Wojciech Grąziewicz. Skrypt dla studentów politechnik. Centrum Nauczania Matematyki i Kształcenia na Odległość

Transkrypt

1 Wojciech Grąziewicz Skryp dla sudenów poliechnik Cenrum Nauczania Maemayki i Kszałcenia na Odległość Poliechnika Gdańska 26

2 SPIS TREŚCI Skryp przeznaczony jes głównie dla sudenów kierunków elekrycznych, elekroniki oraz auomayki na sudiach echnicznych. Mogą z niego skorzysać również sudenci fizyki echnicznej i maemayki sosowanej. Skryp zakończony jes serią zadań konrolnych, kóre suden powinien rozwiązać w celu sprawdzenia opanowania przedsawionego maeriału. Wojciech Grąziewicz Spis reści Definicja i własności przekszałcenia Laplace a 2 2 Przekszałcenie odwrone do przekszałcenia Laplace a 9 3 Zasosowania przekszałcenia Laplace a 4 Splo funkcji i jego własności 8 5 Transformaa oryginału okresowego 2 6 Dela Diraca 22 7 Zadania 26 8 Lieraura 28

3 2 DEFINICJA I WŁASNOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE A Definicja i własności przekszałcenia Laplace a Rozparzmy funkcję zespoloną f: R C argumenu rzeczywisego czyli funkcję R f()=f ()+if 2 () C, gdzief if 2 sąfunkcjamirzeczywisymizmiennejrzeczywisej.jeżeliobiefunkcjef if 2 są funkcjamicałkowalnyminakażdymprzedziale ;r,r,omożemyzdefiniować f()d= lim r r f()d= lim r r f ()d+ilim r r f 2 ()d. Jeżeliobiegranicepoprawejsronieisniejąisąwłaściweomówimy,żecałka f()d jes zbieżna. Jeżeli kóraś z ych granic nie isnieje lub jes niewłaściwa, o całka jes rozbieżna.jeżelizbieżnajescałka f() d= f 2 ()+f 2 2()d,omówimy,żecałka f()djeszbieżnabezwzględnie.zachodziprzyymnierówność f()d f() d. Definicja. Niech f : R C będzie funkcją całkowalną na każdym przedziale ;r,r.transformaąlaplace afunkcjifnazywamyfunkcjęzespolonąfargumenu zespolonego, określoną wzorem Piszemy wówczas Mamy zaem F(s)= F(s)=L[f()]. L[f()]=F(s)= f()e s d. () f()e s d. Całka wysępująca we wzorze()(zwana całką Laplace a) jes całką zależną od parameru zespolonego s. Dla pewnych warości s może ona być zbieżna, dla innych zbieżna bezwględnie, a dla jeszcze innych rozbieżna. Ważną klasą funkcji, dla kórych całka Laplace a jes zbieżna, jes klasa funkcji zwanych oryginałami. Ograniczymy się uaj do oryginałów, kóre są funkcjami rzeczywisymi(choć w ogólnym przypadku mogą o być funkcje zespolone). Definicja.2 Oryginałem nazywamy funkcję f: R R spełniającą nasępujące warunki: f()=dlakażdego<; 2 wkażdymprzedziale ; 2, < 2, funkcjafmaskończonąliczbępunków nieciągłości i każdy z nich jes punkem nieciągłości pierwszego rodzaju;

4 3 3 funkcjafjesrzęduwykładniczego,czyli M> λ ; ) f() Me λ. Najmniejsząsałąλspełniającąwarunek3 będziemyoznaczaćprzez λ inazywaćwspółczynnikiem wzrosu wykładniczego oryginału f. Przykłady oryginałów: a) Funkcja Heviside a(funkcja jednoskowa) f() ()= { dla < dla >, Dlaejfunkcjiwarunek3 jesspełnionyzesałymim=iλ =. f() b) f()=() sin M=,λ =; f() c) f()=2 ()e 2 M=2,λ = 2 ; f() d) f()= ()e 2 - M=,λ =. Zauważymy na przykład, że funkcja g() = sin, nie jes oryginałem ponieważ nie spełniawarunku.jeżelijednakfunkcjag : R Rspełniawarunki2 i3,ofunkcja f: R R,gdzief()=() g() jesjużoryginałem.wdalszymciągu,jeżelionie

