dr inż. Paweł Szeptyński - MECHANIKA BUDOWLI 01. Statyka TEORIA

Transkrypt

1 . STATYKA Statyka jest działem fizyki, który zajmuje się rówowagą układów sił waruki określające sta rówowagi zdefiiujemy dopiero późiej. Siłą azywać będziemy wielkość wektorową, będącą miarą oddziaływaia ciał a siebie. Widoczym efektem tego oddziaływaia zgodie z drugą zasadą dyamiki Newtoa jest ruch ciała, tj. zmiaa położeia zachodząca w czasie. W szczególości ruchem tym może być ie tylko przemieszczeie ciała, ale rówież jego odkształceie. Jeśli zatem jakiś czyik wpływać będzie a ruch ciała (wymuszać go, ograiczać lub uiemożliwiać), wtedy wpływ te modelować moża działaiem odpowiediej siły. Wyróżiać będziemy: siły zewętrze względem daego elemetu kostrukcji będą to miary oddziaływań otoczeia daego elemetu (środowiska aturalego, czyików wyikających z jego eksploatacji, elemetów sąsiedich itp.) a te elemet. Staowią oe czyik wymuszający ruch zarówo przemieszczeie jak i odkształceie. Siły zewętrze podzielić możemy z kolei a: sił czye oddziaływaie iezależych czyików zewętrzych a pukty wewątrz lub a powierzchi ciała. siły biere staowiące odpowiedź (reakcję) układu kostrukcyjego a zadae czye obciążeie zewętrze. Siły biere (siły reakcji) ie występują same z siebie pojawiają się dopiero wtedy, gdy a ciało zaczyają działać siły czye. Pod wpływem sił czyych ciało wykouje ruch (zaczya się przemieszczać i odkształcać). Jeśli jedak a ruch ciała ałożoe są jakieś ograiczeia (więzy), wtedy z każdym takim ograiczeiem wiąże się pewa siła reakcji może to być reakcja a podporze utrzymującej ciało w określoym położeiu. siły wewętrze w daym elemecie oddziaływaia dążące do zachowaia spójości materiału, z którego wykoay jest day elemet kostrukcji, przeciwstawiające się ewetualemu ziszczeiu pękięciu, ograiczające swobodę jego deformacji. Najbardziej podstawowe podejście stosowae w aalizie i projektowaiu kostrukcji polega a sprawdzaiu waruków rówowagi odpowiedich układów sił. Najczęściej mamy do czyieia z sytuacją, gdy czye obciążeie zewętrze jest zae, wtedy reakcje podporowe i siły oddziaływaia części kostrukcji między sobą określamy a podstawie założeia, że siły te wraz z siłami czyymi są w rówowadze. Podobie, siły wewętrze, określające stopień wytężeia materiału przed przekroczeiem jego wytrzymałości, wyzaczamy przez aalizę waruków rówowagi całkowitego układu sił wewętrzych i zewętrzych przyłożoych do dowolego, myślowo wyciętego fragmetu kostrukcji to myślowe wycięcie polega a zastąpieiu oddziaływaia między fragmetem kostrukcji a pozostałą jej częścią odpowiedim układem sił wewętrzych. WYZNACZANIE REAKCJI PODPOROWYCH WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH układ sił w rówowadze układ sił w rówowadze 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL

2 Rówowaga układu sił sprowadza się do tego, że jego sumarycze oddziaływaie a dae ciało ie wymusza żadego dodatkowego ruchu. Nawet w sytuacji, gdy aalizowaym fragmetem kostrukcji jest elemet maszyy, który ma się poruszać, powszechie stosuje się tzw. podejście statycze, w ramach którego ruch daego elemetu kostrukcyjego uwzględia się poprzez przyłożeie do iego dodatkowych sił wyikających z tego ruchu (siły bezwładości, siły oporu ruchu itp.) a astępie poprzez aalizę rówowagi takiego powiększoego układu sił. Takie podejście wymaga, aby siły bezwładości i siły oporu ruchu były cały czas takie same, jedak w bardzo wielu przypadkach (tzw. pracy w staie ustaloym) waruki te są spełioe z wystarczająco dużą dokładością. Omówieie tych kilku przykładów miało a celu uzasadieie dlaczego a samym początku tego opracowaia uwagę aszą poświęcimy zagadieiom statyki. Praktyczie wszystkie pozostałe tematy poruszae w tym opracowaiu bazować będą założeiu rówowagi odpowiedich układów sił. Z tego względu musimy auczyć się: Co to zaczy, że układ sił jest w rówowadze? Jakie waruki musi spełić układ, aby był w rówowadze? W jaki sposób możemy sprawdzić te waruki? Aby odpowiedzieć choćby a pierwsze pytaie, będziemy musieli wprowadzić pojęcie sumy układu sił, mometu siły i sumy mometów układu sił względem puktu. Pojęcia te mają swoje zaczeie fizycze, które jedak ajlepiej jest wyprowadzić z odpowiadających im kostrukcji matematyczych. Dlatego w astępym rozdziale przypomimy ajważiejsze zagadieia rachuku wektorowego. Choć w opracowaiu tym iemal wyłączie zajmować się będziemy dwuwymiarowymi układami kostrukcyjymi, to z pożytecze będzie omówić zagadieia statyki w ogólym, trójwymiarowym przypadku. Uogólieie omawiaych dalej twierdzeń i metod a kostrukcje przestrzee będzie bardzo aturale i stosukowo proste jedyie same rachuki wymagać będą pewego wysiłku wyobraźi przestrzeej.. DZIAŁANIA NA WEKTORACH Wektor w przestrzei trójwymiarowej: obiekt geometryczy, który w daym układzie współrzędych opisay jest trójką liczb azywaych jego składowymi w przypadku zmiay kartezjańskiego układu współrzędych, składowe w owym układzie współrzędych są liiowymi kombiacjami starych składowych: a = [a x ; a y ; a z ] Wektor, którego wszystkie składowe są rówe zero, to wektor zerowy. 0 = [0 ; 0 ; 0] Wektor, a ściślej wektor zaczepioy w pukcie, w przestrzei trójwymiarowej utożsamiay być może z odcikiem skierowaym, tj. z uporządkowaą parą puktów. Uporządkowaie ozacza, że jede z ich uważamy za pierwszy (początek wektora), pozostały za kolejy (koiec wektora). W związku z tym, możemy mówić o astępujących cechach wektora: kieruek jest to prosta, a której leżą rozważae pukty pukt zaczepieia jest to pierwszy z uporządkowaej pary puktów zwrot jest to orietacja odcika zawartego między tymi puktami, tj. stwierdzeie, który z ich jest 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 2

