ½ [S + S ], (3b) I(9, ) ½ [S S ], (3c) I(45, 9 ) ½ [S + S 3 ] (3d) Rozwiązując owższ układ równań otrzmuje się S I(, ) + I(9, ), (4a) S I(, ) I(9, ), (4b) S I(45, ) I(, ) I(9, ), (4c) S 3 I(45, 9 ) I(, ) I(9, ) (4d) Parametr Stokesa dla światła niesolarzowanego i częściowo solarzowanego W rzadku światła niesolarzowanego wartość intenswności nie zależ od kątowego ustawienia (azmutu) olarzatora i obecności elementu oóźniającego, tzn. I(θ, φ) ½ S, (5a) S S S 3. (5b)

11 Mimo że arametr Stokesa związane są z wznaczalnmi wartościami intenswności, są one konsekwencją oisu stanu olarzacji za omocą nieobserwowalnej elis olarzacji. Dlatego arametr Stokesa należ traktować jako fragment odstaw falowej teorii światła. Dla światła całkowicie solarzowanego mieliśm S S + S + S 3, dla światła niesolarzowanego S >. Są to rzadki szczególne. Dla światła częściowo solarzowanego mam S S + S + S 3. Stoień olarzacji P definiuje się jako 3..Macierze Muellera 3... Wrowadzenie P I sol / I całk {S + S +S 3 } / / S ; P. (6) W celu umożliwienia analiz roagacji światła rzez różnego tu element olarzacjne za omocą rachunku macierzowego (odobnie jak w rzadku wcześniej rzedstawionego oisu Jonesa), ois z wkorzstaniem arametrów Stokesa wmaga wrowadzenia macierz oisującch te element. Związek międz wektorem (macierzą kolumnową) Stokesa na wjściu elementu a wektorem Stokesa na jego wejściu oisuje rost wzór S M S, (7) gdzie M oznacza tzw. macierz Muellera, 4 4. Pełną ostać wzoru (7) rzedstawia wzór (8) S m S m S m S3 m 3 m m m m 3 m m m m 3 m m m m S S S S3 (8) 3... Macierz Muellera dla olarzatora Zależność międz składowmi ola za i rzed olarzatorem możem zaisać E t E i,, (9a)

12 E t E i,, (9b) gdzie i oznaczają wsółcznniki absorcji wzdłuż rostoadłch osi i. Parametr Stokesa wiązki adającej, o ouszczeniu indeksu i, dane są wzorami (6a-d). Parametr Stokesa wiązki za olarzatorem oisują zależności S E E * + E E *, (3a) S E E * -E E *, (3b) S E E * + E E *, (3c) S 3 i (E E * -E E * ). (3d) Po odstawieniu (9) do (3) i korzstając z (6) (3) Macierz 4 4 we wzorze (3) (3) jest macierzą Muellera dla olarzatora. Ogólnie można stwierdzić, że obecność wrazu m 33 w macierz okazuje, że wiązka na wjściu będzie solarzowana elitcznie. W szczególnm rzadku filtra szarego (ND), i ze wzoru (3) mam (33) czli jednostkową macierz diagonalną. Wzór (33) okazuje, że filtr ND nie zmienia stanu olarzacji; intenswność wiązki o rzejściu rzez filtr sada raz S S S S M + + M 3 S S S S

13 Dla idealnego olarzatora (rzeuszczającego tlko w jednm kierunku, (kalct), n., (liniow olarzator oziom), mam (34) Idealn olarzator zmniejsza więc intenswność wiązki adającej o ołowę. Dla liniowego olarzatora ionowego (35) Często wgodniej osługiwać się macierzą Muellera olarzatora z wkorzstaniem funkcji trgonometrcznch. Oznaczając kąt międz kierunkiem rzeuszczania olarzatora a osią jako α, możem zaisać +, (36a) oraz cosα, sinα. (36b) Z wzorów (36) i (3) otrzmujem (37) gdzie α 9. Dla idealnego olarzatora. Działanie olarzatora, atrz wzór (34), można również zinterretować w nastęując sosób. Załóżm dowolną olarzację wiązki adającej oisaną wektorem Stokesa, atrz wzór (93). Iloczn tego wektora z macierzami Muellera (34) i/lub (35) daje wnik (38) M M α α α α sin sin cos cos M ( ) ± ± S S S S S S 3

