Transformata Laplace a

Transkrypt

1 Transformata Laplace a wg. G. Arfkena Mathematical Methods for Physicists krótkie vademecum

2 Definicja (1) f(s) L{F (t)} = albo, nieco bardziej formalnie (2) f(s) L{F (t)} = lim a a e st F (t) dt, e st F (t) dt. Co ciekawe, sama funkcja F (t) nie musi być całkowalna, tzn. nie musi istnieć F (t) dt. Musi jednak zachodzić ograniczenie typu (3) e st F (t) M, dla odpowiednio dużych wartości zmiennej t i dla pewnej ustalonej wartości s (ta ostatnia wartość może mieć znaczenie w procesach znajdywania transformaty odwrotnej ale o tym będziemy mówić o wiele później).

3 Podstawowe własności Zmienna t naszej funkcji F bardzo często jest rzeczywiście zmienną czasową i dlatego całkowanie odbywa się właśnie w takich, a nie innych granicach od t = do t. Bardzo wygodnie jest przyjąć, że dla t < funkcja F (t) = ta prosta konwencja ułatwia czasem pewne wyprowadzenia. Zauważmy, że transformata Laplace a jest (jak każda transformata całkowa) operacją liniową, tzn. (4) L[αF 1 (t) + βf 2 (t)] = αl[f 1 (t)] + βl[f 2 (t)]. Transformata funkcji potęgowej t n to (5) L [t n ] = e st t n dt = 1 s n+1 e st (st) n d(st) = n! s n+1. Podkreślmy, że n musi być większe od 1 dla mniejszych wartości n całka (5) jest rozbieżna i transformata nie istnieje.

4 Proste transformaty Być może najważniejszą, obok transformaty z funkcji t n ; transformatą L jest transformata n > 1 (6) L [ e kt] = e st e kt dt = e (s k)t dt = 1 s k, s > k. (ostatni warunek to konsekwencja ograniczenia (3)). Potocznie mówimy o efekcie przesunięcia zmienna s zostaje przesunięta o k. Korzystając z (6) łatwo wyprowadzimy L[cosh kt] = 1 2 L [ e kt + e kt] = 1 [ 1 2 s k + 1 ] (7) = s + k L[sinh kt] = 1 2 L [ e kt e kt] = 1 [ 1 2 s k 1 ] (8) = s + k dla s > k. s s 2 k 2, k s 2 k 2,

5 Proste transformaty, c.d Mając transformaty funkcji hiperbolicznych i korzystając z relacji cos kt = cosh ikt, sin kt = i sinh ikt otrzymamy bez trudu transformaty funkcji trygonometrycznych (9) L[cos kt] = s s 2 + k 2, (1) L[sin kt] = k s 2 + k 2, (poprawne dla s >.)

6 Transformata odwrotna jak ją obliczamy? Prawda jest dość przykra obliczenie formalne transformaty, to tzw. całka Bromwicha, którą liczymy na płaszczyźnie zespolonej C s, wykorzystując rachunek residuów. Przykłady takich rachunków (uwypuklających np. role lematu Jordana) można znaleźć (odpowiedni link na stronie A.L) w Rozwiązanych problemach (autorzy Lenda i Spisak). Rachunki często nie są banalne wynika to z zamieszczonych tam właśnie przykładów. Niemniej jednak, na podstawie znajomości kilku podstawowych transformat można pokusić się o znalezienie transformaty odwrotnej, jeżeli funkcja f(s) ma postać ilorazu dwóch wielomianów (wyrażeń algebraicznych), z tym że stopień mianownika jest wyższy od stopnia licznika. Stosujemy tu technikę rozkładu na ułamki proste.

7 Transformata odwrotna prosty przykład Na przykład dla albo f(s) = k 2 s(s 2 + k 2 ) c s + as + b s 2 + k 2 k 2 s(s 2 + k 2 ) = c(s2 + k 2 ) + s(as + b) s(s 2 + k 2 ) i porównując współczynniki potęg zmiennej s w licznikach ułamków po lewej i prawej stronie równania mamy a = 1, b =, c = 1 i konsekwentnie f(s) = 1 s s s 2 + k 2. Pierwszy wyraz to L[1]; drugi to transformata kosinusa kt. Tak więc [ ] 1 F (t) = L 1 s s s 2 + k 2 = 1 cos kt.

