POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA

Transkrypt

1 DODATEK A POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA AUTOMATYKI I ELEKTRONIKI ĆWICZENIE NR 1 CHARAKTERYSTYKI CZASOWE I CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PROSTYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH PRACOWNIA SPECJALISTYCZNA Z PRZEDMIOTU PODSTAWY AUTOMATYKI 2 KOD: EZ1C BIAŁYSTOK 2015 OPRACOWANIE: ZBIGNIEW PRAJS

2 Cel ćwiczenia Zapoznanie z meodami analiycznymi i graficznymi, wspomaganymi kompuerowo, badania prosych układów dynamicznych na podsawie ich charakerysyk dynamicznych i widmowych. Przed ćwiczeniem: Należy zapoznać się na podsawie wykładów, maeriałów pomocniczych zawarych w ym opracowaniu i odpowiednich pozycji lieraurowych z meodami analizy ciągłych układów dynamicznych. Po wykonaniu ćwiczenia: Należy sporządzić sprawozdanie, w kórym powinny być zaware rezulay analiycznych rozwiązań zadań wraz z prezenacją graficzną, wynikającą z zasosowanych echnik kompuerowych (odpowiedzi czasowe i częsoliwościowe). Zadanie 1. Dany jes układ regulacji gdzie ransmiancja układu owarego, ma posać: y o u y () - 1) = () () =, 2) = () () = + 1, 3) = () () = ( + 1), 4) = () () = + 1, 5) = () () = , 6) = () () =

3 Dla zadanej warości: wzmocnienia, sałych czasowych i (Tabela 1) wyznaczyć: 1. posacie analiyczne odpowiedzi dynamicznych układu owarego poddanego jednemu z wymuszeń ypu ( = 0, 1, 2), gdzie rząd oraz warość ampliudy podaje prowadzący zajęcia. 2. posacie analiyczne odpowiedzi częsoliwościowych (charakerysyk częsoliwościowych) układu owarego. Zadanie 2. Dla układu regulacji i danych z zadania 1 wyznaczyć w środowisku programu Malab (dodaek C) charakerysyki: 1. czasowe: impulsowe, skokowe oraz częsoliwościowe układu owarego dla przypadków, gdy: a) = i =, b) = i =. 2. czasowe układu owarego i zamknięego (dla zadanych warości, i z zadania 1) przy rzech ypach sygnałów wymuszających ( = 0, 1, 2) : - zaleca się umiejscowienie na jednym wykresie obu charakerysyk dla poszczególnych członów przy danym wymuszeniu. Tabela , ,5 1,0 2,0 0,5 1,0 1 [s] 0,5 0,5 1,0 0,2 0,25 2,0 1,25 1,0 1,0 2,0 2 [s] 2 1,5 1,5 0,1 1,25 2,0 1 2,0 2,0 5,0 3

4 DODATEK A Meody analizy wiadomości podsawowe Członem dynamicznym nazywany jes dowolny układ fizyczny, w kórym wyodrębniona jes wielkość wejściowa (sygnał wejściowy) i wielkość wyjściowa (sygnał wyjściowy), a właściwości jego dynamiki syneycznie określa ransmiancja operaorowa. Transmiancją operaorową jes sosunek ransforma sygnału wyjściowego () i wejściowego () = () () = (2.1) przy zerowych warunkach począkowych, przy czym >. Znając posać ransmiancji operaorowej układu można wyznaczyć odpowiedź () układu na dowolne wymuszenie, sygnał wejściowy, () () = () (2.2) Posać ransmiancji operaorowej sanowi kryerium, według kórego klasyfikuje się człony auomayki. Rząd członu lub układu określa najwyższa warość wykładnika poęgowego przy operaorze s mianownika ransmiancji operaorowej. Współczynniki mianownika ransmiancji () Rys. 2.1 Umowne oznaczenie bloku auomayki = = = (2.3) deerminują rozkład jego pierwiasków (biegunów) w płaszczyźnie zmiennej zespolonej, kóry decyduje o charakerze przebiegu przejściowego dynamiki układu Charakerysyką czasową dynamiczną nazywana jes graficzna prezenacja przebiegu przejściowego przy zerowych warunkach począkowych. Wyznacza się ją poprzez znalezienie ransformay odwronej funkcji wymiernej (2.2) = L = L (). (2.4) Funkcję wymierną (2.2) można zawsze przedsawić w posaci sumy ułamków prosych o posaci, = () = (2.4) przy czym: jes dowolnym pierwiaskiem wielomianu D(), l jego kronością,, - liczbą rzeczywisą zwaną współczynnikiem udziału, j - liczbą różnych co do warości pierwiasków.