14 Z ostatniego wzoru wnika, że światło będzie zawsze liniowo solarzowane, oziomo (+) lub ionowo (-). Wniosek ten jest oczwist, aczkolwiek dotcz idealnch olarzatorów liniowch. W rzeczwistości wraz we wzorze (3) nigd nie jest zerem, olarzator jest olarzatorem elitcznm. Bardzo małą elitczność można zaniedbać. Za dwoma skrzżowanmi olarzatorami liniowmi, należ rzemnożć macierze oisane wzorami (34) i (35), intenswność jest równa zero, bez względu na stan olarzacji wiązki adającej i azmut ierwszego olarzatora Macierz Muellera dla łtki oóźniającej (falowej) Jak już wsomniano wcześniej, łtka oóźniająca wrowadza rzesunięcie fazowe φ międz rostoadłe składowe wiązki adającej. Inaczej mówiąc wrowadzane jest rzesunięcie fazowe φ/ dla składowej i rzesunięcie -φ/ dla składowej. W takim ujęciu osie i nazwane są, odowiednio, osią szbką i wolną łtki oóźniającej. E t (z, t) e +iφ/ E i (z, t), (39a) E t (z, t) e -iφ/ E i (z, t). (39b) Wstawiając owższe wartości do wzorów (6) i (3) otrzmuje się S S, (4a) S S, (4b) S S cosφ -S 3 sinφ, Wnik ten można zaisać w ostaci (4c) S 3 S sinφ + S 3 cosφ, (4d) S S S S3 cosφ sin φ S S sin φs cosφ S3 (4) Dla idealnego elementu oóźniającego S S, tzn. intenswność za elementem nie ulega zmianie.

15 Dwa secjalne rzadki łtki oóźniającej to ćwierćfalówka φ 9 i ółfalówka φ 8. Dla ćwierćfalówki mam (4) Ćwierćfalówka zmienia liniową olarzację wiązki adającej ustawioną od kątem +45 lub 45 i oisaną wektorem Stokesa (43) na olarzację kołową rawo i lewoskrętną (44) Jeśli wiązka adająca jest solarzowana kołowo, rawo lub lewoskrętnie, wmnożenie (44) rzez ( 4) daje (45) Jest to wektor Stokesa dla olarzacji liniowch o azmucie 45 lub +45. Dla ółfalówki (φ 8 ) (46) M ± I S M I S m ± I S

16 Półfalówkę charakterzuje macierz diagonalna. Wraz m m 33 - zmieniają kąt elitczności i azmut stanu olarzacji wiązki adającej. Ab to wkazać, wektor wiązki adającej dan jest wzorem (93). Wkazano również orzednio, atrz wzór (3), że azmut i kąt elitczności można zaisać jako tgψ S /S oraz sinυ S 3 /S. Iloczn macierz (93) i (46) daje S S gdzie (47) tgψ S /S, (48a) sinυ S 3 /S. (48b) Podstawiając (47) do (48) otrzmujem S S S S S S S 3 tgψ - S /S - tgψ, (49a) sinυ - S 3 /S - sinυ, (49b) 3 skąd ψ 9 - ψ, (5a) υ 9 + υ. (5b) Pólfalówka może obracać również elisę olarzacji. Właściwość ta będzie omówiona rz analizie obrotu olarzatora i elementu oóźniającego Macierz Muellera dla elementu obracającego (składowe olarzacji) Rozważan rzadek ilustruje rsunek. Rs. 5 Obrót rostoadłch składowch wektora elektrcznego rzez element obracając

17 Składowe na wejściu elementu, E i E, obracane są o kąt θ i w nowm ołożeniu oznaczane jako E i E. Kąt β jest kątem międz E i E. Punkt P w układzie wsółrzędnch E i E jest oisan rzez W układzie wsółrzędnch E, E mam E E cos(β - θ), (5a) E E sin(β - θ). (5b) E E cosβ, (5a) E E sinβ. (5b) Po kolejnch rzekształceniach trgonometrcznch otrzmuje się E E cosθ + E sinθ, (53a) E - E sinθ + E cosθ. (53b) W celu wznaczenia macierz Muellera tworz się, jak orzednio, arametr Stokesa dla wzorów (53a) i (53b). Macierz Muellera dla obrotu ma ostać cos θ sin θ M sin θ cos θ (54) Należ zwrócić uwagę, że fizczn obrót o kąt θ owoduje ojawienie się θ w macierz (54), a nie θ. Powodem jest rowadzenie rozważań w dziedzinie intenswności, w dziedzinie amlitud mielibśm θ. Głównm zastosowaniem elementów obracającch jest zmiana azmutu elis olarzacji. Załóżm na wejściu azmut ψ. Z orzednich rozważań, atrz wzór (84), mam tgψ S /S. Dla wiązki za elementem obracającm, ze wzoru (54), azmut ψ oblicza się jako Wstawiając S S tgψ, atrz wzór (84), do wzoru (55), otrzmujem tgψ [- S sinθ + S cosθ] / [S cosθ + S sinθ]. (55) skąd tgψ tg(ψ -θ), (56) ψ ψ - θ. (57)