5 4 DEFINICJA I WŁASNOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE A będzie prowadziło do nieporozumień, będziemy w zapisie oryginału pomijali czynnik () rakującnaprzykładfunkcjęf()=sinjakooryginałf()=() sin.wszczególności każdafunkcjaograniczonaspełniającawarunek2,jesoryginałemzesałąλ =. Ławowykazać,żejeślif()ig()sąoryginałami,ofunkcja h()=af()+bg(),a,b R, eż jes oryginałem(a o oznacza, że zbiór oryginałów sanowi przesrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywisych). Uzasadnimy eraz podsawowy Fak. Jeżeli f jes oryginałem, o całka Laplace a f()e s djeszbieżnadla s D, gdzie D={s C:Re(s)>λ }iλ jeswspółczynnikiemwzrosuwykładniczegooryginału f. Dowód: Pokażemy,żecałka f()e s djeszbieżnabezwględnie.isonie,niech f() Me λ iniechs=λ+iω.wedy f()e = f() s e s Me λ e λ iω =Me λ e λ =Me (λ λ). Ponieważcałkaniewłaściwa e a djeszbieżnawedyiylkowedygdya<,więccałka Me (λ λ) djeszbieżnadlaλ>λ.sąd,namocykryeriumporównawczego,całka f()e s djeszbieżna,acozaymidziecałka f()e s djeszbieżnabezwzględnie dlare(s)=λ>λ. Zpowyższegofakuwynika,żeransformaaF(s)= f()e s doryginałufjesokreślonadlakażdegos D.ObszarDjeswięcdziedzinąfunkcjiF.Okazujesię,żeransformaa F(s) ma w obszarze D dodakowe własności. Zachodzi bowiem Twierdzenie. Jeżelif()jesoryginałem,aF(s)=L[f()],oF jesfunkcjąholomorficznąwobszarzed={s C:Re(s)=λ>λ }.Dodakowo lim λ F(s)=. Funkcja holomorficzna dla funkcji o warościach zespolonych jes odpowiednikiem funkcji analiycznej(czyli akiej, kórą można rozwinąć w szereg Taylora) dla funkcji o warościach rzeczywisych.ponadowaruneklim Re(s) F(s)=orzeka,żekażdafunkcjazespolona, kóra nie spełnia ego warunku nie może być ransformaą oryginału f. W szczególności funkcje wymierne zmiennej s, w kórych sopień licznika jes większy bądź równy sopniowi mianownika nie są ransformaami żadnych oryginałów. Podamy eraz kilka przykładów wyznaczania ransformay. Przykład. Wyznaczyć ransformaę funkcji jednoskowej. Rozwiązanie: r [ L[()]= e s d= lim e s d= lim ] r r r s e s = s lim r e sr + s. Pokażemy, że lim r e sr =.Wysarczypokazać,że lim e sr =.Isonie r e sr e = (λ+iω)r =e rλ. Ponieważ dla oryginału () jes λ =, więc dla λ>λ =mamy lim r e rλ =. Osaecznie

6 5 L[()]= s Dopuszczalny jes również skrócony zapis dla powyższych obliczeń: e s d= s e s =+ s = s. Przykład.2 Wyznaczyćransformaęoryginałuf()=e a,a R. Rozwiązanie: L[e a ]= e a e s d= e (a s) d= a s e(a s) = a s = s a. Pominęliśmyuzasadnieniefaku,żedlaRe(s)>λ =ajeslim r e (a s)r =.Argumenacja podobna jes do ej z poprzedniego przykładu Orzymaliśmy wzór L[e a ]= s a Przykład.3 Obliczyć ransormaę funkcji f() = sin. Rozwiązanie: Mamy L[sin]= sine s d u=e s v =sin u = se s v= cos = cose s s cose s d u=e s v =cos u = se s v=sin [ = cose s s sine s ] +s sine s d = Sąd Zaem (+s 2 ) = cose s ssine s s 2 sine s d. sine s d=e s ( ssin cos) L[sin]= [ = lim e sr ( ssinr cosr) ] +. r }{{} (gdyre(s)>) sine s d= s 2 + Własności ransformay Laplace a Podamy eraz podsawowe własności ransformay Laplace a. Ławe dowody ych własności pominiemy. Zilusrujemy ylko każdą z nich prosymi przykładami. W dalszym ciągu zakładamy,żef()jesoryginałem,al[f()]=f(s) jegoransformaą.. Liniowość ransformay Dladowolnychoryginałówfigorazdowolnycha,b Rmamy L[af()+bg()]=aL[f()]+bL[g()]

7 6 DEFINICJA I WŁASNOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE A Przykład: L[2 sin+3e ]= 2 s s s+. 2. Twierdzenie o podobieńswie Przykład: L[sina]= a( s a )2 +, sąd 3. Różniczkowanie oryginału L[f(a)]= a F ( s a L[sina]= ),a> a s 2 +a 2 Jeżelif(),f (),f (),...,f (n) ()sąoryginałami,o w szczególności oraz L[f (n) ()]=s n F(s) s n f(+) s n 2 f (+)... f (n ) (+) L[f ()]=sf(s) f(+) L[f ()]=s 2 F(s) sf(+) f (+) ( ) Przykład: L[cosa]=L[ a sina ]= a L[(sina) ]= a Zaem 4. Różniczkowanie ransformay w szczególności L[cosa]= Przykłady: ( ) 2 4s L[sin2]= s 2 = +4 (s 2 +4) ( ) 2. L[ 2 e 3 2 ]= = s 3 (s 3) ( ) 3. L[]=L[()]= = s s ( ) 2. L[ 2 ]=L[ ]= s 2 = 2 s 3. Ogólnie mamy: s s 2 +a 2 L[( ) n n f()]=f (n) (s) L[f()]= F (s) L[ n ]= (n)! s n+ ( ) a s s 2 +a 2 sin(+).

8 7 5. Przesunięcie w argumencie oryginału Przykłady: L[( ) 2 ( )]= 2 s 3e s. L[cos3( 2)( 2)]= s s 2 +9 e 2s. L[f( a)( a)]=f(s)e as,a> L[( 3)]=L[( 3)( 3)]+3L[( 3)]= s 2e 3s + 3 s e 3s. Przykład.4 Wyznaczyć ransformay Laplace a funkcji przedsawionych na wykresach f() f() a) - 2 Rozwiązanie: a) Funkcję f zapiszemy za pomocą funkcji Heviside a: f()=() 2 ( )+( 2). Sąd L[f()]= s 2 s e s + s e 2s. b) 2 b) Na poniższych rysunkach pokazane są kolejne eapy prowadzące do wyrażenia funkcji f za pomocą funkcji jednoskowej Heviside a f() f() 2 2 () () -(-) f() f() 2 2 () -(-) + (-+2) (-) () -(-) + (-+2) (-) -(-+2) (-2)