5 Każdemu z prosych ułamków składowych odpowiada znana funkcja zmiennej rzeczywisej - czasu. I ak: Gdy = 0, wówczas przekszałcenie odwrone Laplace a daje L = 1! (2.5) Gdy = σ jes liczbą rzeczywisą, wówczas L = 1! (2.6) Gdy jes liczbą zespoloną lub urojoną, o pierwiaski zespolone wysępują zawsze jako parami sprzężone = ± i wówczas przekszałcenie odwrone Laplace a daje L + = cos sin (2.7) Przy obliczaniu współczynników udziału (2.4) możliwe są dwa posępowania. Pierwsze z nich zwie się meodą współczynników nieoznaczonych. Polega ona na sprowadzeniu sumy ułamków prosych z nieokreślonymi jeszcze współczynnikami,,, do wspólnego mianownika, a nasępnie przyrównaniu wielomianu orzymanego w liczniku ego ułamka do wielomianu licznika funkcji wymiernej (). Oba liczniki są sobie ożsamościowo równe, więc równe są również współczynniki przy wyrazach o akiej samej poędze zmiennej s. Prowadzi o do zbioru równań liniowych względem współczynników, kóry można rozwiązać znanymi sposobami. Drugie posępowanie opare jes na wierdzeniu Heaviside a o rozkładzie. I ak w przypadku jednokronych pierwiasków rzeczywisych wielomianu funkcji wymiernej () warości współczynników udziału wyznacza się ze wzoru. = () (2.8) W przypadku pierwiaska l kronego w (2.4) wysępuje między innymi suma ułamków prosych o posaci Warości l współczynników oblicza się korzysając ze wzorów 5

6 , = (), = (), = 1 2! (), = 1! () (2.9) W przypadku wysępowania pojedynczej pary pierwiasków zespolonych = ± współczynniki udziału uwidocznione w (2.7) można wyznaczyć na podsawie wzoru + = + (2.10) Charaker przebiegu sygnału wyjściowego, odpowiedzi czasowej układu, w sanie nieusalonym jes ściśle zależny od ypu członu dynamicznego opisanego ransmiancją (). Podsawowe ypy składowych sygnałów i ich ransformay operaorowe podane są w dodaku B. W sanie usalonym zaś charaker odpowiedzi zdeerminowany jes charakerem sygnału wejściowego (), czyli wymuszeniem. Sandardy sygnałów wymuszeń esowych sosowanych w analizie zachowań układów dynamicznych umieszczone są w pierwszej kolumnie dodaku B. Należą do nich wymuszenia o charakerze: impulsowym, skokowym, liniowym - prędkościowym, parabolicznym przyspieszeniowym, okresowym sinusoidalnym. Jeżeli na wejście liniowego członu lub układu o ransmiancji operaorowej () będzie wprowadzony sygnał sinusoidalny = sin (rys. 2.2), o po zakończeniu procesu przejściowego na wyjściu usali się sinusoidalny sygnał = sin + o ej samej częsoliwości kąowej (pulsacji) jaką ma sygnał wejściowy, lecz zwykle o innej ampliudzie i fazie, kóre są zależne od bieżącej warości ej częsoliwości. () () = sin () = sin + ϕ Rys.2.2. Przebieg odpowiedzi układu na wymuszenie harmoniczne w sanie usalonym 6