18 Tak więc rozważan element obraca tlko elisę olarzacji, bez zmian kąta elitczności. Znak jest ujemn, gdż obrót nastęuje w kierunku zgodnm z kierunkiem obrotu wskazówek zegara. W rzadku obrotu w kierunku rzeciwnm do kierunku obrotu wskazówek zegara, we wzorze (54) zastęuje się θ rzez -θ. Uzskuje się ψ ψ + θ. (58) Prz wrowadzaniu macierz Muellera dla olarzatora, elementu oóźniającego i elementu obracającego założono, że otczne osie tch elementów są skierowane wzdłuż osi i (E i E ) Macierze Muellera dla obróconch elementów olarzacjnch Rozważan element olarzacjn jest obrócon o kąt θ, jego osie i rzjmują teraz ołożenie i. Stuację okazuje rs. 6. Rs. 5. Obrót rostoadłch składowch wektora elektrcznego rzez element obracając Składowe wiązki adającej należ zaisać w nowm układzie wsółrzędnch i. Wektor Stokesa S odniesion do tch osi S M R (θ) S, (59) gdzie M R (θ) oznacza macierz Muellera obrotu. Wektor Stokesa dla wiązki za elementem olarzacjnm S M S M M R (θ) S. (6)

19 Wektor Stokesa wiązki w orginalnch wsółrzędnch i otrzmuje się orzez obrót S o kąt -θ (w kierunku rzeciwnm do kierunku obrotu wskazówek zegara) S M R (-θ) S [M R (-θ) M M R (θ)] S, (6) gdzie M R (-θ) oznacza, onownie, macierz obrotu o kąt -θ. Powższe równanie można zaisać jako gdzie S M(θ) S, (6) M(θ) M R (-θ) M M R (θ), (63) Wzór (63) oisuje macierz Muellera obróconego elementu olarzacjnego. Macierz obrotu M R (θ) dana jest wzorem (54). Można wkazać, że macierz Muellera obróconego olarzatora ma ostać cos α cos θ cos αsin θ cos cos α cos θ θ + sin αsin ( sin α) sin θcos θ ( sin α) sin θcos θ θ + sin α cos sin α gdzie odstawiono. Przadki liniowego olarzatora oziomego, filtra szarego i liniowego olarzatora ionowego otrzmuje się dla α, 45 i 9. Prz wrowadzaniu wkorzstano wzór (37) oisując olarzator w ostaci kątowej ( trgonometrcznej ). Przkładowo, oziom olarzator liniow oisuje wzór (α ) cos θ sin θ cos θ cos θ sin θcos θ (65) M ( θ) sin θ sin θcos θ sin θ często sotkan rz oisie generacji i analiz światła solarzowanego. Wstawiając θ, 45 i 9 we wzorze (65) otrzmuje się rzadki nie obróconch olarzatorów liniowch: oziomego (34), od kątem 45 i ionowego (35). θ sin cos αsin θ M θ (64)

20 Macierz Muellera dla obróconej ćwierćfalówki Macierz Muellera dla łtki oóźniającej dana jest wzorem (4). Obracając ją o kąt θ otrzmujem ogólną ostać cos θ + cosφsin θ ( cosφ) sin θcos θ sin φsin θ M ( ) (66) c φ,θ ( cosφ) sin θcos θ sin θ + cosφcos θ sin φcos θ sin φsin θ sin φcos θ cosφ Dla θ wzór (66) rzekształca się w (4). Dla φ 9 o ( 9,θ) cos θ sin θcos θ sin θcos θ M c sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ (67) Dla wiązki o liniowej olarzacji oziomej, atrz wzór (95), wektor Stokesa wiązki za ćwierćfalówką rzjmuje ostać cos θ S (68) sin θcos θ sin θ Azmut i kąt elitczności wnoszą tgψ tgθ; (69a) sinυ - sinθ. (69b) Obrót ćwierćfalówki umożliwia generację dowolnego stanu olarzacji o dowolnm azmucie i kącie elitczności z wiązki wejściowej solarzowanej liniowo. Jednakże wbrać można tlko jeden z tch arametrów, drugi jest arametrem wnikowm. Dodatkowo, jeśli na wejściu wiązka ma olarzację kołową rawo lub lewo skrętną, to wektor Stokesa na wjściu oisuje olarzację liniową