8 Transformata pochodnych Podstawowe zastosowanie transformaty Laplace a to rozwiązywanie zwykłych równań różniczkowych, poprzez przekształcanie ich w równania algebraiczne. W dodatku, warunki brzegowe (początkowe) są automatycznie uwzględniane w procesie rozwiązywania. Wynika to z własności transformaty Laplace a, zastosowanej do pochodnych, takich jak df dt lub d2 F dt 2 (11) [ ] df L dt [ ] df = e st dt dt = e st F (t) + s (wyższe pochodne rzadko nam są potrzebne). e st F (t) dt = sl[f (t)] F ().

9 Transformata pochodnych, c.d. Analogiczne rachunki prowadzą do (12) [ d 2 ] F [ d L dt 2 = e st 2 ] F dt 2 dt =... = s 2 L[F (t)] sf () F (), a także (13) [ ] L F (n) (t) = [ ] e st F (n) (t) = s n L[F (t)] s n 1 F ()... F (n 1) (). Dodajmy F () = F (+) (i podobnie dla pochodnych). Warunki początkowe rzeczywiście wchodzą do równań dla funkcji f(s)!

10 Transformata pochodnych, c.d.; przykłady Prosty przykład; mamy k 2 sin kt = d2 sin kt dt 2. Biorąc stronami L i stosując (12) dostajemy k 2 L[sin kt] = s 2 L[sin kt] s sin() dsin kt dt, t= a stąd ponownie wzór (1) L[sin kt] = k s 2 + k 2.

11 Transformata pochodnych, c.d.; przykłady Standardowym przykładem zastosowania transformaty Laplace a może być równanie oscylatora (r. r. o stałych współczynnikach!) m d2 X(t) dt 2 = kx(t), poddane warunkom na przykład X() = X i X () =. Mamy [korzystamy z (13)] [ d 2 ] X(t) ml dt 2 + kl[x(t)] = ms 2 msx + kx(s) =. Po uporządkowaniu s x(s) = X s 2 + k/m s s 2 + ω 2. Oczywiście X(t) = L 1 [x(s)] = X cos ω t.

12 Transformata pochodnych; przykłady c.d. Zauważmy, że ta prosta technika może być zastosowana do rozwiązania równania Newtona opisującego przejście w chwili t = ze stanu spoczynku [X() = ; X () = ] w ruch jednostajny, pod wpływem punktowego w czasie przekazu pędu P. Równanie zapiszemy [ d 2 ] X(t) (14) ml dt 2 = P δ(t). Stosujemy transformatę do obu stron; transformata z delty dirakowskiej L [δ(t t )] = e st δ(t t ) dt = e st, t.

13 Dokładniejsza analiza pozwala przyjąć L [δ(t)] = e st δ(t) dt = 1. (można to wykazać, używając różnych reprezentacji całkowych własności delty i jeszcze raz korzystając z faktu, że po lewej stronie punktu t = niczego nie ma. ) Dlatego równanie (14) przekształca się w x(s) = P 1 m s 2 X(t) = P m t, zgodnie z oczekiwaniami. P/m to oczywiście prędkość w ruchu (jednostajnym) ciała. Zauważ, że delta dirakowska posiada wymiar: [δ(t)] = 1 T.

14 Transformata pochodnych; Oscylator tłumiony Rozpatrujemy równanie oscylatora tłumionego, z siłą oporu proporcjonalną do prędkości: F op = bv: m d2 X(t) dt 2 + b dx(t) dt + kx(t) =, poddane warunkom X() = X i X () =. Po transformacie m [ s 2 x(s) sx ] + b [sx(s) X ] + kx(s) =. To proste równanie (algebraiczne) rozwiązujemy ze względu na x(s): ms + b x(s) = X ms 2 + bs + k = X ms + b m(s 2 + b m s + k/m). Mianownik otrzymanego ułamka dopełniamy do kwadratu dwumianu s 2 + b ( m s + k/m = s + b ) 2 ( ) ( k + 2m m b2 4m 2 s + b ) 2 + ω 2 2m 1. (Jeżeli tłumienie jest niewielkie b 2 < 4km to drugi wyraz jest dodatni oznaczamy go przez ω 2 1.) Mamy więc

