ELIPTYCZNE FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI I INNE WYRÓWNANE FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI

Transkrypt

1 DECYZJE r 4 grudzień 005 ELIPTYCZNE FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI I INNE WYRÓWNANE FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI Maria Ekes * Szkoła Główa Hadlowa Adrze Wieczorek ** Polska Akademia Nauk W artykule chcemy przedstawić klasę fukci użyteczości, których hiperpowierzchie oboętości są w pewie sposób wpisae w hiperpowierzchie będące przesuięciami brzegu orthatu dodatiego odpowiedie przestrzei Euklidesowe; te fukce azywamy wyrówaymi fukcami użyteczości. Takie fukce bardzie odpowiadaą, zdaiem autorów, rzeczywistym preferecom kosumetów, w szczególości w sytuacach, kiedy przy ustaloych ceach wszystkich towarów oprócz edego, umer i, i cey tego towaru maleące do zera, popyt a towar i przy dostateczie iskim poziomie ego cey edostkowe ustala się a pewym poziomie, a ie rośie do ieskończoości, ak to est w przypadku aczęście używaych w literaturze fukci użyteczości, ak a przykład fukce Cobba-Douglasa, czy fukce CES. Poadto, właśie wyrówae fukce użyteczości często poawiaą się w wielu kostrukcach pomociczych, kiedy a przykład dowodu istieia rówowagi w akimś modelu ie dae się przeprowadzić bezpośredio dla daych fukci użyteczości, więc odpowiedio się e modyfikue, przeprowadza dowód dla takich fukci zmodyfikowaych, a ostateczie przeprowadza się eszcze pewe przeście graicze. Wyrówae fukce użyteczości maą eszcze edą bardzo pożądaą własość: odpowiadaące im (multi-) fukce popytu są dobrze zdefiiowae rówież w przypadku, kiedy pewe cey * Maria Ekes, Katedra Ekoomii Matematycze, Szkoła Główa Hadlowa, al. Niepodległości 6, Warszawa, maria.ekes@sgh.waw.pl ** Adrze Wieczorek, Istytut Podstaw Iformatyki, Polska Akademia Nauk, ul. Ordoa, 0-37 Warszawa, adrze.wieczorek@ipipa.waw.pl Matematycza klasyfikaca przedmiotowa 000: 9D3, 9D0, 9B30. Praca aukowa fiasowaa ze środków a aukę w latach ako proekt badawczy r H0B 06 9.

2 5 ELIPTYCZNE FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI (edak ie wszystkie) są rówe 0, co est bardzo waże przy wykoywaiu obliczeń umeryczych. Przy dodatkowych założeiach, dotyczących wypukłości fukci użyteczości, każdy zbiór popytowy zawiera elemet miimaly ze względu a częściowy porządek w R. Uzasadieiem potrzeby zdefiiowaia fukci wyrówaych może być astępuący cytat z klasycze moografii Scarfa i Hasea [3], str. 0: It is difficult to imagie that this techical problem has much ecoomic cotet: cosumers would ot be expected to demad arbitrarily large quatities of ay particular commodity eve if its price were quite small. I the study of the existece of equilibrium prices this difficulty has bee successfully overcome, but at the cost of somewhat more elaborate aalysis tha I would care to preset here. Give our primary cocer with computatioal techiques, we shall fid it coveiet to require that the demad fuctios be cotiuous o the etire uit simplex ad ot oly i the iterior. We shall make this assumptio i our discussio of computatioal procedures eve though may of our umerical examples will employ utility fuctios such as the Cobb-Douglas fuctio... for which the assumptio is ot valid. The reader should have o difficulty i adustig to this slight ambiguity. W artykule opisuemy, w aki sposób zwykle stosowae fukce użyteczości moża, przez operacę obcięcia, doprowadzić do fukci wyrówae. Kokrety przykład dotyczy fukci Cobba-Douglasa. Wprowadzamy też, ak się wydae, ową klasę fukci, azwaych przez as fukcami eliptyczymi, które z defiici są fukcami wyrówaymi. Ituici co do atury tych fukci dostarcza kształt odpowiadaących im krzywych i powierzchi oboętości przedstawioych a rysukach i 3. Wprowadzeie do tematyki poruszae w te pracy mogą staowić pozyce bibliografii [-7]. Słowa kluczowe: fukca (multifukca) popytu, fukca użyteczości, fukce Cobba-Douglasa, eliptycze fukce użyteczości, krzywe (powierzchie) oboętości. Defiice Jeżeli x,y R, to piszemy x y gdy x i y i dla i =,,...,; piszemy x < y gdy x i < y i dla i =,,...,. Przez fukcę użyteczości rozumiemy fukcę u: R R, ograiczymy się przy tym do fukci ciągłych i mootoiczych w tym sesie, że spełiaą waruki:

