Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Transkrypt

1 Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu sinusoidalnie zmiennym, przebiegi liniowo narastające, - charakterystyka skokowa, - charakterystyka impulsowa, - transformacja Laplace a, - transmitancja operatorowa.

2 Charakterystyka statyczna elementu automatyki Charakterystyka statyczna - to zależność jaka zachodzi między sygnałem wejściowym a wyjściowym w stanach ustalonych. Za stan ustalony uważa się taki stan podczas którego nie ulegają zmianie sygnały wejściowe oraz wyjściowe jak również nie zmieniają się zakłócenia. Podstawowymi wielkościami charakteryzującymi działanie elementów automatyki w stanach ustalonych są: - klasa dokładności, - histereza, - próg czułości.

3 Sygnały - skok jednostkowy, - impuls Diraca, - sygnał o przebiegu sinusoidalnie zmiennym, - przebiegi liniowo narastające.

4 Sygnały Skok jednostkowy (Funkcja skokowa Heaviside'a) - jest funkcją nieciągłą która przyjmuje wartość 0 dla ujemnych argumentów i wartość 1 w pozostałych przypadkach: H t = { 0 dla t 0 1 dla t 0

5 Sygnały Delta Dirac'a (albo funkcja impulsowa) - δ to, obiekt matematyczny o następujących własnościach: t = { dla t=0 0 dla t 0 t dt=1

6 Sygnały Sygnał sinusoidalnie przemienny sygnał o własnościach a t =A sin t

7 Sygnały Przebieg liniowo-narastający

8 Charakterystyka skokowa Charakterystyka skokowa (odpowiedź skokowa) w automatyce, odpowiedź układu na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego przy zerowych warunkach początkowych. Przedstawia przebieg sygnału wyjściowego układu w stanie nieustalonym.

9 Charakterystyka impulsowa Charakterystyka impulsowa (odpowiedź impulsowa) - to odpowiedź układu na wymuszenie w postaci delty Diraca przy zerowych warunkach początkowych. Znajomość odpowiedzi impulsowej pozwala nam przewidzieć odpowiedź układu na każde inne pobudzenie. Odpowiedź układu na dowolne pobudzenie jest bowiem splotem sygnału pobudzającego oraz odpowiedzi impulsowej układu.

10 Charakterystyka impulsowa Przykład: W akustyce często wyznacza się odpowiedź impulsową pomieszczenia (np. kościoła) poprzez nagranie w nim krótkiego impulsu dźwiękowego (np. strzału z pistoletu). Pozwala to później na przetwarzanie innych nagrań (splatanie ich z odpowiedzią impulsową pomieszczenia) i w rezultacie otrzymanie takiego efektu, jakby zostały one nagrane w tym właśnie pomieszczeniu.

11 Transformacja Laplace'a Jednostronna transformata Laplace'a F s = 0 e st f t dt F s =L f t Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem transformaty, a transformacji Laplace'a. Zgodnie z powyższą definicją transformacja Laplace'a jest przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka Laplace'a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych zmiennej zespolonej. Natomiast transformata Laplace'a jest jedynie obrazem pewnej funkcji f(t) przez transformację Laplace'a.

12 Transformacja Laplace'a Odwrotna transformata Laplace'a f t = 1 c i 2 i c i F s e st ds, t 0 f t =L 1 F s gdzie liczbę rzeczywistą c dobiera się tak, aby wszystkie punkty osobliwe funkcji podcałkowej leżały po lewej stronie prostej Re{s}=c

13 Transformacja Laplace'a - własności L a f t b g t =a L f t b L g t =a F s bg s L df =s L f t =s F s dt L d 2 f dt 2 L t 0 =s2 L f t =s 2 F s f d = 1 s F s L t 0 f d d = 1 s 2 F s

14 Transformacja Laplace'a - wzory f t F s t 1 1 t 1 s t 1 1 n! tn e at s 2 1 s n 1 1 s a f t F s 1 s a 2 t e at 1 n! tn e at 1 s a n 1

15 Transformacja Laplace'a wzory, cd. f t F s sin at a s 2 a 2 cos at t sin at s s 2 a 2 2 s a s 2 a 2 2 t cos at s2 a 2 s 2 a 2 2 f t F s e bt a sin at s b 2 a 2 e bt cos at s s b 2 a 2

16 Transmitancja operatorowa Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych. U(s) G(s) Y(s) G s = Y s U s

17 Transmitancja operatorowa - cd. Dla układów opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s, tzn. można ją przedstawić za pomocą ilorazu dwóch wielomianów: G s = Y s U s = b m sm b m 1 s m 1... b 2 s 2 b 1 s b 0 a n s n a n 1 s n 1... a 2 s 2 a 1 s a 0