9 8 DEFINICJA I WŁASNOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE A Zaem f()=() ( )+( +2)( ) ( +2)( 2) =() 2( )( )+( 2)( 2). Sądnapodsawiewłasności5orazpamięając,żeL[]= s 2,mamy L[f()]= s 2 2 s 2e s + s 2e 2s. 6. Przesunięcie w argumencie ransformay Obliczymyransformaęfunkcjie s f(),s C. L[e s f()]= e s f()e s d= e (s s) f()d=f(s s ).Zaem L[e s f()]=f(s s ),s C Przykłady: L[e 2 ]= (s 2) 2. L[ 2 e 2 ]= (s+) 3. L[e λ ω sinω]= (s λ) 2 +ω 2. L[e λ s λ cosω]= (s λ) 2 +ω 2. L[e 3 sin 2 ]=L[e 3 2 ( cos2)]= 2 L[e 3 ] 2 L[e 3 cos2] = 2(s+3) s+3 2[(s+3) 2 +4]. 7. Całkowanie oryginału [ ] L f(τ)dτ = F(s) s Isonie: Niechg()= f(τ)dτ.wedyg ()=f()orazsg(s) g()=f(s).ponieważg()=, więcsg(s)=f(s)isądg(s)= F(s) [ ] Przykład: L e 3τ cos2τdτ = s. s 3 s[(s 3) 2 +4]. Podamy eraz zesawienie najczęściej sosowanych wzorów związanych z ransformacją Laplace a

10 9 Lp. f() F(s) Lp. f() F(s) () ( s ) 8 f(a) s a F a 2 e a s a 9 f () sf(s) f(+) 3 sin a a s 2 +a 2 f () s 2 F(s) sf(+) f (+) s 4 cos a s 2 +a 2 f() F (s) a 5 sinh a s 2 a f() F (s) s 6 cosh a s 2 a 2 3 f( a)( a),a> F(s)e as 7 n n!,n N s n+ 4 e s f(),s C F(s s ) 2 Przekszałcenie odwrone do przekszałcenia Laplace a Transformacja Laplace a jes przekszałceniem, kóre pewnym funkcjom f zmiennej rzeczywisej przyporządkowuje funkcje F zmiennej zespolonej s. Zapisujemy o wówczas F(s) = L[f()]. Powsaje pyanie, czy isnieje odwzorowanie odwrone do przekszałcenialaplace a.zdefinicjiransformayf(s)wynika,żejeślidwaoryginałyf()ig()różnią się w skończonej liczbie punków, o ich ransformay F(s) i G(s) będą idenyczne. Podamy nasępujące Twierdzenie2. Jeżelifjesoryginałem,afunkcjaFzmiennejzespolonejs=λ+iω jes ransformaą Laplace a funkcji f, o w każdym punkcie zachodzi wzór f( )+f(+) 2 = 2πi lim ω λ+iω λ iω F(s)e s ds, (2) gdzieλ>λ aλ jeswspółczynnikiemwzrosuwykładniczegooryginałuf. Zwierdzeniaegowynika,żewkażdympunkcie,wkórymoryginałfjesciągły,prawa srona wzoru(2) jes równa f(), naomias w punkach nieciągłości funkcji f, prawa srona ego wzoru jes równa średniej arymeycznej granic jednosronnych funkcji f w ym punkcie.zegopowoduwdalszymciągujeślioryginałf()wjakimśpunkciejesnieciągły,o będziemy przyjmować, że w ym punkcie przyjmuje on warość równą średniej arymeycznej granic jednosronnych funkcji(choć nie będziemy ego zaznaczać na wykresie funkcji). Zgodnieząumowąnp. ()= ( )+(+) 2 = + 2 = 2.

11 2 PRZEKSZTAŁCENIE ODWROTNE DO PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE A Definicja 2. Przekszałceniem odwronym do przekszałcenia Laplace a nazywamy przekszałcenie określone wzorem L [F(s)]= 2πi lim ω λ+iω λ iω F(s)e s ds Jeżeli oryginał f w swoich punkach nieciągłości ma warość równą średniej arymeycznej skoku w ym punkcie, o zachodzi L [F(s)]=f() L[f()]=F(s). Przy wyznaczaniu oryginału, gdy znana ( jes) jego ransformaa, korzysamy z wzorów z s abeliransforma.naprzykład L s 2 =cosh 2,bonapodsawiewzoru6jes 2 L ( cosh 2 ) = s s 2 2. PrzekszałcenieL,podobniejakprzekszałcenieLjesprzekszałceniemliniowym.Mamy więc równości L [af(s)+bg(s)]=al [F(s)]+bL [G(s)]=af()+bg() Przykład2. Obliczyć f()=l [F(s)],jeśliF(s)= s2 +s+ s 3. +s Rozwiązanie: Funkcję F rozkładamy na ułamki prose, s 2 +s+ s(s 2 +) = s + s 2 +. Sąd ( L s + ) ( ) ( ) s 2 =L +L + s s 2 =+sin. + Zaemf()=+sin.Wzasadziepowinniśmynapisaćf()=(+sin)(),jednakzgodnie z wcześniejszą umową czynnik () pomijamy. Przykład2.2 Wiedząc,żeF(s)= Rozwiązanie: s s 2 +4s+5,znaleźćoryginałf()=L [F(s)]. Trójmian kwadraowy w mianowniku doprowadzamy do posaci kanonicznej. Orzymamy s F(s)= (s+2) 2 +. Nasępnie orzymaną funkcję przekszałcamy ak, aby można było skorzysać z wzoru 4 w połączeniuzwzorami3i4. F(s)= s+2 2 (s+2) 2 + = s+2 (s+2) (s+2) 2 +. Sąd na podsawie wspomnianych wzorów mamy ( ) Odpowiedź: f()=l s+2 (s+2) (s+2) 2 =e 2 cos+2e 2 sin. +

