Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej

Transkrypt

1 Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Rozwiązane zadania należy dostarczyć do prowadzącego w formie wydruku lub w formie odręcznego opracowania. Strona tytułowa opracowania powinna zawierać (wg poniższego wzoru): 1. Nazwisko i imię autora/autorki opracowania 2. rok akademicki i rok studiów 3. nr grupy laboratoryjnej 4. nazwę przedmiotu Kowalski Jan Politechnika Lubelska Wydział Mechaniczny Instytut Technologicznych Systemów Informacyjnych Zakład Inżynierii Biomedycznej Rok akademicki 2018/2019 Rok studiów: III Grupa laboratoryjna: GL0x Inżynieria Biomedyczna Automatyka i robotyka Praca zaliczeniowa

2 Transformata Fouriera Zadanie 1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Fouriera funkcji Podstawiając wprost do wzoru: (1) otrzymamy: Zadanie 2. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Fouriera funkcji f(t) = e j2t Podstawiając wprost do wzoru (1) otrzymujemy: Korzystając z zasady dualizmu transformaty Fouriera: (2) Na mocy wzoru (2) można udowodnić, że dla Delty Diraca zachodzi zależność: (3) To nasze rozwiązanie przyjmie postać:

3 Zadanie 3. Znaleźć transformatę Fouriera funkcji f(t)=1(t)e 5jt korzystając z podstawowych własności transformaty. Do rozwiązania tego zadania należy skorzystać z twierdzenia o opóźnieniu w dziedzinie częstotliwości (4) i tab. 1. Tab. 1. Transformaty Fouriera dla wybranych funkcji (4) Po podstawieniu do wzorów otrzymamy: Zadania egzaminacyjne ZE.1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Fouriera funkcji: Uwaga do 3 i 4: można z zależności e j t =cos( t)+jsin( t) oraz e -j t =cos( t) jsin( t) wyznaczyć funkcję sinus (po obustronnym odjęciu) lub cosinus (po obustronnym dodaniu) i wprost podstawić do całkowania.

4 ZE.2. Korzystając z podstawowych własności transformaty znaleźć transformatę Fouriera funkcji: Z zestawów ZE.1 i ZE.2 należy rozwiązać po jednym zadaniu

5 Transformata Lapalce a Zadanie 4. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Laplace a funkcji f(t)=1(t) Korzystając ze wzoru: Otrzymamy: (5) Uwaga! Funkcję 1(t) pod całką możemy pominąć zmieniając granice całkowania. Zadanie 5. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Laplace a funkcji f(t)=at1(t) Podstawiając wprost do wzoru (5) otrzymamy: Aby rozwiązać to równanie należy posłużyć się całkowaniem przez części: udv = uv vdu (6) gdzie: u =t; dv=e -st dt; du = dt; v=(-1/s)e -st wobec tego: w powyższym równaniu przy liczeniu granicy lim t ( at 1 s e st ) występuje nieoznaczoność typu, zatem należy skorzystać z reguły de Hospitala: stąd: co w efekcie końcowym da nam rozwiązanie w postaci:

6 Zadanie 6. Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji f(t)=at1(t) korzystając z podstawowych własności transformaty. Do rozwiązania tego zadania należy skorzystać z twierdzenia o liniowości (7) i o mnożeniu przez czas (8) (7) Po zastosowaniu tych twierdzeń otrzymujemy: (8) Zadanie 7. Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji f(t)=te -5t 1(t) korzystając z podstawowych własności transformaty. Ponownie korzystamy z twierdzenia o mnożeniu przez czas (8) Aby wyznaczyć transformatę Laplace'a funkcji e -5t 1(t) można skorzystać z twierdzenia o opóźnieniu w dziedzinie częstotliwości (9) dzięki temu otrzymamy: (9) Dzięki temu, nasze rozwiązanie przyjmie postać: Zadanie 8. Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym y"+7y'+12y=u'+u. Znaleźć jego transmitancję G(s), odpowiedź na impuls Diraca g(t) oraz odpowiedź na skok jednostkowy y 1 (t). Podane równanie poddamy obustronnie działaniu transformaty Laplace'a. Dodatkowo skorzystamy z twierdzenia o transformacie pochodnej n-tego rzędu przy zerowych warunkach początkowych (10). (10)

7 otrzymamy: ponieważ ostatecznie otrzymamy: W celu policzenia funkcji wagi (odpowiedź na sygnał Delta Diraca) (11) należy obliczyć odwrotną transformatę Laplace'a. Skorzystamy z metody residuów (wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace'a) (12) (11) (11) W pierwszym kroku zostanie rozwiązanie równanie: s 2 +7s+12=0; skąd wyznaczymy bieguny transmitancji - s 1 =-3 i s 2 =-4. czyli: zatem: Podobnie wyznaczymy odpowiedź na skok jednostkowy korzystając ze wzoru odpowiedź na skok jednostkowy (12): Po podstawieniu danych do właściwych równań otrzymamy: (12)

8 Ostatecznie, rozwiązanie naszego zadania przyjmie postać: Zadania egzaminacyjne ZE.3. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Laplace'a funkcji: ZE. 4. Dana jest odpowiedź na impuls Diraca (funkcja wagi) g(t). Znaleźć transmitancję operatorową G(s).

9 ZE. 5. Dana jest odpowiedź układu na skok jednostkowy y 1 (t). Znaleźć transmirancję operatorową G(s). Z zestawów ZE.3 do ZE.5 należy rozwiązać po jednym zadaniu