"Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych. Ernst Mach. IV. Funkcja wykładnicza

Transkrypt

1 "Poęga maemayki polega na pomijaniu wszyskich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych. Erns Mach IV. Funkcja wykładnicza Def. Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję posaci f = a, gdzie a > 0 i. Poęgę o wykładniku wymiernym definiujemy jako aq = a p, gdzie p, q\{0} Kiedy wykładnik poęgę a obliczamy meodą kolejnych przybliżeo biorąc ciąg liczb wymiernych zmierzających do. Prawa działao na funkcjach wykładniczych: a a = a : a a = a ; (a ) = a a 0 = Własności funkcji wykładniczej: f = a jes różnowarościowa dla a rosnąca dla a> malejąca dla 0<a< sała dla a= parzysa dla a= p q

2 D Np. Rozwiąż, D: D = R\, Rozwiąż (-,)\{} < 0 0 < < < 0 0 < <, 0 0 ) ( ) ( 0 ) )( ( 0 5 0, 5 5 8

3 Zadanie:. Rozwiąż: a) + = 9, b) = 6 c) ;. Rozwiąż: 7 a) < ;:, b) 6 ; : ;,, 0,6;,8 c) : + ; > : ; = 0

4 Def. Jeżeli funkcja f: X Y i funkcja g: Y Z, o złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję g f : X Z, aką że: g f () = g(f ) Jeżeli D f ; D g, o D g f = D f. Np. Znajdź obydwa złożenia: f() =, g() = 9 D f =, D g =[9,), D f ; =(0,), D g ; =[0,) f g: g f: Znajdź funkcje składowe dla funkcji: (f g)() = f( g( )) = ;9, D f g = D g (g f)() = g( f( )) = 9, D g f D f h() = f() =, g()= : : Wniosek: Złożenie funkcji ogólnie nie jes przemienne. Tw. Złożenie funkcji jes łączne, zn. h(gf)=(hg)f Dowód: (h(gf))()=h((gf)())=h(g(f()))=(hg)(f())=((hg)f)()

5 Tw. o złożeniu funkcji. Złożenie dwóch funkcji różnowarościowych jes funkcją różnowarościową.. Złożenie dwóch funkcji rosnących lub dwóch funkcji malejących jes funkcją rosnącą.. Złożenie dwóch funkcji, rosnącej i malejącej, jes funkcją malejącą.. Jeżeli funkcja wewnęrzna jes funkcją parzysą o złożenie jes funkcją parzysą. 5. Złożenie dwóch funkcji nieparzysych jes funkcją nieparzysą. 6. Jeżeli funkcja zewnęrzna jes ograniczona, o złożenie jes funkcją ograniczoną. 7. Jeżeli funkcja wewnęrzna jes okresowa, o złożenie dwóch funkcji jes funkcją okresową. Dowód : f, g różnowarościowe g f różnowarościowa g f = g f = g f g f = g y g y > 0 g f = g f g(f ) = g;różnowar. f f;różnowar. = f = y y Dowód : f, g rosnąca < g f g f = g f y y f rosnąca f < f y < y g rosnąca g y < g y analogicznie dla funkcji malejących

6 g f = g y g y < 0 Dowód : f malejąca, g rosnąca < g f g f = g f y y f malejąca f > f y > y g rosnąca g y > g y analogicznie na odwró Dowód : f funkcja parzysa D f : D f f = f h = g f D f = D D : D g f = g f g f = g f g f = g f = g f Dowód 7: D f = D g f f funkcja okresowa T > 0 D f : T D f f T = f D g f : T D g f g f = g f = g(y) g f T = g f T = g f = g(y) g f- okresowa

7 Zadanie: Zbadaj różnowarościowośd i monoonicznośd: a) f = ; : b) f = log(;), c) f = ;log :log 8

8 Def. Funkcję f: X Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną f jes różnowarościowa oraz D f ; =Y. Def. Jeżeli funkcja f: X Y jes funkcją wzajemnie jednoznaczną, o funkcją odwroną do funkcji f nazywamy funkcję f - : Y X, aką że: (f - f)() = (f f - )(y) = y. Wniosek: Jeżeli f - - jes funkcją odwroną do f, o y = f() f - (y) = Dowód: y = f() i = (f - f)() = f - (f()) = f - (y) f - (y) = i ( f f - )(y) = y y = f(f - (y)) y = f() Np. Znajdź funkcję odwroną f = f: R R wzajmnie jednoznaczna y = = y: f ; y = y: z powodu umowy f ; = : f f: R\ y = ; ; = ; ; \ wzajemnie jednoznaczna y: = :y f; = : :

9 Zadanie: Wyznacz funkcje odwrone do danych funkcji oraz podaj dziedziny funkcji odwronych: a) f = + ;, b) f = ;log 5, :log 0, c) f = : + ;8

10 Wniosek: Wykres funkcji odwronej f ; orzymujemy przez przekszałcenie wykresu funkcji f w symerii osiowej względem prosej y=. y = f ; () y=f() Tw. o funkcji odwronej Jeżeli funkcja f:xy jes wzajemnie jednoznaczna, o:. funkcja f ; :YX jes wzajemnie jednoznaczna. jeżeli f jes rosnąca w X, o f ; jes rosnąca w Y. jeżeli f jes malejąca w X, o f ; jes malejąca w Y. Dowód. f ; y = f ; y = y = f = y f ; jes różnowarościowa ; X = D f = D f Dowód. y < y : f = y : f = y f < f f;rosnąca < f ; y < f ; y f ; jes rosnąca.