12 3 Zasosowania przekszałcenia Laplace a Transformacja Laplace a jes dogodnym narzędziem pomocnym w rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych. Zaczniemy od nasępującego przykładu Przykład 3. Rozwiązać zagadnienie począkowe { x +x=e, x()=. Rozwiązanie: Jes o równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego z niewiadomą funkcją x zmiennej niezależnej. Założymy, że funkcja x jes oryginałem. Niech L[x()] = X(s). Wedy x()=l [X(s)].Zgodniezewzorem5zabelinasr.9mamy L[x ()]=sx(s) x(+)=sx(s) Sosujemy ransformaę Laplace a do obu sron danego równania(ransformujemy obie srony równania). Orzymujemy sx(s) +X(s)= s+. Sąd (s+)x(s)=+ s+ oraz X(s)= s+ + (s+) 2. Zaem x()=l [X(s)]=L ( s+ Odpowiedź: x()=(+)e. )+L ( ) (s+) 2 =e +e. Sosując ransformaę Laplace a do obu sron równania, przekszałciliśmy dane równanie różniczkowe z niewiadomą funkcją x, w równanie algebraiczne z niewiadomą funkcją X. Wyznaczyliśmy z ego przekszałconego równania funkcję X, a nasępnie sosując ransformaęodwronąl dofunkcjix,orzymaliśmyoryginałx,kóryjesrozwiązaniemdanego zagadnienia. Przykład 3.2 Znaleźć rozwiązanie zagadnienia począkowego { x 2x =e 2 x()=x ()=. Rozwiązanie: Korzysajączwzorów,9i2orzymujemy L[x ]=s 2 X(s) sx() x ()=s 2 X(s), L[x ]=sx(s) x()=sx(s), L[e 2 ]= s 2.

13 2 3 ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE A Transformujemy obie srony danego równania: L[x 2x ]=L[e 2 ] s 2 X(s) 2sX(s)= s 2. Sąd X(s)= s(s 2) 2. Zaem x()=l ( s(s 2) 2 ). Rozkładamy funkcję ( X(s) na ułamki prose) i orzymujemy x()=l 4s 4(s 2) + 2(s 2) 2. Odpowiedź: x()= 4 4 e2 + 2 e2. Przy wyznaczaniu ransformay odwronej skorzysaliśmy ze wzorów:, 2 i 4 w połączeniu zewzorem7zabeliransformazesrony9. Rozwiązanie równań z powyższych dwóch przykładów, gdzie prawe srony są funkcjami ciągłymi, można było ławo uzyskać klasycznymi meodami znanymi z kursu równań różniczkowych. W przypadku, gdy po prawej sronie równania wysępuje funkcja, kóra nie jes ciągła klasyczne meody zawodzą i wedy ransformacja Laplace a jes skuecznym narzędziem. Zilusrujemy o kolejnym przykładem. Przykład 3.3 Rozwiązać zagadnienie { x +x=( ) x()=, x ()=. Rozwiązanie: Prawą sronę równania przekszałcamy do posaci ( )=[+( )]( )=( )+( )( ). Transformujemy eraz obie srony równania: L[x +x]=l[( )+( )( )]. Zaem s 2 X(s) sx() x ()+X(s)= s e s + s 2e s. Uwzględniając warunki począkowe, mamy s 2 X(s) +X(s)= s e s + s 2e s. Sąd X(s)= s s(s 2 +) e s + s 2 (s 2 +) e s. Zaem ( ) x()=l s s(s 2 +) e s + s 2 (s 2 +) e s.

14 3 Korzysamy eraz ( z liniowości ransformay ( odwronej i( dosajemy ) x()=l )+L )+L s 2 + s(s 2 +) e s s 2 (s 2 +) e s. Wyznaczamy ( poszczególne ) składniki funkcji x. Orzymujemy kolejno: L s 2 =sin (). + Funkcję wymierną s(s 2 rozkładamy na ułamki prose: +) s(s 2 +) = s s s 2 +, asąd ( ) ( L s(s 2 =L +) s s ) s 2 = cos + oraz, na( podsawie wzoru ) 3, L s(s 2 +) e s =[ cos( )]( ). Analogicznie ( ) [( L s 2 (s 2 +) e s =L ] )e s 2 s s 2 =[( ) 2 sin( )]( ). + Zaem rozwiązaniem danego zagadnienia jes Odpowiedź: x()=sin()+[ cos( )]( )+[( ) 2 sin( )]( ). Rozwiązanie x, jak się okazuje jes funkcją ciągłą. Przykład 3.4 Rozwiązać, meodą ransformacji Laplace a, układ równań z zadanymi warunkami począkowymi x +y +y=e 2x +y +2y=cos x()=y()=. Rozwiązanie: Zakładamy, że niewiadome funkcje x i y są oryginałami o ransformaach odpowiednio X i Y. Transformujemy oba równania: sx(s)+sy(s)+y(s)= s, sx(s)+(s+)y(s)= 2sX(s)+sY(s)+2Y(s)= s s, s 2 2sX(s)+(s+2)Y(s)= s + s 2 +. Orzymaliśmy układ równań algebraicznych z niewiadomymi X(s) i Y(s). Rozwiązując en liniowy układ orzymujemy X(s)= s+2 s 2 (s ) + s+ s(s 2 +) =4 s +2 3 s 2 s + s 2 + s s 2 +, Y(s)= s s(s ) = 2 s + 2 s s 2 +. Sąd { x()=4+2 3e Odpowiedź: +sin cos y()= 2+2e sin.