21 sin θ (7) S m cos θ Fakt tworzenia rzez ćwierćfalówkę olarzacji liniowej z olarzacji kołowej jest ogólnie znan. Wzór (7) okazuje możliwość kontroli azmutu olarzacji liniowej rzez obrót łtki oóźniającej. Można wkazać, że generacja dowolnego stanu olarzacji elitcznej (o dowolnm azmucie i elitczności, bez względu na stan olarzacji wiązki wejściowej) wmaga zastosowania obrotowego liniowego olarzatora i obrotowej łtki oóźniającej o kontrolowanm rzesunięciu faz φ międz składowmi Macierz Muellera dla obróconej ółfalówki Szczególn rzadek stanowi łtka ółfalowa, dla której φ 8. Ze wzoru (66) otrzmujem o cos 4θ sin 4θ M c ( 8,4θ) sin 4θ cos 4θ Wzór (7) rzomina wzór (54), tzn. macierz Muellera M R (θ) dla obrotu. Istotne różnice to: a) kąt elitczności Przemnażając wektor Stokesa wiązki adającej, wzór (93), rzez macierz obrotu, wzór (54), otrzmuje się skąd kąt elitczności υ S S cos θ + S S S sin θ + S S3 sin θ cos θ Oznacza to, że rz czstm obrocie elitczność nie ulega zmianie. (7) (7) sinυ S 3 / S ; sinυ S 3 / S. (73)

22 Dla rzejścia rzez ólfalówkę, o rzemnożeniu (93) rzez (7), wektor Stokesa ma ostać a kąt elitczności wznacza się ze wzoru S S cos 4θ + S S S sin 4θ S S3 sin 4θ cos 4θ (74) skąd sinυ S 3 / S - S 3 /S - sinυ, (75) υ υ + 9, (76) Oznacza to, że kąt elitczności υ wiązki adającej jest rzsieszan o 9 rzez obrót ółfalówki. b) Azmut elis olarzacji Dla elementu czsto obracającego, wzór (54), azmut elis olarzacji wiązki adającej dan jest wzorem (84), tzn. tgψ S /S, Ze wzorów (84) i (7) mam sin ψ cos θ sin ψ cos θ tan ψ cos ψ cos θ + sin ψ sin θ (77) czli ψ ψ - θ. (78) Ostatni wzór okazuje, że mechaniczn obrót o kąt θ zwiększa ψ o tę samą wartość i w tm samm kierunku (z definicji, obrót w kierunku zgodnm z kierunkiem obrotu wskazówek zegara zwiększa kąt θ). Dla ółfalówki azmut ψ, wzór (74), wnosi S sin 4θ S cos4θ tan ψ S cos4θ + S sin 4θ (79) Po odstawieniu (77) do (79) mam czli cos ψ sin 4θ sin ψ cos 4θ tanψ cos ψ cos 4θ + sin ψ sin 4θ (8) ψ θ - Ψ; oraz Ψ - (ψ -θ). (8)

23 Z ostatniego wzoru wnika, że obrót ółfalówki w kierunku zgodnm z kierunkiem obrotu wskazówek zegara owoduje zmianę ψ w kierunku rzeciwnm, i to dwukrotnie większą w orównaniu z elementem obracającm. W rzadku mechanicznego obrotu ólfalówki o kąt θ elisa olarzacji obraca się o kąt θ w kierunku rzeciwnm do kierunku obrotu ółfalówki. Zastosowanie ółfalówki do obrotu elis olarzacji wmaga, w orównaniu z użciem elementu obracającego, zastosowania uchwtu obrotowego o dwukrotnie wższej rozdzielczości. Przkładowo, jeśli użjem obrotowego elementu mechanicznego o rozdzielczości dla olarzacjnego elementu obracającego, dla zaewnienia tej samej dokładności obrotow uchwt mechaniczn ółfalówki owinien mieć rozdzielczość. W ten sosób mechaniczne zaewnianie rozdzielczości może bć znacznie droższe od zastosowania olarzacjnego elementu obracającego. W ogólności, założon obrót elis olarzacji leiej realizować elementem obracającm wkonanm z kwarcu niż ółfalówką mocowaną w dokładnm mechanicznm elemencie obrotowm. Drugą ważną właściwością ółfalówki jest zmiana kierunku skrętności stanu olarzacji. Przkładowo, rozważm na wejściu wiązkę o olarzacji kołowej rawo lub lewo skrętnej, atrz wzor (99) i (). Przemnażając te wzor rzez wzór (7), w którm wstawiam θ, otrzmujem S I (8) m Ostatni wzór okazuje, że rzejście rzez ółfalówkę zmienia skrętność elis olarzacji na rzeciwną. W odobn sosób można wkazać, że w rzadku wiązki adającej o liniowej olarzacji o azmucie +45 otrzmuje się za ółfalówką liniową olarzację o azmucie 45. Ta zmiana skrętności i azmutu jest owodowana rzez ujemn znak rz wrazach m i m 33 we wzorze (8).