3 puktem początkowym, a który końcowym długość jest to odległość między tymi puktami. a = a x 2 +a y 2 +a z 2 Wektor, którego długość jest rówa azywamy wersorem lub wektorem jedostkowym. W kartezjańskim układzie współrzędych wszystkie wektory łączące dwa pukty leżące a rówoległych prostych, odległe od siebie o tę samą odległość i zorietowae w taki sam sposób, opisywae są przez te sam układ składowych. Jeśli ie uwzględić puktu zaczepieia, wszystkie te wektory są ierozróżiale. Możemy więc mówić o pewym abstrakcyjym reprezetacie wszystkich takich wektorów azywać go będziemy wektorem swobodym. Dwa wektory o tym samym kieruku azywamy wektorami rówoległymi. Dwa wektory rówoległe o tym samym zwrocie azywamy wektorami zorietowaymi zgodie gdy mają zwroty przeciwe, są oe zorietowae przeciwie. Dwa wektory swobode, które są rówoległe, tej samej długości i zorietowae zgodie azywamy wektorami rówymi. Jeśli są zorietowae przeciwie, azywamy je wektorami przeciwymi. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH Niech będą dae trzy wektory: a = [a x ; a y ; a z ] b = [b x ; b y ; b z ] c = [c x ; c y ; c z ] Możemy zdefiiować dla ich astępujące działaia: Dodawaie wektorów: a+b = [a x +b x ; a y +b y ; a z +b z ] Odejmowaie wektorów: a b = [a x b x ; a y b y ; a z b z ] dwójce wektorów przyporządkowujemy wektor suma wektora i wektora przeciwego daje wektor zerowy Możeie wektora przez liczbę: α a = [α a x ; α a y ; α a z ] jedemu wektorowi przyporządkowujemy owy wektor wektor pomożoy przez liczbę ie zmieia kieruku jest rówoległy do wyjściowego α a a długość wektora pomożoego przez α zmieia się α -krotie α a = α a 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 3

4 jeśli poadto liczba ta jest dodatia ie zmieia się rówież zwrot, jeśli zaś jest ujema, zwrot zmieia się a przeciwy wektor pomożoy przez - jest wektorem przeciwym do wyjściowego b -b b a d = a+b d = a-b a a α a Iloczy skalary wektorów: a b = a x b x +a y b y +a z b z = L L = a b cos (a,b) a γ= (a, b) dwójce wektorów przyporządkowujemy liczbę (skalar) iloczy skalary wektorów prostopadłych jest rówy 0: a b a b=0 iloczy skalary jest symetryczy: a b = b a długość wektora: a = a a = a 2 x +a 2 2 y +a z piszemy iekiedy: a 2 = a a = a 2 iloczy skalary jest rozdziely względem dodawaia wektorów: (a+b) (c+d) = (a c)+(b c)+(a d)+(b d) iloczy skalary jest zgody z możeiem wektora przez skalar: α (a b) = (α a) b = a (α b) b 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 4

5 Iloczy wektorowy wektorów: a b = [a y b z a z b y ; a z b x a x b z ; a x b y a y b x ] = d a z a b = [ a y b y b z ; a x a z b x b z ; a x a y dwójce wektorów przyporządkowujemy owy wektor te owy wektor jest prostopadły do obydwu wektorów wyjściowych: d a d b b x b y ] zwrot tego wektora jest taki, aby wektory a, b,d tworzyły trójkę prawoskrętą. Praktyczie stosujemy tutaj zasadę prawej dłoi : jeśli cztery palce prawej dłoi ułożymy zgodie z pierwszym wektorem a astępie obrócimy je krótszym łukiem do pozycji drugiego wektora, wtedy kciuk wskazuje zwrot iloczyu wektorowego. Waże jest, aby w obrocie dłoią zachować kolejość wektorów (od pierwszego w iloczyie do drugiego) oraz kieruek obrotu (krótszy) długość tego wektora jest rówa polu rówoległoboku zawartego między wektorami wyjściowymi d = a b si (a,b) = A iloczy wektorowy jest atysymetryczy: a b = b a iloczy wektorowy jest rozdziely względem dodawaia wektorów: a b b a (a+b) (c+d) = (a c)+( b c)+(a d)+(b d) iloczy wektorowy jest zgody z możeiem wektora przez skalar: α (a b) = (α a) b = a (α b) d = a b d = A b A γ= (a, b) a 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 5

6 Iloczy mieszay wektorów: [a,b,c] =(a b) c = V a x a y a z V = b x b y b z a x b y c z + a y b z c x + a z b x c y a z b y c x a x b z c y a y b x c z c x c y c z = trójce wektorów przyporządkowujemy liczbę wartość bezwzględa tej liczby jest rówa objętości rówoległościau zawartego między tymi wektorami γ = a b c cos ψ = A H = V iloczy mieszay jest atysymetryczy względem każdej pary argumetów (każde pojedycze przestawieie kolejości argumetów zmieia zak a przeciwy) [a,b,c] = [b,c,a] = [c,a,b] = [a,c,b] = [c,b,a] = [b,a,c] c H b A a RZUTOWANIE WEKTORA NA KIERUNEK INNEGO WEKTORA Załóżmy, że mamy day wektor: a = [a x ; a y ; a z ]. Chcemy go zrzutować a kieruek iego wektora tj. otrzymać wektor a rówoległy do taki, że: a = a +b : a b Wiemy, że miarą rzutu wektora a kieruek iego wektora jest iloczy skalary, pod warukiem, że wektor, a którego kieruek rzutujemy, ma długość rówą, tj. jest wersorem. b a ϕ a e = a e cos (a,e ) = a cosϕ a e = 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 6

7 Wersorem dla kieruku daego wektorem jest e =. Ostateczie, poszukiway wektor b rówoległy do wersora e, a jego długość ma być rówa długości odpowiediego rzutu: jest Poszukiwae wektory są rówe: a = a e = (a e ) e = ( a ) = a 2 b = a a w szczególości możemy mieć zadaą prostą K - rówież i dla iej możemy wyzaczyć wektor jedostkowy, rówoległy do iej i rzutować a jego kieruek. Mówimy wtedy o rzutowaiu wektora a a prostą K. RZUTOWANIE WEKTORA NA PŁASZCZYZNĘ Załóżmy, że mamy day wektor: a = [a x ; a y ; a z ]. Chcemy go zrzutować a zadaą płaszczyzę π tj. zaleźć taki wektor składowy a π taki, że: a = a π + b: a π π b π Z każdą płaszczyzą daą rówaiem π: A x+ B y+cz+d = 0 związay jest wersor do iej prostopadły e π = [ A ; B ; C ] A 2 +B 2 +C 2. b eπ = a π Wektor a π będący rzutem wektora a a płaszczyzę π zajdziemy poprzez odjęcie od a jego składowej a kieruku prostopadłym do π : aπ a π = a (a e π ) e π = a a Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 7