15 4 3 ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE A Ważnymi przykładami zasosowań ransformacji Laplace a są zasosowania w dziedzinie elekroechniki. Pokażemy jak wyprowadzić i rozwiązać równanie wyrażające zmianę naężenia prądu w ypowym obwodzie zawierającym cewkę, opornik i kondensaor. Przykład3.5 ObwódelekrycznyskładasięzeźródłaprąduoSEMrówneje=e(),cewki o indukcyjności L, oporu R i kondensaora o pojemności C. R i C + - u C u R ul L = Znaleźćnaężenieprądui=i()jakofunkcjęczasu,jeżeliwchwilipocząkowej= naężeniewobwodzieorazładuneksąrównezero.wykonaćobliczeniagdyr=2[ω],l= [H],C=,2[F],asiłaelekromoorycznae()[V]zadanajeswzorem:, <,, (;), e()= +2, (;2),, >2, kórej wykres przedsawiony jes na rysunku: e() 2 Sporządzić wykres naężenia i korzysając z dowolnego programu do obliczeń symbolicznych. Rozwiązanie: Zgodnie z prawem Kirchoffa, całkowia siła elekromooryczna w obwodzie równa się sumie spadków napięć na cewce, oporze i kondensaorze, gdzie e()=u L +u R +u C, u L =L di d, u R=Ri, u C = q c. Napięcieu C wyznaczymyzzależności dq() d =i(),

16 5 sąd,całkującenzwiązekwprzedzialeoddo,orzymamy Ponieważq()=,więc Mamy zaem równanie q() q()= u C = C L di d +Ri+ C i(s)ds. i(s)ds. i(τ)dτ=e(). (3) Różniczkując osanie równanie obusronnie względem zmiennej orzymujemy L d2 i d +Ri+ C i=de d. Po podzieleniu przez L i wsawieniu zadanych warości liczbowych orzymujemy równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego z niewiadomą funkcją i gdzie funkcja d 2 i d 2+2di +5i=f(), (4) d f()= de d = przedsawiona jes na poniższym wykresie, <, (;), (;2),, >2 f() - 2 Zapiszemy jeszcze warunki począkowe: i()=, di d ()=e() L =. Drugi z warunków począkowych orzymamy wsawiając = do obu sron równania(3). Transformując obusronnie równanie(2) i uwzględniając warunki począkowe, orzymujemy s 2 I(s)+2sI(s)+5I(s)=F(s)

17 6 3 ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE A gdzie I(s)=L[i()], F(s)=L[f()]= s 2 s e s + s e 2s (zob.przykład.4a)sr.7). Mamy zaem isąd awięc I(s)= (s 2 +2s+5)I(s)= s 2 s e s + s e 2s s(s 2 +2s+5) 2 s(s 2 +2s+5) e s + s(s 2 +2s+5) e 2s, i()=l [ s(s 2 +2s+5) 2 s(s 2 +2s+5) e s + s(s 2 +2s+5) e 2s]. Funkcję wymierną s(s 2 +2s+5) rozkładamynaułamkiprose: Zaem s(s 2 +2s+5) =A s + Bs+C s 2 +2s+5, sąda= 5,B 5,C= 2 5. ( ) s(s 2 +2s+5) = 5 s s+2 s 2. +2s+5 Przekszałćmy jeszcze osanie wyrażenie do posaci dogodnej do sosowania wzorów z abeli ransforma ( ) 5 s s+2 (s+) 2 = ( ) +4 5 s s+ (s+) (s+) Mamy zaem [ kolejno: ] L s(s 2 = [ e cos2 ] +2s+5) 5 2 e sin2 (), [ ] L 2 s(s 2 +2s+5) e s = 2 [ e ( ) cos2( ) ] 5 2 e ( ) sin2( ) ( ), [ ] L s(s 2 +2s+5) e 2s = 2 [ e ( 2) cos2( 2) ] 5 2 e ( 2) sin2( 2) ( 2). Osaecznie Odpowiedź: i()= [ e cos2 ] 5 2 e sin2 () 2 [ e ( ) cos2( ) ] 5 2 e ( ) sin2( ) ( ) + 2 [ e ( 2) cos2( 2) ] 5 2 e ( 2) sin2( 2) ( 2) lub w radycyjnym zapisie [ 5 e cos2 2 e sin2 ], (;), [ i()= 2 5 e ( ) cos2( ) 2 e ( ) sin2( ) ], (;2), [ e ( 2) cos2( 2) 2 e ( 2) sin2( 2) ], (2; ). 2 5 Na koniec wykres rozwiązania uzyskany za pomocą programu Scienific Work Place