11 V. Funkcja logarymiczna Def. Funkcją logarymiczną o podsawie a nazywamy funkcję odwroną do funkcji wykładniczej a i oznaczamy f = log a, a a>0. Zauważmy, że dla a a>0 funkcja a :(0,) jes wzajemnie jednoznaczna D f = 0, D ; f =. Własności funkcji logarymicznej: Funkcja f = log a jes: różnowarościowa rosnąca dla a> malejąca dla 0<a< Def. Logarymem o podsawie a z liczby b nazywamy wykładnik poęgi, do jakiej należy podnieśd liczbę a, aby orzymad liczbę b log a b = c a c = b, a,b>0, a.

12 Tw. własności logarymów. log a a = Zał.: a, > 0, a log a = 0 a log a = log a a =. log a + log a y = log a y Zał.: a,, y > 0, a log a log a y = log a y. log a b = b log a Zał.: a, > 0, a, b. log a = log b log b a Zał.: a, b, > 0, a, b 5. log a b = log b a Zał.5: a, > 0, a, b 0 Dowód : log a a = a = a log a = 0 a 0 = log a = b a b = [ a log a = a b = = a b ] log a a = a = a Dowód : Niech: log a = p, log a y = q a p = a q = y. y = a p a q = a p:q p + q = log a y.

13 Np..Rozwiąż log ( 5 + ) - log ( )= D: 5 + > 0 > 0 (, + ) log 5: ; = log 5: ; = 9 5+=9-9 Odp. = 5 D. Rozwiąż log [log 5 ( + )]<0 D: +>0 log 5 + >0 >- +> >- >0 0, + log 5 + < +<5 < D Odp. (0,)

14 . Wyznacz dziedzinę funkcji f = log ( log D f : > 0 log > 0 (-,)(,) > log( 5 + 6) < (-, 5; )(5:,) Odp. D f =(-, 5; )(5:,) ). Zbadaj parzysośd funkcji f = log + log + ; D f = f = log + ; log + = f() Odp. f jes nieparzysa a 5. Oblicz log ab, jeżeli log b aba = Odp. log ab a b = log ab a log ab b = log ab 6. Czy funkcje f()=log i g()=log są równe? Odp. Nie, bo D f =\{0}, a D g =(0,) 7. Uporządkuj: log 8, log 5, log 6 Odp. log 8= = log 7 log 5 < log 8 < log 6 ab = + = 7 a 6

15 Zadanie:. Oblicz: a) log 5 log 5 7 log 5, b) 9 ;log ;log 5, c) log 5 0 : log6, wiedząc, że log 5 = a. Rozwiąż: a) log(log)+log(log -)=,. Rozwiąż: b) log ( ::) log ;0 =, c) log 0,5 log = a) + 5, :log ;log b) log log 5, c) log log 5 5 ; > log 0, (0, 5 ; )

16 VI. Funkcja hiperboliczna Def. Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję sinh = e ;e Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję cosh = e :e Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję gh = e ;e e :e Coangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję cgh = e :e e ;e f()=sinh f()=cosh f()=gh f()=cgh

17 Własności Funkcja sinh cosh gh cgh Dziedzina \{0} Zbiór warości [,] [-,] (-,-) (,) Monoonicznośd Rosnąca Rosnąca w [0,) Malejąca w (-,0] Rosnąca Rosnąca w (0,) Malejąca w (-,0) Różnowarościo Różnowarościowa Różnowarościowa w Różnowarościowa Różnowarościowa w wośd [0,) i (-,0] (0,) (-,0) Parzysośd nieparzysa parzysa nieparzysa nieparzysa Okresowośd nie jes okresowa nie jes okresowa nie jes okresowa nie jes okresowa Wzory dla funkcji hiperbolicznych:. cos sin =, g = sin cos, cg =, gcg = cos sin. cosh ± y = coscosy ± sinsiny, sinh ± y = sincosy ± cossiny. cos = cos + sin, sin = sincos Np. Rozwiąż sinh+sinh 0 e e ; + e e ; 0 / e e e + e 0, = e ( )( + ) 0 - e e Odp. [0, )

18 Zadanie: a) wyznacz wzór funkcji odwronej do cosh dla >0, b) rozwiąż cgh-gh >, c) wyznacz dziedzinę funkcji f = log g (cg )