3 Maria Ekes, Adrze Wieczorek 53 a. eżeli dla wektorów x,y R zachodzi x < y, to u(x) < u(y); oraz b. eżeli dla wektorów x,y R zachodzi x y, to u(x) u(y). Dla fukci użyteczości u i ieueme liczby a, hiperpowierzchia oboętości odpowiadaąca poziomowi a est zdefiiowaa ako zbiór Id(u, a) = {x R u(x)=a}. Powiemy, że mootoicza (spełiaąca waruki (a) i (b)) fukca użyteczości u est wyrówaa, gdy ma astępuącą własość: dla dowole ieueme liczby a istiee zbiór domkięty i ograiczoy C a R taki, że Id (u, a) est brzegiem (topologiczym) zbioru C a = {x R istiee y C a takie, że y x }. Zauważmy, że rówież C a = {x R u(x) a }, a więc Id(u, a) = C \ C. a b Dla fukci użyteczości u określamy, ak zwykle, odpowiadaącą e multifukcę popytu D : R (R \ {0}) R wzorem (przez multifukcę rozumiemy tu fukcę, która każde wielkości argumetu przyporządkowue ie poedyczą wartość, ale zbiór możliwych wartości): D U b>a (przy dochodzie I i układzie ce π, D( I, π ) est to zbiór fiasowo dostępych i abardzie pożądaych wiązek towarowych, we wzorze poawia się iloczy skalary π, x = π x... π x ). Uwaga. Jeżeli fukca użyteczości u est wyrówaa to wszystkie wartości odpowiadaące e multifukci popytu są zbiorami iepustymi. Jeżeli multifukca popytu D est taka, że każdy zbiór albo zawiera dokładie ede elemet, albo est w im elemet amieszy ze względu a częściowy porządek w R, to przez D ozaczymy (edowartościową) fukcę popytu D : R (R \{0}) R określoą tak, że dla dowolych I oraz π, D ( I, π ) est edyym elemetem D ( I, π ) lub amieszym elemetem D ( I, π ) w sesie częściowego porządku w R. Operaca obciaia fukci użyteczości ( I, π ): = {x R π, x I oraz eśli dla iego z R est π, z I, to u(z) u(x)} Dla dae ciągłe i mootoicze fukci użyteczości u: R R oraz ciągłe fukci ϕ:r R takie, że