18 7 i() Uwaga: Transformaę I(s) można eż orzymać bezpośrednio z równania(3) pomijając wyprowadzenie równania różniczkowego(4). Mianowicie, ransformując obie srony równania (3) i sosując wzór na całkowanie oryginału(własność 7 ze srony 8) orzymujemy: LsI(s)+RI(s)+ C I(s) s =E(s). Sąd E(s) I(s)= Ls+R+ sc Wsawiającerazdanezadaniaorazkorzysajączwynikuzprzykładu.4b)nasr.7 orzymujemy I(s)= s(s 2 +2s+5) 2 s(s 2 +2s+5) e s + s(s 2 +2s+5) e 2s. Transformacja Laplace a sosuje się do równań lub układów równań różniczkowych liniowych wprzypadkugdywarunkipocząkowesawianesąwpunkcie =.Nakolejnymprzykładziepokażemyjaksobieradzić,gdywarunekpocząkowydanyjeswpunkcie. Przykład 3.6 Rozwiązać zagadnienie począkowe x +2x=, x(2)=. Rozwiązanie: Przez odpowiednią zamianę zmiennych sprowadzimy dane równanie do równoważnego równania z warunkiem począkowym w zerze. Niechτ= 2,wedy =τ+2. Wprowadźmy eraz nową funkcję niewiadomą y = y(τ) związaną z funkcją x zależnością y(τ)=x(τ+2)=x().wówczasy (τ)=x (τ+2)=x ().Przyejzamianiezmiennych dane zagadnienie przekszałca się w zagadnienie y (τ)+2y(τ)=τ+2, τ()=. Do ego zagadnienia sosujemy ransformaę Laplace a. Orzymujemu kolejno: sy(s) +2Y(s)= s 2+2 s,

19 8 4 SPLOT FUNKCJI I JEGO WŁASNOŚCI Y(s)= s+2 + s 2 (s+2) + s(s+2). Po rozkładzie funkcji wymiernych na ułamki prose i redukcji wyrazów podobnych dosajemy Y(s)= 4 s s + 2 s 2. Awięc y(τ)= 4 e 2τ τ. Wracając eraz do niewiadomej funkcji x zmiennej orzymujemy Odpowiedź: x()= 4 e 2( 2) ( 2). 4 Splo funkcji i jego własności Definicja 4. Jeżeli funkcje f i g są funkcjami rzeczywisymi określonymi i całkowalnymi w każdymprzedziale ;, (; ),osploemfunkcjifignazywamyfunkcjęhokreśloną nasępująco h()= f(τ)g( τ)dτ, (, ). Splofunkcjifigoznaczamyf() g().mamyzaem f() g()= f(τ)g( τ)dτ. (5) Własności splou: Splojesoperacjąprzemienną,łącznąirozdzielnąwzględemdodawania. 2 Splodwóchoryginałówjesoryginałem. Twierdzenie4. (Borela)Jeżelifigsąoryginałamio L[f() g()]=l[f()] L[g()]=F(s) G(s). Twierdzenie powyższe orzeka, że ransformaa splou jes równa iloczynowi ransforma. Zilusrujemy o wierdzenie przykładem Przykład4. Obliczymysplofunkcjif()= i g()=e.mamy

20 ( e = τe τ dτ=e τe τ dτ=e τe τ ) e τ =e ( e e + ) =e. Zaem L[ e ]=L[e ]= s s+ s(s ) s 2 s =s2 s 2 = (s ) s 2 (s ). Z drugiej srony, na podsawie wierdzenia Borela mamy: L[ e ]=L[] L[e ]= s 2 s. Twierdzenie Borela sosujemy przede wszyskim do wyznaczania ransformay odwronej. Korzysamy wówczas z zależności L [F(s) G(s)]=L [F(s)] L [G(s)]=f() g(). (6) Przykład 4.2 Wyznaczyć oryginał f(), gdy znana jes ransformaa F(s)=L[f()]= 5s (s 2 +)(s ). Rozwiązanie: ( ) ( ) f()=l 5s (s 2 =5L s ( +)(s ) ) ( ) s s 2 + s =5L L s s 2 =5e cos=5 e τ cosτdτ + [ ] =5e e τ cosτdτ=5e 2 e τ (sinτ cosτ) = 5 ( sin cos+e ). 2 Uwaga: Przy wyznaczaniu oryginału x() z wykorzysaniem wierdzenia Borela, należało obliczyćuciążliwąrachunkowocałkę e τ cosτdτ(szczegółyrachunkówpominęliśmy).ten sam oryginał można było obliczyć przez rozkład funkcji F(s) na ułamki prose, podobnie jakwprzykładach2.i2.2nasr.. Przykład 4.3 Rozwiązać zagadnienie począkowe x()+ x (τ)cos( τ)dτ=sin( π), Rozwiązanie: x()=. Równanie powyższe jes równaniem różniczkowo-całkowym ypu sploowego. Zauważymy, że równanie można przepisać w posaci x()+x () cos= sin( π)( π). Transformujemy obie srony równania, sosując do lewej srony wzór na ransformaę splou (wierdzenie Borela) i wzór na ransformaę pierwszej pochodnej, a do prawej srony, wzór 3 z abeli ransforma. Orzymujemy kolejno 9

21 2 5 TRANSFORMATA ORYGINAŁU OKRESOWEGO s = e πs X(s)+sX(s) s 2 + s 2 +, X(s) (+ )= s2 e πs s 2 + s 2 +, X(s)= e πs s 2 + s 2 + 2s 2 + = e πs 2s 2 +. Sąd ( ) x()= L 2s 2 + e πs. Ponieważ ( ) 2 2 L 2s 2 = + 2 sin 2, więc korzysając znowu ze wzoru 3 na przesunięcie w dziedzinie argumenu, orzymujemy Odpowiedź: x()= ( sin 2 )( π). ( π) 5 Transformaa oryginału okresowego Załóżmy,żeoryginałf()jesfunkcjąokresowądla>,zn.isniejeT >akie,że f()=f(+t)dlakażdego>.uzasadnimywzórnaransformaęoryginałuokresowego: Isonie mamy L[f()]=F(s)= L[f()]= f()e s d= T e Ts e s f()d T f()e s d+ T f()e s d. Wdrugiejcałcesosujemypodsawienie =u+ti d=du.zaem Sąd F(s)= = = T T T f()e s d+ F(s) ( e st) = Osaecznie F(s)= e Ts f(u+t)e s(u+t) du f()e s d+e st f(u)e su du f()e s d+e st F(s). T T f()e s d. e s f()d. Przykład 5. Rozwiązać zagadnienie x +x=f(), x(=x ()=,