8 .2 SIŁY I MOMENTY SIŁ Wszystkie powyższe rozważaia dotyczące działań wykoywaych a wektorach odosić będziemy do wektorów sił. Pamiętać przy tym musimy, że siła jest wymiarową wielkością fizyczą wymiarem siły jest iuto, który ozaczać będziemy symbolem N. Wektor siły F zaczepioy w pukcie P ozaczać będziemy przez ( F P). Zgodie z drugą zasadą dyamiki Newtoa siły są miarą wymuszeia zmiay ruchu postępowego (p. wzdłuż prostej). W aalogiczy sposób miarą wymuszeia ruchu obrotowego (po okręgu) jest momet siły. Z podstawowego kursu fizyki momet siły kojarzyć am się może z zasadą dźwigi, zgodie z którą momet siły obracającej dźwigię jest tym większy, im większe jest ramię dźwigi - odległość siły od puktu obrotu zgodie z regułą: P P 2 B M =P r M 2 =P 2 r 2 r r 2 momet = siła x ramię A zatem wielkość mometu względem ustaloego puktu moża zwiększać lub zmiejszać albo poprzez zmiaę wartości siły, albo przez zmiaę jej położeia. Momet siły zawsze musi odosić się do jakiegoś puktu, który azywać będziemy bieguem mometu. Jest to wielkość wektorowa (ściślej: jest to pseudowektor, który przy zmiaie układu współrzędych wskutek odbicia lustrzaego zmieia swój zwrot). Momet siły względem puktu zdefiioway jest astępująco: MOMENT SIŁY WZGLĘDEM PUNKTU Jeśli mamy wektor siły F zaczepioy w pukcie A, to mometem wektora F względem puktu B (azywaego bieguem mometu) azywamy z defiicji iloczy wektorowy: M B (F) = F AB przy czym przyjmuje się, że wektor te zaczepioy jest w bieguie B. WAŻNA UWAGA: Kolejość wektorów w powyższym iloczyie ma zaczie. Poadto, obydwa wektory mają swój początek w pukcie A. Gdybyśmy zamieili kolejość czyików lub odwrócili wektor AB, wtedy otrzymalibyśmy wektor mometu przeciwy do powyższego. Niekiedy wektor mometu defiioway jest w ieco iej formie, tj.: M = r F, gdzie r = BA. Obie defiicje są oczywiście rówoważe. Aby jedak ie pomieszać sobie tych dwóch defiicji warto zdecydować się a jedą z ich i kosekwetie ją stosować. Przyjmując defiicję ujętą w ramkę powyżej możemy ująć ją w dwie reguły: Najpierw siła potem ramię. Ramię od puktu zaczepieia siły do biegua. MB(F) = F AB A AB F B 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 8

9 Z defiicji mometu wektora względem puktu wyika waży wiosek. Jeśli wektor ramieia (łączący pukt zaczepieia siły z bieguem) jest rówoległy do wektora siły, tj. AB F, wtedy M B (F) = 0. Możemy te wiosek sformułować iaczej: Jeśli pewie pukt B leży a prostej działaia siły F (tj. a prostej rówoległej do tej siły i zawierającej pukt zaczepieia tej siły), to momet siły F względem puktu P jest zerowy. Z defiicji mometu siły względem puktu oraz z własości iloczyu wektorowego wyika waże twierdzeie będące podstawą dla iych bardzo użyteczych twierdzeń: TWIERDZENIE O ZMIANIE BIEGUNA M C = M B + F BC DOWOD: M C = F AC = F ( AB+ BC ) = F AB+F BC = M B +F BC CBDU Z twierdzeia o zmiaie biegua wyikają waże wioski: Jeśli BC F, wtedy F BC = 0, skąd M B = M C. Zatem, momet wektora F pozostaje stały przy zmiaie biegua, jeśli wektor łączący stary biegu z owym, jest rówoległy do wektora. F Takich bieguów, względem których momet wektor F raie zmieia się, jest ieskończeie wiele wszystkie oe leżą a jedej prostej, rówoległej F doi zawierającej te pierwoty biegu. Jeśli przesuiemy siłę F wzdłuż jej prostej działaia do pewego puktu C, tj. AC F, wtedy: M B ( F C) = F CB = F ( CA+ AB) = F CA + F AB = 0 + M B ( F A) = M B( F A) Ozacza to, że poieważ momet siły ie zmieia się wraz ze zmiaą puktu zaczepieia a prostej działaia, to dowolą siłę moża przesuąć wzdłuż jej prostej działaia. 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 9

10 MOMENT WEKTORA WZGLĘDEM PROSTEJ Momet wektora a względem prostej zdefiioway jest jako momet rzutu wektora a a dowolą płaszczyzę prostopadłą do tej prostej względem puktu przebicia tej płaszczyzy przez daą prostą. M p = Df. a π A ' P ' = (a (a e p )e p ) (r (r e p )e p ) e p π B p a P A r Mp(a) = aπ A'P' aπ B' ep = π A' A'P' P' Obliczaie mometu siły względem prostej a podstawie defiicji jest uciążliwe istieje jedak twierdzeie, które pozwala wyzaczyć go w zaczie prostszy sposób: Momet wektora a względem prostej jest rówy rzutowi mometu tego wektora względem dowolego puktu tej prostej a kieruek tej prostej M p = [(a AP ) e p ] e p.3 UKŁADY SIŁ Układem sił azywać będziemy zbiór zaczepioych wektorów sił A = {( F A ), ( F 2 A 2),... ( F A )}. Dla układu sił A defiiujemy: Wektor sumy układu: S(A ) = F i i= Wektor sumy mometów układu względem puktu P: M P (A) = i= (F i P i P ) Parametr układu: K (A) = M P (A ) S(A ) 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 0

11 TWIERDZENIE O ZMIANIE BIEGUNA DLA UKŁADU SIŁ Dla układu wektorów obowiązuje aalogicze jak dla pojedyczego wektora twierdzeie o zmiaie biegua: DOWÓD: M B = M A +S AB M B = (F i P i B) = = M A +( i = i = i= [F i ( P i A+ F i) AB = M A +S AB AB)] = (F i P i A)+ i= i= (F i AB) = CBDU Z twierdzeia tego wyikają aalogicze wioski, jak w twierdzeiu dla pojedyczego wektora: Suma mometów ie zmieia się, jeśli owy biegu leży a prostej a rówoległej do sumy układu i zawierającej stary biegu. Jeśli suma układu S = 0, to suma mometów względem dowolego puktu jest zawsze taka sama. Parametr układu jest stały, iezależy od biegua, względem którego oblicza się sumę mometów. Moża to łatwo udowodić korzystać z twierdzeia o zmiaie biegua: M B S = (M A +S AB) S = M A S + (S AB) S = M A S SZCZEGÓLNE PRZYPADKI UKŁADÓW SIŁ ZBIEŻNY UKŁAD SIŁ Jeśli proste działaia wszystkich sił ależących do układu przeciają się w jedym pukcie P, mówimy wtedy, że układ sił jest zbieży do tego puktu lub zbieży w tym pukcie. Poieważ pukt P leży a prostej działaia każdej z sił ależących do układu, więc momet każdej z ich względem P jest zerowy, a zatem dla układu takiego suma mometów względem P: M P = 0 P 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL

12 UKŁAD ZEROWY Jeśli suma układu zbieżego S = 0, wtedy mówimy o układzie zerowym. Poieważ suma układu jest zerowa, stąd z twierdzeia o zmiaie biegua wyika, że momet takiego układu jest stały względem dowolego puktu. Poieważ w pukcie jest to układ zbieży w P i suma mometów względem P jest rówa 0, zatem w każdym iym pukcie suma mometów rówież jest zerowa. Dla układu takiego: S = 0 M B = 0 B P P WYPADKOWA Jeśli suma układu zbieżego S 0, wtedy mówimy wektor rówy sumie układu zaczepioy w pukcie zbieżości sił układu azywamy wypadkową. Dla układu takiego: S = 0 M P = 0 P P RÓWNOLEGŁY UKŁAD SIŁ Jeśli wszystkie siły ależące do układu są rówoległe do pewego wektora e, tj.: e A = {( F i A i)}, F i= F i e (i=,2,...,), e =, wtedy układ taki azywamy rówoległym układem sił. Warto przy tym zauważyć, że: F F 2 F i F S(A ) = F i e i= M P (A) = F i (e A i P) i= Wektor sumy jest zatem rówoległy do e, podczas gdy w sumie mometów każdy składik tej sumy musi być (z defiicji iloczyu wektorowego) prostopadły do e. Skoro żade ze składików sumy mometów ie ma składowej a kieruku e, stąd i wektor sumy mometów jest prostopadły do e, a w kosekwecji rówież do sumy układu. Dla rówoległego układu sił mamy zatem: K = Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 2

13 PARA SIŁ Parą sił azywamy układ złożoy z dwóch sił przeciwych (tj. rówoległych i o przeciwych zwrotach) ie leżących a jedej prostej jest to zatem szczególy przypadek układu rówoległego. Suma takiego układu jest zerowa, zatem suma mometów tego układu jest stała względem dowolego biegua. Wektor mometu jest zawsze prostopadły do płaszczyzy wyzaczoej przez proste działaia wektorów pary. Wartość tego mometu (długość wektora mometu) moża obliczyć przyjmując dowoly biegu ajprościej przyjąć go w pukcie zaczepieia jedego z wektorów pary. M = F r si ϕ = F d M=F r d r -F=-F e φ F=F e A zatem momet jest rówy wartości jedej z sił pary (druga jest taka sama) przemożoej przez odległość między prostymi działaia tych sił zgodie z regułą siła x ramię. Warto w tym miejscu zazaczyć, że w mechaice kostrukcji praktyczie iespotykae jest obciążeie tzw. mometem skupioym, tj. obciążeie układem ie zawierającym żadej siły a jedyie wektor mometu. Każde obciążeie, które utożsamiamy z mometem skupioym jest w rzeczywistości parą..4 STATYCZNA RÓWNOWAŻNOŚĆ UKŁADÓW SIŁ Dwa układy sił A i B azywamy statyczie rówoważymi, gdy:. Wektor sumy układu A jest taki sam jak wektor sumy układu B 2. Dla każdego puktu wektor sumy mometów układu A względem iego jest rówy sumie mometów układu B względem tego puktu. A B Df. S( A) = S(B) P M P (A) = M P ( B) Sformułowaie statycza rówoważość sugeruje, że mogą istieć ie defiicje rówoważości układów. Rzeczywiście, możliwe jest rozpatrywaie rówoważości układów biorąc pod uwagę i ie aspekty, ie tylko statycze. Statyczą rówoważość możemy w uproszczoy sposób iterpretować w taki sposób, że ie mają dla as zaczeia liczba i orietacja poszczególych sił ależących do daych układów rówoważych ai pukty ich zaczepieia, a jedyie ich sumarycze oddziaływaie. Usiłując zilustrować te fakt, możemy posłużyć się przykładem ruchu bryły sztywej. Jej ruch jest ściśle określoy przez rówaia ruchu wyikające z drugiej zasady dyamiki Newtoa oraz przez sumę działających a ią sił i przez sumę mometów tych sił względem jej środka ciężkości. To, jakie są te siły, ile ich jest i w jakich puktach są przyłożoe ie ma wpływu a ostatecze rozwiązaie. Wyika to z faktu, że ciało to jest ieodkształcale. Gdybyśmy jedak rozważali ciało, które może deformować się pod wpływem przyłożoych sił, wtedy oczywiście działaie dwóch układów awet statyczie rówoważych spowodować może całkiem odmiee odkształceie ciała. 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 3

14 TWIERDZENIA O RÓWNOWAŻNOŚCI UKŁADÓW SIŁ Wyikający z defiicji waruek statyczej rówoważości dwóch układów sił jest bardzo silym warukiem wymaga rówości sum układów oraz rówości sum mometów względem wszystkich puktów. Istieją jedak twierdzeia, a podstawie których moża wioskować o rówoważości układów przy spełieiu dużo miej restrykcyjych waruków. TWIERDZENIE Dwa układy sił A i B są rówoważe, gdy:. Wektor sumy układu A jest taki sam jak wektor sumy układu B 2. Istieje taki pukt P, że wektor sumy mometów układu A względem tego puktu jest rówy sumie mometów układu B względem tego puktu. A B S( A) = S(B) P : M P (A) = M P (B) DOWÓD: Korzystając z twierdzeia o zmiaie biegua dla dowolego puktu Q możemy apisać M Q ( A) = M P ( A) + S( A) PQ = M P (B) + S (B) PQ = M Q ( B) CBDU TWIERDZENIE 2 Dwa układy sił A i B są rówoważe, gdy wektory sum mometów układu A względem trzech iewspółliiowych puktów P, P 2, P 3 są rówe odpowiedim wektorom sum mometów układu B względem tych puktów: A B {M P ( A) = M P(B) M P 2 (A) = M P 2 ( B) M P 3 (A) = M P 3 (B) P P 2 P P 3 0 DOWÓD: Z twierdzeia o zmiaie biegua możemy apisać: M P2 ( A) = M P ( A)+S( A) P P 2 M P3 ( A) = M P ( A)+S (A) P P 3 M P2 ( B) = M P (B)+S(B) P P 2 M P3 ( B) = M P (B)+S(B) P P 3 Jedocześie z założeia o rówości mometów wyika, że: M P2 ( B) = M P ( A)+S (A) P P 2 = M P (B)+S (A) P P 2 = M P (B)+S (B) P P 2 = M P2 (B) M P3 ( B) = M P ( A)+S(A) P P 3 = M P (B)+S( A) P P 3 = M P (B)+S(B) P P 3 = M P 3 (B) 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 4