7 Transmiancję operaorową zapisać można w posaci = L sin + = L sin = () Lsin Lsin = () (2.11) Z powyższej zależności ławo sposrzec, że charakerysyką częsoliwościową - widmową jes graficzna prezenacja sanów usalonych członu ()przy zmiennej warości pulsacji, co opisuje zw. ransmiancja widmowa = = () Transmiancja a ma sens wzmocnienia zespolonego przebiegu harmonicznego o pulsacji. Moduł ransmiancji widmowej () = = () = (2.12) określa wzmocnienie - sosunek ampliud sygnałów harmonicznych wyjściowego () i wejściowego (), a argumen ką fazowy Wnoszone przez układ przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem wejściowego o ką odpowiada przesunięciu ych sygnałów o = jednosek czasu (rys. 2.2). Moduł ransmiancji widmowej () oraz jej ką fazowy są paramerami odpowiedzi członu na wymuszenie sinusoidalne i sąd ransmiancja widmowa jes częso nazywana, szczególnie w lieraurze anglojęzycznej, odpowiedzią częsoliwościową (frequency response). Charakerysyką ampliudowo-fazową lub wykresem Nyquisa jes miejsce geomeryczne punków, jakie zakreśla koniec wekora = Re() + Im() = cos + sin na płaszczyźnie zmiennej zespolonej, przy zmianie pulsacji 0 < < sygnału wejściowego. Tę samą informację co do modułu i fazy można również odczyać z charakerysyk częsoliwościowych Bodego. = = (2.13) 7

8 Składają się one z dwóch wykresów. Jeden doyczy logarymu z modułu a drugi kąa fazowego = 20 log [db], = arg = = arcg, naniesione jako funkcje częsoliwości w skali logarymicznej. 8

9 DODATEK B Podsawowe ypy sygnałów i ich ransformay Laplace a = = = = = = = 1 + = = = = 1 + = = 2 = + = sin = + + = sin = + = cos = = cos 9

10 DODATEK C Zapis ransmiancyjny oraz kreślenie charakerysyk czasowych i częsoliwościowych w środowisku programu Malab Prezenacje zapisu ransmiancji i kreślenia charakerysyk w środowisku Malaba opare będą na przykładzie układu dynamicznego opisanego w najczęściej sosowanej posaci ypu + 1 = , kóra dla porzeb zasosowań programowych winna być rozwinięa do posaci = () () = = + Transmiancja układu zapisywana jes bowiem w Malabie przy użyciu polecenia f: >> G=f(N,D) gdzie N oraz D są odpowiednio +1 i + 1 wymiarowymi wekorami wierszowymi współczynników i wielomianów odpowiednio licznika i mianownika ransmiancji. 1. Operacje na wielomianach Przykładowo wielomiany w posaci iloczynowej = 2s + 1(2s + 1), = 3s + 1(s + 0,5s + 1) mogą być najpierw zadeklarowane poprzez wekory poszczególnych czynników >> N1=2*[1 1], N2=[2 1] N1 = 2 2 N2 = 2 1 >> D1=[1 0], D2=[3 1], D3=[ ] D1 = D2 =

11 DODATEK C 3 1 D3 = kóre nasępnie poddane są poleceniu conv, zwracającemu wyniki mnożenia poszczególnych czynników obu wielomianów >> N=conv(N1,N2) N = >> D=conv(D1,conv(D2,D3)) D = orzymując wielomiany = , = 3 + 2,5 + 3,5 +. W układzie zamknięym regulacji zachodzi porzeba wyznaczenia wielomianu charakerysycznego, będącego sumą wielomianu licznika i mianownika ransmiancji układu owarego. Aby dodać lub odjąć dwa wielomiany wysarczy dodać lub odjąć wekory ich współczynników o ile są ej samej długości. W analizowanym przypadku długość wekora N należy powiększyć o 2 elemeny do długości wekora D o wymiarze 5, czyli >> N=[ ] sąd >> Dz=N+D Dz = Polecenie roos zwraca zera danego wielomianu. Na przykład, aby wyznaczyć zera wielomianów i należy wprowadzić polecenia >> z=roos(n) z = >> p=roos(d) p = i i

12 DODATEK C Polecenie poly worzy wekor współczynników wielomianu z podanych jego zer, np.: >> N_z=poly(z) N_z = >> D_p=poly(p) D_p = orzymując, przy uwzględnieniu współczynników i, wielomiany = 4 + 1,5 + 0,5, = 3 + 0, , , Alernaywne zapisy ransmiancji Poza zapisem ransmiancji wskazanym wyżej, czyli >> G=f(N,D) Transfer funcion: 4 s^2 + 6 s s^ s^ s^2 + s ransmiancje mogą być definiowane alernaywnie >> s=f('s') Transfer funcion: s >> G1=(2*(s+1)*(2*s+1))/(s*(3*s+1)*(s^2+0.5*s+1)) Transfer funcion: 12