22 2 gdzie f jes oryginałem okresowym określonym wzorem dla (,π), f()= dla (π,2π), f(+2π)=f(). Rozwiązanie: Wyznaczamynajpierwransformaęoryginałuf.Korzysamyze wzoru na ransformaę oryginału okresowego o okresie T = 2π. L[f()]= = = 2π e 2πs π e 2πs e 2πs = s π e s f()d e s d+ e s d= ( e πs e 2πs ) e 2πs e 2πs 2π π e s d [ s e s ] π e πs = s( e πs ) (+e πs ) = s(+e πs ). Transformując eraz obie srony równania i uwzględniając warunki począkowe orzymujemy: s 2 X(s)+X(s)= s(+e πs ). Sąd X(s)= s(+e πs )(s 2 +). Zaem [ [ ] x()=l ]=L s(+e πs )(s 2 +) s(+e πs ) s 2 + Zauważymy, że wyrażenie w nawiasie kwadraowym jes iloczynem ransformay naszego oryginału okresowego f() i funkcji sin. Korzysajac z wierdzenia Borela, orzymujemy x()=f() sin= f(τ)sin( τ)dτ. Aby obliczyć całkę po prawej sronie osaniego wzoru, musimy rozparzeć przypadki dla należącychdokolejnychprzedziałów(;π),(π;2π),id.mamyzaem jeśli (;π),o x()= sin( τ)dτ=cos( τ) = cos, jeśli (π;2π),o x()= π sin( τ)dτ+ π sin( τ)dτ=cos( τ) π = 2cos, jeśli (2π;3π),ox()= π sin( τ)dτ+ 2π sin( τ)dτ= 2cos+ cos= 3cos, jeśli (3π;4π),o x()= π sin( τ)dτ+ 3π 2π sin( τ)dτ+ 3π sin( τ)dτ= 4cos iakdalej.

23 22 6 DELTA DIRACA Osaecznie x()= cos, (;π), 2cos, (π;2π), 3cos, (2π;3π), 4cos, (3π;4π),. Inerpreacja fizyczna rozwiązania naszego zagadnienia jes nasępująca. Dane równanie jes równaniem różniczkowym oscylaora bez łumienia z okresowo działającą siłą f, wymuszającądrgania.całkaogólnarównaniajednorodnego x +x=jesposaci x()= C cos+c 2 sin,azaemjesfunkcjąokresowąookresie2π.ponieważsiłafmaeżokres 2π, więc nasępuje zjawisko rezonansu. Wykres oryginału f) i wykres rozwiązania x przedsawiono na rysunku poniżej. f() x() 6 DelaDiraca W zasosowaniach inżynierskich np. w eorii sygnałów i obwodów, w eorii serowania, rozparuje się funkcje zmiennej czasowej (sygnały) o bardzo krókim okresie działania i bardzo dużej ampliudzie. Zakłada się przy ym, że pole ograniczone osią czasu i wykresem akiego sygnału jes równe. Jes wiele możliwych realizacji akich sygnałów. Rozparzmy jedną

24 23 znich.weźmypoduwagędwierodzinyfunkcjiδ ε ()i ε (),ε>,danewzorami, <,, <, δ ε ()= ε, <<ε, oraz ε ()= ε, <<ε,, >ε, >ε, kórych wykresy przedsawiono na poniższych rysunkach _ () () Zauważymy,żedlakażdego ε>jes oraz lim δ ε()= ε δ ε ()d= ε [ ε ()] =δ ε ()]. ε d= Gdyεdążydozeraczassygnałuδ ε ()jescorazkrószyijednocześnieampliudacoraz większa. W granicy orzymujemy,,, = lim ε()=() oraz lim δ ε ()d=. ε ε Oznaczmy przez δ sygnał określony wzorem δ()=limδ ε ()= ε,,, =. Sygnałδ=δ()nazywaćbędziemydeląDiraca.Nacałejosizwyjąkiemzeraprzyjmuje on warość zero, naomias w samym zerze ma warość równą nieskończoność. Dela Diraca nie jes w zwykłym sensie funkcją, należy ona do klasy obieków zwanych pseudofunkcjami lub dysrybucjami. Całkowanie i różniczkowanie dysrybucji odbywa się w pewien uogólniony sposób, jednak podlega podobnym prawom jak całkowanie i różniczkowanie zwykłych funkcji. Możemy zaem zapisać = lim ε δ ε ()d= lim δ ε()d= ε δ()d.

25 24 6 DELTA DIRACA Mamy osaecznie,, δ()= = oraz δ()d=. Analogicznie,przechodzącwzależności[ ε ()] =δ ε ()dogranicyprzyε,dosajemy [()] =δ() DlaprzesunięegosygnałuDiracaδ( ), >,mamyoczywiście,, δ( )= oraz δ( )d=. = Odnoujmy jeszcze, że a δ()d=a. Wyprowadźmy kolejną własność związaną z delą Diraca. Niech f będzie pewną funkcją ciągłąwpunkcie.wedy δ( )f()d= lim δ ε( )f()d=lim ε ε f()d =lim ε ε f( )=f( ), ε gdzie ( ; +ε)(skorzysaliśmyuajzeznanegozanalizymaemaycznejwierdzenia o warości średniej dla całek). Zaem +ε ε δ( )f()d=f( ). Zbadajmy eraz jak dela Diraca reaguje na ransformaę Laplace a. Obliczmy L[δ( )f()]= Osaecznie Wszczególnościgdy f()=(), o agdy =,o δ( )f()e s d=lim ε δ ε ( )f()e s d +ε =lim ε ε f()e s d==lim ε ε f( )e s =f( )e s. ε L[δ( )f()]=f( )e s. L[δ( )]=e s, L[δ()]=.