15 Transformata pochodnych; Oscylator tłumiony, c.d. ms + b x(s) = X m(s 2 + b m s + k/m) = X s + b/m (s + b/2m) 2 + ω1 2 s + b/2m b/2m = X (s + b/2m) 2 + ω1 2 + X (s + b/2m) 2 + ω1 2 s + b/2m (b/2mω 1 ) ω 1 = X (s + b/2m) 2 + ω1 2 + X (s + b/2m) 2 + ω1 2. Korzystamy z zasady przesunięcia zmiennej s (6): f(s a) = e (s a)t F (t) dt = e st [e at F (t)] dt = L [ e at F (t) ]. ( X(t) = X e b 2m t cos ω 1 t + b ) ω sin ω 1 t = X e b 2m t cos(ω 1 t ϕ), 2mω 1 ω 1 gdzie ϕ = arctg nietłumionego. b 2mω 1, a ω 2 = k/m częstość oscylatora

16 Przesunięcie zmiennej t Przypuśćmy, że zamiast f(s) mamy funkcję e bs f(s) = e bs e st F (t) dt = Ostatnią całkę przekształcamy e s(t+b) F (t) dt, b >. e s(t+b) F (t) dt = = t + b = τ t = τ = b t = τ = b e sτ F (τ b) dτ = e sτ F (τ b) dτ. Przejście wynika z zerowania się funkcji F dla ujemnych wartości argumentu. tak więc e bs f(s) = L [F (t b)].

17 Przesunięcie zmiennej t przykład Transformaty całkowe to podstawowe narzędzie rozwiązywania równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych. Ilustruje to (także) ten przykład. Rozważamy falę elektromagnetyczną, rozchodzącą się wzdłuż osi x-ów. Każda ze składowych poprzecznych wektora elektrycznego E, np E y E spełnia równanie falowe (15) 2 E(x, t) x 2 1 c 2 2 E(x, t) t 2 =. Poddajmy to równanie transformacie L (względem zmiennej t) (16) 2 s2 L[E(x, t)] x2 c 2 L[E(x, t)] + s c 2 E(x, ) + 1 E(x, t) c 2 t =. t=

18 Przesunięcie zmiennej t przykład, c.d. Jeżeli dla (pewnego) uproszczenia założymy, że w chwili początkowej E(x, ) = 1 E(x, t) c 2 t = t= to równanie (16) przybiera prostą postać (17) a raczej (18) z rozwiązaniem 2 s2 L[E(x, t)] L[E(x, t)] =. x2 c2 d 2 s2 L[E(x, t)] L[E(x, t)] =, dx2 c2 (19) L[E(x, t)] = C 1 e (s/c)x + C 2 e (s/c)x.

19 Przesunięcie zmiennej t przykład, c.d. W zależności od tego czy znajdujemy się na dodatniej czy ujemnej osi x-ów wybierzemy odpowiedni składnik tej liniowej kombinacji. Np. dla x > (2) L[E(x, t)] = C 1 e (s/c)x. Stałą C 1 obliczymy ze znajomości E(, t) F (t). Korzystając z (2) L[E(, t)] = C 1 = L[F (t)] f(s) i ostatecznie L[E(x, t)] = f(s)e (s/c)x, a biorąc transformatę odwrotną dostaniemy w zależności od relacji zmiennych x i t { F ( ) t x E(x, t) = c t x c, t < x c. Dla ujemnej półosi x analogicznym rozwiązaniem będzie F ( t + x c ).

20 Różniczkowanie transformaty Jeżeli, reprezentująca transformatę L funkcji F (t), całka f(s) = e st F (t) dt, jest jednostajnie zbieżna to nic nie stoi na przeszkodzie aby różniczkować ją względem s pod znakiem całki: (21) df(s) ds = Oczywiście, w taki sam sposób (22) d n f(s) ds n = ( t)e st F (t) dt L[ tf (t)]. ( t) n e st F (t) dt L [( t) n F (t)]. Znajomość tego typu zależności bywa pomocna w znajdowaniu transformat odwrotnych. Np.: 1 f(s) = (s k) 2 = d 1 ds (s k) = d ds L [ e kt] = L [ te kt].

21 Różniczkowanie transformaty równanie Bessela Nasze ulubione równanie o wskaźniku x 2 y (x) + xy (x) + x 2 y(x) = dzielimy przez x i zamieniamy y(x) F (t). Daje to tf (t) + F (t) + tf (t) =. Korzystając z (21), a także z wzorów na transf. pochodnych d [ s 2 f(s) sf () ] + sf(s) F () d f(s) =. ds ds Korzystamy z df dt = J () = ; także F () = J () = 1; t= dostajemy r.r. df f = s ds s z rozwiązaniem C f(s) = s2 + 1.

