METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Transkrypt

1 METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne

2 Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe (nazywane też operatorami lub transformatami całkowymi). Są to pewne operacje dokonywane na funkcjach, w których główną rolę odgrywa całkowanie (różnego typu i różnych funkcji). Przekształcenia całkowe są częścią analizy funkcjonalnej. W zastosowaniach praktycznych najważniejsze są: 1. Przekształcenie (transformata) Fouriera. Przekształcenie (transformata) Hankela 3. Przekształcenie (transformata) Laplace a

3 Przekształcenia całkowe uwagi ogólne Ogólnie przekształceniem (transformatą) nazywamy pewne przyporządkowanie dwu funkcji. Można powiedzieć że jest to funkcja, w której zarówno argument jak i wartość są funkcjami. Tr[ f ( t)] F( s) Funkcję f(t) nazywamy oryginałem natomiast funkcję F(s) obrazem lub po prostu transformatą. Na ogół oryginały są funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej t natomiast obrazy są funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej s. Ogólny zapis przekształcenia całkowego funkcji rzeczywistej w zespoloną jest następujący:

4 Przekształcenia całkowe uwagi ogólne F ( s) f ( t) K( s, t) dt α, β liczby rzeczywiste (mogące wynosić + lub - ) określające przedział całkowania. K(s,t) funkcja zmiennej zespolonej s i rzeczywistej t nazywana jądrem przekształcenia. W zależności od granic całkowania i jądra mamy różnego typu przekształcenia. Podstawiając: 0 K( s, t) otrzymujemy interesujące nas przekształcenie Laplace a: e st gdzie:

5 Przekształcenia całkowe Transformata Laplace a st F( s) f ( t) e dt L[ f ( t)] 0 Przekształcenie Laplace a często oznacza się dużą literą L. Nie każda funkcja f(t) może być oryginałem. Może nim być tylko taka funkcja, dla której powyższa całka istnieje. Można wykazać, że dla zbioru wszystkich oryginałów przekształcenie Laplace a jest wzajemnie jednoznaczne tzn. że jednemu oryginałowi odpowiada tylko jeden obraz oraz jednemu obrazowi odpowiada tylko jeden oryginał. Można zatem wprowadzić pojęcie odwrotnego przekształcenia Laplace a, w którym oryginał jest przyporządkowany danemu obrazowi: L 1 [ F( s)] f ( t) F( s) L[ f ( t)]

6 Przekształcenia całkowe Transformata Laplace a L[f(t)] f(t) F(s) X zbiór oryginałów L -1 [F(s)] Y zbiór obrazów

7 Transformata Laplace a Własności f ( t) 0 dla t 0 oryginałów Funkcje f(t) będące oryginałami muszą spełniać 3 podstawowe warunki: 1.. Funkcja f(t) musi być przedziałami ciągła, tzn. liczba punktów nieciągłości w dowolnym skończonym przedziale musi być skończona. Przykładowo warunek ten spełnia funkcja tzw. funkcja schodkowa f(t)=int(t) mimo że posiada nieskończoną liczbę punktów nieciągłości. 3. Funkcja f(t) jest rzędu wykładniczego co oznacza że nie może ona rosnąć szybciej niż funkcja ekspotencjalna. Warunek ten można zapisać następująco: istnieje 0 dla istnieje M 0 dowolnego t f ( t) Me t

8 Transformata Laplace a Przykłady oryginałów a) Funkcja Heviside a (jednostkowa, lub skoku jednostkowego): ( t) f(t) 0 1 dla dla t t t Mnożąc dowolną funkcję przez funkcję Heviside a można zapewnić spełnienie warunku 1.

9 Transformata Laplace a Przykłady b) Funkcja schodkowa: f oryginałów ( t) ( t)int( t) f(t) t

10 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 1. Przekształcenie Laplace a oraz odwrotne przekształcenie Laplace a są liniowe tzn.: L[ a f ( t) a f ( t)] a L[ f ( t)] a L[ f ( t)] a F ( s) a F ( s) L [ a F ( s) a F ( s)] a L [ f ( t)] a L [ f ( t)] a f ( t) a f ( t) a 1, a dowolne liczby rzeczywiste f 1 (t), f (t) dowolne oryginały Własność powyższa wynika z liniowości całki.