24 3.3. Zastosowanie Macierz Muellera do analiz metod wznaczania arametrów Stokesa Klasczna metoda omiaru z zastosowaniem ćwierćfalówki i olarzatora (omiar intenswności) Metoda ta została omówiona w unkcie Zaleta stosowania macierz Muellera olega na uniwersalności tego odejścia. Schemat układu i oznaczenia rzedstawia rs. 7. Wiązkę adającą oisuje wektor Stokesa, atrz wzór (93); macierz Muellera łtki oóźniającej o osi szbkiej okrwającej się z osią dana jest we wzorze (4). Rs. 7 Schemat układu i oznaczenia dla klascznej metod wznaczania arametrów Stokesa. Wektor Stokesa wiązki za łtką oóźniającą ma ostać, iloczn (4) i (93): S S S S S cosφ S φ 3sin sinφ + S cosφ 3 Macierz Muellera liniowego olarzatora o łaszczźnie rzeuszczania tworzącej kąt θ z osią oisuje wzór (65). Wektor Stokesa wiązki za olarzatorem uzskuje się rzez wmnożenie macierz (83) i (65). Nas interesuje tlko ierwsz arametr Stokesa S odowiadając intenswności wiązki adającej na fotodetektor. Jest on wnikiem rzemnożenia ierwszego rzędu macierz (65) rzez (83) (83)

25 I(θφ) ½ [S + S cosθ + sinθ(s cosφ -S 3 sinφ)] ½ [S + S cosθ + S sinθcosφ -S 3 sinθsinφ]. (84) Jest to znan wzór Stokesa wiążąc intenswność z arametrami Stokesa. Wznacza się je z nastęującch związków zawierającch θ i φ: S I(, ) + I(9, ), (85a) S I(, ) I(9, ), (85b) S I(45, ) S, (85c) S 3 S I(45, 9 ). (85d) Parametr S, S, i S mierz się rz ćwierćfalówce (φ 9 ) usuniętej z układu otcznego. Pomiar S 3 wmaga jednak wrowadzenia ćwierćfalówki i ustawienia azmutu olarzatora θ 45. Powstaje teraz roblem skończonej wartości absorcji wrowadzanej rzez ćwierćfalówkę, która owinna bć uwzględniona w macierz Muellera. Wartość wsółcznnika absorcji wznacza się orzez odrębn omiar. Macierz Muellera dla łtki oóźniającej wrowadzającej absorcję można wrowadzić w nastęując sosób. Składowe wiązki za łtką oóźniającą tego tu oisują wzor (88) E E e(iφ/) e(-α ), (86a) E E e(-iφ/) e(-α ), (86b) gdzie α i α odowiadają wsółcznnikom absorcji. Możem zaisać e(-α ), (87a) e(-α ). (87b) Macierz Muellera absorbującej, anizotroowej łtki oóźniającej ma więc ostać M + + cosφ sinφ φ sin cosφ cos γ M Stosując zais kątow ostatni wzór można zaisać jako sin γ cosφ sin γ sinφ (89) sin γ sinφ sin γ cosφ gdzie +. Dla γ 45 mam rzadek izotroowej łtki oóźniającej o absorcji równej dla obu kierunków osi. Jeśli, wzór (88) uraszcza się do ostaci oisującej idealną fazowa łtkę oóźniającą. cos γ (88)

26 Intenswność wiązki wjściowej I(θ,φ) daje rzemnożenie ierwszego rzędu (65) rzez (89) I(θ,φ) ( /) [( + cosγ)s + (cosγ + cosθ)s + (sinγcosφsinθ)s + (sinγsinφsinθ)s 3 ]. (9) Jeśli chcielibśm dokonać rejestracji czterech wartości intenswności z wstawioną łtką ćwierćfalową, wted z wzoru (9) mam dla każdej kombinacji θ i φ 9 S (/ ) [I(, ) + I(9, )], (9a) S (/ )[I(, ) I(9, )], (9b) S (/ ) I(45, ) S, (9c) S 3 S (/ ) I(45, 9 ). (9d) Z ostatniego wnika, że każda wartość intenswności jest zmniejszona o. Nie zaburza to relacji międz arametrami Stokesa. Podobną stuacje mam rz obliczaniu kąta elitczności i azmutu wartości roorcjonalnch do S 3 /S i S /S rz dzieleniu wsółcznnik uraszcza się. Jednakże zazwczaj trz ierwsze omiar rowadzi się bez ćwierćfalówki atrz wzór (85). Ostatecznie mam S [I(, ) + I(9, )], (9a) S [I(, ) I(9, )], (9b) S I(45, ) S, (9c) S 3 S (/ ) I(45, 9 ). (9d) Wzór (9d) mówi, że omiar czwartego arametru S 3 wmaga znajomości wsółcznnika absorcji. Najrostsz sosób ostęowania to: Umieścić liniow olarzator międz źródłem i detektorem i omierzć intenswność I. Wrowadzić łtkę oóźniającą (o szbkiej osi ustawionej oziomo) międz liniow olarzator i detektor. Pomierzć intenswności dla olarzatora wtwarzającego światło liniowo solarzowane w kierunku oziomm i ionowm. Podzielenie tch wartości intenswności rzez I i ich dodanie daje. Jak już wsomniano wcześniej i teraz udowodniono, omiar trzech ierwszch arametrów Stokesa jest bardzo rost, ale wznaczenie trzeciego arametru wmaga dodatkowej rocedur omiarowej.