13 DODATEK C 4 s^2 + 6 s s^ s^ s^2 + s Transmiancja powyżej zdefiniowana zosała zapisana bezpośrednio w posaci iloczynowej orzymując posać rozwinięą wielomianów. Mając naomias zera i bieguny ransmiancji (srona powyżej) można zdefiniować ransmiancję za pomocą polecenia zpk(z,p,k), w kórym paramerami są: wekory zer i biegunów z,p oraz wskaźnik wzmocnienia k, np.: >> G=zpk(z,p,4/3) Zero/pole/gain: (s+1) (s+0.5) s (s ) (s^ s + 1) Zapis ransmiancji, gdzie będą ujawnione pierwiaski wielomianów licznika i mianownika można uzyskać sosując powyższe polecenie zpk, w kórym paramerem jes ransmiancja zdefiniowana w dowolny inny sposób, np.: >> G2=zpk(G1), G3=zpk(G) Zero/pole/gain: (s+1) (s+0.5) s (s ) (s^ s + 1) Transmiancję układu zamknięego można zapisać za pomocą polecenia feedback(g,1), gdzie pierwszym paramerem jes ransmiancja w orze głównym G, drugim zaś w orze pęli zwronej., w ym przypadku reprezenowany przez człon proporcjonalny o wzmocnieniu 1: >> Gz=feedback(G,1) Transfer funcion: 4 s^2 + 6 s s^ s^ s^2 + 7 s

14 DODATEK C 3. Charakerysyki czasowe - odpowiedzi: skokowa i impulsowa Do wyznaczenia odpowiedzi skokowej układu (odpowiedź na skok jednoskowy) służy funkcja sep(sys) lub sep(sys,t), gdzie sys jes zadeklarowaną ransmiancją układu a T jes czasem końcowym symulacji. Przykładowo >> sep(g,15) Do wyznaczenia odpowiedzi impulsowej (na impuls Dirac a) służy funkcja impulse(sys). Na przykład >> impulse(g) Wyniki działania dwóch powyższych poleceń pokazane są na poniższych rysunkach. 30 Sep Response 3 Impulse Response Ampliude 15 Ampliude Time (sec) Time (sec) 4. Charakerysyki częsoliwościowe Do wykreślenia charakerysyk: ampliudowo-fazowej,wykresu Nyquisa, oraz Bodego (ampliudy i fazy) służą polecenia odpowiednio nyquis(g) i bode(g),w kórych paramerem jes zadeklarowana ransmiancja G. Insrukcja grid spowoduje umieszczenie siaek w akywnych oknach. Rezula działalna obu funkcji pokazują rysunki Charakerysyka Nyquisa jes narysowana zarówno dla zakresu pulsacji = 0 40 Bode Diagram 20 Nyquis Diagram Magniude (db) Imaginary Axis Phase (deg) Frequency (rad/sec) Real Axis jak i = 0. Kierunek zmian pul- 14

15 DODATEK C sacji pokazują srzałki, naomias czerwony krzyżyk oznacza punk Nyquisa ( 1, 0), pomocny przy badaniu sabilności układu zamknięego. Najeżdżając kursorem na wybrane okno każdego z wykresów oraz podrzymując wciśnięy prawy klawisz myszy uzyskuje się dosęp do szeregu narzędzi, za pomocą kórych można usalić cechy charakeryzujące analizowany obiek (zapasy sabilności) jak i cechy edycyjne grafiki wykresu. Za pomocą polecenia >> liview(g) można przedsawić w jednym oknie kilka wybranych charakerysyk badanego obieku G. Wyboru liczby i rodzajów charakerysyk dokonuje się za pomocą narzędzi Edi ->Plo Configuraion Do okna LTI Viewer można zaimporować (File ->Impor ) dowolną liczbę innych obieków, wcześniej zdefiniowanych w przesrzeni roboczej Malaba, co pozwala, na przykład, na analizę porównawczą zachowań badanych układów. 15