15 Odejmując stroami M P (B) otrzymujemy: S( A) P P 2 = S(B) P P 2 (S( A) S( B)) P P 2 =0 S( A) P P 3 = S(B) P P 3 (S (A) S(B)) P P 3 =0 Z założeia P P 2 0 i P P 3 0. Powyższe dwie rówości są zatem możliwe do spełieia tylko w dwóch przypadkach: ) gdy (S( A) S( B)) P P 2 oraz (S( A) S( B)) P P 3 2) gdy S( A) S( B)=0. Pierwszy z tych przepadków jest sprzeczy z założeiem, jeśli bowiem (S( A) S( B)) P P 2 oraz (S( A) S( B)) P P 3 to P P 2 P P 3, a o puktach P, P 2, P 3 założyliśmy, że ie są współliiowe. W takim razie S( A) S( B)=0 S( A)=S( B), a to a mocy rówości sum mometów w przyajmiej jedym pukcie (z założeia w trzech) i twierdzeia pociąga za sobą rówoważość układów. CBDU.5 REDUKCJA UKŁADU SIŁ Skoro statycza rówoważość ie bierze pod uwagę liczby sił, stąd w sytuacjach, gdy jest to dozwoloe, dowoly układ sił możemy zastąpić układem statyczie rówoważym, jedak zawierającym miejszą liczbę wektorów sił. Postępowaie takie azywamy redukcją układu sił. Pojawia się pytaie: jaki może być ajmiejszy układ sił statyczie rówoważy z daym? Rozpatrujemy dowole układy sił mogą się składać z dowolej liczby zupełie różych wektorów zaczepioych każdy w jakimkolwiek pukcie. Z puktu widzeia statyki różorodość tych układów jest jedyie pozora. W rzeczywistości każdy układ sił możemy przyporządkować do jedej z czterech ogólych klas układów, których charakter określają: wektor sumy, wektor sumy mometów oraz parametr układu. Okazuje się bowiem, że dowoly układ sił jest zawsze rówoważy przedstawicielowi dokładie jedej z czterech astępujących klas: układ zerowy para sił wypadkowa skrętik lub dwa wektory skośe Dla każdej z klas możemy wybrać ajprostszego reprezetata, tj. taki układ sił, który zawiera ajmiejszą liczbę wektorów. Mówić będziemy wtedy o redukcji do ajprostszej postaci. Gdybyśmy mieli zastaowić się, jaka może być ta ajprostsza postać, to w ajgorszym wypadku wystarczyły by am trzy wektory. Jeśli bowiem weźmiemy wektor W rówy sumie daego układu i pewą parę (o której wiemy, że ie zmieia sumy), to pierwszy waruek rówoważości rówości sum jest już spełioy. Waruek drugi rówości sum mometów względem dowolego puktu P możemy spełić w te sposób, że wektor W zaczepimy w pukcie P (w te sposób jego momet względem tego puktu będzie zerowy), parę zaś dobierzemy w taki sposób, aby odpowiadający jej wektor mometu względem puktu P był właśie taki, jak układu wyjściowego. A zatem dowoly układ sił moża zastąpić układem złożoym z co ajwyżej trzech wektorów. Jeśli poadto okaże się, że suma tego układu S=0 lub suma mometów względem daego puktu P M P =0, to liczba ta redukuje się odpowiedio do dwóch i do jedego wektora. Zauważmy przy tym, że sytuacja taka może mieć miejsce tylko wtedy, gdy parametr układu K =S M P =0. Jeśli awet K 0, to poieważ parę dającą odpowiedi momet możemy wybrać dowolie, w szczególości wolo a dobrać ją w taki sposób, aby jede z wektorów pary był przyłożoy w tym samym miejscu co wektor W - a takie wektory możemy do siebie dodać otrzymując jede, owy wektor. W efekcie ajprostszą postacią dowolego układu sił może być układ dwóch wektorów skośych. Charakter takiego układu sił jest jedak miej czytely iż układu złożoego z trzech wektorów (rówego sumie i odpowiediej pary), dlatego ajczęściej zostaje się przy układzie trzech wektorów. 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 5

16 Ogólie wyróżiać będziemy dwa przypadki redukcji: Redukcja do ajprostszej postaci określamy wtedy klasę układu a astępie podajemy ajprostszego reprezetata tej klasy. Waże jest, by zwrócić uwagę, że bywają sytuacje (wypadkowa i skrętik), gdy pukt zaczepieia wektorów tego ajprostszego reprezetata ie może być całkiem dowoly. Redukcja w pukcie ajczęściej mamy do czyieia z sytuacją, gdy siły rozpatrywaego układu sił muszą być zaczepioe w pewym z góry ustaloym pukcie, w którym iekoieczie możliwa jest redukcja do ajprostszej postaci. Zastępujemy wtedy układ układem trzech wektorów tak jak to było omówioe powyżej i mówimy wtedy o redukcji w pukcie. Może się oczywiście zdarzyć, że pukt redukcji dobray jest w taki sposób, że redukcja w pukcie może być jedocześie redukcją do ajprostszej postaci. Omówimy teraz cztery klasy rówoważości układów sił:. Układ zerowy (S( A)=0 M P ( A)=0 K= 0) Układ jest rówoważy układowi złożoemu tylko z wektora zerowego. Zgodie z twierdzeiem o zmiaie biegua, skoro suma układu jest rówa 0, to momet względem dowolego biegua jest stały w tym przypadku rówy 0. Skoro suma mometów jest iezależa od wyboru biegua, to redukcja w dowolym pukcie jest zawsze redukcją do ajprostszej postaci. 2. Para sił (S( A)=0 M P ( A) 0 K =0) Układ jest rówoważy układowi złożoemu pary sił o odpowiedim momecie. Zgodie z twierdzeiem o zmiaie biegua, skoro suma układu jest rówa 0, to momet względem dowolego biegua jest taki sam w tym przypadku róży od 0. Skoro suma mometów jest iezależa od wyboru biegua, to redukcja w dowolym pukcie jest zawsze redukcją do ajprostszej postaci. 3. Wypadkowa (S( A) 0 K =0) Układ redukuje się do jedego wektora rówego wektorowi sumy układu jest to tzw. wypadkowa W = S(A) Wypadkowa musi być zaczepioa w pukcie, względem którego suma mometów układu jest rówa 0. Zgodie z twierdzeiem o zmiaie biegua istieje cała prosta takich puktów i jest oa rówoległa do wypadkowej jest to tzw. oś środkowa. Redukcja w pukcie może być redukcją do wypadkowej tylko wtedy, gdy pukt te ależy do osi środkowej. 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 6