11 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia. Transformata pochodnej bardzo ważna własność mająca fundamentalne znaczenie w rozwiązywaniu równań różniczkowych. ( n) n n1 n ( n1) L f ( t) s L f ( t) s f (0) s f '(0)... f (0) dla n L f "( t) s L f ( t) sf (0) f '(0) dla n 1 L f '( t) sl f ( t) f (0) sf( s) f (0) dla n 1 i f (0) 0 L f '( t) sl f ( t) sf( s)

12 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia Z własności powyższej wynika że różniczkowanie w dziedzinie oryginałów zamienia się na mnożenie i odejmowanie w zbiorze obrazów. Fakt ten jest podstawą tzw. operatorowej metodzie rozwiązywania równań różniczkowych. Można tutaj wykorzystywać różne przekształcenia całkowe a w szczególności transformatę Laplace a. Istotę metody operatorowej ilustruje schemat: Rr[ f ( t)] Laplace Ra[ F( s)] Rozwiązanie równania algebraicznego f (t) (Laplace) -1 F(s)

13 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 3. Przekształcenie całki. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to L t 0 f () t dt Fs () s Całkowanie w dziedzinie oryginałów zamienia się na dzielenie przez s w zbiorze obrazów. Własność ta pozwala na zamianę równań całkowych na równania algebraiczne.

14 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia Przykład zastosowania tej własności: t L[cos( t)] f ( t) cos( t) L cos( t) dt s 0 s L[cos( t)] s 1 t s 1 L cos( t) dt L[sin( t)] s( s 1) s 1 0 Na podstawie powyższej własności mamy:

15 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 4. Różniczkowanie obrazu. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to L[ t n dla L[ tf f ( t)] ( 1) n 1 n ( t)] F'( s) d ( n) F( s) ds n

16 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 5. Całkowanie obrazu. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to s f ( t) L F( s) ds t

17 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 6. Przesunięcie w dziedzinie oryginałów. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to st L[ f ( t t )] e F( s) t

18 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 7. Przesunięcie w dziedzinie obrazów. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to L e s [ 0 t f ( t)] F( s s0) s0 C

19 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 8. Podobieństwo. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to 1 s L[ f ( at)] F a a a 0

20 Transformata Laplace a Metodyka wyznaczania obrazów Wyznaczanie obrazów dla zadanych oryginałów jest stosunkowo proste. Możemy wyróżnić następujące metody szczegółowe: 1. Bezpośrednie zastosowanie wzoru definicyjnego.. Zastosowanie różnych własności Korzystanie z tablic transformat. 4. Korzystanie z programów komputerowych, które same wyznaczają dane transformaty, np. MATHEMATICA firmy Wolfram.

21 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów Problem wyznaczania oryginałów przy zadanych obrazach tzn. technika dokonywania odwrotnego przekształcenia Laplace a jest na ogół znacznie trudniejszy od wyznaczania obrazów. Problem ten rozwiązuje się za pomocą następujących metod: 1. Zastosowanie wzoru całkowego Riemanna - Mellina.. Metoda kombinowana wykorzystująca własności Metoda splotu. 4. Metoda residuów. 5. Metoda tablicowa. 6. Korzystanie z programów komputerowych, które wyznaczają odpowiednie oryginały, np. MATHEMATICA firmy Wolfram. Teraz omówimy metody 1 4.

22 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów 1. Zastosowanie wzoru całkowego Riemanna - Mellina. f 1 ( t) lim i y iy iy F( s) e st ds 0 λ 0 wskaźnik wzrostu funkcji f(t). Korzystanie z tego wzoru jest raczej trudne i wymaga dobrej znajomości analizy funkcji zespolonych. W praktyce metoda ta jest rzadko stosowana.