4 54 ELIPTYCZNE FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI ϕ est rosąca, tz. a < b implikue ϕ ( a) < ϕ ( b), dla każdego x R istiee a R takie, że x ϕ ( a ) oraz dla każdego a R zbiór x R takich, że u (ϕ( a )) < u(x) = a est iepusty i ograiczoy, defiiuemy obcięcie u wyzaczoe przez ϕ, u ϕ :R R, w astępuący sposób: u ϕ u(x) (x) = u( ϕ( u(x))) eżeli x ϕ( u( x)), w przeciwym wypadku. W tym kotekście fukcę ϕ moża azwać fukcą wiodącą. Dla dowolego x R ozaczmy x = : {y R x y oraz x i = y i dla pewego i}. Nietrudo zauważyć, że hiperpowierzchia oboętości fukci a poziomie a składa się z tych elemetów x zbioru u ϕ Z = Id( u, a) ϕ ( a), dla których ie istiee z Z takie, że x < z. Przykład: obcięte fukce Cobba-Douglasa W praktyce procedura obciaia użyteczości może przebiegać, ze względów czysto techiczych, w sposób odmiey od opisaego wcześie, ale oczywiście rówoważy. W poiższym przykładzie zamiemy się fukcami typu Cobba-Douglasa przy =. Pukty modyfikaci a poszczególych krzywych oboętości wyzaczoo za pomocą stożka, poieważ mamy =, w tym przypadku faktyczie są to dwie proste ograiczaące stożek. Oczywiście odpowiedią fukcę wiodącą moża tu bez trudu zdefiiować, edak ie est to koiecze. Obcięta fukca użyteczości wyraża się wzorem: 0, a a e x u( x, x ) = a e x a a x x, a, a a, gdy x x gdy x gdy x gdy e x = 0, w pozostałych przypadkach : > e < e x ; x x ; e x,

5 Maria Ekes, Adrze Wieczorek 55 gdzie parametry a, a, e, e są dodatie, przy czym e < e. W tym wypadku wyściowe użyteczości są fukcami typu Cobba Douglasa x a x a (ie zakładamy tu, że wykładiki a i a sumuą się do, więc mówimy o fukcach typu Cobba-Douglasa, a ie po prostu o fukcach Cobba-Douglasa ). Pukty modyfikaci krzywych oboętości leżą a prostych x =e x oraz x =e x. Rysuek. Przykładowe krzywe oboętości dla obciętych fukci użyteczości typu Cobba-Douglasa. x x x = e x e x = x odpowiadaąca powyższe fukci użyteczości wy- Fukca popytu raża się wzorami: D e ( I, I ), π π e π π e a a D( I, π ) = ( I, I ), π( a a) π ( a a) e ( I, I ), π π e π π e π ae gdy <, π a ae π ae gdy, a π a π ae gdy > π a alboπ = 0. Aalogiczą kostrukcę moża też przeprowadzić dla 3. W tym wypadku odpowiedie wzory są bardzie skomplikowae; pukty modyfikaci mogą być wyzaczoe przez odpowiedio dopasoway stożek wypukły.

6 56 ELIPTYCZNE FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI Eliptycze fukce użyteczości Eliptyczą fukcę użyteczości w R wyzaczaą dwa wektory a, b R takie, że a > 0 i b > 0 (liczbą iezależych parametrów est tu faktyczie ). Formalie, eliptyczą fukcę użyteczości wyzaczaą hiperpowierzchie oboętości skostruowae w astępuący sposób. Elipsoida E est wpisaa w rówoległościa P o wierzchołkach {c,...,c }, gdzie kolee c i to wszystkie wektory postaci a ( δ b,..., δ b ), przy ( δ,..., δ ) będących wszystkimi możliwy ciągami o wyrazach 0 lub. Rówaiem E est: a x a x... =. b b Środkiem te elipsoidy est a b, atomiast długością e -te osi ( =,..., ) est b. Hiperpowierzchia defiiuąca L to, z defiici, brzeg zbioru E R, który oczywiście est rówy: Zbiór L moża przedstawić ako sumę mogościową astępuących zbiorów L T, ideksowaych iepustymi podzbiorami T zbioru {,...,}: T L : {x R x a b dla T, x a b dla T oraz x~ E} = (w powyższe defiici ~ x określaą wzory ~ x = x dla T oraz ~ x = a b dla T). Wartością defiiowae fukci użyteczości u dla dowolych x L t est u (x) : ( a ) dla x t L, t >0; b u(x) : = ; (x) : = a b u = kiedy x... x = 0 (dla liczby rzeczywiste t i zbioru L R, t L ozacza { } ( I { x R a x a b} ) R. E tx x R ).Tę fukcę użyteczości ozaczymy przez u ab. Zauważmy, że u ab = t u ta,tb dla wszystkich t > 0. Fukca użyteczości u ab est dobrze określoa, edak potrzeby może być awy wzór a u(x). Powyższy rozkład zbioru L będzie w tym pomocy. Wyprowadzimy apierw bezpośredi wzór, w przypadku kiedy a = b = (,,..., ); zamiemy się tylko przypadkiem x x... x (z symetrii wyika, że przypadki iych uporządkowań są aalogicze). Jeżeli x = 0 to u(x) = 0. W przeciwym wypadku azwiemy dokładie = = ( ) 0