27 3.3.. Metoda z wkorzstaniem zerowch wartości intenswności Wżej rzedstawiona metoda wmaga stosowania mierników intenswności. Możliwe jest jednak wznaczenie arametrów Stokesa orzez wkorzstanie zerowch wartości intenswności (wgaszeń). Potrzebn jest element oóźniając o kontrolowanm rzesunięciu faz międz rostoadłmi składowmi (tzw. komensator, n. tu Babineta-Soleila; komensator umieszcza się zazwczaj w uchwcie obrotowm umożliwiającm reczjne ustawienie azmutu) oraz olarzator liniow o mierzalnm kącie obrotu (azmutu). Schemat układu omiarowego rzedstawia rs. 8. Rs. 8 Schemat omiaru arametrów Stokesa metodą zerowania intenswności. Wektor Stokesa wiązki adającej oisuje wzór (93) zawierając S, S, S i S 3 lub wzór (7) w ostaci trgonometrcznej (kątowej) z uwzględnieniem kątów α i δ. Azmut osi komensatora Babineta Soleila jest ustawian na. Wiązkę za komensatorem oisuje wektor Stokesa uzskiwan w wniku rzemnożenia macierz nie obróconego komensatora, atrz wzór (4), rzez wzór (7) S I cosφ sinφ cosα sinφ sinα cosδ cosφ sinα sinδ (93)

28 Wnik rzedstawia wzór S I cosα sinα cos sinα sin ( φ + δ ) ( φ + δ ) Z (94) wnioskujem, że stan olarzacji może bć stanem liniowm jeśli arametr S 3 będzie równ zeru. Uzskuje się to dla φ + δ 8. Stosując obrotow olarzator do analiz S, dla ołożenia o zerowej intenswności można wznaczć α. Metoda z wgaszaniem (zerowaniem intenswności) bazuje na fakcie, że δ we wzorze (93) jest zamieniana na φ + δ we wzorze (94), o rzejściu wiązki rzez komensator. W tm miejscu zachowam jeszcze formę (94) i nie wstawim φ + δ 8. Rolą komensatora Babineta-Soleila jest w tm rzadku zmiana światła solarzowanego elitcznie na światło solarzowane liniowo. (94) Wektor Stokesa wiązki za obrotowm olarzatorem I S cosθ sinθ cosθ cos θ sinθcosθ sinθ sinθcosθ sin θ cosα sinα cos sinα sin ( φ + δ ) ( φ + δ ) gdzie zastosowano macierz Muellera obróconego olarzatora liniowego. Ponownie rozważm tlko intenswność wiązki, tzn. S I(θ,φ). Po wmnożeniu ierwszego rzędu macierz Muellera rzez wektor Stokesa (95) otrzmujem (95) I(θ,φ) (I /) [ + cosθcosα + sinθsinαcos(φ + δ)]. (96) Wstawiając teraz φ + δ π mam I(θ, π - δ) (I /) [ + cosθcosα -sinθsinα], (97) któr to wzór uraszcza się do ostaci I(θ, π - δ) (I /) [ + cos(θ + α)]. (98)