23 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów. Metody kombinowane polegają na wykorzystaniu różnych własności przekształcenia Laplace a. Jedną ze szczególnych metod stosunkowo często stosowaną w praktyce jest metoda rozkładania obrazu na ułamki proste. Metodę tę można stosować wtedy, gdy obraz jest funkcją wymierną tzn. ilorazem dwu wielomianów zmiennej s. Rozkładanie na ułamki proste robi się analogicznie jak przy elementarnym całkowaniu funkcji wymiernych zmiennej rzeczywistej. Dalej wykorzystuje się liniowość oraz elementarne własności przekształcenia Laplace a. k n n n n n k n n n s P L t p t p A s F L t f s P A s W s W s F )] ( [ ) ( ) ( )] ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

24 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów 3. Metoda splotu opiera się na twierdzeniu Borela. Splotem dwu funkcji rzeczywistych f 1 (t) i f (t) nazywamy funkcję zmiennej rzeczywistej t określoną za pomocą całki: t f t) f ( t) f ( t ) f ( ) d 1 1 ( 0 Można wykazać że splot jest operacją przemienną, łączną i rozdzielną względem dodawania oraz że splot dwu oryginałów jest również oryginałem.

25 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów Twierdzenie Borela: Jeżeli: L[ f ( t)] F ( s) L[ f ( t)] F ( s) 1 1 to: L[ f ( t)] L[ f ( t)] F ( s) F ( s) L[ f ( t) f ( t)] Słownie: Obraz splotu dwu funkcji jest iloczynem obrazów poszczególnych funkcji.

26 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów Z twierdzenia Borela wynika bezpośredni wzór umożliwiający wyznaczanie oryginału w przypadku gdy obraz jest iloczynem dwu prostych funkcji zespolonych, których oryginały znamy. Operacja sprowadza się wtedy do wykonania splotu. 1 L F1 s F s f1 t f t [ ( ) ( )] ( ) ( )

27 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów metoda residuów 4. Metoda residuów polega na zastosowaniu tzw. twierdzenia o residuach: Założenia: a) F(s) jest obrazem pewnej na razie nie znanej funkcji f(t) b) F(s) jest analityczna z wyjątkiem skończonej liczby biegunów s 1, s,,s k

28 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów metoda residuów Szukany oryginał transformaty Laplace a wyraża się wtedy wzorem: f ( t) L 1 [ F( s)] k n1 res s n [ F( s) e st ] Aby zastosować to twierdzenie i tę metodę należy znaleźć wszystkie bieguny funkcji F(s) a następnie obliczyć residua funkcji F(s) pomnożonej przez czynnik e st. Przy operacji znajdowania residuów należy t traktować jako parametr. Bardzo ważna jest tutaj umiejętność wyznaczania residuów w biegunach.

29 Funkcje specjalne

30 FUNKCJE SPECJALNE W modelowaniu matematycznym wielu procesów dużą rolę odgrywają tzw. funkcje specjalne. Są to funkcje, które nie dają się zapisać za pomocą skończonych kombinacji funkcji elementarnych. Dla obliczania ich wartości na ogół stosowane są szeregi potęgowe. Na wykładzie omówimy następujące funkcje specjalne: 1. Funkcja błędu i dopełniająca funkcja błędu. Funkcja gamma Eulera 3. Funkcje Bessela. 3 0

31 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu W powszechnym użyciu są dwie funkcje błędu oznaczane jako erf i erfc. Podstawowa funkcja błędu erf jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej i wywodzi się z rachunku prawdopodobieństwa oraz tzw. rozkładu normalnego Gaussa: ( xx0 ) 1 ( x) e Dla x 0 =0 i σ=1/( ) rozkład ten przyjmuje postać: ( x) 1 e Wykresem tej funkcji jest słynna krzywa dzwonowa Gaussa: 3 x

32 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu 3

33 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu Rozkład Gaussa zgodnie z regułami teorii prawdopodobieństwa spełnia warunek: 1 x e dx x ( x) dx e dx 1 0 e x dx 0 e x dx 1 Funkcję erf(x) otrzymujemy jeżeli rozkład Gaussa pomnożymy przez i scałkujemy od 0 do x tzn.: erf ( x) x e t 0 dt 3 3

34 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu x e erf(x) 0 x 3 4

35 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Wykres funcji erf(x): błędu 3 5

36 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu Podstawowe własności funcji erf(x): 1. erf(0)=0. erf( )=1, efr(- )=-1 3. erf(-x)=-erf(x) funkcja jest nieparzysta 4. [ erf ( x)]' e x Pochodną funkcji erf jest funkcja rozkładu Gaussa pomnożona przez. 3 6