26 25 Przykład 6. Załóżmy, że pewien układ serowania opisywany jes równaniem różniczkowym x ()+4x ()+5x()=u ()+u(), gdzie u jes daną funkcją(sygnałem wejściowym) a x- funkcją szukaną(sygnałem wyjściowym). Wyznaczyć rozwiązanie przy zerowych warunkach począkowych i serowaniu u danym przepisem A u() A, (;T), u()=, < >T parz rysunek T Rozwiązanie: Funkcjęuzapisujemywposaci u()=a[() ( T)], wedy u ()=A[δ() δ( T)] Po zasosowaniu ransformay Laplace a do obu sron danego równania, orzymujemy s 2 X(s)+4sX(s)+5X(s)=A [ e Ts] [ ] +A s + s e Ts. Sąd [ X(s)=A s 2 +4s+5 s 2 +4s+5 e Ts ] [ +A [ ] s+ =A s(s 2 +4s+5) + s+ s(s 2 +4s+5) e Ts. s(s 2 +4s+5) s(s 2 +4s+5) e Ts Po rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki prose i po przekszałceniach dosajemy X(s)= A [ ] 5 s s+2 (s+2) (s+2) 2 + A [ ] + 5 s s+2 (s+2) (s+2) 2 e Ts. + Po zasosowaniu ransformay odwronej orzymujemy osaecznie Odpowiedź: x()= A 5 [ +(sin cos)e 2 ] ()+ A 5 [ +(sin( T) cos( T))e 2( T)] ( T). ]

27 26 7 ZADANIA 7 Zadania Uzasadnićwzory8 3zabeliransformanasr.9. (wsk. zasosować odpowiednie podsawienia lub całkowanie przez części) Wyznaczyć ransformay nasępujących oryginałów:.sin 2, odp: 2 s(s + 4). 2.cos 3, odp: s 3 +7s (s 2 +9)(s 2 +). 3.cosω, odp: s 2 ω 2 (s 2 +ω 2 ) 2. 4.e cos, odp: s 2 2s (s 2 2s+2) 2. 5.cos 2 ( 2) ( 2), odp: e 2s 2s + se 2s 2(s 2 +4). 6. sin, odp: (s 2 +)( e πs ). Wyznaczyć oryginał gdy znana jes ransformaa 7. s 2 +4s+3, odp: 3 sin3e s s 2 2s+3, odp: (cos 2+ 2 sin 2)e. 9. 2s+3 s 3 +4s 2 +5s, odp: e 2 (4sin 3cos).. e 2s (s+) 2, odp: ( 2)e ( 2) ( 2).. e s +se 2s s 2 s 2 4, odp: sinh( ) +( )+cosh2( 2) ( 2). 2. e 3 s s(s 2 +), odp: ( 3 ) cos( 3 ) ( 3 ). Rozwiązać nasępujące zagadnienia począkowe: 3.x +2x +x= 2 e, x()=x ()=. odp:x()= 2 4 e. 4.x +4x=( π), x()=, x ()=. odp: x()= 2 sin2()+ 4 [( π) 2 sin2( π)]( π)+π 4 [ cos2( π)]( π). 5.x +x =e, x()=, x ()=x ()=. odp:x()= 6 cos2 2 3 cos+3 2.

28 27 6.x +9x=f(), x()=, x ()=, gdzie funkcja f dana jes wykresem f() 2 odp: x()= ( cos3) [ ()+ 9 ( ) [ 3 sin3( )] ( ) + 9 ( 2)+ 3 sin3( 2)] ( 2). 2x +y =sin 7. x()=,y()=. x +y =cos odp:x()= sin cos; y()=cos+2sin. x y +x+y= 8. x()=,y()=. x +y x+y= odp:x()=sin cos 2 +, y()= sin cos x()=sin+2 odp:x()=e. 2.x()=2+ cos( τ)x(τ)dτ. sinτx ( τ)dτ, x()=. odp:x()= sin 3 2 e 2. 2.x +x=f(), x()=x ()=, gdzie f jes oryginałem okresowym danym wzorem f()= n dla n <n+, n=,,... odp: sin, (;) sin+cos( ), (;2) x()= sin+cos( )+cos( 2) 2, (2;3). 22.x +x =u +2u +u, x()=x ()=x ()=,gdyu()=() odp: sin.

29 28 8 LITERATURA 8 Lieraura [] Kącki E., SiewierskiL., Wybrane działy maemayki wyższej z ćwiczeniami, Warszawa 975. [2] Trajdos T.,Maemayka dla inżynierów, WNT Warszawa 974. [3] Krasnow M., Kisielew A., Makarenko G. Funkcje zmiennej zespolonej. Rachunek operaorowy. Teoria sabilności., Nauka, Moskwa 97(po rosyjsku). [4] Krasnow M.I., Makarenko G.I. Zadania z rachunku operaorowego i sabilności ruchu, PWN, Warszawa 97. [5] Sankiewicz W., Wojowicz J. Zadania z maemayki dla wyzszych uczelni echnicznych, część druga PWN, Warszawa 97.