29 Obrotem olarzatora dorowadza się do zerowej wartości intenswności. Prz tm ustawieniu kątowm θ + α π/, mam I(π/ - α, π - δ). (99) Kąt δ i α związane z arametrami Stokesa wiązki adającej wznacza się ze związków δ π - φ, (a) α (π/) - θ. (b) Wzor (a) i (b) rzedstawiają wmagane zależności międz kątami α i δ w wektorze Stokesa danm wzorem (94) a, odowiednio, kątami φ i θ, tzn. rzesunięciem fazowm wrowadzanm rzez komensator Babineta-Soleila i kątem obrotu liniowego olarzatora. Z wzoru () można wznaczć azmut ψ i kąt elitczności υ wiązki adającej. Z urzednio odanch zależności odanch w 4.., atrz wzor (8a) i (8b), można wrazić ψ i υ za omocą mierzonch wartości θ i φ odstawiając (a) i (b) do (8a) i (8b) tgψ tgθcosφ, (a) sinυ sinθsinφ. (b) Ab otrzmać ψ i υ należ wznaczone wartości θ i φ wrowadzić do (). Do wznaczenia α i δ, atrz (8), służą wzor cosα +/- cosυcosψ, (a) tgδ tgυ/sinψ. (b) Wartości kątów θ i φ znajduje się w nastęując sosób: najierw ustawia się komensator Babineta-Soleila na zerowe rzesunięcie faz międz składowmi, oś szbka ustawiana jest równolegle do osi. Nastęnie wrowadza się rzesuniecie fazowe dające minimalną intenswność. Nie jest to koniecznie wartość zerowa, co wnika z wzoru (98). Nastęnie obraca się olarzator liniow o kąt θ do uzskania zerowej intenswności i rejestruje się wartość tego kąta. Teoretcznie na tm rocedura omiarowa kończ się. W raktce, ab otrzmać zerową intenswność, rawie zawsze konieczne jest nieznaczne dojustowanie rzesunięcia fazowego wrowadzanego rzez komensator i ołożenia kątowego olarzatora. Wznaczone doświadczalnie wartości φ i θ wstawia się do wzorów () i () i wznacza się wektor Stokesa wiązki adającej, wzór (7). Postać (7) jest unormowaną wartością wektora Stokesa dla I.

30 Proste metod srawdzania stanu olarzacji wiązki Przomnijm, że stan olarzacji można analizować za omocą liniowego olarzatora i ćwierćfalówki (orzednio, rozdz i 3.3., mówiliśm również o ilościowm wznaczaniu arametrów Stokesa, teraz interesować nas będzie tlko stan olarzacji). Rs. 9 Schemat układu do wznaczania stanu olarzacji wiązki światła. Intenswność na wjściu układu ćwierćfalówka-olarzator oisuje wzór (84), rozdz Niżej będziem korzstać z dwóch wartości rzesunięcia fazowego wrowadzanego rzez ćwierćfalówkę: φ (brak ćwierćfalówki w układzie omiarowm) i φ 9. Przadki te oisują wzor I(θ, ) ½ [S + S cosθ + S sinθ], I(θ,9 ) ½ [S + S cosθ -S 3 sinθ], (3a) (3b) gdzie θ oznacza kąt obrotu olarzatora. W ierwszej kolejności srawdzim, cz światło jest niesolarzowane lub całkowicie solarzowane. W tm celu usuwa się ćwierćfalówkę i korzsta ze wzoru (3a). Jeśli rz obrocie olarzatora o 8 intenswność na wjściu nie ulega zmianie, wted S S oraz S. (4)

31 Jeśli intenswność zmienia się wiem, że nie mam do cznienia ze światłem niesolarzowanm. Jednakże w rzadku brak zmian intenswności nadal nie ma ewności cz światło jest niesolarzowane gdż może wstęować arametr S 3. Należ to srawdzić. W tm celu wrowadza się ćwierćfalówkę, wzór (3b), i obraca olarzator. Jeśli intenswność nie zmienia się, wted S S 3 oraz S. (5) I(θ, φ) ½ S, (6) czli otrzmaliśm warunek dla światła niesolarzowanego. Jeśli intenswność zmienia się z obrotem olarzatora należ założć olarzację elitczną (rzadek częściowej olarzacji rozważon zostanie óźniej). Przed analizą olarzacji elitcznej srawdzim obecność olarzacji liniowej lub kołowej. W celu srawdzenia obecności olarzacji liniowej usuwam ćwierćfalówkę. Wektor Stokesa dla światła solarzowanego elitcznie oisuje wzór (7), w którm α i δ oznaczają, odowiednio, kąt rzekątnej rostokąta oisanego na elisie względem osi, i rzesunięcie międz ortogonalnmi składowmi ola. Wstawiając S cosα i S sinαcosδ ze wzoru (7) do wzoru (3a) mam I(θ, ) ½ [ + cosαcosθ + sinαcosδsinθ]. (7) Prz obrocie olarzatora, jeśli wstąi zerowa wartość intenswności, możem mówić o liniowej olarzacji wiązki, gdż wzór (3a) może rzjąć wartość zerową tlko dla δ lub 8 (warunek dla światła o olarzacji liniowej). Stąd wzór (7) można zaisać jako I(θ, ) ½ [ + cos(α -θ)], (8) skąd również wnika, że zerową wartość intenswności można otrzmać tlko dla olarzacji liniowej. W rzadku gd intenswność nie rzjmuje wartości zerowej rz obrocie olarzatora, światło może bć solarzowane elitcznie lub kołowo. Srawdzenie tego wmaga zastosowania ćwierćfalówki. Jeśli światło błob solarzowane kołowo, S musi bć równe zeru i ze wzoru (3b) otrzmujem I(θ,9 ) ½ [S S 3 sinθ]. (9)