37 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu Z funkcją błędu erf(x) związana jest tzw. dopełniająca funkcja błędu erfc(x): erfc( x) x e t dt 1 erf ( x) 3 7

38 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu Wartości funcji erf(x) są stabelaryzowane i zamieszczane na ogół w podręcznikach rachunku prawdopodobieństwa. W obliczeniach komputerowych można korzystać z rozwinięcia tej funkcji w szereg potęgowy: erf ( x) k0 ( 1) k x k1 (k 1) k! 38

39 FUNKCJE SPECJALNE Funkcja gamma Eulera W wielu różnych zastosowaniach występuje tzw. funkcja gamma związana z nazwiskiem wybitnego matematyka Eulera. Podobnie jak funkcja ekspotencjalna funkcja ta może być definiowana w zakresie liczb rzeczywistych lub zespolonych. Tutaj omówimy rzeczywistą funkcję gamma. Funkcją tą zajmował się również inny genialny matematyk Gauss. Jego definicja tej funkcji jest następująca: x (! ) lim n n x x( x 1)( x )...( x n ) n Można wykazać, że powyższa granica istnieje dla dowolnych wartości x z wyjątkiem x=0, x=-1, x=-, 39

40 40 FUNKCJE SPECJALNE Funkcja gamma Eulera 0 1 ) ( dt t e x x t Euler wykazał, że dla dodatnich wartości x rzeczywistą funkcję gamma można zapisać za pomocą całki: Wzór całkowy Eulera Korzystając z powyższego wzoru można wyprowadzić ważną własność funkcji gamma: ) ( 1) ( ) ( 0 )' )( ( 0 ) ( )' ( 1) ( x x x x x dt t e x dt xt e dt t e t e dt t e dt t e x x t x t x t x t x t x t x 0

41 FUNKCJE SPECJALNE Funkcja gamma Eulera Obliczmy teraz wartości funkcji gamma dla liczb naturalnych. Dla x=1 skorzystajmy z całki Eulera: (1) 0 e t dt e t 0 ( 1) 0 1 Dla kolejnych liczb naturalnych korzystamy z wyprowadzonego wzoru: () (1 1) 1(1) 11 1 (3) ( 1) (4) (3 1) () 1 3(3) 31 6 ( n) ( n 1)! 41

42 FUNKCJE SPECJALNE Funkcja gamma Eulera W zakresie liczb rzeczywistych funkcja gamma jest związana z trygonometryczną funkcją sinus za pomocą zależności: ( x) (1 x) sin( x) 4

43 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela Kolejne funkcje specjale tzw. funkcje Bessela występują wtedy gdy rozważane procesy zachodzą w układach o geometrii cylindrycznej. W związku z tym czasami nazywa się je funkcjami cylindrycznymi. Funkcje Bessela są to funkcje rzeczywiste będące rozwiązaniami równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu tzw. równania Bessela: x y'' xy' ( x ) y 0 y=f(x) - funkcja niewiadoma ν dowolna liczba rzeczywista, parametr równania Bessela 43

44 x FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela y'' xy' ( x ) y 0 Na ogół rozwiązań równania Bessela nie można przedstawić za pomocą kombinacji funkcji elementarnych. Równanie można rozwiązać za pomocą tzw. metody Frobeniusa w wyniku której otrzymuje się rozwiązania w postaci szeregów potęgowych. Szeregi te definiują funkcje Bessela pierwszego rodzaju, które tradycyjnie oznaczane są przez J ν (x). Indeks ν jest parametr rzeczywisty funkcji Bessela. Szereg definiujący funkcje Bessela I rodzaju jest następujący: 44

45 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela J m ( x ( 1) x x) m 0 m! ( m 1) m Jeżeli parametr ν nie jest liczbą całkowitą wtedy można wykazać, że funkcje J ν (x) i J -ν (x) są liniowo niezależne i za ich pomocą można zapisać rozwiązanie ogólne równania Bessela: y( x) AJ ( x) BJ ( x) v 45

46 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela Jeżeli parametr ν jest liczbą całkowitą to nazywamy go rzędem funkcji Bessela, oznaczamy literą ν=n, a szereg definiujący funkcje Bessela przybiera postać: J n ( x) x n m0 m ( 1) m!( n m)! x m n 0,1,,...