7 Maria Ekes, Adrze Wieczorek 57 ede spośród wskaźików,...,, krytyczym: ie est krytyczy, dla t =,...,, t est krytyczy, gdy t ie est krytyczy oraz xt g( x, x,..., xt ), gdzie g ( x, x,..., x t ) est większym spośród dwóch rozwiązań rówaia: czyli, g x, x,..., x t = x xt x xt t x xt t Jeżeli,, oraz ie są krytycze, to przymiemy, że est krytycze. Defiiuemy u(x) ako g x, x,..., x ), gdzie t est krytycze. Dla uproszczeia powyższą kostrukcę przeprowadziliśmy dla a = b = (,,..., ); est oa edak aalogicza w ogólym przypadku, z tym tylko, że powyższy wzór a g ( x, x,..., xt ) musi zostać odpowiedio zmodyfikoway. Z kostrukci wyika, że zdefiiowae fukce użyteczości są wyrówae. Wyzaczymy teraz fukce popytu idukowae przez eliptycze fukce popytu. Dla dowolego układu ce π oraz dochodu I zaduemy pukt x L taki, że hiperpłaszczyza budżetowa { z R π, z = I} est rówoległa do hiperpłaszczyzy stycze do L w pukcie x. Przy π > 0 est dokładie ede taki pukt, w przeciwym wypadku takich puktów est ieskończeie wiele, wybieramy wówczas pukt miimaly w sesie częściowego porządku w R. W obu przypadkach wybray pukt x ależy do elipsoidy E. Popyt D ( I,π ) est proporcoaly do x (możymy x przez I x, π ). Fukca popytu dla asze fukci użyteczości wyraża się więc ako gdzie: ( g x ) ( g x )... ( g xt ) =, g ( ) ( ) ( ) ( )( ). D ( I, π ) D = I ( t ( I, π ) = ( D ( I, π ),..., D ( I, π )) a b b π a b b π i= ( π b ) m= ( π mbm ) m= m m. π i

8 58 ELIPTYCZNE FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI Rysuek. Przykładowe krzywe oboętości dla eliptycze fukci użyteczości w przypadku = i elipsa służąca do e kostrukci. Rysuek 3. Przykładowa powierzchia oboętości P dla eliptycze fukci użyteczości w przypadku = 3. Pozostałe powierzchie oboętości maą postać α P = α x x P, α 0 przyα = 0 powierzchia degeerue się do puktu (0,0,0). { } ;

9 Maria Ekes, Adrze Wieczorek 59 Przypisy W zastosowaiach często wygodie est stosować alteratywą parametryzacę ( e x f )... ( e x f ). Nowe parametry wyrażaą się przy pomocy poprzedich parametrów wzorami e = oraz f =, dla =,,. Środkiem elipsoidy przy te otaci est = b f f,..., e e, długością -te osi est a b e Bibliografia [] Chipma, J. S. (red.). 97. Prefereces, Utility ad Demad. Miesota Symposium, Harcourt, Brace, Jovaovich. [] Katzer, D.W Static Demad Theory. [3] Scarf, H., Hase, T The Computatio of Ecoomic Equilibria. Yale Uiversity Press. [4] Theil, H Theory ad Measuremet of Cosumer Demad. North-Hollad. [5] Thomas, R.L Applied Demad Aalysis. Logma. [6] Trockel, W Market Demad: a Aalysis of Large Ecoomies with No- Covex Prefereces. Spriger Verlag. [7] Wold, H. (with Juree, L.) Demad Aalysis. A Study i Ecoometrics. Wiley.

10