17 4. Skrętik (dwa wektory skośe) K 0 Układ redukuje się do wektora rówego sumie układu i do pary leżącej w płaszczyźie prostopadłej do wektora sumy (odpowiadający jej wektor mometu jest rówoległy do wektora sumy). Taki układ trzech wektorów azywamy skrętikiem. Wiadomo, że parametr układu iloczy skalary sumy i dowolego mometu jest stały, iezależy od wyboru biegua mometu. Jedocześie iloczy skalary jest miarą rzutu wektora a kieruek drugiego wektora. Zatem rzut wektora sumy mometów a kieruek sumy układu jest dla daego układu stały i rówy: M = M S P S = K S 2 S 2 S Gdy wektor mometu jest rówoległy do sumy (tak jak w skrętiku), to wektor te jest po prostu rówy swojemu rzutowi a kieruek sumy. Wzór powyższy określa zatem wektor mometu w skrętiku. Wektor rówy sumie musi być zaczepioy w pukcie, w którym wektor sumy mometów układu jest rówoległy do sumy układu. Zgodie z twierdzeiem o zmiaie biegua istieje cała prosta takich puktów i jest oa rówoległa do wektora sumy. Nazywamy ją osią środkową. Układ te moża jeszcze zredukować do układu dwóch wektorów skośych tj. wektorów ierówoległych, których proste działaia ie przeciają się. Redukcja w pukcie może być redukcją do skrętika tylko wtedy, gdy pukt te ależy do osi środkowej. 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 7

18 Obliczamy: Sumę układu Sumę mometów układu względem dowolego puktu P Parametr układu S = F i i M P = i K = S M P F i P i P TAK S = 0 NIE TAK M P = 0 NIE TAK K =0 NIE Układ zerowy S = 0 M P = 0 ( K=0) 0 Para sił S = 0 M P 0 (K =0) M P Wypadkowa S 0 K=0 W = S W = S M = K S 2 S Skrętik K 0 W każdym pukcie W każdym pukcie Wypadkowa musi być zaczepioa w osi środkowej Skrętik musi być zaczepioy w osi środkowej K = 0 K 0 WYZNACZANIE OSI ŚRODKOWEJ Oś środkowa to zbiór takich puktów (tworzących prostą), względem których wektor mometu układu jest wektorem zerowym (jeśli układ redukuje się do wypadkowej) lub jest rówoległy do wektora sumy (gdy układ redukuje się do skrętika). Przypuśćmy, że pukt B ależy do osi środkowej w takim przypadku wektor mometu jest rówy: M = K S 2 S Wzór te obowiązuje rówież w przypadku, gdy układ redukuje się do wypadkowej w takim przypadku K =0 i M=0 Załóżmy, że mamy obliczoą sumę mometów układu względem pewego puktu A, przy czym M A 0. Na tej podstawie chcemy wyzaczyć oś środkową. Wiemy, że będzie oa rówoległa do sumy układu wystarczy zatem, że zajdziemy jede pukt ależący do tej prostej, a dodając do iego wektor rówoległy do sumy, otrzymamy dowoly pukt tej prostej. 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 8

19 Z twierdzeia o zmiaie biegua możemy apisać: M A +S AB = M = K S 2 S Pomóżmy obie stroy tego rówaia wektorowo przez S : M A S+(S AB) S = K S 2 (S S) Iloczy wektorowy S S daje wektor zerowy. Zamieiając astępie kolejość czyików w pierwszym iloczyie zmieiamy jego zak i możemy przeieść go a drugą stroę rówaia, stąd: (S AB) S = S M A Bardziej iteresujące jest to, co dzieje się z iloczyem (S AB) S. Z defiicji iloczyu wektorowego korzystając z reguły prawej dłoi łatwo moża wykazać, że wektor te jest rówoległy i zgody z wektorem AB. Ma jedyie ią długość: (S AB) S = = S AB S si(90 ) = = [ S AB si (S, AB)] S si (90 ) W powyższym rówaiu kąt prosty między (S AB) a S wyika z defiicji iloczyu wektorowego. Kąt (S, AB) zależy od puktu B. Możemy jedak wybrać pukt B dowolie, poieważ i tak wszystkie pozostałe pukty osi środkowej otrzymamy dodając do iego dowoly wektor rówoległy do sumy układu. Możemy zatem przyjąć si (S, AB)=90 wtedy pukt B jest puktem osi środkowej, który jest ajbliższy puktowi A. Ostateczie więc: (S AB) S = = S AB si(90 ) S si(90 ) = AB S 2 B AB S AB S oś środkowa A S AB S Pamiętając przy tym, że (S AB) S AB możemy apisać: AB = (S AB) S S 2 = S M A S 2 Jeśli wyjściowym bieguem A jest początek układu współrzędych O, wtedy dowoly pukt osi środkowej zapisać moża jako r = S M O S 2 + λ S, gdzie λ jest dowolym parametrem. Jeśli jest to jakiś iy pukt, wtedy po prostu musimy dodać odpowiedi wektor do powyższego wyrażeia: r = OA+ S M A + λ S S Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 9

20 Powyższe rówaie wektorowe opisuje am oś środkową w formie układu trzech rówań z parametrem. Oś środkową możemy wyzaczyć rówież i w iy sposób. Jeśli tylko suma układu jest róża od zera, oś środkowa istieje. Wybierzmy zatem dowoly pukt B leżący a osi środkowej i ozaczmy jego współrzęde B=( x ; y ; z). Przyjmijmy, że mamy wyzaczoy wektor mometu względem pewego puktu A=(x A ; y A ; z A ). Z twierdzeia o zmiaie biegua mamy: M A +S AB = K S 2 S Rówaie to jest waże rówież w przypadku, gdy K =0 - wtedy po prawej stroie rówaia mamy zerowy wektor mometu. Zapisując je w składowych, otrzymujemy: [M Ax ;M Ay ; M Az ] + [S x ;S y ;S z ] [(x x A );( y y A );( z z A )] = K S 2 [S x ;S y ;S z ], co po przekształceiach daje układ rówań liiowych a współrzęde puktu B=(x ; y ; z) : S {S y z S z y = S y z A S z ya+ x K S 2 x +S 2 y +S M 2 Ax z S z x S x z = S z x A S x z A + S K y S 2 x +S 2 y +S M 2 Ay z S x y S y x = S x y A S y x A + S K z S 2 x +S 2 y +S M 2 Az z Możąc pierwsze rówaie przez S x, drugie przez S y, trzecie zaś przez S z a astępie dodając je do siebie otrzymamy tożsamość. Jest to zatem układ rówań zależych, który posiada ieskończoą liczbę rozwiązań. Rzeczywiście puktów ależących do osi środkowej jest ieskończeie wiele, a ich współrzęde (x, y, z) za każdym razem spełiają powyższy układ rówań. Z układu tego możemy wybrać dwa rówaia każde z ich reprezetuje jakąś płaszczyzę w przestrzei. Układ dwóch takich rówań opisuje krawędź (prostą), wzdłuż której płaszczyzy te się przeciają jest to właśie oś środkowa..6 RÓWNOLEGŁY UKŁAD SIŁ Zdefiiowaliśmy rówoległy układ sił jako układ, w którym wszystkie siły są rówoległe do pewego wektora e, przy czym o wektorze tym zakładać będziemy dalej, że ma długość jedostkową, tj.: A = {( F i A i)}, F i= F i e (i=,2,...,), e =, Pokazaliśmy już, że dla rówoległego układu sił K = 0. Ozacza to, że rówoległy układ sił ie może zredukować się do skrętika, a jedyie do wypadkowej, pary lub układu zerowego. W dwóch ostatich przypadkach redukcja układu rówoległego przebiega tak samo, jak w ogólym przypadku układu przestrzeego, przy tym redukcja w dowolym pukcie jest jedocześie redukcją do ajprostszej postaci. Jeśli chodzi o 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 20