47 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela W szczególności dla n=0 otrzymujemy funkcję Bessela pierwszego rodzaju zerowego rzędu: J m 4 6 ( 1) ( ) m x x x x x 1 m 4 6 m0 ( m!) (1!) (!) (3!) 0...

48 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela Z innym szczególnym przypadkiem mamy do czynienia gdy parametr ν = 1/ i ν = -1/. Wtedy funkcje Bessela pierwszego rodzaju można zapisać za pomocą funkcji elementarnych: J 1/ ( x) sin x J 1/ x ( x) x cosx 48

49 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela - wykresy J 0 (x) J 1 (x) J (x) 49

50 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela - własności Funkcje Bessela mają wiele ciekawych własności. Poniżej najważniejsze z nich: 1. Własność wiążąca 3 funkcje o parametrach ν różniących się o 1: Jv ( x) Jv 1( x) Jv 1( x) x Własność ta pozwala na obliczanie wartości funkcji o parametrze ν+1 na podstawie wartości funkcji poprzednich o parametrach ν i ν 1. 50

51 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje. Różniczkowanie: Bessela - własności djv ( x) v Jv '( x) Jv ( x) Jv 1( x) dx x Jv 1( x) Jv 1( x) Do zróżniczkowania funkcji Bessela I rodzaju o parametrze ν potrzebne są funkcje sąsiednie. 51

52 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela - własności 3. Funkcje Bessela I rodzaju o całkowitych parametrach ν=n spełniają proste zależności: n J ( x) ( 1) J ( x) n 0,1,,... n n n J ( x) ( 1) J ( x) n 0,1,,... n n Pierwsza z tych zależności pozwala na łatwe wyznaczenie funkcji Bessela o ujemnych parametrach całkowitych. Z zależności tej wynika też że funkcje J n i J -n są liniowo zależne. Zależność druga określa, że funkcje Bessela o parzystych parametrach są parzyste a o nieparzystych parametrach są nieparzyste. 5

53 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela - własności Ponieważ funkcje J n (x) i J -n (x) są liniowo zależne, nie można ich użyć do konstrukcji ogólnego rozwiązania równania Bessela. Do tego celu służą funkcje Bessela drugiego rodzaju tradycyjnie oznaczane literą Y. Funkcje te są definiowane za pomocą następującej formuły: 53

54 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju Y ( x) v J ( x)cos( v ) J ( x) v sin( v ) v dla v n 0, 1,,... J ( )cos( ) ( ) lim v x v J v x dla v n 0, 1,,... vn sin( v ) Funkcje Bessela drugiego rodzaju podobnie jak I rodzaju posiadają parametr ν. Łatwo zauważyć, że dla całkowitej wartości tego parametru w mianowniku definicji pojawia się 0. Dlatego też w definicji użyto w tym przypadku granicy, która istnieje dla każdego x.

55 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju Bardzo istotny jest fakt, że funkcje Bessela pierwszego i drugiego rodzaju dla tego samego parametru ν są liniowo niezależne i można ich użyć do konstrukcji ogólnego rozwiązania równania Bessela tzn.: y( x) AJ ( x) BY ( x) v v W praktyce funkcje Bessela II rodzaju są stosowane w przypadku gdy parametr ν jest liczbą całkowitą tzn. ν=n. W tym przypadku korzystanie ze wzoru definicyjnego jest trudne a wartości funkcji Y wyznacza się za pomocą szeregów potęgowych:

56 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju Podany poniżej wzór obowiązuje dla x>0 x x ( n m 1)! x ( 1) ( h h ) Y x J x x x n n1 n m1 m m mn m n( ) n( )(ln ) mn mn m0 m! m0 m!( m n)! gdzie: h0 0 hs 1... s 1,,... 3 s ( h ln s) Euler const. lim s s 56

57 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju W szczególności: dla n 0: m1 x ( 1) hm Y0( x) J0( x) ln x 1 m m ( m!) m 57

58 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju - wykres Y 0 (x) Y 1 (x) Y (x) 58

59 Na tym kończymy wykłady przewidziane w programie przedmiotu Metody matematyczne i statystyczne w inżynierii chemicznej Dziękuję bardzo Państwu za uwagę. Test zaliczeniowy odbędzie się na ostatnich zajęciach w dniu r.