32 Prz obrocie olarzatora, jeśli wstąi zerowa wartość intenswności, światło musi bć solarzowane kołowo. W rzeciwnm razie (brak wgaszenia) mam rzadek oisan wzorem (3b) - olarzację elitczną. Podsumowując, jeśli nie uzskuje się zerowej wartości intenswności zarówno w rzadku bez ćwierćfalówki jak i z ćwierćfalówką, światło musi bć solarzowane elitcznie. Tak więc układ ćwierćfalówka-olarzator umożliwia wznaczenie stanu olarzacji wiązki. Jednm nie rozważonm dotchczas rzadkiem jest wiązka o częściowej olarzacji. Jeśli żaden z owższch testów nie dał oczekiwanego wniku oznacza to, że światło jest częściowo solarzowane. Najlesze wniki uzskuje się stosując wsokiej jakości olarzator z kalctu i ćwierćfalówkę z kwarcu. Polarzator wkonan z Polaroidu i ćwierćfalówka wkonana z miki nie gwarantują takiej ewności omiaru jak rozwiązania z kalctem i kwarcem. Rozważm teraz bardziej szczegółowo olarzacje elitczną, atrz wzór (84). Wzór ten możem zaisać jako I(θ,φ) ½ [S + S cosθ + (S cosφ -S 3 sinφ)sinθ], () lub I(θ,φ) [A + Bcosθ + Csinθ], (a) gdzie A S /, (b) B S /, (c) C (S cosφ -S 3 sinφ)/ Dla światła o olarzacji elitcznej, atrz wzór (7) z unormowaną wartością I, z wzorów () i () otrzmujem (d) A ½, (a) B ½ cosα, (b) Intenswność, wzór (a), można zaisać jako C ½ [cos(φ + δ)sinα]/. I ½ [ + cosαcosθ + sinαcos(φ + δ)sinθ]. (c) (d)

33 Kąt rz którch otrzmuje się ekstremalne wartości intenswności (maksmalną i minimalną) znajduje się rozwiązując równanie di(θ)/dθ. Wnoszą one Podstawiając (3) do (a) otrzmujem tgβ C/B -C/-B. (3) I ma A + (B + C ) /, (4a) I min A - (B + C ) /. (4b) Roziszm ten wzór w ostaci W rzadku usuniętej ćwierćfalówki, φ mam I ma. min ½ { +/- [cos α + sin αcos (φ + δ)] / }. (5) I ma, min ½ { +/- [cos α + sin αcos δ] / }. (6) Dla światła solarzowanego liniowo, δ lub 8, otrzmuje się wzór (6), skąd ze wzoru (6) I ma, min ½ [ +/- ]. (7) Kąt, rz którch uzskuje się maksmalną i minimalną wartość intenswności wnoszą, odowiednio, θ α i θ -α. Światło solarzowane liniowo daje maksmalną wartość intenswności równą jedności i minimalną wartość równą zeru. Dla światła o olarzacji kołowej, δ 9 lub 7 i α 45 ze wzoru (6) mam I ma, min ½ [ +/- ] ½, (8) a więc intenswność nie zmienia się rz obrocie olarzatora i sada do ½. Należ zwrócić uwagę, że rz sełnieniu tlko warunku na kąt δ, tzn. δ 9 lub 7, wstęuje rzadek olarzacji elitcznej, atrz wzór () (elisa nieobrócona). W tm rzadku intenswność wnosi I ma, min ½ [ +/- cosα]. (9)

34 Podobnie, jeśli α +/- 45 i δ nie jest równe 9 lub 7, otrzmuje się wzór (9), a wartość intenswności w tm rzadku wnosi I ma, min ½ [ +/- cosδ]. () Tak więc w rzadku metod z obrotem olarzatora mogą wstąić trz rzadki: a) dwukrotnego wgaszenia (zerowej wartości) intenswności rz ełnm obrocie olarzatora rzadek olarzacji liniowej, b) brak zmian intenswności rzadek olarzacji kołowej, c) wstąienia maksmalnej i minimalnej wartości intenswności (ale nie wartości I min ) rzadek olarzacji elitcznej.