22 Różniczkowanie transformaty równanie Bessela, c.d Ciekawe jest odwrócenie otrzymanej funkcji funkcję f(s) możemy rozwinąć w szereg Taylora (por. problem 4 4 w Rozwiązanych problemach... ). Nie jest to specjalnie trudne (1 + 1s 2 ) 1/2 f(s) = C s = C s ( 1 1 2s ) 2 2 2!s ( 1)n (2n)! (2 n n!) 2 s 2n +... Transformatę odwrotną znajdujemy korzystając z (5) mamy L [t n ] = n! s n+1. F (t) = L 1 [f(s)] = C n= zgodnie z znaną nam definicją J. ( 1) n t 2n (2 n n!) 2 = C = 1 = n= ( 1) n (n!) 2 ( ) 2k t 2

23 Całkowanie transformaty Rozważamy całkę f(x) = e xt F (t) dt. Przy spełnieniu warunku jednostajnej zbieżności (względem x-a) możemy zmienić szyk całkowania w całce b s f(x) dx = = b s e xt [ F (t) t... b = ] e st F (t) dt dx ( e st e bt) dt st F (t) e dt = L t [ F (t) t ].

24 Splot; transformata splotu Wyrażenie (23) K φ x K(x t)φ(t) dt nazywamy splotem funkcji, z których pierwsza K(x t) zależy od względnej odległości zmiennych. Sam splot jest funkcją x-a górnej granicy całkowania. Funkcja splotu często występuje w fizyce. Splotem może być na przykład natężenie promieniowania, rejestrowane przez przesuwający się wzdłuż osi odwiertu detektor. Sygnał detektora zależy od koncentracji pierwiastka promieniotwórczego w warstwach skały (φ(t); zmienna t to głębokość warstwy) i funkcji odpowiedzi detektora, umieszczonego w pozycji (głębokości) x. Ta ostatnia jest funkcją różnicy położeń centralnych punktów warstwy i detektora (x t). Podobnie widmo promieniowania gamma, rejestrowane przez układ spektrometryczny, jest splotem widma fizycznego (rzeczywistego udziału kwantów o określonych energiach) i znowu funkcji odpowiedzi układu, który rejestruje kwanty z przedziału energetycznego (E, E + de ) w przedziale (E, E + de).

25 Transformata splotu [ t ] L [F 1 (t) F 2 (t)] = L F 1 (t z)f 2 (z) dz = L [F 1 (t)] L [F 2 (t)] (24) = f 1 (s)f 2 (s) Na przykład [ t ] [ t ] L F (x) dx = L 1 F (x) dx = L[1]L[F (t)] = 1 L[F (t)]. s Na następnej stronie stosujemy zabawy ze splotem aby wykazać znany nam związek pomiędzy funkcjami Eulera B i Γ. Transformata L splotu powróci też w kontekście równań całkowych (klasy Volterry).

26 Transformata splotu, c.d. F G = t (t x) a x b dx = t t a ( 1 x t ) ( a t b x ) b ( x ) t d = x t t t = u 1 = t a+b+1 (1 u) a u b du = t a+b+1 B(a + 1, b + 1) Obliczając transformatę L nowego splotu [ 1 ] L (1 u) a u b du = L [u a ] L [ u b] = a! b! s a+1 s b+1 = a!b! s a+b+2. [ 1 ] (1 u) a u b du [ ] a!b! = L 1 s a+b+2 = i podstawiając do pierwszego wzoru B(a + 1, b + 1) = a!b! (a + b + 1)! a!b! (a + b + 1)! ta+b+1 Γ(a + 1)Γ(b + 1) =. c.b.d.o. Γ(a + b + 2)

27 Transformata odwrotna Można w stosunkowo prosty sposób wykazać, że wzór na transformatę odwrotną funkcji f(s) ma postać (25) F (t) = L 1 [f(s)] = 1 2πi γ+i γ i e ts f(s) ds. Całkowanie odbywa się na płaszczyźnie zespolonej C s, wzdłuż pionowej prostej, równoległej do osi urojonej. Korzystając z uogólnionego lematu Jordana można też udowodnić, że jeżeli taką prostą uzupełnić o lewy półokrąg to całka po łuku będzie zmierzać do zera, o ile lim f(s) = ; R(s). s Wówczas całka (25) jest równa 2π suma residuów funkcji podcałkowej. Przykłady niebanalnych rachunków transformaty odwrotnych można znaleźć tutaj. W praktyce odwołujemy się do tablic transformaty Laplace a ale korzystanie z nich wymaga dobrej znajomości wszelkich niuansów związanych tej (wspaniałej!) metody.