21 przypadek redukcji do wypadkowej, to wiemy już, że sama wypadkowa rówa będzie wektorowi sumy pozostaje am wyzaczyć oś środkową. Wiemy, że będzie to prosta rówoległa do wypadkowej, a momet układu względem dowolego puktu tej prostej ma być rówy 0. Pukt osi środkowej wyzaczyć możemy korzystając z twierdzeia o zmiaie biegua przyjmując za biegu wyjściowy początek układu współrzędych O. Przyjmując ozaczeia jak a rysuku poiżej możemy apisać: S = F i e i= z r 2 A A 2 F F 2 M O = F i (e A i O) = i = i= F i (r i e) Wyzaczmy teraz momet w pewym pukcie P ależącym do osi środkowej. Momet względem tego puktu jest rówy zero: M O +S OP = M P = 0 i= F i (r i e)+ F i e OP = 0 i = Zmieńmy kolejość możeia wektorowego w drugim składiku: x O e r r i y A i r F i A F i= F i (r i e) i = F i OP e = 0 Korzystając z rozdzielości możeia wektorowego względem dodawaia możemy apisać: ( i= F i r i F i OP ) e = 0 Skoro prawa stroa rówaia jest wektorem zerowym, to i lewa stroa musi im być tak może być tylko w trzech przypadkach: gdy jede z wektorów w iloczyie po lewej stroie jest zerowy, lub gdy są oe rówoległe. Wektor e ie jest zerowy z założeia, jeśli atomiast przyjmiemy, że wyrażeie w awiasie jest wektorem zerowym, wtedy uzyskay wyik będzie całkowicie iezależy od kieruku wektora e. Wtedy: i= F i r i F i r i F i OP = 0 OP = i= i = F i W te sposób zaleźliśmy wektor wodzący puktu P (który azywać będziemy środkiem rówoległego układu sił), względem którego suma mometów układu jest zerowa. Jeśli tylko suma układu jest róża od zera (co jest rówoważe temu, że miaowik w powyższym wzorze jest róży od 0), to układ ma oś środkową rówoległą do sumy i przechodzącą przez pukt P. 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 2

22 Trzeba zauważyć, że uzyskay wyik jest iezależy od kieruku sił tworzących układ. To zaczy, że gdyby wszystkie wektory zmieiły swój kieruek (ale adal wszystkie pozostałyby do siebie rówoległe i zaczepioe byłyby w tym samym pukcie), to powyższy wzór adal określałby pukt, przez który przechodzi oś środkowa owego układu. Jest to pukt w którym przeciają się wszystkie możliwe osie środkowe odpowiadające różym kierukom rówoległego układu sił. Z tego powodu pukt te azywamy środkiem rówoległego układu sił. Zając środek rówoległego układu sił, sumę mometów układu ajprościej wyzaczyć możemy korzystając z twierdzeia o zmiaie biegua przyjmując za biegu wyjściowy właśie środek układu, w którym momet jest zerowy. Wtedy:.7 PŁASKI UKŁAD SIŁ M B = S PB Szczególym przypadkiem układu sił, z którym ajwięcej będziemy mieć do czyieia, to układ płaski, tj. układ, w którym wszystkie siły są zaczepioe w puktach ależących do jedej płaszczyzy i wektory wszystkich tych sił zawierają się w tej płaszczyźie. Z reguły przyjmować będziemy, że płaszczyzą układu będzie płaszczyza (x ; y). W takim razie dowoly wektor siły ależący do układu płaskiego będzie miał postać: F = [ F x ; F y ; 0] Taką samą postać będzie miał dowoly wektor leżący w tej płaszczyźie, w szczególości wektor łączący pukt zaczepieia siły z dowolym iym puktem płaszczyzy. Jeśli zatem wyzaczać będziemy sumę mometów układu płaskiego względem jakiegoś puktu a płaszczyźie układu (a ograiczać się będziemy tylko do takich puktów), wtedy dowoly wektor mometu (jako iloczy wektorowy dwóch wektorów ależących do płaszczyzy będzie musiał być prostopadły do obydwu z ich) będzie prostopadły do płaszczyzy układu. Wektor taki będzie miał ogólą postać: F = [ F ; F ;0] x y AB = [d x ;d y ; 0] M M B = [0 ;0; F x d y F y d x ] B = [0 ;0 ; M z ] WYZNACZANIE MOMENTÓW W PŁASKIM UKŁADZIE SIŁ Poieważ w płaskim układzie sił wektor mometu charakteryzoway jest przez jedą tylko składową, asuwa się przypuszczeie, że wyzaczeie tej jedej liczby musi być osiągale prostszymi metodami iż możeie wektorowe trójwymiarowych wektorów. Aby przedstawić tę uproszczoą metodę posłużymy się poiższym rysukiem: A MB(F) d A d B y MA(F) ϕ A F ϕ B B x C z 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 22

23 Wiemy już, że wektor mometu jest prostopadły do płaszczyzy układu. Zwrot wektora (zak składowej M z ) określić możemy sprawdzając, w którą stroę wektor siły kręci się wokół biegua mometu. Zgodie z rysukiem widzimy, że obrót przeciwie do ruchu wskazówek zegara odpowiada mometowi dodatiemu, i a odwrót. M z > 0 M z < 0 Zamy już kieruek i zwrot wektora mometu potrzebujemy zatem wyzaczyć już tylko jego długość. Długość wektora mometu (wartość bezwzględa składowej M z ) wyzaczymy korzystając z własości iloczyu wektorowego: d x M Az = M A = F CA = F r si ϕ = F d A zatem długość wektora mometu jest rówa długości wektora siła pomożoej przez odległość biegua mometu od prostej działaia siły zgodie z zasadą momet = siła x ramię. MA(F) A F y F d y Określeie odległości puktu od prostej bywa uciążliwe awet w przypadku puktu i prostej a jedej płaszczyźie. Zagadieie moża uprościć jeszcze bardziej rozkładając siłę a składową pioową i poziomą odległość biegua od prostych działaia tych składowych wyzaczamy odpowiedio w poziomie i w pioie. z y x C F x Ostateczie więc składową M z wyzaczać będziemy korzystając z astępujących reguł: momet = siła x ramię: siła pozioma ramię pioowe siła pioowa ramię poziome siła kręci się wokół biegua przeciwie do ruchu wskazówek zegara momet dodati. siła kręci się wokół biegua zgodie z ruchem wskazówek zegara momet ujemy. REDUKCJA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Z faktu, że wektor sumy mometów układu płaskiego jest zawsze prostopadły do wektora sumy układu, wyika, że parametr układu płaskiego K =0, tj. układ płaski ie może zredukować się do skrętika a jedyie do układu zerowego, pary lub wypadkowej. W przypadku redukcji do wypadkowej, oś środkową ajłatwiej zaleźć korzystając z twierdzeia o zmiaie biegua, aalogiczie jak w przypadku przestrzeym. Zakładamy więc istieie pewego puktu B leżącego a osi środkowej suma mometów układu względem tego puktu jest więc zerowa. Ozaczmy jego współrzęde B=( x ; y ; z). Przyjmijmy, że mamy wyzaczoy wektor mometu względem pewego puktu A=(x A ; y A ; z A ). Z twierdzeia o zmiaie biegua mamy: M A + S AB = M B = Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 23

24 Zapisując powyższe rówaie we współrzędych: [0;0; M A ]+[S x ;S y ;0] [( x x A );( y y A ); 0] = [0;0 ;0] Po przekształceiach otrzymujemy rówaie osi środkowej w postaci kaoiczej: M A +S x ( y y A ) S y (x x A ) = 0 Przyzwyczajei jesteśmy do zapisywaia rówaia prostej a płaszczyźie w postaci kierukowej, stąd często stosuje się jede z poiższych wzorów: y = S y S x x+( y A M A S x S y S x x A) lub x = S x S y y+( x A + M A S y S x S y y A) Powyższe dwa wzory są miej ogóle od wzoru prostej w postaci kaoiczej poieważ wymagają iezerowaia się odpowiediej składowej sumy. Gdy p. wypadkowa jest siłą pioową (S x =0), wtedy pierwszy z powyższych wzorów ie może być zastosoway i a odwrót. Jeśli suma mometów układu obliczoa jest w początku układu współrzędych A=O=(0 ;0; 0), wtedy wszystkie powyższe rówaia dodatkowo się upraszczają: M O +S x y S y x = 0 y= S y S x x M O S x lub x= S x S y y M O S y.8 CIĄGŁY UKŁAD SIŁ Dotychczas zajmowaliśmy się układami sił, w skład których wchodziły jedyie obciążeia skupioe, w postaci pojedyczych wektorów sił zaczepioych w poszczególych putach. Wiadomo jedak, że ieustaie mamy do czyieia z tzw. polami sił, tj. siłami, które oddziałują ie a jede pukt, ale a całe obszary w przestrzei. Podstawowym oddziaływaiem tego typu jest grawitacja ajważiejsze z obciążeń zewętrzych występujące w budowictwie. Choć często zastępujemy oddziaływaia grawitacyje wypadkową przyłożoą w środku ciężkości, to jedak w rzeczywistości siła grawitacji działa a każdy pukt ciała. F obciążeie skupioe obciążeie ciągłe liiowe q(x) obciążeie ciągłe powierzchiowe p(x,y) 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 24

25 Właściwie we wszystkich przypadkach, w których chodzi o wyzaczeie sił wewętrzych lub deformacji układu, zastąpieie takiego ciągłego układu sił wypadkową (lub iym układem sił skupioych) ie jest dopuszczale ma bowiem zaczeie czy strop obciążoy jest rówomierie czy też całe to obciążeie skupimy w postaci jedej siły przyłożoej w środku jego rozpiętości. Z tego względu zestawieie obciążeń a każdą kostrukcję budowlaą zawiera przede wszystkim obciążeia ciągłe. Z drugiej stroy, metody obliczeiowe, jakie dotąd pozaliśmy, dotyczą jedyie obciążeń skupioych. Ostateczie postępować będziemy w taki sposób, że rozważać będziemy tylko pewą część obciążeia ciągłego, zastępować je będziemy obciążeiem skupioym, atomiast wielkość tej części określoa będzie pewym ciągłym parametrem. Nasze rozważaia dotyczące układów ciągłych ograiczymy tylko do płaskich rówoległych ciągłych układów sił tj. do tzw. obciążeń liiowych. Wyika to z faktu, że obciążeia ciągłe występujące w budowictwie to iemal wyłączie obciążeia grawitacyje, które zawsze działa w jedym kieruku (a awet z jedym zwrotem). Jeśli chodzi o ie rodzaje obciążeń ciągłych, to w budowictwie spotykamy się z powierzchiowym parciem lub ssaiem wiatru lub parciem hydrostatyczym grutu a ściay fudametowe, cieczy w zbiorikach lub materiałów sypkich w silosach. Jedak w każdym z tych przypadków, jeśli elemet kostrukcyjy, do którego przyłożoe jest takie obciążeie, jest płaski, to obciążeie to ma charakter układu rówoległego. O układzie rówoległym wiemy, że możliwe są dla iego tylko trzy przypadki redukcji do ajprostszej postaci: S 0 wypadkowa S=0 M B 0 para S=0 M B = 0 układ zerowy Jeśli będziemy umieli wyzaczyć sumę układu ciągłego oraz sumę mometów takiego układu, to będziemy w staie określić przypadek redukcji. W przypadku pary i układu zerowego pukt redukcji ie gra roli, atomiast w przypadku wypadkowej koiecze będzie jeszcze określeie puktu jej przyłożeia. Rozważmy obciążeie liiowe zadae pewą fukcją zmieej x. Jest oo w przybliżeiu rówoważe układowi maleńkich sił P i = q( x i ) Δ x. W przypadku rówoległego układu sił kieruek sumy jest zay, atomiast jej wartość uzyskamy dodając do siebie koleje małe siły w graicy, gdy podzielimy układ liiowy a ieskończoą liczbę ieskończeie małych sił, suma ta określaa jest przez całkę. Δx cm q(x) P i O x O x i x S = lim i= L q (x i ) Δ x = q(x)d x Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 25

26 W aalogiczy sposób możemy obliczyć wartość bezwzględą mometu układu względem puktu O, jak a rysuku: M O = lim i= L q( x i ) x i Δ x = q( x) xd x 0 Zerowaie się sumy daje sam redukcję do pary lub układu zerowego. Jeśli tylko S 0, to układ redukuje się do wypadkowej. Wypadkowa będzie miała wartość S i przyłożoa będzie w pewej odległości x 0 od puktu O. Obliczając jej momet względem O tak, jak to robimy dla układów płaskich, otrzymujemy: M O = S x 0 x 0 = M O S Ostateczie więc wyik redukcji obciążeia liiowego możemy zilustrować w astępujący sposób: L S = q( x)d x 0 L M O = q(x) x d x 0 x 0 = M S O S x 0 q(x) x 206 Paweł Szeptyński Creative Commos BY-NC-SA 3.0 PL 26